Toán 10 - Chuyên đề: Phương pháp toạ độ trong không gian

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Tọa độ của véc tơ. (trong không gian với hệ tọa độ Oxyz với các véc tơ đơn vị tương ứng là ) ta có:
Cho và ta có: 
Tọa độ của điểm 
Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) ta có:
M là trung điểm AB thì M
G là trọng tâm tam giác ABC thì G
Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng
Tích có hướng của và là :
Tính chất
, 
vàcùng phương
,, đồng phẳng Û 
Diện tích tam giác :
Thể tích khối hộp:
VABCDA’B’C’D’ =
Thểtích tứ diệnVABCD=
BÀI TẬP 
Cho bốn điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0), D(1 ; 2 ; 1).
Chứng minh ABC là tam giác vuông. 
Tính bán kính đường tròn nội, ngọai tiếp tam giác ABC.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1 ; 1 ; 0), B0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1 ; 1 ; 1)
Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD.
Tính độ dài đường cao của khối tứ diện kẻ từ A.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Cho ba điểm A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6).Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
Tìm trên Oy điểm cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
Tìm trên mặt phẳng Oxz cách đều ba điểm A(1 ; 1; 1), B(-1 ; 1 ; 0),C(3 ;1 ; -1).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3).
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Tính thể tích hình hộp.
Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’.
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên đoạn A’C.
§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Nếu hai véc tơ và là hai véc tơ không cùng phương có giá song song (hoặc nằm trên (P) thì khi đó là một véc tơ pháp tuyến của mp(P).
PTTQ của (P) có dạng: nhận là một vtpt của (P)
PT mp(P) đi qua điểm nhận làm vtpt sẽ có phương trình dạng 
PT mp theo đoạn chắn (đi qua 3 điểm ): 
Vị trí tương đối giữa hai mp. Công thức khoảng cách từ một điểm đến mp. Góc giưa hai mp.
BÀI TẬP. 
Cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC).
Trong không gian tọa độ Oxyz cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z - 6=0
Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P).
Viết phương trình tham số ,chính tắc đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mặt mp(P).
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): . Viết PT mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Trong hệ tọa Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z - 5=0 và (Q): mx - 6y - 6z + 2=0. Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, khi đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Cho 4 điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua A, B cách đều C và D.
Cho . Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông (Q) đồng thời O cách (R) một khoảng bằng 2.
Viết phương trình (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC đều và có diện tích là 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng .
Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON.
Viết phương trình (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C biết rằng (P) đi qua các điểm đồng thời khoảng cách từ điểm O đến (P) là 
Cho các điểm . Viết phương trình (P) qua A cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm B, C sao cho trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng AM.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ với . Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc , biết 
 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua , (P) vuông góc với (Q): đồng thời (P) tạo với (yOz) một góc 450.
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm và mặt phẳng (P) có phương trình . Mặt phẳng đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho . Viết phương trình mặt phẳng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 
§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN
PT tham số của đt quaM0(x0;y0;z0) có vectơ chỉ phương , là 
Nếu thì PT đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau: 
Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng có vtcpđi qua Movà có vtcp đi qua Mo’. Khi đó ta có: 
(d) / / (d’) Û 
(d) ≡ (d’) Û 
(d) cắt (d’) Û 
(d) chéo (d’) Û 
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua M(x0;y0;z0) có vtcp và(α): Ax+By+Cz+D=0 cóvtpt Khi đó ta có: 
(d) cắt (α) Û 
(d) // (α) Û 
(d) nằm trên mp(α) 
Û 
BÀI TẬP
Viết phương trình tham số,chính tắc của đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2).
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Viết phương trình tham số ,chính tắc của đuờng thẳng d là phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm . Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại G.
Trong không gian Oxyz, cho điểm và hai đ.t Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P), vuông góc và cắt.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) cắt cả d1 và d2.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Gọi A là giao điểm của d với (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P), biết qua A vuông góc với d.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng . Lập phương trình đường thẳng đi qua H, cắt d và song song với (P): .
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): (Q): , (d1): ,(d2): . Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và hai đường thẳng (d1): , (d2): . Viết phương trình đường thẳng (D) song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2) tại điểm E có hoành độ bằng 3.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng .
Chứng minh rằng hai đường thẳng (D) và (D’) cùng nằm trong mp (). Viết phương trình (α) 
Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc và cắt cả hai đường (D) và (D’) .
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và d1: , d2: 
Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.
Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.
Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau:
 và 
và 
 và 
Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong các trường hợp sau:
 và 
 và 
 và 
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong các trường hợp sau:
 và 
 và 
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
 và 
 và 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) và đường thẳng d: .Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
§4. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: . (1)
Dạng 2: (2). Khi đó: Mặt cầu có tâm I(-a; -b; -c), bán kính .
 Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng Tính: . 
; tại 2 điểm phân biệt;
 tiếp xúc nhau, gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:
	Cho mc (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và Đặt .
;
 là đường tròn với H là h c của I trên (P).
 tiếp xúc tại điểm H là hc của I trên (P), (P) là tiếp diện của mặt cầu (S).
BÀI TẬP
Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) và tiếp xúc với mp(ABC) với:A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3).
Cho và . Viết phương trình (OAB), biết B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình: và hai mặt phẳng . Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm trên (d) và tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên.
Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2).
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng . Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (ACC1B1).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm và mặt phẳng . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng và đi qua ba điểm . 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm , đường thẳng D: và mặt phẳng (P): . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng . Từ đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và tiếp xúc với (S).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho và mặt cầu (S): và hai điểm A(1;0;0), B(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một hình tròn có diện tích .
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (): . Viết phương trình mặt phẳng () song song với và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 
Trong Oxyz, cho 
 Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng.
Tìm điểm A trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 6 = 0 là lớn nhất, nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và điểm I (0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 
2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
Trong kg Oxyz, cho đường thẳng D : và mặt phẳng (P) : 2x - y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng D, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2-2x+4y+2z-3=0 và mặt phẳng (P): 2x -y + 2z -14 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng (P): và mặt cầu (S): . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. 
§5. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm và mặt phẳng . Tìm điểm sao cho .
Bài 3. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính .
Bài 4. Cho 4 điểm . Viết phương trình mặt phẳng qua A, B cách đều C và D.
Bài 5. 
Bài 6. Cho và . Viết phương trình (OAB), biết B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài 7. 
Bài 8. Viết phương trình (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C biết rằng (P) đi qua các điểm đồng thời khoảng cách từ điểm O đến (P) là .
Bài 9. Cho các điểm . Viết phương trình (P) qua A cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm B, C sao cho trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng AM.
Bài 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng .
Bài 11. 
Bài 12. Lập phương trình mp đi qua các điểm đồng thời tiếp xúc với mặt cầu 
Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc a thoả mãn .
Bài 14. Lập phương trình mp(P) đi qua điểm , biết rằng (P) vuông góc với (Q): đồng thời (P) tiếp xúc với 
Bài 15
Bài 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm ,,. Viết phương trình mặt phẳng đi qua và gốc tọa độ sao cho khoảng cách từ đến bằng khoảng cách từ đến .
Bài 17. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua biết rằng (P) tạo với các trục Ox, Oy các góc 450 và 300.
Bài 18. .
Bài 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với , , , . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Bài 20. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua A(0;-1;2), B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): .
Bài 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho các điểm Viết phương trình mặt phẳng đi qua sao cho cắt lần lượt tại thỏa mãn diện tích của tam giác bằng 
Bài 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho các điểm Viết phương trình mặt phẳng đi qua sao cho cắt tại thỏa mãn thể tích của tứ diện bằng 3. 
Bài 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt cầu . Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và cắt mặt cầu trên theo một đường tròn có bán kính bằng .
Bài 24. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(1; -2; 3), B(1; 2; -1), C(1; 6; 3), D(5; 2; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và đồng thời cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng .
Bài 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng .