Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học: 2015 - 2016 môn thi: Toán học

UBND HUYỆN TƯ NGHĨA 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
Năm học: 2015 - 2016 
Môn thi: Toán 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 12/11/2015 
Bài 1:(3 điểm) 
Cho biểu thức 
2 2 1 1 1
.( )
3 2 1 2 1 21
x x
A
x xx

  
   
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . 
b) Rút gọn biểu thức A . 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Bài 2:(6 điểm) 
a) Gi i ph ng trình: 3
1 1
1
2 2
x x    
b) Chứng minh rằng : 
1 1
2
x y
   biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0. 
c) Cho , ,x y z thỏa mãn 
1 1 1 1
: 1
x y z x y z
   
   
   
  
 
. 
Tính giá trị của biểu thức    29 29 11 11 2015 2015B x y y z z x    . 
Bài 3:(4 điểm) 
a) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1) 323 
b) Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất c các ớc d ng của p4 là một số chính 
ph ng. 
Bài 4:(4 điểm) 
Cho tam giác ABC ( có ba góc nhọn) nội tiếp đ ờng tròn (O; R). Các đ ờng cao AD, 
BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đ ờng tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của 
ABC. 
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO 
b) Chứng minh 
HD HE HF
1
AD BE CF
Bài 5:(3 điểm) 
Cho nửa đ ờng tròn (O; R) đ ờng kính AB. C và D là hai điểm nằm trên nửa đ ờng 
tròn đó sao cho 0 0CAB 45 ,DAB 30 . AC cắt BD tại M. Tính diện tích tam giác ABM 
theo R 
..........................HẾT.............................. 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
UBND HUYỆN TƯ NGHĨA 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện 
Năm học: 2015 - 2016 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 12/11/2015 
Bài Nội dung Điểm 
1a 
(1đ) 
a) Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa : 3
2 0
2
1 0
1
2 1
x
x
x
x
x
 
 
   
 
 
1,0đ 
1b 
(1đ) 
b) Rút gọn biểu thức A 
2
3 2
2
2 2
2 2
2 1 1 1 ( 2) 1 2
.( ) .
1 2 ( 1)( 1) 2 1 ( 2)1 2 1 2
( 2) 1 ( 2) ( 1)
( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)
( 1) 1
( 1)( 1) 1
x x x x
A
x x x x xx x
x x x x x x
x x x x x x x
x
x x x x x
 
    
        
    
  
      
  
 
    
1,0đ 
 1c 
(1đ) 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Ta có 
2
2
1 1
1 31
( )
2 4
A
x x
x
 
 
 
 
Ta có A nhỏ nhất khi 2
1 3
( )
2 4
x   đạt giá trị nhỏ nhất 
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là 
4
3

 khi 
1
2
x  = 0
1
2
x  
1,0đ 
2a 
(2đ) 
a) i i ph ng trình 3
1 1
1
2 2
x x    
 ĐK: x 
1
2
 
Đặt 3
1 1
à 0
2 2
u x v v x     
Ta có u + v = 1 và u
3
+v
2
 =1 
1,0đ 
Suy ra (1-v)
3
+ v
2 
= 1 v(v-1)(v-3) = 0
0
1
3
v
v
v

 

 
 (thỏa mãn) 
Thay v = 0; v = 1; v = 3 lần l ợt vào 
1
2
v x  
Tìm đ ợc x=
1
2
; x
1
2
  ; x
17
2
  (thỏa mãn) 
1,0đ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
2b 
(2đ) 
b) Chứng minh 
1 1
2
x y
   biết x
3
 + y
3 
+ 3(x
2
+y
2
) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0. 
Ta có: x
3
 + y
3 
+ 3(x
2
+y
2
) + 4(x+ y) + 4 = 0 
 (x + y)( x
2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0 
 ( x
2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0 
 ( x + y + 2)( x
2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0 

1
2
.( x + y + 2)( 2x
2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = 0 

1
2
.( x + y + 2). 2 2 2( ) ( 1) ( 1) 2x y x y       = 0 
 x + y + 2 = 0 
 x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0 
1,0đ 
Áp dụng BĐT CauChy ta có 
( ) ( ) ( ) 2
( )( ) 1
2 2 2
x y x y
x y
    
      
Do đó xy 1 suy ra 1 
1
xy
 hay 
2
xy

 -2 Mà 
1 1 2x y
M
x y xy xy
 
    
Vậy 
1 1
2M
x y
    (đpcm) 
1,0đ 
2c 
(2đ) 
c) Cho , ,x y z thỏa mãn 
1 1 1 1
: 1
x y z x y z
   
   
   
  
 
. 
Tính giá trị của biểu thức    29 29 11 11 2015 2015B x y y z z x    
Ta có:   1
1 1 1 1 1 1 1
: 1 x y z
x y z x y z x y z
     
       
     
     
 
 (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz 
 xyz + zy
2 
+ yz
2 
+ zx
2 
+ xyz + xz
2 
+ yx
2
 + xy
2
 + xyz = xyz 
 (xyz + zx
2 
+ xy
2
+ yx
2
)+ (zy
2 
+ yz
2 
+ xz
2 
+ xyz) = 0 
 1,0đ 
 x(yz + zx
+ y
2
+ yx)+ z(y
2 
+ yz
+ xz
+ xy) = 0 
 (yz + zx
+ y
2
+ yx)( x+ z) = 0 ( )( )( ) 0x y y z x z    
x y
y z
z x
 
  

  
 Thay vào B tính đ ợc B = 0 
1,0đ 
3a 
(2đ) 
a) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 1 323 
Ta có: 323=17.19 
 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) 
20
n
 – 1 19 
16
n
 – 3n 19 (n chẵn) 
Do đó 20n + 16n – 3n – 1 19 (1) 
1,0đ 
 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1) 
20
n
 – 3n 17 
16
n
 –1n 17 ( n chẵn) 
Do đó 20n + 16n – 3n – 1 17 (2) 
Mà (17;19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n + 16n – 3n – 1 323 
1,0đ 
GH
M
F
A
E
O
C
K
DB
3b 
(2đ) 
b) Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất c các ớc d ng của p4 là một số 
chính ph ng 
Các ớc d ng của p4 là: 1; p; p2; p3; p4 
Gi sử 1+ p+ p2+ p3+ p4 = n2 (nN) 
Ta có: 4n
2 
= 4+ 4p+ 4p
2
+ 4p
3
+ 4p
4 
(1) 
Suy ra: 4p
4 
+ 4p
3
+ p
2
 < 4n
2 
< (4p
4
+ 4p
3
+ 4p
2 
+ 4p + 4) + 5p
2 
 4p
4 
+ 4p
3
+ p
2
 < 4n
2 
< 4p
4 
+
 p
2 
+ 4+ 4p
3 
+ 8p
2 
+ 4p 
 1,0đ 
 ( 2p
2 
+ p)
2
 < (2n)
2 
< ( 2p
2 
+ p +2)
2 
Suy ra: (2n)
2
 = ( 2p
2 
+ p +1)
2 
(2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 4+ 4p+ 4p2+ 4p3+ 4p4 = ( 2p2 + p +1)2 
 p
2 
- 2p - 3 = 0 Gi i ph ng trình ta tìm đ ợc p = 3(thỏa mãn) 
Với p=3 ta có n2 = 1+ 3 + 9 + 27 + 81= 121= 112 
Vậy số nguyên tố cần tìm là: p = 3 
1,0đ 
4 
(4đ) 
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO 
 ACK nội tiếp đ ờng tròn (O) đ ờng kính AK 
Nên KC AC 
Mà BE AC (gt) 
Suy ra KC // BE hay KC // BH 
Chứng minh t ng tự ta có KB // CH 
Nên tứ giác BHCK là hình bình hành 
Gọi M giao điểm của BC và HK nên 
 M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của ABC nên AG = 
2
3
AM 
 M là trung điểm của HK nên AM là đ ờng trung tuyến của AHK. 
Mà G thuộc đoạn AM và AG = 
2
3
AM nên G là trọng tâm của AHK 
Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đ ờng trung tuyến của AHK 
Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO 
 AHG và AGO có chung đ ờng cao kẻ từ A đến HO và HG = 2GO 
Do đó SAHG = 2SAGO 
b) Chứng minh 
HD HE HF
1
AD BE CF
 Ta có: 
1 1 1
HD.BC HE.AC HF.AB
HD HE HF 2 2 2
1 1 1AD BE CF
AD.BC BE.A C CF.AB
2 2 2
S S S
HBC HAC HAB
S S S
ABC ABC ABC
S S S
HBC HAC HAB
S
ABC
 = 
S
ABC
S
ABC
= 1 
1,0đ 
1,0đ 
2,0đ 
AN
C
M
D
B
HO
5 
(3đ) 
Tính diện tích tam giác ABM theo R 
Gọi N là giao điểm của AD và BC; H là giao điểm của MN và AB 
 Chứng minh 0AHM 90 ; mà 0CAB 45 (gt) nên AHMvuông cân 
MH = AH 
MH + HB = AH + HB = 2R (1) 
1,0đ 
* MHBvuông tại H 
 HB=MB.cos MBH 
0
HB HB
MB = = = 2HB
cos MBH cos 60
 
 MH= MB.sinMBH MH 0
MB. 3
MB.sin 60 HB. 3
2
HB=
MH 3.MH
33
 (2) 
Từ (1) và (2) ta có MH + 
3.MH 6R
2R MH (3 3).R
3 3 3
Vậy: 2
AB.MH 1
S .2R.(3 3)R (3 3)R
2 2
2,0đ 
Ch 
-Học sinh có thể gi i theo cách khác, nếu đúng v n cho điểm tối đa. 
-Không có điểm vẽ hình. 
-Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không có điểm. 
Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! 
Tôi tên là :Tr ng Quang An 
Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận đ ợc 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán 
tuổi th 15 năm tuổi .B n thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự nh ng 
hoàn c nh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm l ng quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi 
làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì tháng nào có 
s n phẩm thì có l ng ,không có s n phẩm làm thì tháng đó không có l ng ,một tháng 
đ ợc 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang tr i cho cuộc sống hằng ngày 
.Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền 
trang tr i cuộc sống .Cha tôi ngày x a làm phụ hồ ,làm thuê làm m ớn cho ng ời ta ,mẹ 
tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 
.Tôi rất nghèo nh ng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên 
lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành c m n tạp chí đã có th mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền 
tàu xe đi và về ,ăn ở b n thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm 
ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội th o đ ợc ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí 
TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều 
ng ời đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ th ờng xuyên viết bài và gởi bài cho tạp 
chí toán tuổi th và tạp chí toán học& tuổi trẻ 
Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí 
Tên : Tr ng Quang An 
 Ngày sinh :20-5-1987 
Tốt nghiệp cao đẳng s phạm toán qu ng Ngãi năm 2009 
 Ra tr ờng đi xin việc khắp mọi n i vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm 
việc gi ng dạy toán cho 1 tr ờng cấp 2 
Nhà hiện nay ở Thành Phố Qu ng Ngãi 
Thành tích lúc đi học : 
Lớp 8 : Học sinh đạt gi i nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Qu ng Ngãi 
Lớp 9 : Học sinh đạt gi i ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Qu ng Ngãi 
Lên cấp 3 học Tr ờng Cấp 3 Chuyên Lê Khiết 
Năm 2005 thi đại học s phạm Quy Nh n đạt 24 điểm , tôi ph i xa gi ng đ ờng 
đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng c m áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học 
.Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng s phạm Qu ng Ngãi 
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : 
- Gi i nhất toán lý s cấp 3 năm học 2006,2007,2008 
-Ba năm gi i nhất môn gi i tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp 
tr ờng Cao Đẳng S Phạm Qu ng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 
 -Trong 3 lần đại diện cho tr ờng thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 
1 lần đạt gi i ba ,1 lần gi i khuyến khích . 
-Ba năm liền đạt gi i nhất trong kỳ thi sinh viên gi i toán trên máy tính casio cấp 
tr ờng . 
-Sinh viên đầu tiên của tr ờng cao đẳng s phạm đ ợc đăng đề trong mục đề ra 
kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Sinh viên đầu tiên của tr ờng cao đẳng s phạm đ ợc đăng bài trong mục 
chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Qu ng Ngãi đ ợc đăng bài trên đặc san tạp chí toán 
học và tuổi trẻ 
 -Hiện nay sáng dạy ở tr ờng vì đồng l ng quá thấp nên đi dạy kém khắp n i 
đề kiếm thêm tiền để trang tr i cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê 
Qu ng Ngãi 
-B n thân là ng ời rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện 
nay tôi th ờng gi i các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên 
toán 
-Hiện nay b n thân muốn học lên đại học nh ng có lẻ ớc m đó của tôi không 
thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn c nh 
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu gi i các bài toán khó và giao l u học 
hỏi 
-Xóm tôi bình th ờng lắm ,bọn nhỏ ngây th ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày 
bọn trẻ xóm tôi th ờng nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học tuổi 
trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .M ời sáu năm qua tôi đã coi tạp chí nh một 
ng ời bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích thú tò 
mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng gi i các bài tập trong chuyên mục đề ra kỳ này 
.Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi đ ợc tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề 
hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi b ớc vào s phạm 
toán với nền t ng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi đ ợc tạp chí đăng 1 bài trên chuyên 
mục đề ra kỳ này tôi rất vui s ớng ,không t nỗi .Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi 
chỉ là 1 sinh viên nghèo của tr ờng ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng nh 
tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là s thật .Nh ng tôi không n n 
lòng và cuối cùng tôi cũng đạt đ ợc ớc m của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi 
chỉ ghi bài gi i trên giấy A4 rồi đem th ra b u điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ 
làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 
ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ 
và s u tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không 
có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã tr ớc cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc 
nếu nh tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ 
báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra b u điện mua báo toán ,trên kệ báo 
còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp 
nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã t nữa ,chỉ biết đạp 
thật nhanh .Mấy tháng sau có th nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên 
nghèo nh tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua 
nhanh ,ra tr ng vì hoàn c nh cha mẹ đau và không có tiền,không n i nào nhận mình 
vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám c ới cho nhà hàng ,mình đi dạy 
kèm khắp n i ,có khi ph i đi chạy xe ôm nh ng khi r nh mình th ờng lấy tạp chí toán 
học ra xem .Tạp chí nh một phần trong c thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp n i 
tôi cũng xin đ ợc hợp đồng cho 1 tr ờng cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán 
rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay kho ng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi m ợn 
báo để phô tô cũng có .Hồi x a khi tới ngày 15 hằng tháng tôi th ờng ra b u điện đề 
mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới n i mệt nh ng khi mua đ ợc báo là tôi vui lắm .Vào năm 
2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên b u điện đặt 
báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua đ ợc chiếc xe máy cũ 
đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện h n tôi 
hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong 
cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công .Tôi 
hiện nay có 2 ớc m ,thứ nhất đ ợc ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết 
,năm ngoái đ ợc tạp chí toán học tuổi th mời ra dự buổi hội th o toán học ở Đà Nẵng 
nh ng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong đ ợc học lên đại 
học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nh ng tôi thích học chính quy 
h n , ớc m đó có thể với mọi ng ời rất đ n gi n nhung với mình khó vì gia đình ,cha 
mẹ ,tiền bạc ph i m u sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu tr ờng nào 
cần giáo viên nh tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán 
học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng nh tôi không .L ng hợp đồng 
15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống đ ợc bằng nghề s phạm , 
 Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , 
 tạp chí toán tuổi thơ 
 Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi 
 Trương Quang An