Toán 10 - Một số công thức lượng giác

 1

 MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC  
I/ Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 
Tính chất: 
1 sinα 1, α
1 cosα 1, α
• − ≤ ≤ ∀
• − ≤ ≤ ∀
sin(α 2π) sinα , 
cos(α 2π) cosα , 
k k
k k
• + = ∈
• + = ∈
ℤ
ℤ
tan(α π) tanα, 
cot(α π) cotα, 
k k
k k
• + = ∈
• + = ∈
ℤ
ℤ
 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: 
O 
A 
y 
x 
Tr
ục
ta
n
g 
M 
H 
K T 
S B Trục cotang T
rụ
c 
sin
Trục cosin α 
M( ; )
sinα
cosα
π
tanα α π,
2
cotα (α π, )
x y
OK y
OH x
yAT k k
x
xBS k k
y
• = =
• = =
 
• = = ≠ + ∈ 
 
• = = ≠ ∈
ℤ
ℤ
 2
Góc 
0 π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π 
3π
2
 2π 
o0 o30 o45 o60 o90 o120 o135 o150 o180 o270
o360 
sin 0 1
2
2
2
3
2
 1 3
2
2
2
1
2
 0 1− 0 
cos 1 3
2
2
2
1
2
 0 1
2
− 
2
2
− 
3
2
− 1− 0 1 
tan 0 
1
3
 1 3  3− 1− 
1
3
− 0  0 
cot  3 1 
1
3
 0 
1
3
− 1− 3−  0  
II/ Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt 
Hai góc đối nhau: α và ( )−α Hai góc bù nhau: α và ( )−π α 
sin( ) sin
cos( ) cos
α α
α α
• − = −
• − =
tan( ) tan
cot( ) cot
α α
α α
• − = −
• − = −
sin(π ) sin
cos(π ) cos
α α
α α
• − =
• − = −
tan(π ) tan
cot(π ) cot
α α
α α
• − = −
• − = −
III/ Các hệ thức cơ bản 
 
2 2sin α cos α 1+ =  sinα πtanα , (α π)
cosα 2
k= ≠ +  cosαcotα ,(α π)
sinα
k= ≠ 

π
tanα.cotα = 1, α
2
k ≠ 
 
 
2
2
1 π1 tan α, α π
cos α 2
k = + ≠ + 
 
 
2
2
1 1 cot α,(α π)
sin α
k= + ≠ 
Hai góc hơn kém nhau pi : α và ( )+ πα 
sin( π) sin
cos( π) cos
α α
α α
• + = −
• + = −
tan( π) tan
cot( π) cot
α α
α α
• + =
• + =
Hai góc hơn kém nhau π
2
: α và  + 
 
π
2
α 
π
sin cos
2
π
cos sin
2
α α
α α
 
• + = 
 
 
• + = − 
 
π
tan cot
2
π
cot tan
2
α α
α α
 
• + = − 
 
 
• + = − 
 
Hai góc phụ nhau: α và  − 
 
π
2
α 
π
sin cos
2
π
cos sin
2
α α
α α
 
• − = 
 
 
• − = 
 
π
tan cot
2
π
cot tan
2
α α
α α
 
• − = 
 
 
• − = 
 
Cách nhớ: 
sin bù, cos đối, 
 phụ chéo; 
tan , cot khác pi
!!! 
 3
VI/ Công thức cộng 
	 sin(α β) sinα.cosβ cosα.sinβ+ = + 
	 sin(α β) sinα.cosβ cosα.sinβ− = − 
	 cos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ+ = − 
	 cos(α β) cosα.cosβ sinα.sinβ− = + 
tanα tanβ
tan(α β)
1 tanα.tanβ
+
+ =
−
tanα tanβ
tan(α β)
1 tanα.tanβ
−
− =
+
cotα.cotβ 1
cot(α β)
cotα cotβ
−
+ =
+
cotα.cotβ 1
cot(α β)
cotα cotβ
+
− = −
−
V/ Công thức nhân đôi 
2
2 2
2
 1 2sin α
cos2α cos α sin α
 2cos α 1
−
= −
−
	 sin 2α 2sinα.cosα= 
	 2
2 tanα 
tan 2α
1 tan α
=
−
VI/ Công thức nhân ba 
3sin3α 3sinα 4sin α= − 	 3cos3α 4cos α 3cosα= − 	
3
2
3tanα tan α
tan3α
1 3tan α
−
=
−
VII/ Công thức hạ bậc 
1
sinα.cosα sin 2α
2
= 	 
2 1 cos2αsin α
2
−
= 	 
2 1 cos2αcos α
2
+
= 
2 1 cos2αtan α
1 cos2α
−
=
+
3 3.sinα sin3αsin α
4
−
= 	 
3 3.cosα cos3αcos α
4
+
= 
VIII/ Công thức tính sinα, cosα, tanα theo t tan α=
2
	 2
2t
sinα
1 t
=
+
2
2
1 t
cosα
1 t
−
=
+
	 2
2t
t anα
1 t
=
−
2
 1 t
cotα
2t
−
= 
IX/ Công thức biến đổi TÍCH thành TỔNG 
	 [ ]1cosα.cosβ cos(α β) cos(α β)
2
= + + − 	 [ ]1sinα.cosβ sin(α β) sin(α β)
2
= + + − 
	 [ ]1sinα.sinβ cos(α β) cos(α β)
2
= − + − − 	 [ ]1cosα.sinβ sin(α β) sin(α β)
2
= + − − 
X/ Công thức biến đổi TỔNG thành TÍCH 
	 cos cos 2.cos .cos
2 2
x y x y
x y + −+ = 	 sin sin 2.sin .cos
2 2
x y x y
x y + −+ = 
	 cos cos 2.sin .sin
2 2
x y x y
x y + −− = − 	 sin sin 2.cos .sin
2 2
x y x y
x y + −− = 
sin( )
tan tan
cos .cos
x y
x y
x y
+
+ = 	 
sin( )
cot cot
sin .sin
x y
x y
x y
+
+ = 
sin( )
tan tan
cos .cos
x y
x y
x y
−
− = 	 
sin( )
cot cot
sin .sin
x y
x y
x y
−
− = − 
 4
XI/ Công thức thường gặp 
2 2sin α 1 cos α (1 cosα)(1 cosα)= − = − + 
21 cos2α 2cos α+ = 
21 sin 2α (sinα cosα)± = ± 
2 2cos α 1 sin α (1 sinα)(1 sinα)= − = − + 
21 cos2α 2sin α− = 
2sin 2α (sinα cosα) 1= + − 
π
 2 sin α
4
sinα cosα
π
 2 cos α
4
 
+ 
 
+ =
 
− 
 
π
 2sin α
3
sinα 3 cosα 
π
 2cos α
6
 
+ 
 
+ =
 
− 
 
π
 2sin α
6
3sinα cosα
π
 2cos α
3
 
+ 
 
+ =
 
− 
 
π
 2 sin α
4
sinα cosα
π
 2 cos α
4
 
− 
 
− =
 
− + 
 
π
 2sin α
3
sinα 3 cosα 
π
 2cos α
6
 
− 
 
− =
 
− + 
 
π
 2sin α
6
3sinα cosα
π
 2cos α
3
 
− 
 
− =
 
− + 
 
	 Tổng quát: ( ) ( )2 2 2 2.sin .cos sin α cos βa x b x a b x a b x+ = + + = + − 
2
cotα tanα
sin 2α
+ = 	 cotα tanα 2cot 2α− = 
π 1 tanα
tan α
4 1 tanα
+ 
+ = 
− 
π 1 tanα
tan α
4 1 tanα
− 
− =  + 
π π 1
sinα.sin α .sin α sin3α
3 3 4
   
− + =   
   
π π 1
cosα.cos α .cos α cos3α
3 3 4
   
− + =   
   
2 2sin α cos α 1+ = 
2 2sin α cos α (sinα cosα)(sinα cosα)− = − + 
3 3sin α cos α (sinα cosα)(1 sinα.cosα)+ = + − 
3 3sin α cos α (sinα cosα)(1 sinα.cosα)− = − + 
4 4 2 2 21 3 1sin α cos α 1 2sin α.cos α 1 sin 2α cos4α
2 4 4
+ = − = − = + 
4 4 2 2sin α cos α sin α cos α cos2α− = − = − 
6 6 2 2 23 5 3sin α cos α 1 3sin α.cos α 1 sin 2α cos4α
4 8 8
+ = − = − = + 
6 6 2 2 2 2 2 2sin α cos α (sin α cos α)(1 sin α.cos α) cos2α.(1 sin α.cos α)− = − − = − − 
 ☺