Tiểu luận Ứng dụng Tích phân - Nguyễn Thùy Trang

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA VẬT LÝ
HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 1
TIỂU LUẬN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
& ! &
	Họ tên: Nguyễn Thùy Trang
	Lớp: Sư phạm Lý A K42
	MSSV: 42.01.102.118
TP.HCM, 11/2016
Chuyên đề ứng dụng tích phân này có nội dung gồm 3 phần: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng ,Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay và một số bài toán tổng hợp.
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong:
   Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và các đường thẳng x = a; x = b; y = 0 được tính theo công thức:
   (1)
Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f(x) ta thường thực hiện:
Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f (x).
    ( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có: )
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn  để suy ra dấu của f (x)
 trên đoạn đó .
Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới  trục hoành thì
 -	Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì 
Nếu phương trình  f(x) = 0 có  k nghiệm phân biệt  x1 , x2 , , xk  thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , , (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi .
Khi đó để tính tích phân  ta có thể tính như sau :
Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , đường thẳng x=3, trục tung và trục hoành.
Giải: Đặt . Ta thấy  trên và  trên . Theo công thức (1), diện tích S của hình đang xét là:
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, đường thẳng x =-3 và đường thẳng x= 4.
Giải: Đồ thị hàm số  cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2.
Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có:
 trên  và trên 
Khi đó diện tích S của hình đang xét là:
Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số:
Vẽ đồ thị hàm số: .
Dựa vào đồ thị ta có:
** Nếu miền phẳng D giới hạn bởi đường cong có phương trình cho dưới dạng toạ độ cực. 
Liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ cực là: . Khi đó:
Ví dụ 3:  Hãy tính diện tích của hình giới hạn bởi trục hoành và một nhịp của đường Cycloid, cho bởi phương trình tham số:
Ví dụ 4: Tính diện tích của hình trái tim giới hạn bởi đường Cardioid (đường trái tim), trong hệ tọa độ cực cho bởi phương trình: r = a(1 + cos)
Giải: Do tính đối xứng của hình qua trục Ox, vậy:
**Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số  thì công thức  trở thành  trong đó t1, t2 lần lượt là nghiệm của các phương trình và  là các hàm số liên tục trên đoạn [t1; t2]
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng 
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , ta có công thức sau:
Trong công thức trên:
Trường hợp hình 1.  ta có công thức khai triển của S:
 nếu 
Trường hợp hình 2. ta có công thức khai triển của S:
 nếu 
Trường hợp hình 3. ta có công thức khai triển của S:
S =abfx-g(x)dx = acfx-g(x)dx +cbfx-g(x)dx
( trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số )
Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau:
                   Bước1: Nếu hai đường  đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình  để tìm.
                   Bước 2: Áp dụng công thức (2).
                   Bước 3: Rút gọn biểu thức , sau đó xét dấu của hiệu này.
                   Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàn số  và hai đường thẳng x =-1, x= 3.
Giải: Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: .
Khi đó ta có
Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 (), y = 2 – x
Giao điểm của các đường y = x2 () và y = 2 - x là nghiệm của hệ 
Vậy diện tích cần tìm là:
 (đvdt)
Ví dụ 3 : Tính diện tích của hình elíp có các bán trục a,b.
Giải: Hình êlip giới hạn bởi êlíp có phương trình: 
Do tính chất đối xứng của êlip qua các trục tọa độ và do phương trình tham số của êlip: x = a.cost; y = b.sint, 0 ≤ t ≤ 2π, nên ta có:
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị các hàm số: 
Giải: Trước hết ta vẽ các đồ thị hai hàm số trên một hệ trục:   
Từ hình vẽ ta suy ra hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình: 
Khi đó :  (đvdt)
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
Giải: Ta có: . Do đó đồ thị là nửa phía trên của Elip . Từ đó ta có đồ thị hai hàm số trên hệ trục:
Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương trình: 
Khi đó, diện tích cần tính:
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong  và  
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số:
Khi đó diện tích cần tìm:
Khi 0<x<1 thì ta có  nên:
Vậy diện tích cần tìm: S = (đvdt)
·        Nếu miền phẳng D giới hạn bởi đường cong có phương trình cho dưới dạng toạ độ cực. 
** Liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ cực là: . Khi đó:
3. Tính độ dài đường cong phẳng
·  Cung cho bởi đường cong có phương trình y = f(x), trong đó f(x) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]. Độ dài cung AB, với A(a, f(a)) và B(b, f(b)) được tính theo công thức: .
·  Cung cho bởi đường cong có phương trình , trong đó  và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]. Độ dài cung AB, với và được tính theo công thức: 
  (đvđd).
·  Phương trình cho trong dạng toạ độ cực: 
Ví dụ 1: Tính độ dài cung của đường cycloide 
Ta có 
Vậy độ dài cung cần tìm là :    
                    (đvđd).
Ví dụ 2: Hãy tính độ dài của Astroid, phương trình tham số có dạng:
hoặc trong hệ toạ độ Descartes có dạng:  
4. Diện tích mặt tròn xoay
Mặt tròn xoay là một mặt cong sinh ra do ta quay quanh trục Ox một cung đường cong phẳng AB có phương trình y = f(x), , với f(x) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b], A(a, f(a)), B(b, f(b)).
Diện tích mặt tròn xoay được tính theo công thức:
.
          + Cung AB cho bởi phương trình tham số: 
          + Cung AB cho bởi phương trình trong hệ tọc độ cực: 
Chú ý:
1/  Nếu quay đường cong phẳng quanh trục Oy thì:
.
2/  Nếu đường cong phẳng cho bởi phương trình  (với hàm số  là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên [a; b]). Khi đó ta có:
Ø     Khi quay quanh trục Ox: .
Ø     Khi quay quanh trục Oy: .
Ví dụ 1: Tính diện tích mặt tạo nên khi quay đường parabol  
quanh trục Ox.
Ta có 
Vậy diện tích cần tìm là:        .
Ví dụ 2: Đường cong cho bởi phương trình r = a(1 + cos) quay quanh trục Ox tạo ra một mặt tròn xoay. Tính diện tích mặt cong này.
II. THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng  x = a  ,  x = b , trong đó  ( a < b) .
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay .
 Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :
Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  y = x2 – 2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành Ox.
Giải: Theo công thức (2), ta có
   (đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường  y = 2x - x2 và y = 0 khi:
1/  Xoay quanh trục Ox.
2/  Xoay quanh trục Oy.
  Giải
Ta có đường y = 2x - x2 cắt trục Ox tại x = 0 và x = 2 nên ta có:
      1/  .
2/  
Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường 
Giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số 
 ( do x>0)
Khi đó thể tích vật thể cầm tìm:
Đặt 
Ta có : 
Vậy thể tích cần tìm (đvtt)
Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
, y = 0  , x = 1  , x = e.
Giải: Theo công thức tính thể tích, ta có:
    (đvtt)
Đặt  
Do đó  
Đặt  
Vậy Thể tich cần tìm = p(e – 2)    (đvtt)
Chú ý: Trong trường hợp hình phẳng được giới hạn hai đường cong khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức sau:
Ví dụ 5: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường  quay quanh Ox.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hai hàm số:
4-x2 = x2 +2
ó x= 1 , x= -1
Thể tích cần tìm:
Vậy V= ( đvtt)
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 +1, tiếp tuyến với đường thẳng này
tại điểm M(2;5) và trục Oy.
: Phương trình tiếp tuyến là y = 4x - 3.
Phương trình hoành độ giao điểm
 x2 +1 = 4x - 3 ⇔  x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2.
Do đó diện tích phải tìm là:
Bài 2: 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = X2, y = x + 2;    b) y = |lnx|, y = 1; c) y = (x – 6)2, y = 6x– x2
a) Phương trình hoành độ giao điểm f(x) =  X2 - x - 2 =0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.
Diện tích hình phẳng cần tìm là :
(Vì f(x) = x2 –x -2 không đổi dấu trên -1;2)
    Do đó S = 92 (dvdt)
b) Phương trình hoành độ giao điểm: 
f(x) = 1 - ln|x| = 0  ⇔ lnx = ± 1
⇔ x = e hoặc                                                       
        y = ln|x| = lnx nếu lnx ≥ 0 tức là x ≥ 1.
 hoặc  y = ln|x| = - lnx nếu x < 0, tức là 0 < x < 1.
Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là :  
Ta có  ∫lnxdx = xlnx - ∫dx = xlnx  –  x  + C,  thay vào trên ta được  :
c) Phương trình hoành độ giao điểm là:
f(x) = 6x  –  x2 – (x - 6)2  = -2(x2 – 9x +18)
f(x) = 0 ⇔ -2(x2 – 9x +18) ⇔ x = 3 hoặc x = 6.
Diện tích cần tìm là:
(vì f(x) = -2(x2 -9x+18) không đổi dấu trên 3;6
Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) y = 1 - x2 , y = 0 ;
b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π ;
c) y = tanx, y = 0, x = 0,  ;
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm 1 - x2 = 0 ⇔ x = ±1.
Thể tích cần tìm là :
b) Thể tích cần tìm là :
c) Thể tích cần tìm là :
     .
** Kết luận: 
Tích phân được ứng dụng để tính diện tích và thể tích các hình phức tạp. Nếu như ở các lớp dưới, ta có các công thức tính diện tích hay thể tích các hình cơ bản như hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, thì sau khi biết đến tích phân ta có thể áp dụng tích phân để tính diện tích một hình phẳng hay thể tích vật thể tròn xoay nào đó mà không cần phải chia nhỏ hình đó ra thành nhiều hình cơ bản để tính. Từ đó việc tính toán cũng tiện lợi hơn rất nhiều. Ứng dụng của tích phân còn có thể tính độ dài đường cong phẳng. Hiểu được tích phân ta có thể ứng dụng xây dựng những công thức khảo sát hay trong tính toán diện tích hay thể tích của vật có hình dạng phức tạp.
** Tài liệu tham khảo:
Sách giáo khoa giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
Lê Hồng Đức, Sách phương pháp giải toán tích phân.
Trang web Tài liệu hoc.24
Trang web baigiangtoanhoc.com
Trang web toanhoc.edu.vn
Trang web dethithu.net