Tài liệu Ôn tập Chương 4 – Giới hạn Lớp 11

A- Giới hạn dãy số
 *Các giới hạn thường gặp:
 limC = C ; lim= 0 a > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1
*Các phép tốn giới hạn :
 lim(un ± vn) = limun ± limvn ; lim(un.vn) = limun ; 
 limvnlim = 
*Các định lý về giới hạn: 
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì cĩ giới hạn 
	 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì cĩ giới hạn 
Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn)
 Nếu "n ta cĩ un ≤ vn ≤ wn và 
limun = limwn = A thì limvn = A
Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim = ¥ 
 Nếu limun = ¥ thì lim = 0 
*Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn là 
S = 
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
 a) lim b) lim c) lim 
 2.Tính các giới hạn sau:
 a) lim b) lim c) lim	d) lim e) lim f)lim() g) lim
 3.Tính các giới hạn sau:
 a) lim 	b) lim() 
 c) lim)
 d) lim) 
 e) lim 	f) lim 
g) lim
h) lim i)lim()
 j) lim n() 
k) lim()
l) lim 
m) lim(1 + n2 – )
n) lim 
4.Tính các giới hạn 
a) lim b) lim 
c) lim d) lim e) lim f) lim
g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1
 4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = 
 a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng
 b)Suy ra (un) cĩ giới hạn và tính giới hạn đĩ
 5.Cho dãy (un) xác định bởi 
u1 = ; un+1 = 
 a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
 b)Suy ra (un) cĩ giới hạn và tính giới hạn đĩ
 6.Tìm các số hữu tỉ sau : 
 a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515....
 7.Tính 
lim(1 – ).(1 – ).(1 – )(1 – )
8. Cho dãy (xn) thỏa 
0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ 
Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn 
 9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 "n Ỵ N
a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n "n ≥ 3
b) Tính limxn 
10.Cho dãy số xác định bởi : 
u1 = ; un +1= 
a) Chứng minh rằng: un < 1 "n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên 
c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định bởi cơng thức u1 = và un +1= 
a) Chứng minh rằng un < 3 " n
 b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
c) Tính limun
B- Giới hạn hàm số
 *Các phép tốn về giới hạn hàm số 
*Các định lý về giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số cĩ giới hạn thì giới hạn đĩ là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu thì 
Định lý 3: Nếu 
 Nếu 
Định lý 4: 
*Các dạng vơ định: là các giới hạn cĩ dạng ; ; 0.¥ ; ¥ – ¥ 
1.Tính các giới hạn sau: a) b) 
c) d)
e) f)
g) h)
i) k) m,nỴN 
2.Tính các giới hạn sau:
a) b) c) d) e) f) 
g) h) i) j) k)
l) m) n) o)
3.Tính các giới hạn sau:
a) b) 
c) d) e) 
f) g) 
h) 
i) 
g) 
h) 
4.Tính các giới hạn sau:
 a) b) 
c) d) 
 e) f) 
g) h) i) j) 
 k) l) m) n) o) p) q) r)
 4.Tính các giới hạn sau:
a) 
b) c) 
d) e) 
f) 
g) h) 
i) 
j) k) 
l) m) 
 5.Tính các giới hạn sau:
 a) b) 
 b) 
 c) d) 
 e) f) 
 g) h)
 i) i) 
 j) h) 
 j) k) 
 6.Tính giới hạn các hàm số sau 
 a) b)
c) d) 
e) f) ) 
g) 
h) 
i) 
j) 
7.Tìm 2 số a,b để 
 a)
 b) = 0
8. Tính các giới hạn sau:
a) b) 
C- Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại xo Û 
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nĩ liên tục tại mọi điểm xo Ỵ (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nĩ liên tục trên khoảng [a;b] 
 và 
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục 
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c Ỵ (a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = 
c)f(x) = 
2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
 a) f(x) = tại xo = 1
 b) f(x) = tại xo = 2
 c) f(x) = tại xo = 1
 d) f(x) = tại xo = 1
 e) f(x) = tại xo = 2
 f) f(x) = tại xo = 0
g) f(x) = tại xo = 0
h) f(x) = tại xo = 2
3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) = tại x0 = 1
b) f(x) = tại x0 = 1
 c) f(x) = tại xo = 0
 d) f(x) = tại xo = 0
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
 a) f(x) = 
 b) f(x) = 
5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
 a) f(x) = 
 b) f(x) = 
5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
 a) f(x) = 
 b) f(x) = 
6. Chứng minh rằng các phương trình sau cĩ nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7. Chứng minh rằng phương trình 
 a) x3 – 3x2 + 3 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng
 (– 1;3)
 b) 2x3 – 6x + 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
 c) x3 + 3x2 – 3 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng 
(– 1;3)
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 cĩ 2 nghiệm trong khoảng
 (– 3;1)
f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình 
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Cĩ 2 nghiệm phân biệt
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 
2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 cĩ nghiệm trong [0;]
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 
2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) khơng thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình 
ax2 + bx + c = 0 cĩ nghiệm trong (0;1)
10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0
a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ¹ 0
b)Cho a > 0 , c 0
c)Chứng minh rằng phương trình 
ax2 + bx + c = 0 cĩ nghiệm trong (0;1)
11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) Ỵ [a;b] " x Ỵ [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x cĩ nghiệm x Ỵ [a;b]
12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luơn luơn cĩ nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) a(x – b)(x – c)+b(x – c)(x – a)+c(x – a)(x – b) = 0
d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và a , b là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng: phương trình f(x) = cĩ nghiệm trên [a;b]
14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình cĩ nghiệm xo Ỵ (1;2) và xo > 
BÀI TẬP NÂNG CAO GIỚI HẠN DÃY SỐ
Tính các giới hạn 
	b) 	c) 
Tính các giới hạn 
	b) 	c) 
Tính các giới hạn 
	b) 	c) 
Tính các giới hạn 
Tính 
Tính 
Tính các giới hạn của dãy (un)
Chứng minh dãy có giới hạn.
Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn 
Cho . Chứng minh rằng 
Cho dãy (un) xác định bởi công thức . Chứng minh rằng (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giả sử và . Chứng minh rằng , nếu mọi thì dãy (yn) hội tụ và 
Cho dãy (xn) xác định như sau .Tìm .
Xét dãy số nguyên dương (an) thỏa điều kiện . Tính giới hạn 
Cho dãy (un) thỏa điều kiện . Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn . Tìm giới hạn đó.
Cho . Tính 
Cho dãy số (xn) thỏa . Chứng minh rằng tồn tại 2 số dương sao cho 
Cho dãy (xn) xác định theo công thức . Giả sử và f là hàm tăng trên [a.b]. Chứng minh rằng 
Nếu x1 ≤ x2 thì (xn) là dãy tăng.
Nếu x1 ≥ x2 thì (xn) là dãy giảm.
Nếu f bị chặn thì (xn) hội tụ.
Cho (xn) được xác định như sau . Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
Cho (xn) được xác định như sau . Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy.
Xác định x1 để dãy (xn) xác định như sau là dãy hội tụ : 
Cho dãy (xn) với và . Chứng minh rằng 
Cho dãy số (yn) xác định theo công thức với . Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Cho a1 = a, an+1=an(an – 1). Hỏi với giá trị nào của a thì dãy (an) hội tụ.
Cho . Tính limSn.
Cho dãy (un) và (vn) được xác định như sau u1 = a, u2 = b, 
Chứng minh rằng , 
Cho dãy (an) và (bn) được xác định như sau a1 = a > 0, v1 = b > 0, , . Chứng minh rằng 
Các dãy (xn) và (yn) được xác định như sau x1 = a > 0, y1 = b > 0, .chứng tỏ rằng các giới hạn của chúng tồn tại và bằng nhau.
Cho các dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định như sau x1=a, y1 = b, z1 = c, , , . Chứng minh rằng các dãy số này đều hội tụ và 
Cho các dãy số (xn) ,( yn) , (zn) xác định như sau x1= a > 0, y1 = b > 0, z1 = c > 0, , , . Chứng minh rằng 
Xét dãy số (xn) được xác định bởi , x0 = 1. Chứng minh rằng 
Cho f là hàm dương,liên tục và nghịch biến trên [0,∞). Giả sử rằng hệ phương trình có nghiệm duy nhất . Chứng minh rằng dãy số dương với x0 > 0 cho trước hội tụ tới l.
Xét dãy số (xn) được xác định bởi .Khảo sát sự hội tụ của dãy (xn).
Cho a ≠ 1. Xét dãy (xn) được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy (yn) ={(a – 1)xn} có giới hạn và xác định giới hạn đó. 
Xét dãy (xn) được xác định bởi .Chứng minh rằng (xn) không có giới hạn hữu hạn.
Cho dãy hàm dương trên R+ thỏa các điều kiện . Chứng minh rằng tồn tại duy nhất dãy số dương và đơn điệu tăng (xn) thỏa mãn và 
Xét 2 dãy (an) , (bn) xác định bởi a1 = 3, b1 = 2 và an+1 = an2 + 2bn2, bn+1 = 2anbn. Tính và