Toán 10 - Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu

1. Hệ đối xứng loại (kiểu) I:
a. Là hệ có dạng : , trong đó 
b. Phương pháp giải chung:
- Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
- Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện .
- Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Sau khi tìm được S, P thì x, y là nghiệm của phương trình t2 – St + P = 0.
c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:
x2 + y2 = (x + y) 2 – 2xy = S2 – 2P
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = S3 – 3PS
x2y + xy2 = xy(x + y) = S.P
x4 + y4 = (x2 + y 2) 2 – 2x 2 y 2 = (S2 – 2P) 2 – 2P 2
d. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như:
- Phương pháp thế.
- Phương pháp hàm số.
- Phương pháp điều kiện cần và đủ.
- Phương pháp đánh giá.
e. Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (1)
GIẢI
Đặt điều kiện . Hệ phương trình (1) trở thành:
.
=> x, y là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0 
Vậy hệ (1) có 2 nghiệm (2;3); (3;2)
* Lưu ý một số trường hợp đặc biệt:
i) Có những hệ phương trình trở thành loại I sau khi đặt ẩn phụ: 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình (2)
GIẢI
Nhận xét: Hệ trên vốn không đối xứng.
Đặt t= - y ta được hệ đối xứng: 
Đặt , điều kiện ta được: 
.
Với ta có: 
=> x, t là nghiệm của phương trình u2 – 2u + 1 = 0 => u = 1
Vậy x= t =1. t = 1 => y = -1.
Vậy hệ (1) có nghiệm duy nhất (1; -1)
ii) Trong một số trường hợp ta đặt ẩn phụ u = u(x); v = v(x) và sau đó đặt thì ta sẽ được hệ phương trình đơn giản hơn so với việc đặt 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình (3)
GIẢI
Đặt thì (3) trở thành (3’)
Đặt , hệ (3’) trở thành 
=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0 
=> (3’) có nghiệm (2;3) hoặc (3;2) => Hệ phương trình (2) có 2 nghiệm (1;2); (2;1)
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình (4)
GIẢI
Nhận xét: Nếu đặt ta thu được hệ (-> phức tạp)
Đặt thì (4) trở thành 
=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 8t + 12 = 0 
Vậy Do đó ta có hoặc 
Vậy (4) có 8 nghiệm (1; 2); (1:-3); (-2;2); (-2;-3) và (2; 1); (-3:1); (2;-2); (-3;-2) 
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình (5)
GIẢI
Nhận xét: Nếu đặt như thông thường thì sẽ dẫn tới 1 hệ phương trình phức tạp.
Điều kiện: 
Đặt thì (5) trở thành (5’)
Đặt điều kiện . Hệ phương trình (5’) trở thành: 
=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 4 = 0 
Vậy 
Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm duy nhất là (1;1).
iii) Có những hệ phương trình đối xứng loại I không giải được theo cách giải quen thuộc. Ta phải dùng ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng giải được theo phương pháp quen thuộc.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình (6)
GIẢI
Điều kiện x, y 0.
Nhận xét: Đây là hệ đối xứng loại I không giải được theo phương pháp quen thuộc.
Đặt u = ; v = thì hệ (6) trở thành (6’)
Giải như ví dụ 1 ta được kết quả nghiệm của (6’) là (2;3) ; (3;2)
=> (6) có nghiệm: (4;9); (9; 4)
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình (7)
GIẢI
Điều kiện x, y 0.
Đặt thì hệ (7) trở thành (7’)
Giải theo phương pháp thông thường 1 ta được kết quả nghiệm của (7’) là (2;1) ; (1;2)
=> nghiệm của hệ (7): (64; 1); (1; 64)
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình (8)
GIẢI
Nhận xét: Đây là hệ phương trình đối xứng loại I đối với 2 ẩn x, y và không giải được theo cách giải quen thuộc.
Dùng ẩn phụ đặt u = ; v = đưa hệ (8) về dạng (8’)
Hệ (8’) giải được theo phương pháp quen thuộc. Ta thu được kết quả nghiệm của (8) là ; ; ; ; ; ; ; 
* Nhiều hệ ở dang ban đầu chưa thấy sự xuất hiện ẩn phụ, trong trường hợp này ta cần sử dụng một vài phép biến đổi phù hợp.
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình (9)
GIẢI
Điều kiện x, y >0.
(9) 
Đặt Khi đó ta có hệ 
=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 10t + 25 = 0 vậy (9’) 
Giải hệ (9’) ta được nghiệm là (4;4)
=> Vậy hệ (9) có nghiệm duy nhất (4;4)
iv) Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình dối xứng loại I ta không thể giải được theo cách giải quen thuộc và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về cách giải “quen thuộc” khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết. 
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình (10)
GIẢI
Điều kiện x, y >.
Nếu xy thì (10) (10’)
Ta nhận thấy = >0 và suy ra (x; y) : x= y không thỏa hệ.
Với x = y thì (10) 
Vậy hệ phương trình (10) có nghiệm duy nhất (2; 2).