Thi chọn đội sơ tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011 - 2012 môn Toán

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU
THI CHỌN ĐỘI SƠ TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2011 - 2012
Môn: Toán - Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: (2 điểm)
 a) Tính: 
 b) Cho biết = - . Hãy tính giá trị của biểu thức A = 
 Câu 2: (1,5 điểm): Cho biết a = 2 + 2 + 1
 b = 2 - 2 + 1 với n Î N
 Chứng minh rằng: trong hai số a và b có một và chỉ một số chia hết cho 5
Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị bé nhất của biểu thức:
 P = + . 
Áp dụng hãy giải phương trình: + = -5 - x + 6x 
Câu 4: (3,5 điểm). Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD ( H Î AD); kẻ CK vuông góc với AB ( K Î AB). Chứng minh rằng:
Hai tam giác KBC và HDC đồng dạng
Hai tam giác CKH và BCA đồng dạng
 AB. AK + AD. AH = AC 
HK = AC.sinBAC
 Câu 5: (1 điểm). Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = a + b 
 Chứng minh rằng: a + b £ 1 + ab.
----- Hết -----
LỜI GIẢI:
Câu 1 (2đ):
a. 
b. Cách 1: Có: 
 Mặt khác:
 Cách 2:
 Có: 
 Mặt khác:
Câu 2: (1,5 đ)
 Ta thấy: 16n có số tận cùng bằng 6, nên 16n.4 có sốtận cùng bằng 4
 Suy ra 16n.4 +1 có số tận cùng bằng 5
 Vậy: an.bn chia hết cho 5. Þ trong 2 số an và bn có ít nhất một số chia hết cho 5.
 mặt khác: 
 ta thấy: 4n+1 có số tận cùng bằng 4 hoặc 6 Þ 4n+1 + 2 có số tận cùng bằng 6 hoặc 8 nên: không chia hết cho 5 Þ an + bn không chia hết cho 5
 nên trong hai số an và bn có một số không chia hết cho 5.
 Vậy trong 2 số trên chỉ có 1 và chỉ 1 số chia hết cho 5.
Câu 3 (2đ):
Ta có: 
 dấu “=” xảy ra khi x = 3.
 Vậy GTNN của P = 4 khi x = 3.
 b. 
 phương trình này có nghiệm khi P = 4
 Þ -5 – x2 + 6x = 4 Þ x2 – 6x + 9 = 0
 Þ (x – 3)2 = 0 Þ x = 3
 Vậy phương trình có nghiệm : x = 3
Câu 4 (3,5 đ):
 a/ xét : D KBC và D HDC có:
 ÐK = ÐH = 900 
 ÐKBC = ÐCDH (cùng bằng
 ÐBAD)
 Þ D KBC ~ D HDC (g.g)
 b/ Xét D CKH và DBCA có:
 từ (*) 
 mặt khác: D ABM = D DCH (ch- gn) Þ ÐABM = ÐDCH (***)
 có: ÐMBC= Ð DCK= 900 (****)
 từ (***), (****) Þ ÐABC = ÐKCH (*****)
 từ (**), (*****) Þ DCKH ~ DBCA (c.g.c)
 c/ Kẻ BO, DI ^ AC (O,I Î AC)
	có D ABO ~ D ACK (g.g)
 Þ 
 từ (1),(2),(3) Þ AB.AK+ AD.AH = AC.(AI + CI)= AC2
 d/ từ D CKH ~ DBCA(c.g.c) Þ 
 mà: ÐKBC = ÐBAD (đồng vị) 
 Þ KH = AC. Sin BAC
Câu 5 (1 đ):
 *Cách 1:
 từ: 
	(vì a5 + b5 = a3+ b3) 
	BĐT luôn đúng (vì a, b > 0)
 Vậy: a2 + b2 £ 1+ ab khi a5 + b5 = a3 + b3.
 * Cách 2:
 Từ: 
 (vì (a- b)2 ³ 0 )
 Ta có ĐPCM