Tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác

TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG 
Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 1 
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;6), B(-3; -4), C(5;0). 
a. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của ABC. 
b. Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. 
c. Tìm tọa độ D là giao điểm của đường thẳng BC và đường phân giác ngoài của góc A. 
d. Tìm tọa độ J là tâm đường tròn nội tiếp ABC. 
e. Tìm tọa độ K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của ABC. 
 (ĐS:  
4 2 1
; , 5;0 , I ;1 , (17;6), (2;1), (2; 9)
3 3 2
   
   
   
G H D J K ) 
 a. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của ABC 
 ■ Phân tích tìm lời giải: 
● Không quá khó để tìm tọa độ G do đã biết cả 3 tọa độ của 3 đỉnh A, B, C 
● Để tìm tọa độ điểm H ta dựa vào tính chất của trực tâm  AH  BC và BH  AC  chuyển về 
tích vô hướng giữa 2 véctơ để giải  tìm được tọa độ H. 
 ► Hướng dẫn giải: 
 * Do G là trọng tâm ABC nên ta có: 
A B C
G
A B C
G
x x x 2 3 5 4
x
4 23 3 3
G ;
y y y 6 4 0 2 3 3
y
3 3 3
   
    
  
        

 * Gọi H(x H; y H) là tọa độ trực tâm của ABC  
AH BC
BH AC



 (*) với 
AH (x 2; y 6)
BH (x 3; y 4)
BC (8;4)
AC (3; 6)
   

  



 
 Do đó (*)  
AH.BC 0 8(x 2) 4(y 6) 0 x 5
H(5;0)
3(x 3) 6(y 4) 0 y 0BH.AC 0
       
    
      
 b. Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 
 ■ Phân tích tìm lời giải: 
Để tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC khi đã biết tọa độ của 3 đỉnh A, B, C ta có thể giải 
theo 3 cách sau: 
 ● Cách 1: Gọi tọa độ I(x;y), vận dụng định nghĩa của tâm I là cách đều ba đỉnh tam giác 
  
IB IC
IB IA



 ● Cách 2: Lập pt d 1, d 2 lần lượt là phương trình trung trực của cạnh AB, BC ta có d 1  d 2 = I 
(vận dụng cách dựng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực) . 
TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG 
Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 2 
● Cách 3: Gọi dạng khai triển của pt đường tròn (C) ngoại tiếp ABC: 2 2x y 2ax 2by c 0     , 
trong đó I(a;b) chính là tọa độ cần tìm. Lần lượt thay tọa độ A, B, C vào pt khai triển  giải hệ 3 pt 
3 ẩn tìm I. 
● Cách 4: Ta cũng có thể vận dụng quan hệ thẳng hàng giữa trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường 
tròn ngoại tiếp I đó chính là IH 3IG (H và G là tọa độ đã tìm được ở câu a). 
● Cách 5: Ta cũng có thể gọi M là trung điểm BC, dựa vào tính chất AH 2IM  giải tìm I. 
● Cách 6: Bằng cách tính tất cả các cạnh để kiểm tra ABC có là tam giác đặc biệt ? 
 + Giả sử: ABC vuông tại A thì trung điểm cạnh huyền BC chính là tâm I 
 + Giả sử: ABC đều thì trọng tâm G của tam giác ABC chính là tâm I 
 + Giả sử: ABC cân tại A có góc BAC 120 thì tâm I chính là đỉnh thứ 4 của hình thoi ACDB. 
► Hướng dẫn giải cách 1: 
 * Gọi I(x I; y I) là tọa độ tâm đường tròn ngoài tiếp ABC  
IB IC
IC IA



(*) 
 * Với 
I I
I I
I I
AI (x 2; y 6)
BI (x 3; y 4)
CI (x 5; y )
   

  

 
 do đó (*)  
2 2
2 2
CI BI
CI AI
 



2 2 2 2
I I I I
2 2 2 2
I I I I
(x 5) y (x 2) (y 6)
(x 5) y (x 3) (y 4)
      

     
 
I I I
I I I
10x 25 4x 4 12 y 36
10x 25 6x 9 8y 16
      

     
 (nhận xét x I2 ; y I2 đều bị triệt tiêu nên ta khai triển 
nhanh) 
 
I I I
I I
I
1
6x 12 y 15 x 1
I ;12
16x 8y 0 2
y 1

      
    
      
► Hướng dẫn giải cách 2: Gọi d 1, d 2 lần lượt là trung trực của cạnh AB, BC 
 * Gọi 
1
M ;1 ,N(1; 2)
2
 
 
 
 lần lượt là trung điểm AB, AC. 
 * Ta có d 1 qua 
1
M ;1
2
 
 
 
 nhận AB ( 5; 10)   làm vtpt có dạng là : 
TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG 
Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 3 
1
1
5(x ) 10(y 1) 0 (d ) : 2x 4y 3 0
2
         
 * Ta có d 2 qua  N 1; 2 nhận BC (8;4) làm vtpt có dạng là : 
28(x 1) 4(y 2) 0 (d ) : 2x y 0       
 * Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  I = (d 1)  (d 2)  tọa độ I là nghiệm của hệ: 
1
2x y 0 x 1
I ;12
2x 4y 3 0 2
y 1
 
      
    
      
► Hướng dẫn giải cách 3: 
 * Gọi phương trình dạng khai triển của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC là: 
2 2(C) : x y 2ax 2by c 0     với tâm I(a; b) 
 * Ta có 
1
a
A (C) 4a 12b c 40 (1) 2
1
B (C) 6a 8b c 25 (2) b 1 I ;1
2
C (C) 10a c 25 (3) c 30

      
   
           
          

► Hướng dẫn giải cách 4: 
 * Nhận xét I, H, G thẳng hàng và đặc biệt IH 3IG (phần chứng minh kết quả bổ đề này mời các 
bạn xem ở chương 1). Do đó IH 3IG  
I I
I
II I
4
15 x 3( x )
x 13
I ;12
2 2
y 10 y 3( y )
3

        
    
      
► Hướng dẫn giải cách 5: Gọi M(1; -2) là trung điểm BC 
 * Nhận xét AH 2IM (phần chứng minh kết quả bổ đề này mời các bạn xem ở chương 1). 
* Do đó AH 2IM  
I I
I
I
1
5 2 2(1 x ) x 1
I ;12
0 6 2( 2 y ) 2
y 1

      
    
       
► Hướng dẫn giải cách 6: 
 * Ta có 
AB ( 5; 10) AB 5 5
BC (8;4) BC 4 5
AC (3; 6) AC 3 5
     

  

   
* Nhận xét BC2 + AC2 = AB2 (theo định lý Py-ta-go đảo)  ABC  C  tâm đường tròn 
ngoại tiếp ABC chính là trung điểm cạnh huyền AB  
A B
I
A B
I
x x 1
x
12 2
I ;1
y y 2
y 1
2
 
    
  
    

 (hoặc nhận xét BC.AC 0  ABC  
C) 
■ Lời bình cho câu b: Qua các cách giải đã trình bày ở câu b, chúng ta rút ra vài nhận xét sau: 
Một là, đề cập đến việc xác định tâm đường tròn ngoại tiếp với những tam giác đặc biệt thì chúng 
ta có những lưu ý sau: 
TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG 
Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 4 
Hai là, mỗi cách trên đều có cái hay riêng của nó, có cách thì vận dụng tính chất hình học, các kết 
quả đẹp từ đường tròn (cách 4 và cách 5), có cách vận dụng nội tại của định nghĩa và tính xây dựng của 
điểm (cách 1 và cách 2), có cách thì vận dụng phương trình đường tròn trong hình tọa độ Oxy (cách 3), 
đặc biệt là cách 6 với việc tính toán kiểm tra các dạng hình để rút ra những kết luận quan trọng. 
c.Tìm tọa độ D là giao điểm của đường thẳng BC và đường phân giác ngoài của góc A. 
■ CÁCH 1: 
■ Phân tích tìm lời giải: 
● Yêu cầu của đề là tìm tọa độ D  AD  BC = D  như vậy ta cần viết pt BC và pt AD. 
● AD là phân giác ngoài góc A của ABC  AD  AE (2 phân giác vuông góc nhau) 
● Ở đây ta có thể có những cách nào để viết phương trình AD ? 
 + Hướng thứ 1: Ta có thể viết phương trình AC và AB sau đó dùng công thức lập pt đường 
phân giác trong và ngoài của góc A. 
 + Hướng thứ 2: Ta tìm tọa độ E là chân đường phân giác trong kẻ từ A thông qua tỉ số của 
chân đường phân giác với các cạnh là 
AC
AB
 = 
CE
EB
  AD qua A và AD  AE. 
● Xin được trình bày lời giải cách 1 theo hướng thứ 1. 
► Hướng dẫn giải cách 1: 
 * Dễ dàng lập được phương trình AB ,AC, BC là 
AB: 2x y 2 0
AC: 2x y 10 0
BC : x 2y 5 0
  

  
   
 * Phương trình đường phân giác tạo bởi AB và AC là: 
2 2 2 10
4 1 4 1
   
 
 
x y x y
Suy ra 
y 6 0
x 2 0
 
  
(Để biết đường thẳng nào là phân giác trong hay ngoài ta có thể xét sự cùng phía của B,C so với các 
đường đó hoặc xét khoảng cách từ B (hoặc C) lần lượt đến hai đường  khoảng cách lớn nhất tương 
ứng với phân giác ngoài). 
TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG 
Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 5 
 * Ta có: B(-3;-4) và C(5; 0): (-4-6).(-6) = 60 > 0  B và C cùng phía so với đường y - 6 = 0  AD: 
y - 6 = 0 chính là đương phân giác ngoài góc A. 
 * Ta có D = AD  BC  tọa độ D là nghiệm của hệ  
y 6 0 x 17
D 17;6
x 2y 5 0 y 6
   
  
   
■ CÁCH 2: Sử dụng tỉ số chân đường phân giác ngoài. 
■ Phân tích tìm lời giải: 
● Ở lớp 8, chúng ta đã được học một định lý về đường phân giác. Cụ thể 
AC
AB
 = 
CE
EB
 = 
DC
DB
● Chúng ta sẽ dựa vào tỉ số đó để chuyển đẳng thức độ dài  đẳng thức véctơ. 
► Hướng dẫn giải cách 2: 
 * Ta có AB = 5 5, AC = 3 5. Theo định lý về đường đường phân giác ta có: 
AC DC 3 3 3 3
DC DB DC BC CD CB
AB DB 5 2 2 2
        (chú ý dấu của véctơ) 
 Suy ra 
D
D
D
D
3
x 5 .8
x 172
D(17;6)
y 63
y 0 .4
2

  
  
  

■ Lời bình cho câu c: Qua việc tìm tọa độ chân đường phân giác ngoài ta rút ra một số kinh nghiệm 
sau: 
Một là, dựa vào tỉ số chân đường phân giác ngoài ta hoàn toàn có thể giải nhanh bài toán này, tuy 
nhiên ta cần chú ý đến dấu giữa các véctơ, về sự cùng hướng, ngược hướng giữa các véctơ. 
Hai là, tuy là cách 1 trình bày tương đối dài và thiên về hướng “lập phương trình đường thẳng” 
(xem chủ đề 2) nhưng cũng cho ta một hướng tiếp cận khác đó chính là xét tọa điểm trong sự tương 
giao giữa các đường. 
d.Tìm tọa độ J là tâm đường tròn nội tiếp ABC. 
■ Phân tích tìm lời giải: 
Có thể có những cách nào để tìm tâm đường tròn nội tiếp ABC (khi đã biết tọa độ 3 đỉnh)? 
 ● Cách 1: Tìm tọa độ E chân đường phân giác trong góc A dựa vào 
EB
EC
 = 
AB
AC
  tâm J chính là chân 
đường phân giác trong góc B của ABE (hoặc chân đường phân giác trong góc C của ACE) 
 ● Cách 2: Lập 2 phương trình đường d 1 và d 2 là phân giác trong của 2 trong 3 góc bất kỳ của ABC 
 J = d 1  d 2  tìm được tọa độ J 
 ● Cách 3: Áp dụng bổ đề: “Cho ABC với BC = a, AC = b, AB = c và J là tâm đường tròn nội tiếp 
của tam giác. Khi đó: aJA bJB cJC 0    tọa độ J. 
► Hướng dẫn giải cách 1: 
 * Gọi AE là đường phân giác trong góc A (E = AE  BC) 
TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG 
Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 6 
Suy ra: 
EB
EC
 = 
AB
AC
 = 
5
3
  
5
EB EC
3

  
3
E 2;
2
 
 
 
 * Mặt khác, ta lại có J chính là chân đường phân giác trong góc B của ABE 
Suy ra: 
JE CE
JA CA
 = 
1
2
  
1
JE JA J(2;1)
2

  
► Hướng dẫn giải cách 2: 
 * Ta có đường phân giác trong góc A là AE: x - 2 = 0. 
 * Phương trình đường phân giác tạo bởi BC và AC là: 
2 5 2 10
4 1 4 1
   
 
 
x y x y
Suy ra 
x 3y 5 0
3x y 15 0
  
   
 * Ta có: A(2;6) và B(-3; -4) thay vào đường x + 3y - 5 = 0 : (2 + 18 - 5).(- 9 + 4 - 15) < 0  B và A 
khác phía so với đường x + 3y - 5 = 0  CJ: x + 3y - 5 = 0 chính là đương phân giác trong góc C. 
 * J = CJ  AE  Tọa độ J là nghiệm của hệ  
x 2 0 x 2
J 2;1
x 3y 5 0 y 1
   
  
   
► Hướng dẫn giải cách 3: 
 * Áp dụng bổ đề: BC.JA AC.JB ABJC 0   (việc chứng minh bổ đề này mới bạn đọc xem ở lý 
thuyết chương 1) 
 * 
J A J B J C
J A J B J C
4(x x ) 3(x x ) 5(x x ) 0
4AJ 3BJ 5CJ 0
4(y y ) 3(y y ) 5(y y ) 0
     
    
     
J J J J
J J J J
4(x 2) 3(x 3) 5(x 5) 0 x 2
J(2;1)
4(y 6) 3(y 4) 5(y 0) 0 y 1
       
   
       
e.Tìm tọa độ K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của ABC. 
■ Phân tích tìm lời giải: 
 ● Để xác định tâm đường tròn bàng tiếp của một góc trước hết bạn cần nắm lại định nghĩa và các 
tính chất liên quan của chúng (bạn có thể tham khảo phần lý thuyết chương 1 và bài toán mẫu của chủ 
đề 1 để hiểu rõ hơn). 
TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG 
Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 7 
 ● Dựa vào định nghĩa và tính chất của tâm đường tròn bàng tiếp một góc trong tam giác ta có thể có 
những hướng giải sau: 
 + Hướng thứ 1: (Dựa vào định nghĩa K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A chính là giao điểm 
giữa phân giác trong góc A và hai đường phân giác ngoài của góc B và C)  như vậy ta chỉ cần lập 
phương trình các đường phân giác là có thể tìm được giao điểm. 
 + Hướng thứ 2: Do K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của ABC nên K sẽ cách đều cạnh 
BC và hai cạnh nối dài AC và AB  d[K;AB] = d[K; BC] = d[K;AC] (hướng đi này sẽ tối ưu hơn nếu 
như ta đã có K  đường phân giác trong góc A). 
► Hướng dẫn giải cách 1: 
 * Ta có đường phân giác trong góc A là AE: x - 2 = 0. 
 * Dựa vào kết quả từ câu d, ta có phương trình đường phân giác ngoài của góc C là 
CK: 3x - y - 15 = 0 
 * K = AE  CK  Tọa độ K là nghiệm của hệ  
x 2 0 x 2
K 2; 9
3x y 15 0 y 9
   
   
    
► Hướng dẫn giải cách 2: 
 * Ta có K  AE: x - 2 = 0  K(2; k) 
 * Do tính chất của K nên ta có d[K;AB] = d[K; BC]  
| 2.2 k 2 | | 2 2k 5 |
4 1 4 1
   

 
 Suy ra |6 - k| = |2k + 3|  
1k 1 K (2;1)
k 9 K(2; 9)
 
    
(loại K 1 vì K 1  J)  K(2; 9) 
CHÚC CÁC EM HỌC TẬP HIỆU QUẢ VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO NHẤT 
TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 
THẦY HỨA LÂM PHONG – FB PHONG LÂM HỨA 
WINDYLAMPHONG@GMAIL.COM 
GROUP TOÁN 3[K] 
TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG 
Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 8 
XIN HÃY TÔN TRỌNG THỜI GIAN 
Có nhiều thứ tôi thích ở VN: những món ăn ngon, bãi biển đẹp, khí hậu ấm áp, mức sống dễ chịu. Tuy nhiên, 
có một điều làm tôi phiền lòng và luôn băn khoăn tìm lý do: vì sao người Việt không bao giờ đúng giờ? 
Mọi người ở đây dường như đi trễ trong bất cứ dịp gì: ăn trưa, 
họp hành, đám tiệc, xem ca nhạc... Tất nhiên là có vài người đến 
đúng giờ nhưng họ là những ngoại lệ hiếm có. 
Khi đến VN, tôi đã nghe những người bạn nước ngoài sống lâu 
năm ở đây nói: “Người VN chỉ tuân theo giờ VN”. Nếu bạn được 
mời lúc 18g thì nên hiểu ngầm là bạn cần đến nơi vào 18g30. 
Được cảnh báo như thế mà tôi vẫn không khỏi bị sốc trong một 
lần đi ăn trưa với một người bạn VN và bị cho chờ đợi 45 phút. 
Làm sao có thể trễ như vậy trong khi mỗi người chỉ có chừng 
một giờ để ăn trưa, nghỉ ngơi? Đối với tôi, điều đó khó chấp 
nhận được. 
Trong những sự kiện quan trọng, ban tổ chức cũng “dung túng” cho 
những người đến trễ, thậm chí gây khó chịu cho những người đúng giờ. 
Một lần tôi tham dự lễ trao giải của một cuộc thi khá nổi tiếng ở Nhà 
hát lớn TP. 
Bạn sẽ nghĩ rằng những người được mời đến tham dự sự kiện quan trọng 
này, những người có cơ hội được xướng danh, được nhận giải thưởng sẽ đến đúng giờ. Tuy nhiên, đã đến 
giờ bắt đầu buổi lễ theo thông tin trên giấy mời nhưng cả hội trường vắng lặng. 
Vì có ít người tham dự nên buổi lễ được dời lại trễ một giờ để... đợi những người đến trễ. Quả thật, một tiếng 
sau đó mọi người đến ngồi chật kín hội trường và buổi lễ được bắt đầu. 
Không chỉ xài “giờ dây thun” trong việc hò hẹn với bạn bè, tham gia hội hè mà nhiều người còn trễ nải trong 
công việc. Vài tuần trước tủ lạnh nhà tôi bị hư. Vì còn thời hạn bảo hành, tôi gọi người đến sửa và được hẹn 
thợ sẽ đến lúc 9g sáng. Tôi đợi mãi đến 10g nhưng vẫn không ai đến. Gọi điện thoại cho công ty thì họ bảo 
chắc chắn sẽ có người đến lúc 11g. Vì có việc riêng và không đợi được nữa, tôi rời khỏi nhà lúc 12g trưa. 
Mãi đến 14g khi ở ngoài đường thì tôi nhận được một cuộc điện thoại từ người thợ sửa tủ lạnh, có phần trách 
móc do lỗi tôi không ở nhà chờ họ. 
Trên những trang web về du lịch VN, người nước ngoài cũng than phiền nhiều người làm dịch vụ du lịch 
không tuân thủ thời gian, dẫn đến tình trạng trễ nải tàu, xe làm du khách rất mệt mỏi. 
Khi lớn lên, tôi được dạy rằng sẽ không ai dung túng sự trễ tràng. Nếu bạn trễ, bạn sẽ bị cho ở lại. Nếu đến 
trễ giờ trình diễn, bạn sẽ không được vào. Nếu đến trễ trong một cuộc phỏng vấn, bạn sẽ mất cơ hội việc 
làm. Nếu đến trễ trong buổi hẹn hò, bạn sẽ gặp rắc rối với bạn gái... 
Ở Mỹ khi có hẹn, tôi thường đến sớm 15 phút vì sự sớm sủa luôn được trân trọng. Tất nhiên không phải ai 
cũng đến đúng giờ nhưng những người đi trễ thường bị người khác nhìn với ánh mắt ái ngại. 
Khó chịu vì khá nhiều lần phải chờ đợi mất thời gian, tôi đã hỏi các bạn VN lý do vì sao người Việt hay đi 
trễ. Câu trả lời phổ biến nhất là do kẹt xe. Tuy nhiên, giao thông trong thành phố lúc nào chẳng gây kẹt xe 
và ai cũng biết điều đó. Nếu có chuẩn bị trước và rời nhà sớm, chắc hẳn bạn sẽ đến nơi đúng giờ. 
Một lý do khác tôi được các bạn giải thích là người Việt không thích mình là người đầu tiên đến sớm. Nếu 
đến sớm, bạn phải chờ một mình và mọi người đều nhìn bạn. Nhưng tại sao các bạn không nghĩ rằng nếu 
mình đến sớm và các bạn của mình cũng đến đúng giờ thì chẳng ai sẽ phải chờ ai quá lâu? 
"Không chỉ xài “giờ dây thun” 
trong việc hò hẹn với bạn bè, 
tham gia hội hè mà nhiều người 
còn trễ nải trong công việc" 
TOÁN HỌC 3[K] – THẦY LÂM PHONG 
Group Toán 3[K] – Kiến thức – Kỹ năng – Kinh nghiệm 9 
Đúng giờ là một điều rất quan trọng. Bạn không chỉ tỏ lòng tôn trọng với người bạn gặp mà còn với chính 
bản thân mình. Tôi hi vọng người Việt sẽ bớt đi trễ và tập thói quen đến đúng giờ. Nếu bạn không tôn trọng 
thời gian của người khác thì ai sẽ tôn trọng thời gian của bạn 
 MAX MURTA (người Mỹ) 
PHƯƠNG THÙY ghi