Tài liệu ôn thi môn Toán THPT quốc gia

Chuyên đề: TỔ HỢP & XÁC SUẤT
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM:	 	
a. QUY TẮC CỘNG:
 Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án hoặc phương án . Có cách thực hiện
 phương án và cách thực hiện phương án . Khi đó công việc có thể thực hiện bởi cách.
TỔNG QUÁT
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong phương án . Có cách thực hiện
phương án , cách thực hiện phương án ,...và cách thực hiện phương án . Khi đó công việc có thể 
thực hiện bởi cách.
b. QUY TẮC NHÂN: 
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn và . Công đoạn có thể làm theo cách. Với
mỗi cách thực hiện công đoạn thì công đoạn có thể làm theo cách. Khi đó công việc có thể thực hiện
theo cách.
TỔNG QUÁT
Giả sử một công việc nào đó bao gồm công đoạn . Công đoạn có thể thực hiện theo cách,
công đoạn có thể thực hiện theo cách,..., công đoạn có thể thực hiện theo cách. Khi đó công việc
có thể thực hiện theo cách.
2. HOÁN VỊ:
 a.Định nghĩa : 
 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1).
 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
Hoán vị
Nhóm có thứ tự
Đủ mặt n phần tử của A
 Tập A
 n phần tử
b.Định lý :	
 Ký hiện số hoán vị của n phần tử là Pn , ta có công thức:
	 (2)	 
3.CHỈNH HỢP: 
a.Định nghĩa:
 Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi bộ gồm k ( phần tử sắp thứ tự của tập hợp A
 được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Chỉnh hợp
Nhóm có thứ tự
Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của A
 Tập A
 n phần tử
b.Định lý:
	 Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là , ta có công thức:
	 (3)	
4. TỔ HỢP:
a.Định nghĩa:
 Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con của gồm k phần tử () của A
 được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Tổ hợp
Nhóm không có thứ tự
Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của A
 Tập A
 n phần tử
b. Định lý :
 Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là , ta có công thức:
	 (4)
 c. Hai tính chất cơ bản của số 
 a) Tính chất 1: Cho số nguyên dương và số nguyên với . Khi đó
 b) Tính chất 2: Cho các số nguyên và với . Khi đó
LƯU Ý QUAN TRỌNG:
Các bài toán về giải tích tổ hợp thường là những bài toán về những hành động như :
lập các số từ các số đã cho, sắp xếp một số người hay đồ vật vào những vị trí nhất định ,
lập các nhóm người hay đồ vật thỏa mãn một số điều kiện đã cho v.v...
	1. Nếu những hành động này gồm nhiều giai đoạn thì cần tìm số cách chọn cho mỗi 
 giai đọan rồi áp dụng quy tắc nhân.
2. Những bài toán mà kết quả thay đổi nếu ta thay đổi vị trí của các phần tử , 
 thì đây là những bài toán liên quan đến hoán vị và chỉnh hợp.
 3. Đối với những bài toán mà kết quả được giữ nguyên khi ta thay đổi vị trí của các phần tử
 thì đây là những bài toán về tổ hợp.
5. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN
 Định lý:
6. XÁC SUẤT
 a) Định nghĩa
Giả sử phép thử có không gian mẫu là một tập hữu hạn và các kết quả của là đồng khả năng. Nếu là
một biến cố liên quan với phép thử và là tập các kết quả thuận lợi cho thì xác suất của là một số, 
kí hiệu là , được xác định bởi công thức
Như vậy, việc tính xác suất của biến cố trong trường hợp nầy được quy về việc đếm số kết quả có thể của
phép thử và số kết quả thuận lợi của 
 b) Định lý
 Cho biến cố . Xác suất của biến cố đối là
 c) Các quy tắc tính xác suất
 i) Quy tắc cộng xác suất
 Định lý: Nếu hai biến cố và xung khắc thì xác suất để hoặc xảy ra là
 ii) Quy tắc nhân xác suất
 Định lý: Nếu hai biến cố và độc lập với nhau thì
TÍNH XÁC SUẤT BIẾN CỐ THEO ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp giải
Để xác định xác suất theo định nghĩa ta làm theo các bước
♠ Xác định số phần tử của không gian mẫu 
♠ Xét tập A là tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A, rồi tính 
♠ Sử dụng công thức 
Chú ý 1: Để tính , ta có thể liệt kê hoặc sử dụng bài toán đếm.
Chú ý 2: Trong một số bài toán việc tính xác suất của biến cố đối đơn giản hơn so với biến cố A nên để tính xác suất của biến cố A ta làm như sau:
 + Xét biến cố đối , tính .
 + Khi đó 
II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. 
a) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi ?
b) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi trắng ?
c) Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh ?
Lời giải
a) Có cách lấy
b) Có cách lấy
c) Có cách lấy
Ví dụ 2: Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 3 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi. 
a) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi ?
b) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi trắng ?
c) Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh ?
Lời giải
a) Có cách lấy (hoặc )
b) Có cách lấy (hoặc )
c) Có cách lấy
Ví dụ 3: Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 6 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 bi. 
a) Có bao nhiêu cách lấy được 4 bi ?
b) Có bao nhiêu cách lấy được 4 bi có đủ cả ba màu ?
Lời giải
a) Có cách lấy
b) Có cách lấy
Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong mỗi số đều có mặt các chữ số
 8 và 9 ?
Lời giải
Giả sử số cần lập là Xét các trường hợp sau
 Số cách lập trong đó có các chữ số 8 và 9 là 
 Số cách lập trong đó có chữ số 9 là 
 Số cách lập trong đó có các chữ số 8 và 9 là 
Vậy số các số lập được là r 
Ví dụ 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu và chữ số cuối
 của mỗi số đó đều là số chẵn?
Lời giải
+ Chữ số đầu tiên là chữ số chẵn, khác 0 nên có 4 cách chọn.
+ Chữ số tận cùng cũng là chữ số chẵn, khác với chữ số đầu tiên nên cũng có 4 cách chọn.
+ Ba chữ số ở giữa có số cách sắp xếp là 
Suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là r 
Ví dụ 6: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của 
Lời giải
♥ Khai triển nhị thức Niutơn ta có:
♥ Chọn k thỏa mãn: 
♥ Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển là . r 
Ví dụ 7: Tìm hệ số của số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của 
Lời giải
♥ Khai triển nhị thức Niutơn ta có:
♥ Chọn k thỏa mãn: 
♥ Vậy số hạng không chứa trong khai triển là . r 
Ví dụ 8: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết rằng
 (1)
Lời giải
♥ Giải phương trình (1) tìm n, ta có:
♥ Khai triển nhị thức Niutơn ta có:
♥ Chọn k thỏa mãn: 
♥ Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển là . r 
Ví dụ 9: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại. (Khối A-2014) 
Bài giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là . r 
Ví dụ 10: Từ một hộp chứa 16 thể được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn. (Khối B-2014)
Bài giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là . r 
Ví dụ 11: Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu. (Khối B-2013)
Bài giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “hai viên bi được lấy ra có cùng màu”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là . r
Ví dụ 12: Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. (Khối B-2012) 
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là . r
Ví dụ 13: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. (Khối A-2013) 
Bài giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “số được chọn là số chẵn”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là . r
Ví dụ 14: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được chọn có mặt chữ số 6. 
Bài giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “số được chọn có mặt chữ số 6”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là . r 
Ví dụ 15: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 8.
Bài giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “số được chọn có mặt chữ số 6”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là . r
Ví dụ 16: Cho tập hợp Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi 
một khác nhau thuộc E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M. Tính xác suất để tổng các chữ số của số đó bằng 10.
Phân tích
 Số các số thuộc M có 3 chữ số là 
 Số các số thuộc M có 4 chữ số là 
 Số các số thuộc M có 5 chữ số là 
 Số phần tử của không gian mẫu là: 
 Gọi A là tập con của M mà mỗi số thuộc A có tổng các chữ số bằng 10.
 Các tập con của E có tổng các phần tử bằng 10 gồm
 Từ lập được số các số thuộc A là 
 Từ mỗi tập và lập được số các số thuộc A là 
 Suy ra số phần tử của A là 
 Vậy xác suất cần tính là r 
Bài giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “số được chọn có tổng các chữ số của số đó bằng 10”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r
Ví dụ 17: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu xanh.
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: 
 “4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu xanh”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r
Ví dụ 18: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người. Tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn.
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r
Ví dụ 19: Có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 thẻ được chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 10. 
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “10 thẻ được chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có
 đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 10”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r
Ví dụ 20: Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 quả từ hộp. Tính xác suất để 6 quả cầu được chọn có 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu đen.
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “6 quả cầu được chọn có 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu đen”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r
Ví dụ 21: Một tổ học sinh gồm có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh đi chăm sóc bồn hoa. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn đi chăm sóc bồn hoa có cả nam và nữ. 
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “2 học sinh được chọn đi chăm sóc bồn hoa có cả nam và nữ”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r
Ví dụ 22: Một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác xuất để 3 viên bi được chọn có đủ cả ba màu. 
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “3 viên bi được chọn có đủ cả ba màu”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r
Ví dụ 23: Một hộp đựng 8 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp trên. Tính xác xuất để 4 viên bi được lấy ra có cả bi xanh và bi đỏ. 
Bài giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “4 viên bi được lấy ra có cả bi xanh và bi đỏ”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r 
Ví dụ 24: Có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Người ta chọn ra một cách ngẫu nhiên 4 học sinh. Tìm xác suất để trong 4 học sinh được chọn ra có ít nhất 2 học sinh nữ.
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “4 học sinh được chọn ra có ít nhất 2 học sinh nữ”
 Khi đó biến cố là: “4 học sinh được chọn ra có nhiều nhất 1 học sinh nữ”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố là: 
 Suy ra: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r 
Ví dụ 25: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng (các viên bi có kích thức giống nhau, chỉ khác nhau về màu). Người ta chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để 4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu. 
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu”
 Khi đó biến cố là: “4 bi chọn ra có đủ cả ba màu”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố là: 
 Suy ra: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r 
Ví dụ 26: Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để có 2 học sinh nữ đứng cạnh nhau.
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “2 học sinh nữ đứng cạnh nhau”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r
Ví dụ 27: Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng đấu.
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng đấu”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là . r
Ví dụ 28: Người ta phân chia một cách ngẫu nhiên 8 bạn học sinh Kì, Thi, Trung, Học, Phổ, Thông, Quốc, Gia thành 2 nhóm, mỗi nhóm 4 bạn, để chơi trò kéo co. Tính xác xuất để hai bạn Quốc và Gia ở trong cùng một nhóm.
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “hai bạn Quốc và Gia ở trong cùng một nhóm”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là . 
Ví dụ 29: Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lên bảng. Tính xác suất để số
 vừa viết thỏa mãn trong số đó mỗi chữ số đều lớn hơn chữ số đứng trước nó.
Phân tích
Gọi A là biến cố số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số được viết ra thỏa mãn mỗi chữ số lớn hơn chữ số đứng trước nó. Khi đó
	 d là số chẵn}.
Để tính ta xét các trường hợp sau
+) Trường hợp này có số.
+) Trường hợp này có số.
Suy ra 
Để tính ta xét các trường hợp sau
+) Trường hợp này có 1 số.
+) Trường hợp này có số.
+) Trường hợp này có số.
Suy ra 
Do đó 
Lời giải
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 
♥ Gọi A là biến cố: “số vừa viết thỏa mãn trong số đó mỗi chữ số đều lớn hơn chữ số đứng trước nó”
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 
♥ Vậy xác suất cần tính là r
B.Bài tập
Bài 1: Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người.Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ
Kết quả: 2974
Bài 2: Từ 1 nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ. Thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lể mít tinh tại trường với yêu cầu có cả nam lẫn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Kết quả: 1260
Bài 3: Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau.
Kết quả: 120960
Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi 1 khác nhau. (Chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0, nhưng không có mặt chữ số 1.
Kết quả: 33600
Bài 5: Hỏi từ 9 chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong chữ số đó có mặt chữ số 1.
Kết quả: 8400
Bài 6: Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ ba màu.
Kết quả: 105
Bài 7: Cho tập . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ  mà chia hết cho 5?
Kết quả: 5712
Bài 8: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số không bắt đầu bởi chữ số 1
Kết quả: 96
Bài 9: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau,  thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 5.
Kết quả: 24
Bài 10: Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7, có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1
Kết quả: 60
Bài 11: Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 7 được viết từ các chữ số đã cho
Kết quả: 480
Bài 12: Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho số tạo thành là một số không có chữ số 7
Kết quả: 24
Bài 13: Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho số tạo thành là 1 số chẵn
Kết quả: 24
Bài 14: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6  ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và trong đó có chữ số 4.
Kết quả: 1560
Bài 15: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6  ta có thể thành lập bao nhiêu  số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt chữ số 5.
Kết quả: 1560
Bài 16: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể thành lập bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.
Kết quả: 312
Bài 17: Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho các chữ số đều khác nhau
Kết quả: 2520
Bài 18: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cứ 3 người đi dự hội nghị SV của trường sao cho trong 3 người có ít nhất 1 cán bộ lớp?
Kết quả: 324
Bài 19: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho.
1.    Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2.    Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
Kết quả: 1) 5400	2) 12900
Bài 20: Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Kết quả: 161
Bài 21: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam, 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho phải có ít nhất 1 nữ.
Kết quả: 78740
Bài 22: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam, 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho phải có 2 nam 2 nữ.
Kết quả: 31500
Bài 23: Một nhóm học sinh gồm 10 nam và 6 nữ.Chọn 1 tổ gồm 8 người. Có bao nhiêu cách chọn để được nhiều nhất 5 nữ.
Kết quả: 12825
Bài 24: Từ một tập thể 8 người gồm 5 nam và 3 nữ , hỏi có  bao nhiêu cách chọn một tổ công tác gồm 4 người thoả điều kiện, trong mỗi trường hợp sau:
1 . Không có điều kiện gì thêm.
2. Tổ chỉ gồm 4 nam
3. Tổ phải gồm 2 nam và 2 nữ.
Kết quả: 1)70	2) 5	3) 30
Bài 25: Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau, đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ.
Kết quả: 42000
Bài 26: Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra một tốp ca gồm 5 em, trong đó có ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Kết quả: 13152
Bài 27: Có 7 người bạn A, B, C, D, E, G, H chụp ảnh chung. Họ muốn chụp ảnh chung bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau, nhưng bộ ba A, B, C bao giờ cũng đứng kề nhau theo thức tự đó. Hỏi có bao nhiêu bức ảnh khác nhau ?. 
Kết quả: 
Bài 28: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9