Tài liệu luyện thi học sinh giỏi môn Toán Khối 9

Phần 1 - chiến lược giải toán
	Trong quá trình giải bài tập rất cần khả năng suy nghĩ lập luận có tính chất chiến lược để giải bài toán, như vậy cần tự mình đặt ra câu hỏi và cố gắng tự tìm câu trả lời trong khả năng có thể. Để rèn luyện được thói quen này, ta nên làm theo những hướng dẫn suy luận sau:
1. Tìm hiểu bài toán:
- Gọi chung Giả thiết là: điều cho biết, dữ kiện bài toán, các điều kiện ràng buộc vv.. Kết luận là: điều phải tìm, là ẩn vv
- Trước hết hãy cố gắng viết tóm tắt đề bài bằng ngôn ngữ toán học và sử dựng các kí hiệu toán học.
- Cần xác định ngay dạng của bài toán để xác định rõ phương hướng giải.
- Bài toán có điều kiện gì ? Cần phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả điều kiện đó thành công thức không ?
- Nhớ lại các kiến thức liên quan đến bài toán, tìm mối liên hệ giữa điều đã cho với điều phải tìm.
- Phân tích điều phải tìm để đi tìm phương hướng đi đến đích của bài.
2. Tìm tòi lời giải.
	* Liên hệ với các bài toán đã giải:
+ Ta đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp ở một dạng khác ?
+ Ta có biết một bài toán nào có liên quan không ?
+ Đây là bài toán có liên quan mà ta đã có lần giải rồi ? - Vậy thì : Có thể sử dụng nó không ? Có thể sử dụng kết quả của nó không ? Có thể sử dụng kết quả ở bài trước (đã giải) vào bài này không ? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không ?
+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ?
	* Với bài toán mới và chưa giải lần nào:
+ Nếu chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan. 
+ Ta có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự ? 
+ Ta có thể giải một phần bài toán không ? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó sẽ thay đổi như thế nào ? 
+ Ta có thể nghĩ ra một điều kiện khác giúp ta xác định được ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn hay các dữ kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không ?
- Có thể bài toán này có những phần cần chú ý. Liệu ta có bỏ qua phần chú ý đó không ?
3. Trình bày lời giải
- Khi giải hãy kiểm tra lại từng bước
- Ta đã thấy rõ mỗi bước làm của ta đều đúng chưa ?
- Những lập luận, biến đổi, trình bày của ta đã hợp Lôgíc chưa ? Ta có thể chỉ ra những căn cứ cho những lập luận, biến đổi đó không ?
- Ta có thể lập luận Logíc, chặt chẽ, chính xác lời giải hơn nữa không ? (Bổ sung thiếu sót, lược bỏ những chỗ dài dòng và rườm rà).
- Có còn sót trường hợp nào của bài toán không.
4. Nghiên cứu thêm về lời giải:
- Kiểm tra kết quả. Xem xét các lập luận.
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải. Rút ra phương pháp giải một loại toán hay một dạng toán nào đó. Rút ra kinh nghiệm giải toán như về:
+ Cách giải, phương pháp giải loại toán đó
+ Những bài toán dạng này cần sử dụng kiến thức gì để giải
+ Những điểm cần chú ý, những sai lầm thường mắc phải và cách khắc phục vv.
- Cố gắng tìm thêm cách giải khác (nếu có thể).
- Khai thác thêm các kết quả có thể có của bài toán, đề xuất các bài toán tương tự, bài toán đặc biệt. Đặc biệt nên cố gắng đưa bài toán đã cho về dạng tổng quát của nó.
Kết luận chung
	Trên đây chỉ là những câu hướng dẫn suy nghĩ để tập trung giải quyết bài toán, trong quá trình vận dụng cần phải linh hoạt khéo léo, tuỳ từng bài toán cụ thể mà có những câu hướng dẫn ta có thể lược bỏ. Chiến lược giải trên ngoài áp dụng cho Môn Toán học mà còn có thể áp dụng để học vào các môn Vật Lí, Hoá Học. 
Chúc các em học tốt !( Thầy Bùi Văn Hải )
Phần 2 – các dạng toán
A.Toán rút gọn
Bài 3 : Cho biểu thức 
Rút gọn P
Tìm các giá trị của x sao cho 
Chứng minh P Ê 
Bài 4 : Cho biểu thức 
Rút gọn P
Tính giá trị của P biết 
Tìm giá trị lớn nhất của 
Bài 5 : Cho biểu thức 
Rút gọn P 
Tính giá trị của P nếu 
Tìm các giá trị của x để 
Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên
Bài 6 : Cho biểu thức 
Rút gọn P 
Tính giá trị của biết 
Tìm các giá trị của m để có các giá trị x thoả mãn 
Bài 7: Cho biểu thức 
Rút gọn P 
Tìm các giá tri của x để 
So sánh P với 1
Bài 8 : Cho biểu thức 
Rút gọn P
Tìm x để P < 0
Tìm x để – P = 
Bài 9 : Cho biểu thức : 
	a) Rút gọn . 
	b) Tính P với x = . 
	c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 10: Cho biểu thức:
	a) Rút gọn M .
	b) Với giá trị nào của x thì M < 1 ?
Bài 11: Cho biểu thức :
Rút gọn P.
Xác định các giá trị của x để ( x + 1 ).P = x – 1
Biết Tìm x để Q có giá trị lớn nhất.
Tìm x để 
Bài 12 : Cho biểu thức :
Rút gọn P. 
Tìm x để 
Tìm x để : 
Tìm m để có 1 giá trị của x thoả mãn :
B. Hàm số bậc nhất :
Bài 1 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2
a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5)
Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng và đi qua điểm B(1;)
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3)
Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đường thẳng y = x – 2
Bài 2: Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng :
	y = (k – 2)x + m – 1 và y = (6 – 2k)x + 5 – 2m.
	a) Trùng nhau 	b) Song song	c) Cắt nhau
Bài 3 : Cho hàm số y = (a - 1)x + a
Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3
 Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm được ở các câu a và b trên cùng một hệ trục toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được.
Bài 4 : Cho đường thẳng y = (m - 2)x + n (m ạ 2) (d)
Tìm các giá trị của m và n trong các trường hợp sau:
Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;4)
Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 
Đường thẳng (d) cắt đường thẳng 2y + x – 3 = 0
Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0
Bài 5 :
	a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau :
	y = x 	(d1)	;	y = 2x (d2)	;	y = - x + 3 (d3)
	b) Đường thẳng (d3) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) theo thứ tự tại A , B. Tìm toạ độ của các điểm A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 6 : Cho hàm số y = (1 - 2m)x + m + 1 	(1)
Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
Tìm m để hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 1 + m
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định duy nhất. Tìm điểm cố định đó.
Bài 7 : Cho hai đường thẳng 
	y = - 4x + m - 1 (d1) và y = (d2)
	a) Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm trên trục tung.
	b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đường thẳng (d1) và (d2) với trục hoành.
	c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
	d) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 8 : Cho hàm số (d) . Tìm giá trị của m và k để đường thẳng (d):
	a) Đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(-3 ; 4).
	b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ .
	c) Cắt đường thẳng 
	d) Song song với đường thẳng 
	e) Trùng với đường thẳng 
C. Quan hệ giữa Parabol y = ax2 và đường thẳng y = mx + n
I. Tóm tắt lý thuyết:
1/ Toạ độ giao điểm của Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ phương trình 
2/ Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của phương trình ax2 = mx + n tức ax2 - mx – n = 0 (1)
Nếu phương trình (1) có D > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt.
Nếu phương trình (1) có D = 0 thì (1) có nghiệm kép, đường thẳng tiếp xúc với Parabol.
Nếu phương trình (1) có D < 0 thì (1) vô nghiệm, đường thẳng và Parabol không giao nhau
II. Bài tập 
Bài 1 : Cho hai hàm số y = x2 (P) và y = 2x + 3 (d)
Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d).
Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d).
Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và A trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 2 : Cho Parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = 2x - m (d) 
Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao nhau.
Khi (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, xác định toạ độ điểm A và B với m = - 3 .
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (-2 ; 1) và tiếp xúc với (P)
Tìm toạ độ trung điểm của AB.
Bài 3 : Cho Parabol (P): y = và đường thẳng y = x + n
Tìm giá trị của n để đường thẳng tiếp xúc với (P).
Tìm giá trị của n để đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng với (P) nếu n = 1. Vẽ đồ thị của (P) với đường thẳng trong trường hợp ấy.
Bài 4: Cho Parabol (P): y = và đường thẳng (d): mx + y = 2.
Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng d luôn đi qua 1 điểm cố định.
Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích D AOB ứng với giá trị tìm được của m.
Chứng minh rằng: Trung điểm I của AB khi m thay đổi luôn nằm trên Parabol cố định.
D. Phương trình bậc hai một ẩn - Hệ thức Vi-et
Bài 1 :	Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 
	1) Giải phương trình khi m = -1
 	2) Chứng minh rằng phương trình luôn có ngiệm với mọi giá trị của m.
	2) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 trái dấu .
3) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 cùng âm .
4) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 cùng dương .
5) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 .
6) Tìm một đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào m .
7) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn .
Bài 2 : Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . 
Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 ẩn là y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mãn : và 
Bài 3 : Cho phương trình (m - 1)x2 - 4mx + 4m - 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
Giải phương trình với m = 2
Tìm m để phương trình có hai nghiệm 
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1.
Bài 4 : Cho phương trình : 
CMR phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng lớn hơn 5
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 2
Tìm m để phương trình có hai nghiệm nằm giữa -1 và 2
Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của	
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 < 3 < x2 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn 3x1 – 4x2 = 5
Bài 5 : Cho phương trình : .
	a) Tìm m để phương trình trên có nghiệm . Tìm nghiệm còn lại
	b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
	c) Tính : theo m.	
 d) Tính : theo m.
 e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm () ; 
 và Tổng bình phương nghịch đảo các nghiệm : ()
Bài 6 : Cho phương trình 	(2)
	a) Giải phương trình khi 
	b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (2) có nghiệm.
	c) Gọi và là 2 nghiệm của phương trình (2). tìm các giá trị của m để:
e. Hệ phương trình :
I. Hệ phương trình bậc nhất ( giải bằng phương pháp thế, cộng đại số, đặ ẩn phụ )
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau :
a) 	b) c ) d) 
e) 	f) g) 	h) 
 Bài 2.	Tìm các giá trị của m và n để các hệ phương trình 
	a) 	có nghiệm (x ; y) = (1 ; 2)
Bài 3. Cho hệ phương trình 
	a) Giải hệ phương trình với m = 3
	b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 4. Cho hệ phương trình 
	a) Giải hệ phương trình với a = 3
	b) Với giá trị nào của a thì hệ vô nghiệm ? Hệ vô số nghiệm ?
Bài 5. Cho hệ phương trình 	(với m là tham số và m ³ 0)
	a) Giải hệ phương trình với m = 4.
	b) Giải hệ phương trình trên sao cho x + y nhỏ nhất.
Bài 6 : Cho hệ phương trình :
Giải hệ với m = 1
Tìm m để hệ có nghiệm 
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y.
II. Hệ 2 phương trình đối xứng loại 1 ( là HPT không đổi nếu thay đổi vai trò các ẩn )
Cách giải : Đặt S = x + y ; P = xy từ đó tìm S, P sau đó tìm x, y
Bài tâp : Giải các hệ phương trình sau :
III. Hệ 2 phương trình đối xứng loại 2 ( là HPT khi đổi vai trò của x và y thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) )
Cách giải : Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2)
Bài tâp : Giải các hệ phương trình sau :
III. Hệ 2 phương trình đẳng cấp ( là HPT mà các hạng tử chứa biến có cùng bậc )
Cách giải : 
+ Trường hợp x = 0 ( hoặc y = 0).
Bài tâp : Giải các hệ phương trình sau :
f. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 1: Một người đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một người đi xe máy cũng đi từ A và đuổi theo trên cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc của mỗi người biết vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 20 km/h.
Bài 2: Hai bến tàu A và B cách nhau 48 km.Một tàu thuỷ đi từ bến A đến bến B rồi trở lại, cả đi lẫn về hết 5 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu, biết vận tốc dòng nước không đổi và vận tốc riêng của tàu cả đi lẫn về là không đổi.
Bài 3: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được một giờ với vận tốc dự định, người đó giảm vận tốc đi 2 km/h trên quãng đường còn lại, nên đã đến B chậm 15 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của người đi xe đạp.
Bài 4 : Một công nhân được giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khoán được giao đã được người công nhân hoàn thành sớm 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của người công nhân đó.
Bài 5 : Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm. 
Bài 6 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình đầy bể trong bao lâu ?
Bài 7: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể ?
Bài 8 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tôt theo kế hoạch ?
Bài 9 : Tổng của hai chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số là 18. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì sẽ được số mới lớn hơn số ban đầu 54 đơn vị. Tìm số ban đầu. 
Bài 10: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ô tô con khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đường ấy, đi được 2 giờ thì gặp ô tô khách. Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc của ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 10km/h. 
Bài 11: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một người khác đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h và nếu không có gì thay đổi sẽ đuổi kịp người đi xe đạp tại B. Nhưng sau khi đi được một nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h nên hai người gặp nhau tại C cách B 10 km. Tính quãng đường AB. 
Bài 12: Một ca nô chạy trên khúc sông dài 95 km. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 1giờ 12 phút. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h. 
Bài 13 : Hai người cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu người thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn thành toàn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong mấy ngày. 
Bài 14: Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình phương các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó cộng thêm 5. 
Bài 15: Lớp 9A có 14 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn, số học sinh vừa giỏi toán vừa giỏi văn bằng nửa số học sinh không giỏi toán mà cũng không giỏi văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi toán vừa giỏi văn, biết rằng sĩ số của lớp 9A là 35. 
Bài 16 : Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ Tính vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của ca nô.
g. phương trình quy về phương trình bậc hai.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
j) 	k) 	l)
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) b) 	c)
d) 	e) 	g)
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) 	b) 	
c) 	d) 	
e) 	f) 	
g) 	h) 	
i) 	j) 
k) 
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) 	b) 	
c) 	d) 
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
Bài 6. Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 	e) 
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
h. Hình học .
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, đường tròn đường kính MC cắt tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia Bn tại điểm thứ hai D.
Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD
Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp
Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đường kính nhỏ nhất có thể được.
Bài 2 : Cho (O;R) đường kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA < MB. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N. Trên tia đối của tia MN lấy điểm C. Nối C với B cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Giao điểm của AI với MN là K.
Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp 
Chứng minh : CI. CB = CK . CH
Chứng minh IC là tia phân giác góc ngoài của tam giác IMN
Cho MN = và AN // BC. Tính MC.
Bài 3 : Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn đó (AC < BC), D là một điểm trên dây BC nhưng không trùng với B và C. AD cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là E, BE cắt đường thẳng AC tại F.
Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
Chứng minh 
Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BED với đường kính AB là G. Chứng minh FD đi qua G.
Biết dây AC = a, dây CB = b, tính tổng BE. BF + AC. AF theo a và b.
Bài 4 : Cho (O) và một điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ một cát tuyến d cắt đường tròn tại điểm B và C (B nằm giữa A và C). Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đường tròn tại M và M, gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh : AM2 = AB. AC
Chứng minh các tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp được.
Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh IE // MC
Khi d quay quanh A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên đường nào ?
Bài 5 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là một điểm thuộc cung BC sao cho . Tia phân giác của cắt (O) tại M, cắt BC tại I. 
Chứng minh AB. IC = AI. MB
Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ Dx vuông góc với DA cắt tia AM tại E. Tứ giác ADEC là hình gì ? Chứng minh.
Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia DE tại G. Chứng minh rằng tứ giác BDGC nội tiếp.
Chứng minh rằng B; M; G thẳng hàng.
Bài 6 : Từ một điểm S ở ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đường tròn sao cho . Tia phân giác của cắt dây BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. Các tiếp tuyến của (O) tại C và E cắt nhau tại N. Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CE; AE và CN.
Chứng minh SA = SD
Chứng minh EN // SD
So sánh tam giác PCB và tam giác QCE
Chứng minh : 
Bài 7 : Cho tam giác ADC (). Điểm B nằm giữa A và C (B ≠ A, B ≠ C). Đường tròn (O) đường kính