Toán 10 - Chương VI: Lượng giác

CHƯƠNG VI. LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a. A = sin 50° cos (–300°)	b. B = sin 215° tan (3π)
c. C = 
Bài 2. Cho 0° < α < 90°. Xét dấu của các biểu thức sau:
a. sin (α + π/2)	b. cos (α – 45°)	c. cos (270° – α)
d. cos (2α + 90°)	e. sin (α + 270°)
Bài 3. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức
a. A = sin A + sin B + sin C	b. B = sin A sin B sin C
c. C = 	d. D = 
Bài 4. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.
a. cos a = 4/5; với 270° < a < 360°. Tính sin a, tan a, cot a
b. sin a = 5/13; với π/2 < a < π. Tính cos a, tan a, cot a
c. tan a = 3; với π < a < 3π/2. Tính sin a, cos a, cot a.
d. cot a = 2; với π < a < 3π/2. Tính sin a, cos a, tan a.
e. Cho cos α = –12/13; và π/2 < α < π. Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α.
f. Cho cot α = 2 và 0 < α < π/4 . Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α.
g. Cho sin 2α = –5/9 và π/2 < α < π. Tính sin α, cos α, tan α.
h. Cho cos 2α = 5/13 và 3π/2 < α < 2π. Tính sin α, cos α, tan α.
Bài 5. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức
a. Tính 	với sin a = 3/5 và 0 < a < π/2
b. Tính với cot a = –3
c. Tính với tan a = 2
d. Tính với cos a = –2/3
Bài 6. Cho sin a + cos a = 5/4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A = sin a cos a	b. B = sin³ a + cos³ a
Bài 7. Cho tan a + cot a = 5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A = tan² a + cot ² a	b. B = tan³ a + cot³ a
Bài 8. Cho 3sin4 x + cos4 x = 3/4. Tính A = sin4 x + 3cos4 x
Bài 9. Cho 3sin4 x + cos4 x = 1/2. Tính B = sin4 x + 3cos4 x
Bài 10. Cho 5(sin x + cos x) = 1. Tính sin x, cos x, tan x
Bài 11. Cho tan x + cot x = 4. Tính sin x, cos x, tan x, cot x
Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau:
a. A = cos (π/2 + x) + cos (3π + x) + sin (x + π/2)
b. B = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin (7π/2 – x) + tan (π + x)
c. C = 2sin (π/2 + x) + sin (5π – x) + sin (3π/2 + x) + cos (π/2 + x)
d. D = cos (5π – x) – sin (3π/2 + x) + tan (3π/2 – x) + cot (3π – x)
e. E = 
Bài 13. Tính giá trị các biểu thức
a. 
b. B = cos 20° + cos 40° + cos 60° + ... + cos 160° + cos 180°
c. C = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°
d. D = sin 20° + sin 40° + sin 60° + ... + sin 360°
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin4 x + cos4 x = 1 – 2cos² x sin² x
b. sin6 x + cos6 x = 1 – 3cos² x sin² x
c. sin8 x + cos8 x = 1 – 4sin² x cos² x + 2 sin4 x cos4 x
d. (cot² x – cos² x)(tan² x – sin² x) = cos² x sin² x
e. 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x)
f. 
g. 	h. 
i. 	j. 
Bài 15. Cho với a, b > 0. Chứng minh rằng 
Bài 16. Rút gọn các biểu thức sau:
a. A = (tan x + cot x)² – (tan x – cot x)²	b. B = 
c. C = (x sin a – y cos a)² + (x cos a + y sin a)²
Bài 17. Chứng minh các biểu thức độc lập đối với x.
a. A = (sin4 x + cos4 x – 1)(tan² x + cot² x + 2)
b. B = 
c. C = 
Bài 18. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a. 	b. cos (A + B – C) = –cos 2C
c. 	d. 
Bài 19.
a. Tính tan (α + π/3) nếu sin α = 3/5 và π/2 < α < π
b. Tính cos (π/3 – α) nếu sin α = –12/13 và 3π/2 < α < 2π
c. Tính sin (a – b), cos (a + b), tan (a + b) biết sin a = 8/17, tan b = 5/12, 0 < a, b < π/2.
d. Tính tan a + tan b, tan a, tan b nếu 0 < a, b < π/2; a + b = π/4 và tan a tan b = 3 – 2. Từ đó suy ra giá trị a và b.
Bài 20. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a. A = sin² 20° + sin² 90° + sin² 100° + sin² 140°
b. B = tan 20° tan 80° + tan 80° tan 140° + tan 140° tan 20°
c. C = 
d. D = tan 15° + cot 15°
Bài 21. Chứng minh
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Bài 22. Chứng minh
a. 2tan a = tan(a + b) nếu sin b = sin a cos (a + b)
b. tan a tan b = nếu cos (a + b) = 2cos (a – b)
Bài 23. Cho tam giác ABC. Chứng minh
a. với A, B ≠ 90°.
b. tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C với ABC không là tam giác vuông
c. cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
d. 
e. 
f. 
Bài 24. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a. tan A + tan B + tan C ≥ với ABC nhọn
b. tan² A + tan² B + tan² C ≥ 9 với ABC nhọn
c. tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≥ 
Bài 25.
a. Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x biết cos x = –5/13; với π < x < 3π/2
b. Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x nếu tan x = 2
Bài 25. Tính giá trị của biểu thức.
a. A = cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°
b. B = sin 10° sin 50° sin 70°
c. 
d. D = cos 10° cos 50° cos 70°
e. E = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°
f. F = 
g. G = sin 5° sin 15° sin 25° ... sin 75° sin 85°
h. H = cos 10° cos 20° cos 30° ... cos 70° cos 80°
i. I = 
j. 
Bài 27. Chứng minh
a. 
b. 
c. 
Bài 28. Chứng minh các hệ thức:
a. 	b. 
c. 	d. 
e. với 0 < x < π/2
Bài 29. Chứng minh:
a. 4cos x cos (π/3 – x) cos (π/3 + x) = cos 3x	b. 4sin x sin (π/3 – x) sin (π/3 + x) = sin 3x
Áp dụng tính:
A = sin 10° sin 50° sin 70° và B = cos 10° cos 50° cos 70°.
Bài 30. Biến đổi thành tích:
a. 1 – 3 tan² x	b. sin 2x + sin 4x + sin 6x
c. 3 + 4 cos 4x + cos 8x	d. sin 5x + sin 6x + sin 7x + sin 8x
e. 1 + sin 2x – cos 2x – tan 2x	f. cos 2x + sin 2x + 1
Bài 31. Rút gọn các biểu thức sau:
a. 	b. 
c. 
Bài 32. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. 	b. B = 
c. C = tan 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81°
Bài 33. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. A = 
b. B = 16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90°
c. C = 
d. D = 2()
e. E = 
f. F = 
Bài 34. Chứng minh
a. tan 20° – tan 40° + tan 80° = 3
b. tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° = cos 20°.
Bài 35. Tính các tổng sau:
a. A = cos α + cos 3α + cos 5α + ... + cos (2n – 1)α; với α ≠ kπ
b. B = 
c. C = 
d. D = với a = π/5
e. E = 
Bài 36. Tính 	ĐS: 
Bai 37. Tính 
ĐS: 
Bài 38. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. 	b. 
c. tan 6x – tan 4x – tan 2x = tan 2x tan 4x tan 6x
d. 
e. cos 5x cos 3x + sin 7x sin x = cos 2x cos 4x
Bài 39. Cho sin (2a + b) = 5 sin b. Chứng minh: .
Bài 40. Cho tan (a + b) = 3 tan a. Chứng minh: sin (2a + 2b) + sin 2a = 2 sin 2b.
Bài 41. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a. 
b. 
c. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
d. cos² A + cos² B + cos² C = 1 – 2 cos A cos B cos C
e. sin² A + sin² B + sin² C = 2 + 2 cos A cos B cos C
Bài 42. Tìm các góc của tam giác ABC biết B – C = π/3 và 2 sin B sin C = 1.
Bài 43. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC vuông là
a. cos 2A + cos 2B + cos 2C = –1	b. 
Bài 44. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC cân tại C là 
Bài 45. Chứng minh bất đẳng thức
a. sin A + sin B + sin C ≤ 	HD: cộng thêm sin (π/3)
b. cos A + cos B + cos C ≤ 3/2	HD: cộng thêm cos (π/3)
c. 8cos A cos B cos C ≤ 1	HD: Biến đổi cos A cos B cos C – 1/8 về dạng hằng đẳng thức.