Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn học Toán học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH 
TRƯỜNG THPT A NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH 
TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
MÔN TOÁN 
Thực hiện Vũ Văn Bắc 
Website:  
---------- NGHĨA HƯNG NGÀY 8 THÁNG 5 NĂM 2013 ---------- 
www.MATHVN.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
VẤN ĐỀ 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
Bài toán 1.1 Cho biểu thức 
2
1 1
x x x x
P
x x x
 
 
  
 với 0, 1.x x  
a) Rút gọn biểu thức P 
b) Tìm x khi 0.P  
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2011) 
 Lời giải. a) Với 0, 1x x  ta có 
       
3
11 1 1
1 1 1 1
x xx x x x x x x
P
x x x x x x
        
     
    
1 1
1
1
x x x x
x x x x
x x
  
    
 
 2 .x x x x x     
Vậy với 0, 1x x  thì 2 .P x x  
b) Với 0, 1x x  ta có 
  0 2 0 2 0P x x x x      
00 0
422 0
xx x
xxx
  
        
Đối chiếu với điều kiện 0, 1x x  ta thấy hai giá trị này đều thỏa mãn. 
Vậy với 0P  thì 0, 4.x x  
NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN 
Kĩ năng cũng như cách giải chung cho dạng toán như câu a 
 Đặt điều kiện thích hợp, nếu đề bài đã nêu điều kiện xác định thì ta vẫn phải chỉ 
ra trong bài làm của mình như lời giải nêu trên. 
 Đa phần các bài toán dạng này, chúng ta thường quy đồng mẫu, xong rồi tính toán 
rút gọn tử thức và sau đó xem tử thức và mẫu thức có thừa số chung nào hay 
không để rút gọn tiếp. 
 Trong bài toán trên thì đã không quy đồng mẫu mà đơn giản biểu thức luôn. 
 Khi làm ra kết quả cuối cùng, ta kết luận giống như trên. 
Đối với dạng toán như câu b 
 Cách làm trên là điển hình, không bị trừ điểm. 
 Ngoài câu hỏi tìm x như trên thì người ta có thể hỏi: cho x là một hằng số nào đó 
bắt rút gọn P, giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tìm x để P có 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
giá trị nguyên, chứng minh một bất đẳng thức. Nhưng thường thì người ta sẽ hỏi 
như sau: tìm x để P có giá trị nào đó (như ví dụ nêu trên), cho x nhận một giá trị 
cụ thể để tính P. 
MỘT SỐ CÂU HỎI MỞ CHO BÀI TOÁN 
 Câu hỏi mở 1. Rút gọn P khi 3 2 2.x   
Ta có 2 2 23 2 2 1 2.1. 2 ( 2) (1 2)x        
Khi đó, với 0, 1x x  thì 2(1 2) 1 2x     
Do đó 2 3 2 2 2(1 2) 3 2 2 2 2 2 1.P x x           
Vậy với 3 2 2x   thì 1.P  
 Câu hỏi mở 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Với 0, 1x x  ta có 2 22 ( ) 2 1 1 ( 1) 1P x x x x x         
Vì 1x  nên 2( 1) 0x   2( 1) 1 1x     
Vậy với 0, 1x x  thì P không có giá trị nhỏ nhất. 
Trong loại câu hỏi này, ta cần chú ý đến điều kiện xác định. Chẳng hạn với điều kiện 
4x  ta rút gọn được P x x  thì ta sẽ không làm như trên mà sẽ làm như sau 
Với 4x  ta có 2 ( 2)P x x x x x x      
Vì 4 2 0, 2 0 ( 2) 0 2 2x x x x x x x             
Vậy min 2P  , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4x  (thỏa mãn điều kiện). 
 Câu hỏi mở 3. Chứng minh rằng 1P   thì ta làm như trên nhưng kết luận là 
1.P   
 Câu hỏi mở 4. Tìm số nguyên x để P có giá trị nguyên. 
Ví dụ trên, ta có 2P x x  , thì thường đề bài sẽ không hỏi đến nghiệm nguyên. Chẳng 
hạn với điều kiện 1x  ta rút gọn được 3
1
x
P
x


, đề bài hỏi: tìm số nguyên x để P nhận 
giá trị nguyên thì ta làm như sau 
Với 1x  , ta có 3 3( 1) 3 33
1 1 1
x x
P
x x x
 
   
  
Từ đó với x là số nguyên, 3 33 3 ( 1)
1 1
P x
x x
      
 
¢ ¢ M 
Tương đương với 1x  là ước của 3, mà ước của 3 là    3; 1;1;3 ( 1) 3; 1;1;3x       
Mà 1 1 2 1 3 2x x x x         (thỏa mãn điều điện) 
Kết luận: vậy 2x  là giá trị cần tìm. 
Ta xét thêm một bài toán nữa là một câu trong đề chung chuyên Lê Hồng Phong Nam 
Định năm 2011. 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
Bài toán 1.2 Cho biểu thức 3 1 1 1:
1 1
x
P
x x x x
 
      
 với 0, 1.x x  
a) Rút gọn biểu thức B 
b) Tìm x để 2 3.P x  
(Đề chung Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011) 
 Lời giải. a) Với 0, 1x x  ta có 
   3 1 1
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x
B x x
x x x x
  
        
 3 1 1( 1).
( 1)( 1)
x x
x x
x x
  
 
 
 (2 2) 2 ( 1) 2 .
1 1
x x x x
x
x x
 
  
 
Vậy với 0, 1x x  thì 2 .P x 
b) Với 0, 1x x  và 2P x ta có 
2 3 4 3
4 3 0
3 3 0
( 1) 3( 1) 0
( 1)( 3) 0
1 0 1 1
93 0 3
P x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
xx x
    
   
    
    
   
    
          
Kết hợp với điều kiện nêu trên thì chỉ có 9x  thỏa mãn bài toán. 
B. CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho biểu thức 





6
5
3
2
aaa
a
P
a2
1 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm giá trị của a để 1.P  
Bài 2: Cho biểu thức P = 
























65
2
3
2
2
3:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x 
 a) Rút gọn P. 
 b) Tìm giá trị của x để 0.P  
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
Bài 3: Cho biểu thức P = 






















13
231:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm các giá trị của x để 6 .
5
P  
Bài 4: Cho biểu thức P = 


















1
2
1
1:
1
1
aaaa
a
aa
a 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm giá trị của a để 1.P  
c) Tìm giá trị của P nếu 3819 a 
Bài 5: Cho biểu thức P = 
































a
a
a
a
a
a
a
aa
1
1.
1
1:
1
)1( 332
a) Rút gọn P 
b) Xét dấu của biểu thức ( 0,5).M a P  
Bài 6: Cho biểu thứ P = 

























12
2
12
11:1
12
2
12
1
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a) Rút gọn P 
b) Tính giá trị của P khi 3 2 2 .
2
x

 
Bài 7: Cho biểu thức P = 

















 1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x 
a) Rút gọn P 
b) Tìm x để P0 
Bài 8: Cho biểu thức P = 






















a
a
a
aa
a
a
a
1
1.
1
12 3
3
a) Rút gọn P 
b) Xét dấu của biểu thức P a1 
Bài 9: Cho biểu thức 1 1 2 1 2:
11 1
x x x x x x
P
xx x x x
     
          
a) Rút gọn P 
b) Tính giá trị của P với 7 4 3x   
c) Tính giá trị lớn nhất của a để .P a 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
Bài 10: Cho biểu thức P = 




















a
a
aa
a
a
aa
1
1.
1
1 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm a để 7 4 3.P   
Bài 11: Cho biểu thức P = 























1
3
22:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x 
a) Rút gọn P 
b) Tìm x để 1
2
P  
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Bài 12: Cho biểu thức P = 

























3
2
2
3
6
9:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx 
a) Rút gọn P 
b) Tìm giá trị của x để P < 1 
Bài 13: Cho biểu thức P = 
3
32
1
23
32
1115








x
x
x
x
xx
x 
a) Rút gọn P 
b) Tìm các giá trị của x để 1
2
P  
c) Chứng minh 2 .
3
P  
Bài 14: Cho biểu thức P = 2
2
44
2
mx
m
mx
x
mx
x





 với m > 0 
a) Rút gọn P 
b) Tính x theo m để P = 0. 
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện 1.x  
Bài 15: Cho biểu thức P = 12
1
2





a
aa
aa
aa 
a) Rút gọn P 
b) Biết 1a  hãy so sánh P với P 
c) Tìm a để P = 2 
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Bài 16: Cho biểu thức P = 

























 1
11
1:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a 
a) Rút gọn biểu thức P. 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
b) Tính giá trị của P nếu a = 32  và b = 
31
13

 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 4 ba 
Bài 17: Cho biểu thức P = 























1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa 
a) Rút gọn P 
b) Với giá trị nào của a thì P = 7 
c) Với giá trị nào của a thì 6.P  
Bài 18: Cho biểu thức P = 




















1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a 
a) Rút gọn P 
b) Tìm các giá trị của a để P 0 
c) Tìm các giá trị của a để P 2  
Bài 19: Cho biểu thức P =  
ab
abba
ba
abba 

 .4
2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. 
b) Rút gọn P 
c) Tính giá trị của P khi a = 32 và b = 3 
Bài 20: Cho biểu thức P = 
2
1:
1
1
11
2 













 x
xxx
x
xx
x 
a) Rút gọn P 
b) Chứng minh rằng P > 0 với x 1 
Bài 21: Cho biểu thức P = 




















1
21:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx 
a) Rút gọn P 
b) Tính P khi x = 325  
Bài 22: Cho biểu thức P = 
xxx
x
x 24
1:
24
2
4
2
3
2
1:1


















a) Rút gọn P 
b) Tìm giá trị của x để P = 20 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
Bài 23: Cho biểu thức P = 
 
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx















233
: 
a) Rút gọn P 
b) Chứng minh P 0 
Bài 24: Cho P = 






























 baba
ba
bbaa
ab
babbaa
ab
ba
:31.31 
a) Rút gọn P 
b) Tính P khi a = 16 và b = 4 
Bài 25: Cho biểu thức P = 
12
.
1
2
1
121
















a
aa
aa
aaaa
a
aa
a) Rút gọn P 
b) Cho P =
61
6

 tìm giá trị của a 
c) Chứng minh rằng 2 .
3
P  
Bài 26: Cho biểu thức:P= 

























3
5
5
3
152
25:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx 
a) Rút gọn P 
b) Với giá trị nào của x thì 1.P  
Bài 27: Cho biểu thức P =   
baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1:133















a) Rút gọn P 
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên 
Bài 28: Cho biểu thức P = 


















 1
2
2
1:1
1
1
a
a
a
a
aa 
a) Rút gọn P 
b) Tìm giá trị của a để 1 .
6
P  
Bài 29: Cho biểu thức P = 
33
33
:112.11
xyyx
yyxxyx
yxyxyx 


















 
a) Rút gọn P 
b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất. 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
Bài 30: Cho biểu thức P = 
x
x
yxyxx
x
yxy
x




 1
1.
22
2
2
3
a) Rút gọn P 
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và P 0, 2. 
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
 Xét phương trình 2 0ax bx c   với a khác 0, biệt thức 2 4 .b ac   
 Hệ thức Viet đối với phương trình bậc hai 
1 2 1 2 ; 
b c
x x x x
a a
    
 Nếu 0ac  thì PT có 2 nghiệm phân biệt. 
 PT có nghiệm 0.  
 PT có nghiệm kép 0.  
 PT có 2 nghiệm phân biệt 0.  
 PT có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 
1 2
0
0x x
 
 

 PT có 2 nghiệm dương phân biệT 1 2
1 2
0
0
0
x x
x x
 

  
 
 PT có 2 nghiệm âm phân biệt 1 2
1 2
0
0
0
x x
x x
 

  
 
 Từ những tính chất quan trọng nêu trên, ta sẽ giải được một dạng toán về PT trùng 
phương. 
Xét phương trình 4 2 0ax bx c   (i) với a khác 0. Đặt 2 0t x  , ta có 
 2 0.at bt c   (ii) 
 PT (i) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 2 nghiệm dương phân biệt. 
 PT (i) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm 
bằng 0. 
 PT (i) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm dương. 
 PT (i) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm là 0. 
Sau đây chúng ta sẽ xét một số bài toán thường gặp mang tính chất điển hình. 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
Bài toán 2.1 Cho phương trình 2( 1) 4 4 1 0.m x mx m     (1) 
a) Hãy giải phương trình trên khi 2m  
b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hãy tìm một biểu thức 
liên hệ độc lập giữa các nghiệm của phương trình. 
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa mãn 
1 2 1 2 17.x x x x   
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. 
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. 
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu. 
h) Tìm m khi 1 2 2 7x x  , với 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình. 
i) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này bằng 2 lần 
nghiệm kia. 
 Lời giải. a) Khi 2m  thay vào (1) ta được 2 8 9 0x x   (2) 
PT này có ' 16 9 7 0     
Khi đó (2) có hai nghiệm 1 24 7; 4 7x x    
Vậy với 2m  thì PT đã cho có tập nghiệm là  4 7;4 7 .S    
b) Để làm câu hỏi này, ta sẽ chia thành hai trường hợp 
TH1: Khi 51 5 4 0 1
4
m x x m        thỏa mãn. 
TH2: Khi m khác 1, PT (1) là PT bậc hai. Xét 
2 2 2' 4 ( 1)(4 1) 4 (4 3 1) 3 1m m m m m m m           
PT (1) có nghiệm khi 1' 0 3 1 0
3
m m        
Tóm lại, vậy với 1
3
m   thì PT đã cho có nghiệm. 
c) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi 
11 1
1' 0 3 1 0
3
m
m m
m m
   
   
       
Khi đó, áp dụng hệ thức Viet ta có 
1 2
4 4( 1) 4 44
1 1 1
m m
x x
m m m
 
    
  
1 2
4 1 4( 1) 5 54
1 1 1
m m
x x
m m m
  
   
  
Do đó    1 2 1 2
4 55 5 4 4 5 4 1
1 1
x x x x
m m
                
Vậy biểu thức cần tìm là    1 2 1 25 4 1 .x x x x   
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
d) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi 
11 1
1' 0 3 1 0
3
m
m m
m m
   
   
       
Áp dụng hệ thức Viet ta có 1 2 1 2
4 4 1;
1 1
m m
x x x x
m m

  
 
Khi đó với 
11,
3
m m   ta có 
1 2 1 2
4 4 1 4 4 117 17 17
1 1 1
m m m m
x x x x
m m m
  
       
  
 8 1 17 8 1 17 17 9 18 2
1
m
m m m m
m

         

 (thỏa mãn ĐK) 
Vậy 2m  là giá trị cần tìm. 
e) PT (1) có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 1 2
1 2
' 0
0
0
x x
x x
 


  
 1' 0
3
m     
 1 2
1
4 10 0 (4 1)( 1) 0 11
4
m
m
x x m m
m m

        
  

 1 2
140 0 4 ( 1) 0
01
mm
x x m m
mm

          
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt khi 1 11 or .
3 4
m m     
f) PT (1) có 2 nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi 1 2
1 2
' 0
0
0
x x
x x
 


  
Đến đây ta làm tương tự như câu e. 
g) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi 
1 2
' 0
0x x
 


Đến đây ta làm tương tự như câu e. 
h) Bình phương hai vế và làm tương tự như câu d, chú ý 
   2 2 21 2 1 2 1 2 1 24 .x x x x x x x x      
i) ĐK để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: 
11, .
3
m m   
Từ giả thiết bài toán, ta có:   1 2 2 1 1 2 2 12 or 2 2 2 0x x x x x x x x      
    22 21 2 1 2 1 2 1 25 2 0 9 2 0x x x x x x x x        
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
Áp dụng hệ thức Viet ta có 1 2 1 2
4 4 1;
1 1
m m
x x x x
m m

  
 
, nên 
2
2
2
9(4 1) 2.16 0 9( 1)(4 1) 32 0
1 ( 1)
m m
m m m
m m

      
 
 2 2 236 27 9 32 0 4 27 9 0m m m m m         
Đến đây các em làm tiếp, chú ý điều kiện PT có 2 nghiệm phân biệt. 
NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN 
 Đối với những bài toán có liên quan đến hệ thức Viet, thì ta đặc biệt quan tâm đến 
ĐK để phương trình có nghiệm, tìm ra được x, ta phải đối chiếu ĐK để PT có 
nghiệm. 
 Ngoài các câu hỏi như trên ta còn có thể hỏi: tìm m thông qua giải bất phương 
trình (tương tự như câu hỏi d), tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Ví dụ trên, hệ số của 
x2 là tham số nên khi áp dụng Viet ta thấy có biến ở mẫu, thường người ta sẽ 
không hỏi min max ở bài này. 
 Đối với bài toán mà hệ số của x2 không chứa tham số thì ta có thể hỏi min max 
thông qua hệ thức Viet. Chẳng hạn cho PT 2 22( 1) 1 0x m x m     . Tìm m để 
PT có 2 nghiệm 1 2,x x ; khi đó tìm min của biểu thức  1 2 1 22P x x x x   ta có 
thể làm như sau 
Đễ dàng tìm được ĐK để PT có 2 nghiệm 1 2,x x là 1m   (các em làm đúng kĩ năng như 
VD). Áp dụng Viet ta có 21 2 1 22 2; 1x x m x x m     
Khi đó ta có   2 21 2 1 22 1 2(2 2) 4 3P x x x x m m m m          
Đến đây có một sai lầm mà đa số HS mắc phải là phân tích 
 2 24 3 ( 2) 1 1m m m       và kết luận ngay min 1.P   
Đối với bài toán này, cách làm trên hoàn toàn sai. Dựa vào điều kiện PT có nghiệm là 
1m   , ta sẽ tìm min của P sao cho dấu bằng xảy ra khi 1.m   Ta có 
 2 24 3 3 3 ( 1) 3( 1) ( 1)( 3)P m m m m m m m m m m              
Với 1 1 0, 3 0 ( 1)( 3) 0 0m m m m m P             
Vậy min 0P  , dấu bằng xảy ra khi 1m   (thỏa mãn ĐK đã nêu). 
Bài toán 2.2 Tìm m để PT 2 4 3 1 0x mx m    (i) có hai nghiệm 1 2, x x thỏa mãn 
1 22 .x x 
 Lời giải. PT (i) có 2' 4 3 1m m    , (i) có 2 nghiệm 
2 2' 0 4 3 1 0 4 4 1 0
4 ( 1) ( 1) 0 ( 1)(4 1) 0
11 or .
4
m m m m m
m m m m m
m m
          
        
   
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
Khi đó theo hệ thức Viet ta có 1 2 1 24 ; 3 1x x m x x m    (*) 
Ta lại có 1 21 2
1 2
2
2
2
x x
x x
x x

    
+ Với 1 22x x kết hợp với (*) ta được 
1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2
2
1 2 2 2 2
2 2 2
4 2 4 3 4
3 1 2 3 1 2 3 1
x x x x x x
x x m x x m x m
x x m x x m x m
   
 
        
         
Từ 2 2
33 4
4
x m m x   , thế vào 222 3 1x m  ta được 
 2 2 22 2 2 2 2 2
92 1 8 9 4 8 9 4 0.
4
x x x x x x         
Đến đây, các em làm tiếp để rèn luyện kĩ năng. 
+ Với 1 22x x  ta làm tương tự như trên. 
Nhận xét. Bài toán trên, ta đã thế m bởi 2x bởi lẽ, khi làm như vậy ta không phải khai 
phương tức là nếu thế 2x bởi m thì ta sẽ phải khai phương, không thuận lợi. Ngoài cách 
làm trên ta còn có thể giải như sau:   1 2 1 2 1 22 2 2 0.x x x x x x     Từ đó khai 
triển ra và dùng hệ thức Viet để giải. 
B. CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho phương trình   22 2122 mxxm  
a) Giải phương trình khi 12 m 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm 23x 
c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất. 
Bài 2: Cho phương trình   0224 2  mmxxm 
a) Tìm m để phương trình có nghiệm 2x . Tìm nghiệm còn lại. 
b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt. 
c) Tính 22
2
1 xx  theo m. 
Bài 3: Cho phương trình   04122  mxmx 
a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu 
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 
c) Chứng minh biểu thức M =    1221 11 xxxx  không phụ thuộc vào m. 
Bài 4: Tìm m để phương trình 
 a)   0122  mxx có hai nghiệm dương phân biệt 
 b) 0124 2  mxx có hai nghiệm âm phân biệt 
 c)     012121 22  mxmxm có hai nghiệm trái dấu. 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc 
Bài 5: Cho phương trình   021 22  aaxax 
a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a 
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm giá trị của a để 22
2
1 xx  đạt giá 
trị nhỏ nhất 
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức 
2
111

cb
Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm 
2
2
0
0