Tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay

TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 1 
 Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của của hai phép tính 
đạo hàm và tích phân ở phổ thông trung học .Kiến thức vế giới hạn không những 
khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy .Trong tình hình hiện nay để 
cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm .Để giúp giăm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài 
này. 
II.Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy 
số: 
 Quy ước : trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n . 
• Gặp hằng số : C 1010 ,C 2010 . đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C 
là hằng số ( chú ý có thể lớn hơn 10). 
ví dụ -5 1010 ( đọc là âm vô cực ghi  ) 
• Gặp hằng số C 1210 đọc là 0 ( Chú ý số mũ có thể nhỏ hơn – 10 ). 
 ví dụ: 15 1210 đọc là 0 
A. Dãy có giới hạn là 0 
• Ví dụ 1: 
 
5
1
lim


n
n
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy) 
a(z1)^Q)RQ)+5 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: 
 Ta nhập tiếp: 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 2 
10^10= 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
Kq : 111099999995.9  ta đọc là 0 
Vậy 
 
0
5
1
lim 


n
n
• Ví dụ 2: 
1
cos)1(
lim
2 

n
nn
 nếu nhập 
1
cos)1(
2 

x
xx
 calc như trên máy sẽ 
Math ERROR 
- Vận dụng định lý 1 Nếu nn vu  với mọi n và 0lim nv thì 0lim nu . 
- Ta chỉ cần ghi 
1
1
2 x
 calc x ? nhập 1010   kết quả 20101  đọc là 0 
Vậy 0
1
cos)1(
lim
2



n
nn
• Ví dụ 3: 
 
12
1
lim


n
n
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy) 
a(z1)^Q)R2^$Q)+1 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 3 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: 
 Ta nhập tiếp: 100= 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
Vậy 
 
0
12
1
lim 


x
x
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Tìm các giới hạn 
1.
2
)1(
lim
n
n 
 2.
12
)1(
lim


n
n
 3.
5
sin
lim
n
n
 4.
1
2cos
lim
3 n
n
B.Giới hạn hữu hạn : 
• Ví dụ 1: 
 









2
1
2lim
n
n
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: 2+a(z1)^Q)RQ)+2 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 4 
 Ta nhập tiếp: 10^10= 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
vậy 
 









2
1
2lim
n
n
=2 
• Ví dụ 2: 11
4
3sin
lim 






n
n
 vì 
nn
n 1
4
3sin
 mà 0
1
lim 
n
khi đó lim (-1)=-1 
 nên 11
4
3sin
lim 






n
n
• Ví dụ 3 
12
53
lim
2
2


n
nn
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: 
aQ)^2$p3Q)+5R2Q)^2$p1 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
  Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 5 
 Ta nhập tiếp: 10^15= 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
vậy 
12
53
lim
2
2


n
nn
= 0.5 
Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau: 
• Ví dụ 4 : 
75
3342
lim
3
23


nn
nnn
 máy ghi 
75
3342
3
23


nn
nnn
 calc x ? nhập 1510   Kq là – 2 
Vậy 2
75
3342
lim
3
23



nn
nnn
• Ví dụ 5: máy ghi 
423
1132
lim
32
1




XX
XX
 calc x=100 kq 
9
1
Vậy : 
9
1
423
1132
lim
32
1 





nn
nn
• Ví dụ 6: 
nn
n
5.42.3
153.13
lim


 máy ghi 
XX
X
5.423
15313


 calc X ? nhập 100   
1710...19755.3 x đọc là 0 . 
Vậy 0
5.42.3
153.13
lim 


nn
n
 ( chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm ) 
C. Giới hạn vô cực : 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 6 
• Ví dụ 1: 
112
53
lim
2
3


n
nn
 máy ghi 
112
53
2
3


n
nn
 calc x ? nhập 1510   kq 14105 đọc là âm vô cực 
vậy 


112
53
lim
2
3
n
nn
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: 
azQ)^3$p3Q)+5R2Q)d+11 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
  Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: 
 Ta nhập tiếp: 10^15= 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
vậy 


112
53
lim
2
3
n
nn
• Ví dụ 2 :  135lim 2  nn máy ghi :  135 2  nn 
 calc x ? nhập 1510   kq là 45105 (Đọc là dương vô cực ) 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 7 
Vậy 


112
53
lim
2
3
n
nn
• Ví dụ3: 153lim 24  nnn máy ghi : 153 24  nnn 
calc x ? nhập 1510   kq : 301008...73205.1  ( đọc là dương vô cực ) 
vậy :  153lim 24 nnn 
*Nếu 
 
 ng
nf
 với f(n) ,g(n) là các đa thức theo n .Ta chú ý đến số hạng 
chứa mũ cao nhất của n trong từng biểu thức f(n) ,g(n) 
• Ví dụ 1: 
53
232
lim
2
3


n
nn
 máy ghi 
2
3
3
2
n
n
 calc x ? nhập 1510   
kq: 141066666667.6  (đọc là âm vô cực ) Vậy 


53
232
lim
2
3
n
nn
• Ví dụ 2: 
12
857
lim
36


n
nnn
 máy ghi 
n
n6
 calc x ? nhập 1510   kq 30101 
( đọc là dương vô cực ) vậy 


12
857
lim
36
n
nnn
• Ví dụ 3: 
12
13
lim


n
n
 máy 
12
13


x
x
 calc x ? 100   1710..4065611 x đọc là  . 
*CHÚ Ý : Gặp na nhập n = 100 
Vậy 


12
13
lim
n
n
• Ví dụ 4 : 
73
54
lim
23
2


nn
nn
 máy ghi 
3
2
3n
n
calc x ? nhập 1510   kq :0 
vậy 0
73
54
lim
23
2



nn
nn
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 8 
• Ví dụ 5: 
32
232
lim
2
4


nn
nn
 máy ghi 
2
4
2
2
n
n
 calc x ? nhập 1510   kq:
2
2
Nếu gặp dạng tổng- hiệu hai căn cần chú ý lương liên hợp rút gọn trước 
khi áp dụng dạng trên . 
• Ví dụ 1:  nnn  1lim 2 ta có   nnn 12
 nnn
n


1
1
2
 máy 
ghi 
nn
n
2
 calc x ? nhập 1510   kq:
2
1
Vậy  
2
1
1lim 2  nnn 
• Ví dụ 2: 
12
1
lim
 nn
 ta có nnn
nn
212
12
1


 Mà nlim 
Vậy : 
 12
1
lim
nn
• Ví dụ 3 :
1223
1
lim
 nn
 máy ghi 
nn 23
1

 calc x ? nhập 1510   
kq: 0 vậy: 0
1223
1
lim 
 nn
( các hệ số trước n lệch nhau không 
cần nhân lượng liên hợp. 
• Ví dụ 4: 
23
11
lim
2


n
nn
 máy ghi :
n
nn
3
2 
 calc x ? nhập 1510 
  kq: 
3
1
Bài tập rèn luyện : 
 Tìm các giới hạn sau: 
1.
2
2
23
14
lim
n
nn


 (KQ :2) 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 9 
2.
2
2
21
53
lim
n
nn


 (KQ: 0 ) 
3. 







1
2
lim 2
n
n (KQ:  ) 
4.  1lim 22  nnn (KQ: 
2
1
 ) 
5.
23
3 132
lim
nn
nn


 (KQ: -3) 
6. 
   
5
23
41
132
lim
n
nn


 (KQ:
4
27
) 
 7.
3
241
lim
22


n
nnn
 (KQ: -1 ) 
 8.
nn
nn
24.2
143
lim


 (KQ: -1)