Tài liệu ôn tập Toán 12

A. 
HUỲNH VĂN LƯỢNG 
0918.859.305 – 01234.444.305 – 0996.113.305-0929.105.305 
www.huynhvanluong.com 
--
---- 
  Một số vấn đề cần biết: 
  Kinh nghiệm học tốt 
  Một số cơng thức liên quan 
  Các nội dung trong tài liệu: 
  Hàm số Mũ Tích phân – nguyên hàm Trang 49 
  Số phức Trang 65 
  Thể tích khối đa diện Trang 75 
  Mặt cầu – mặt nĩn – mặt trụ Trang 96 
  Toạ độ 
www.huynhvanluong.com 
LƯU HÀNH NỘI BỘ 
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 4 0918.859.305-01234.444.305 
B. 
MỤÏC LỤÏC TÀØI LIỆÄU TỐN 12 
--
---- 
 Chương 1. Hàm số 
  Tính đơn điệu của hàm số Trang 05 
  Cực trị Trang 09 
  GTLN – GTNN Trang 11 
  Tiệm cận Trang 11 
  Khảo sát và vẽ đồ thị Trang 12 
  Phương trình tiếp tuyến Trang 13 
  Tương giao đường Trang 15 
  Bài tập tổng hợp Trang 15 
 Chương2. Mũ và logarít 
  Biến đổi mũ và logarit Trang 20 
  Phương trình mũ Trang 26 
  Phương trình logarit Trang 29 
  Bất phương trình mũ Trang 30 
  Bất phương trình logarit Trang 30 
 Chương 3. Nguyên hàm – tích phân 
  Bảng nguyên hàm Trang 31 
  Các phương pháp tìm nguyên hàm Trang 32 
  Tích phân Trang 34 
  Ứng dụng tích phân Trang 37 
 Chương 4. Số phức 
  Số phức Trang 39 
  Các phép tốn trên số phức Trang 41 
  Phương trình trên tập số phức Trang 43 
  Tìm tập hợp số phức Trang 45 
-------------------------------- 
  Tìm đọc các chuyên đề Luyện thi đại học: 
  Hàm số 
  Phương trình lượng giác 
  Hệ phương trình, phương trình và bất phương trình 
  Tích phân 
  Thể tích khối đa diện và khoảng cách (Hình cổ điển) 
  Hình học Oxy 
  Hình học Oxyz 
  Số phức 
  Tổ hợp – Xác suất 
-------------------------------- 
Khi gặp bất kỳ sự cố trong học tập đừng quên 
www.huynhvanluong.com 
Lớp học thân thiện của học sinh Tây Ninh 
0918.859.305 – 01234.444.305 – 0996.113.305-0929.105.305-0967.859.305 
-------------------------------- 
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 5 0918.859.305-01234.444.305 
Dạng 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (sự biến thiên) của hàm số ( )y f x= 
 1.Tìm tập xác định của hàm số ( )y f x= 
 2.Tính ' '( )y f x= và xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = 0 ) 
 3.Lập bảng biến thiên 
 4.Kết luận dựa trên tính chất sau: 
 - Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) ⇔ y’≥ 0∀x∈ (a; b) 
 - Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) ⇔ y’≤ 0∀x∈ (a; b) 
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ 
Chủ đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
 Bài 1. Xét tính biến thiên của các hàm số sau: 
1. y = -x3+3x2-3x+1 4. y= 3 2
2 1
x
x
− +
−
2. y= 2x4 +5x2 -2 5. 
2 2 2
1
x xy
x
+ +
=
+
3. y= (x+2)2(x-2)2 6. 
2
2
2 3
10
x xy
x
− −
=
−
7. 2 6 10y x x= − + 8. 
2 3
2 1
x xy
x
− +
=
+
9. y= 2 1 3x x+ + − 10. y=2x + 2 1x − 
 11. y = x 22 x− 12. y = x – 2 sinx , với 0< x < 2pi 
13.y = x + cosx trên khoảng (0;pi ) 14. y= sin2x - 3 x trên (0;
2
pi ) 
 Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: 
1. 2
2
9
xy
x
=
−
 2. 
2 2 3
1
x xy
x
− +
=
+
3. 
2 5 3
2
x xy
x
− +
=
−
4. 225y x= −
5. 4 31 5
2
y x x x= + − + 6. 1
3
xy
x
+
= 
7. 2
3
1
xy
x
=
+
9. 2 2 3y x x= + + 9. 
2
2
3 2
2 1
x xy
x x
− +
=
+ −
2
310. 3 2
1
y x
x
= − +
+
11. 
22 3
2 1
x xy
x
+
=
+
 12. 2 2 3y x x= − + 
13. 22y x x= − 14. 24y x= −
15. 22 4 1y x x= − + +
 Bài 3: Chứng minh các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định): 
 a) 3 5 13y x x= + + c) 2 1
2
x
y
x
−
=
+
 d) 
2 2 3
1
x x
y
x
+ −
=
+
 c) 5 cot( 1)y x x= − + − d) cosy x x= − e) sin cos 2 2y x x x= − − 
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. 
 + Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) ⇔ y’≥ 0∀x∈ (a; b) 
 + Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) ⇔ y’≤ 0∀x∈ (a; b) 
  ax
2+bx+c ≥ 0∀x∈ R ⇔ 




≤
>
0∆
0a
  ax
2+bx+c ≤ 0∀x x∈ R ⇔ 




≤
<
0∆
0a
  g(x) ≤ m∀x∈D ⇔ 
Dx
Max
∈
g(x) ≤ m  g(x) ≥ m∀x∈D ⇔ 
Dx
Min
∈
g(x) ≥ m 
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 6 0918.859.305-01234.444.305 
BÀI TẬP MẪU CĨ GIẢI 
1. Cho hàm số 3 23( 1) 3 ( 2) 1y x m x m m x= − − + − + . Tìm m để hàm số đồng biến trên R 
Lời giải:TXĐ: D = R. 2' 3 6( 1) 3 ( 2)y x m x m m= − − + − 
Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y x≥ ∀ ∈ R 
3 0
' 6 9 0
3
2
a
m
m
= >
⇔ ∆ = + ≤
⇔ ≤ −
2. Cho hàm số 2 ( )y x m x m= − − . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R 
Lời giải: TXĐ: D = R 
3 2
'y x mx m= − + − 
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi ' 0,y x≤ ∀ ∈ R 
3 2
2
0,
1 0
0
0
x mx m x
a
m
m
⇔ − + − ≤ ∀
= − <
⇔ ∆ = ≤
⇔ =
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài tốn được thỏa 
3. Tìm m để hàm số 3 21 (3 2)
3
my x mx m x−= + + − luơn đồng biến 
Lời giải: TXĐ: D = R 
2
' ( 1) 2 3 2y m x mx m= − + + − 
Trường hợp 1: 1 0 1 ' 2 1m m y x− = ⇔ = ⇒ = + ⇒ m = 1 khơng thỏa yêu cầu bài tốn 
Trường hợp 2: 1 0 1m m− ≠ ⇔ ≠ 
Hàm số luơn đồng biến khi ' 0,y x≥ ∀ 
2
2
( 1) 2 3 2 0,
1 0
' 2 5 2 0
2
m x mx m x
m
m m
m
⇔ − + + − ≥ ∀
− >
⇔ ∆ = − + − ≤
⇔ ≥
Vậy: Với 2m ≥ thì yêu cầu bài tốn được thỏa 
4. Tìm m để hàm số 2
3
mxy
x m
−
=
+ −
 luơn đồng biến trên từng khoảng xác định 
TXĐ: { }\ 3D R m= −
2
2
3 2
' ( 3)
m my
x m
− +
=
+ −
Hàm số luơn đồng biến khi ' 0, 3y x m> ∀ ≠ − 
2 3 2 0
1 2
m m
m m
⇔ − + >
⇔ 
5. Cho hàm số 3 23 4y x x mx= + − − . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( );0−∞ 
TXĐ: D = R; 2' 3 6y x x m= + − 
Hàm số đồng biến trên ( );0−∞ khi ' 0, ( ,0)y x≥ ∀ ∈ −∞ 
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 7 0918.859.305-01234.444.305 
2
2
( ,0)
3 6 0, ( ,0)
3 6 ( ), ( ,0)
min ( )
x x m x
m x x g x x
m g x
−∞
⇔ + − ≥ ∀ ∈ −∞
⇔ ≤ + = ∀ ∈ −∞
⇔ ≤
Ta cĩ: '( ) 6 6 0 1g x x x= + = ⇔ = − 
Vẽ bảng biến thiên ta cĩ 
( ,0)
min ( ) ( 1) 3m g x g
−∞
≤ = − = − 
Kết luận: Với 3m ≤ − thì điều kiện bài tốn được thỏa 
BÀI TẬP: 
1.Tìm m để hàm số y= 2x3-3mx2+2(m+5)x-1 đồng biến trên R 
2.Tìm m để hàm số 3 2( ) 3 ( 2) 3y f x mx x m x= = − + − + nghịch biến trên R 
3. Tìm m để hàm số 3 2 2( ) ( 1) ( 2)y f x x m x m x m= = − + + − + + nghịch biến trên R 
5. Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21( ) 1 3 2
3
y f x m x mx m x= = − + + − tăng trên R 
6.Tìm m để hàm số y= x3+3x2+(m+1)x+4m giảm trên (-1;1) 
 7. Tìm m để hàm số 4( ) mxy f x
x m
+
= =
+
 giảm trên khoảng ( ),1−∞ 
 Dạng 3 Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình và hệ phương trình 
 * Phương pháp giải phương trình dạng : f(x) = C (với C là hằng số) hoặc f(x)= f(t) 
 + Nếu dạng f(x) = C thì nhẩm nghiệm xo (tức là tìm giá trị xo sao cho f(xo)=C) 
 + Chứng minh hàm số f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định D của phương trình 
 Từ đĩ suy ra phương trình cĩ một nghiệm duy nhất x= xo hoặc x= t 
 * Phương pháp giải phương trình: f(x) = g(x) 
 + Nhẩm nghiệm xo (tức là tìm giá trị xo sao cho f(xo)= g(xo)) 
 + Chứng minh hàm số f(x) đồng biến, g(x) nghịch biến trên tập xác định D của phương trình 
hoặc ngược lại 
 Từ đĩ suy ra phương trình cĩ một nghiệm duy nhất x= xo 
 * Tương tự đối với bất phương pháp và hệ phương trình. 
BÀI TẬP MẪU CĨ GIẢI 
1. Giải các phương trình 
a. 2011 2x x+ = b. 2 1 5x x+ − = 
Lời giải: 
a. Đặt 2011 2010( ) '( ) 2011 1 0f x x x f x x= + ⇒ = + > 
⇒ f(x) là hàm số đồng biến trên R 
Mặt khác: (1) 2f = nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình 
b. Điều kiện 1x ≥ và x = 1 khơng là nghiệm của phương trình 
Đặt 2( ) 1f x x x= + − với x > 1 
1
'( ) 2 0, 1
2 1
f x x x
x
⇒ = + > >
−
⇒ f(x) là hàm số đồng biến 
Mặt khác: (2) 5f = nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình 
2. Giải phương trình 3 7 2 4x x x+ + + + = (1) 
Lời giải 
Điều kiện của phương trình 7 41 7 41
2 2
x
− +≤ ≤ (*) 
(1) 3 7 2 4 0x x x⇔ + + + + − = 
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 8 0918.859.305-01234.444.305 
Xét 
71
1 2 3( ) 3 7 2 4 '( ) 0, (*)
2 3 2 7 2
xg x x x x g x x
x x x
+
+
= + + + + − ⇒ = + > ∀ ∈
+ + +
⇒ g(x) là hàm số đồng biến 
Mặt khác: g(1) = 0 
Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình 
3. Giải phương trình 3 32 23 32 1 2 1 2 (1)x x x x+ + + = + + 
Phương trình (1) được viết lại 3 32 23 31 1 1 2 1 2 (2)x x x x+ + + + = + + 
Xét 3 3
32 23
1 1 1 1( ) 1 '( ) . . 0
3 3( 1)
f t t t f t
t t
= + + ⇒ = + >
+
⇒ hàm số đồng biến trên R 
Mặt khác: 2 2
1
(2) ( 1) (2 ) 1 2 1
2
x
f x f x x x
x
=
⇔ + = ⇒ + = ⇔
 = −

4. Giải hệ phương trình 
3
2 2
( 2) 1
1
x x y y
x y
 + = + +

+ =
Lời giải: 
3 3 3
3
(1) ( 2) 1 ( 1) 1
( ) ( 1), ( )
1
x x y y x x y y
f x f y f t t t
x y
⇔ + = + + ⇔ + = + + +
⇔ = + = +
⇔ = +
Thay 1x y= + vào (2) ta cĩ: 2 0 11 1 0
1 0
y x
y y
y x
= ⇒ =
+ + + = ⇔ 
= − ⇒ =
Vậy hệ cĩ 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1) 
5. Giải hệ phương trình 
3
1 1
2 1
x y
x y
y x

− = −


= +
Lời giải 
Điều kiện xác định của hệ phương trình 0, 0x y≠ ≠ 
Xét hàm số 2
1 1( ) '( ) 1 0, 0f t t f t t
t t
= − ⇒ = + > ∀ ≠ 
⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên { }\ 0R 
Mặt khác: 1 1 ( ) ( )x y f x f y x y
x y
− = − ⇔ = ⇒ = 
Ta được hệ phương trình như sau 3 3 1 52 1 2 1 0 1,
2
x y
x y x y
y x x x x x
=
= =  
⇔ ⇔  
− ±
= + − + = = =  

Kết luận: hệ phương trình cĩ 3 nghiệm 1 51,
2
x y x y − ±= = = = 
 Dạng 4 Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức 
 + Biến đổi bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≤, ≥ ) 
 + Xét hàm số y = f(x) trên tập D do đề bài chỉ định. 
 + Tính đạo hàm f’(x) và xét dấu f’(x) để suy ra hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên D 
 + Dựa trên định nghĩa tính đồng biến, nghịch biến để kết luận 
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 9 0918.859.305-01234.444.305 
1.Chứng minh rằng 
2
0 :1 cos
2
x
x x∀ > − < (HD xét hàm số 
2
( ) 1 cos
2
xy f x x= = − − ) 
2. Chứng minh rằng: 
 e) sinx < x , với 0 < x<
2
pi
 f) sinx > 
pi
x2
, với 0 < x<
2
pi
 g) sinx ≥ x - 
3
3x
, với ∀ x ≥ 0 
 h) 2sinx + tanx > 3x, với 0 < x<
2
pi
--------------------------------------- 
Chủ đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số 
 *Phương pháp1. (dùng quy tắc 1) 
 1.Tìm tập xác định của hàm số 
 2.Tính '( )f x và giải phương trình '( ) 0f x = tìm nghiệm thuộc tập xác định 
 3.Lập bảng biến thiên 
 4.Kết luận 
 *Phương pháp 2. (dùng quy tắc 2) 
 1.Tìm tập xác định của hàm số 
 2.Tính '( )f x và giải phương trình '( ) 0f x = tìm nghiệm ( 1,2,3...)ix i = thuộc tập xác định 
 3.Tính ''( ) và ''( )if x f x 
 4.Kết luận 
 +Nếu ''( ) 0if x < thì hàm số đạt cực đại tại điểm ix 
 +Nếu ''( ) 0if x > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm ix 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 
Bài tập1: Dùng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số 
1. y = 1
3
x
3+x2-3x+2 2.y = x4+2x2-3 
2. y = 3 1
2 4
x
x
−
+
 4.y =
2 3 3
1
x x
x
− +
−
3. y= 22 4 5x x− + 6. y=(2x+1) 29 x− 
7. y = 3 1x x+ + − 8. y= 
2
2 3
1
x
x x
+
+ +
9. y =
22 2
2 1
x x
x
− + +
+
 10. 4 26 8 25y x x x= − + + 
Bài tập 2: Dùng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số 
 1.y= 3x5-20x3+1 2. y = 25 6 4x x− + 
 3.y = cos23x 4. y = sin cos
2 2
x x
− 
Bài tập 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số: 
 a) y = x3 + 3x2 – 9x + 2 b) y = -x3 + x2 + x + 2 
 c) y = x4 – 4x2 + 4 c) y = 
1
2
+
−
x
x
 d) y = 
1
4
−
+
x
x
 e) y = -x4 + 2x2 + 2 
 f) y = x – 2sinx , với 0< x < 2pi g) y = x 22 x− 
3
3
) tan (0; )
3 2
) tan sin (0; )
2
)sin 0
6
1 1) s in20
2 2
o
x
a x x x
b x x x
x
c x x x
d
pi
pi
> + ∀ ∈
> ∀ ∈
> − ∀ >
− < < −
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 10 0918.859.305-01234.444.305 
Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để hàm số cĩ cực trị thõa mãn điều kiện cho trước 
 - Hàm số đạt cực đại tại x=xo ⇔ 



<
=
0)(x'f'
0)(xf'
o
o
 - Hàm số đạt cực tiểu tại x=xo ⇔ 



>
=
0)(x'f'
0)(xf'
o
o
 - Hàm số cĩ cực trị (cực đại, cực tiểu) 
 ⇔ y’= 0 cĩ nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm 
 ⇔ y’= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt (nếu y’ là tam thức bậc hai) 
 - Chú ý: 
  ax
2+bx+c = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt 




>
≠
⇔
0∆
0a
  Định lý Vi-ét: ax2+bx+c = 0 cĩ nghiệm x1,x2 ⇒






=
=+
a
c.xx
a
b-xx
21
21
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 
1) Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: 
 a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= − + − − b) 
2 2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
2) Tìm m để hàm số: 
 a) 3 2( 2) 3 5y m x x mx= + + + − có cực đại, cực tiểu. 
 b) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − − có cực đại, cực tiểu. 
 c) y = x3 – (m + 2)x + m đạt tiểu tại x = 1. ĐS. 1m = 
d) 
1
sin 3 sin
3
= +y x m x
 đạt cực đại tại 3
pi
=x
. ĐS. 2m = − 
e) 
2 1+ +
=
+
x mxy
x m
 đạt cực đại tại x = 2. ĐS. 3m = − 
3) Tìm a, b, c, d để hàm số: 
 a) 3 2y ax bx cx d= + + + đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4
27
 tại x = 1
3
 b) 4 2y ax bx c= + + có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 . 
4) Tìm m để hàm số 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − + đạt cực trị tại x1, x2 thoả: 
1 2
1 2
1 1 1 ( )
2
x x
x x
+ = + . 
5) Cho hàm số y= 1
3
x
3
-(7m+1)x2+16x-m .Tìm m để 
a. Hàm số cĩ cực đại và cực tiểu 
b. Hàm số cĩ các điểm cực đại và cực tiểu tại x1,x2 (1; )∈ +∞ 
c. Hàm số khơng cĩ cực trị 
6) Cho hàm số y= x3-3x2-mx+2 .Tìm m để hàm số cĩ cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2) 
7) Cho hàm số y = x4 – mx2 + 4. Định m để hàm số: 
 a) Chị cĩ 1 cực trị 
 b) Cĩ 3 cực trị 
----------------------------------------------------- 
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 11 0918.859.305-01234.444.305 
Chủ đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
 Bài tốn 1 Nếu [ ],D a b= thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau: 
 1.Tìm tập xác định của hàm số 
 2.Tính '( )f x và giải phương trình '( ) 0f x = tìm nghiệm 1 2, ...x x thuộc tập xác định 
 3.Tính 1 2( ), ( ), ( ).... ( )f a f x f x f b 
 4.Kết luận: Số lớn nhất là [ ],ax ( )x a bM M f x∈= và số nhỏ nhất là [ ], ( )x a bm Min f x∈= 
Bài tốn 2.Nếu ( , )D a b= thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau: 
 1.Tìm tập xác định của hàm số 
 2.Tính '( )f x và giải phương trình '( ) 0f x = tìm nghiệm thuộc tập xác định 
 3.Lập bảng biến thiên 
 4.Kết luận 
 Chý ý: Cĩ thể sử dụng các bất đẳng thức (Cauchy, Bunhiacốpxki, ) và tập giá trị của hàm số 
 Bài tập1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: 
 1. 3 22 3 12 1y x x x= + − + trên [–1; 5] 2. 33y x x= − trên [–2; 3] 
 3. 4 22 3y x x= − + trên [–3; 2] 4. 4 22 5y x x= − + trên [–2; 2] 
 5. 3 1
3
x
y
x
−
=
−
 trên [0; 2] 6. 1
1
x
y
x
−
=
+
 trên [0; 4] 
 7. 
24 7 7
2
x x
y
x
+ +
=
+
 trên [0; 2] 8. 
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ −
 trên [0; 1] 
 9. 2100y x= − trên [–6; 8] 10. 2 4y x x= + + − 
 Bài tập 2 Tìm GTLN,GTNN ( nếu cĩ ) của các hàm số sau: 
 1. 4 2( ) 2y f x x x= = − trên [ ]0;2
2. 3 1( )
3
xy f x
x
−
= =
−
 trên [ ]0;2 
 3. 2( ) 4y f x x x= = + − (B-2003) 4.
2
1( )
1
xy f x
x
+
= =
+
 trên [ ]1, 2− (D-2003)
 5.
2
2
3 10 20( )
2 3
x xy f x
x x
+ +
= =
+ +
(SPTPHCM2000) 6. ( ) 5cos os5xy f x x c= = − trên ,
4 4
pi pi 
−  
 8. ( ) 2cos 2 osx-3y f x x c= = − +
9.
22 1
1
x xy
x
+ +
=
+
 trên ( 1, )− +∞
 Bài tập 3. Tìm GTLN và GTNN(nếu cĩ) của các hàm số sau: 
 a) y = x3 + 3x2 – 9x + 2, với ∀ x ∈[ 1, 4] b) y = -x3 + x2 + x + 2, với ∀ x ∈[ -1, 4] 
 c) y = x – 2 sinx , với ∀ x ∈[ 0, 2pi ] d y = 2−x + x−4 
----------------------------- 
Chủ đề 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1.Đường tiệm cận đứng .Đường thẳng: 0x x= gọi là đường tiệm cận đứng của (C): ( )y f x= nếu thoả 
một trong các điều kiện sao: 
0
0
0
0
lim ( )
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x x
x x
x x
x x
f x
f x
f x
f x
−
+
−
+
→
→
→
→
= +∞
= +∞
= −∞
= −∞
2.Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng 0y y= được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của 
hàm số ( )y f x= nếu 0lim ( )
x
f x y
→+∞
= hoặc 0lim ( )
x
f x y
→−∞
= 
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 12 0918.859.305-01234.444.305 
Bài tập 1. Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau: 
 1. 2 3( )
1
xy f x
x
+
= =
+
 2.
2
2
2 3( )
4
x xy f x
x
+ +
= =
−
 3. 3
3( )
27
xy f x
x
= =
+
Bài tập 2.Tìm m sao cho đồ thị hàm số 2 2 1( ) x my f x
x m
+ −
= =
+
 cĩ tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1) 
Bài tập 3. Cho hàm số 2( )
1
x my f x
mx
+
= =
−
.Tìm m sao cho đồ thị hàm số cĩ tiệm cận đứng, tiệm cận 
ngang và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật cĩ diện tích bắng 8. 
------------------------------- 
Chủ đề 5. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
 Các bước chính khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: ( )y f x= 
 1. HÀM ĐA THỨC: 
  Tập xác định: D=R 
  Tính giới hạn: 




+∞→
−∞→
x
x
limy
limy 
  Tính y’, tìm nghiệm của y’=0 (nếu cĩ) 
  Lập bảng biến thiên 
  Nêu kết luận về tính biến thiên và cực trị của hàm số 
 Lưu ý tính chất: 
biến nghịch số hàm 0y'
biến đồng số hàm 0y'



⇒<
⇒>
  Đối với hàm bậc ba: 
 + Tính y’’, tìm nghiệm của y’’ = 0 (nếu cĩ) 
 + Kết luận điểm uốn 
  Điểm đặc biệt hoặc bảng giá trị 
  Vẽ đồ thị. 
 2. HÀM PHÂN THỨC: Dạng: 
dcx
bax
y
+
+
= 
  Tập xác định: D=R\{-d/c) 
  Tính 
2d)(cx
b.c-a.d
y'
+
= 
D trên biến nghịch số hàm Dx 0y'
D trên biến đồng số hàm Dx 0y'



⇒∈∀<
⇒∈∀>
  Giới hạn, tiệm cận: 
 • đứng cận tiệm là 
c
d
x 
limy
limy
y'. dấu ngược
y'. dấu
c
d
x
c
d
x
-
−=⇒







=
=
∞
∞
+
−→
−→
 • ngang cận tiệm là 
c
a
y 
c
a
limy
c
a
limy
x
x
=⇒






=
=
+∞→
−∞→
  Bảng biến thiên 
  Điểm đặc biệt hoặc lập bảng giá trị 
  Vẽ đồ thị (đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng) 
Tài liệu ơn tập Tốn 12 www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 13 0918.859.305-01234.444.305 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
 a. 3 2( ) 3 1y f x x x= = − + b. 3 2( ) 2 3 12 13y f x x x x= = + − − 
 c. 3( ) 3y f x x x= = − + d. 3 2( ) 3 3 2y f x x x x= = + + + 
 e. 3 2( ) 3 5 2y f x x x x= = − + − + f. 2( ) ( 3)y f x x x= = − 
 g. 3 2( ) 2 4 3y f x x x x= = + − − h. 3 2( ) 6 9 8y f x x x x= = + + + 
2. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
 a. 4 2( ) 3 6 2y f x x x= = − + b. 2 4( ) 2y f x x x= = − c. 4 2( ) 2 3y f x x x= = + − 
 d. 4 2( ) 2 3y f x x x= = − + + e. 4 21 1( )
2 2
y f x x x= = − f. 4 2( ) 5 4y f x x x= = − + 
3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
 a. 
2 1( )
2
xy f x
x
+
= =
+
 b. 1( )
1
xy f x
x
+
= =
−
 c. ( )
1
xy f x
x
= =
+
 d. 1( )
2
xy f x
x
+
= =
−
4.Cho hàm số 3( ) 3 1y f x x x= = − + cĩ đồ thị (C) 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 3 3 1 0x x k− − + = 
5. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2( )
1
xy f x
x
−
= =
−
 . Tìm điểm trên đồ thị (C) thỏa: 
a) cĩ tọa độ nguyên b) Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số c) Cách đều A(0;0) và B(2;2) 
--------------------------------- 
Chủ đề 6. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
 1.Bài tốn 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= cĩ đồ thị (C) tại điểm Mo(xo, yo): 
 y =f’(xo)(x-xo) + yo 
 Trong đĩ 0'( )f x được gọi là hệ số gĩc của tiếp tuyến tại tiếp điểm 
 Chú ý: 
 + Trục hồnh (Ox): y = 0 
 + Trục tung (Oy): x = 0 
 + Hồnh độ x 
 + Tung độ y 
2.Bài tốn 2. Tiếp tuyến của (C) cĩ hệ số gĩc k cho trước. 
 + Tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k ⇒ f’(xo) = y’= k 
 + Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax+b ⇒ f’(xo) = y’= a 
 + Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng y = ax+b ⇒ f’(xo) = y’= - 1/a 
 + Tiếp tuyến song song vớ