Tài liệu dạy phụ đạo môn Toán Khối 12 - Năm học 2016-2017

 . 
TÀI LIỆU DẠY PHỤ ĐẠO 
MÔN TOÁN KHỐI 12 
NĂM HỌC 2016-2017 
Trang - 1 
CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG 
PHẦN 1: NGUYÊN HÀM 
A. Các nguyên hàm thường gặp: 
= +∫dx x C .a dx ax C= +∫ 
= +∫
1 lndx x C
x
1 1
.lndx ax b C
ax b a
= + +
+∫
α
α
α
+
= +
+∫
1
1
x
x dx C , α ≠ −1 
11 ( )( ) .
1
ax b
ax b dx C
a
α
α
α
++
+ = +
+∫ , α ≠ −1 
= +∫
x xe dx e C 1ax b ax be dx e C
a
+ +
= +∫ 
ln
x
x aa dx C
a
= +∫ 
1
.
ln
x
x aa dx C
a
α β
α β
α
+
+
= +∫ 
sin . cosx dx x C= − +∫ + = − + +∫
1
sin( ). cos( )ax b dx ax b C
a
cos . sinx dx x C= +∫ + = + +∫
1
cos( ). sin( )ax b dx ax b C
a
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +∫ 2
1 1
tan( )
cos ( ) dx ax b Cax b a= + ++∫ 
= − +∫ 2
1
cot
sin
dx x C
x
 2
1 1
cot( )
sin ( ) dx ax b Cax b a= − + ++∫ 
 B. Các phương pháp tính nguyên hàm : 
1) Dùng tính chất và bảng nguyên hàm: 
Ví dụ : 
a. ( ) ( ) ( )+ ++ = + = +∫
6 6
5 5 3 5 315 3 .
5 6 30
x x
x dx C C 
4 2
3 1
. 3 7 3. ln 7
4 2
x xb x x dx x x C
x
 
− + − = − + − + 
 
∫ 
c. ( )2 3x x dx+∫ d.
5
2
1x x dx
x
+ −
∫ e. 2tan xdx∫ 
2) Phương pháp đổi biến số: 
Để tính /[ ( )] ( )f u x u x dx∫ ta thực hiện các bước sau: 
Bước 1 : Đặt ( )t u x= . Ta có ( )′=dt u x dx 
Bước 2 : /[ ( )] ( ) ( )f u x u x dx f t dt=∫ ∫ 
Bước 3 : Tìm nguyên hàm hàm số ( )f t theo biến t 
Bước 4 : Thế ( )t u x= vào nguyên hàm của hàm số ( )f t . 
Ví dụ: Dùng phương pháp đổi biến số hãy tính : 
a) I = 2 .1
x dx
x +∫
 ( đặt u = x2 + 1) 
+ Đặt u = x2 + 1 ⇒ = ⇒ =2 . .
2
dudu x dx x dx 
Trang - 2 
+ Khi đó : I = 2
1 1 1
. . .
1 2 2
x dudx du
x u u
= =
+∫ ∫ ∫
= + = + +2
1 1ln ln 1
2 2
u C x C 
b) I = cos .sin .xe x dx∫ (đặt u = cosx) 
+ Đặt u = cosx ⇒ = − ⇒ = −sin . sin .du x dx x dx du 
+ Khi đó: I = ( )cos cos.sin . . .x u u u xe x dx e du e du e C e C= − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ 
c) I = 
+
∫
2
3
.
2
x dx
x
 ( đặt u = 3 2x + ) d) I = −∫ 3 2. 1x x .dx e) I = 3cos .x dx∫ 
Chú ý 1: Các dạng bài tập sau thường dùng phương pháp đổi biến số 
DẠNG CÁCH ĐẶT 
( )
( )∫
. 'a u x
dx
u x
( )
( )
. '
n
a u x
dx
u x
∫ 
Đặt u = u(x) ( hay ( )n u x ) 
( ) ( )∫ . . 'u xe a u x dx Đặt u = u(x) 
( ) ( )  ∫ . . 'nu x a u x dx 
( ) ( )α  ∫ . . 'n u x a u x dx 
Đặt u = u(x) ( hay ( )n u x ) 
3) Phương pháp nguyên hàm từng phần: 
+ Các dạng bài tập sau sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm, 
Dạng ( ). xP x e dx∫ ( ).cosP x xdx∫ ( ).sinP x xdx∫ ( ).lnP x xdx∫ 
u P(x) P(x) P(x) lnx Cách 
đặt dv exdx cosxdx sinxdx P(x)dx 
+ Công thức nguyên hàm từng phần: 
. .u dv u v vdu= −∫ ∫ 
Ví dụ : 
a) Tính A= ∫ ln .x dx 
+ Đặt: 
1ln .u x du dx
xdv dx
v x

= = 
⇒ 
=  =
+ Khi đó: A= = − = − = − +∫ ∫ ∫
1ln . . ln . . . ln 1. . lnx dx x x x dx x x dx x x x C
x
b) Tính B= ∫ .cosx xdx 
+ Đặt: 
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= = 
⇒ 
= = 
+ B= = − = + +∫ ∫.cos .sin sin .sin cosx xdx x x xdx x x x C 
c) Tính C = ∫ . xx e dx + Đặt: x
u x
dv e dx
=

=
 d) Tính D= ∫ .sin 2x xdx 
Tìm một nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước: 
* Phương pháp giải: 
+ Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho. 
+ Dựa vào điều kiện đã cho tìm C 
+ Thay C vào họ nguyên hàm ⇒ một nguyên hàm cần tìm. 
* Vận dụng: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1 + sin3x khi biết F(
6
pi )= 0 
Trang - 3 
+ Gọi F(x) = ( )+ = − +∫ cos31 sin 3 3
x
x dx x C 
+ Do F(
6
pi )= 0 pi pi pi−⇔ − + = ⇔ =1 cos 0
6 3 2 6
C C 
+ Vậy F(x) = cos3x
3 6
x
pi
− − thỏa F( pi
6
)= 0 
C. BÀI TẬP: 
BÀI TẬP TRÊN LỚP BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài tập 1: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số 
sau: 
a. f(x) = x2 – 3x + 1
x
b. f(x) = 2
1x
x
−
c. f(x) = 2 2
cos2
sin .cos
x
x x
 d. f(x) = 2ax + 3x 
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số: 
a. ( ) 2 1 4f x x x= − , biết F(1) = 0 
b. ( ) − +=
+
2 5 4
1
x xf x
x
, biết F(0) = 1 
Bài tập 3: Tìm nguyên hàm sau: 
a. 5(3 2 )
dx
x−∫
 b. −∫ 5 2xdx 
c. 
2 7(2 1)x xdx+∫ d. +∫ 3 4 2( 5)x x dx 
e. 
2 1.x xdx+∫ f. +∫ 2(1 )
dx
x x
 g. 5
sin
cos
x dx
x∫
 h. ∫ cot xdx 
m. 
sin
dx
x∫
 n. ∫ t an xdx 
Bài tập 4: tìm các nguyên hàm sau: 
a. sin 2x xdx∫ b. +∫( 1)cos2x xdx 
c. .
x
x e dx∫ d. ∫ ln xdx 
 e. lnx xdx∫ f. ∫ xe dx 
Bài tập 1: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số 
sau: 
a. f(x) = 
4
2
2 3x
x
+
b. f(x) = 2 2
1
sin .cosx x
c. f(x) = ex(2 + 
−
2 )cos
xe
x
d. f(x) = 4x + 3x 
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số: 
a. ( ) 2 105 4
xf x
x x
−
=
− +
, biết F(2) = 3 
b. ( ) =
− +2
1
5 4
f x
x x
, biết F(0) = -1 
Bài tập 3: tìm các nguyên hàm sau 
a. 
2 1
dx
x −
∫ b. +∫ 2 7(2 1)x xdx 
c. 
3 4 2( 5)x x dx+∫ d. +∫ 2 5
x dx
x
e. 
2
3
3
5 2
x dx
x+
∫ f. 
+
∫
2 1
.
xx e dx 
g. ∫
4sin cosx xdx h. 2
tan
cos
xdx
x∫
m. ∫ cos
dx
x
 n. tan xdx∫ 
Bài tập 4: tìm các nguyên hàm sau 
a. +∫(2 3).sinx xdx b. cosx xdx∫ 
c. ∫
2ln xdx d. 
ln xdx
x
∫ e. ∫ 2 cos2x xdx 
PHẦN 2: TÍCH PHÂN 
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM: 
 I. Định nghĩa và tính chất của tích phân: 
*ĐN: ( ) ( ) ( ) ( )aFbFxFdxxf ba
b
a
−==∫ 
 * Tính chất: + ( ) 0
a
a
f x dx =∫ + ( ) ( )∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf + ( ) ( ).
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫ 
+ ( ) ( ) ( ) ( )bcadxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a
<<+= ∫∫∫ , + ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx ±  = ± ∫ ∫ ∫ 
Trang - 4 
 II. Các phương pháp tính tích phân: 
1)Phương pháp đổi biến số: 
*Đổi biến số dạng 1: ( )( ) ( ) ?. / == ∫ dxxuxufI
b
a
 + Đặt: ( ) ( )/t u x dt u x dx= ⇒ = 
+ Đổi cận: ( )butbx =⇒= , ( )x a t u a= ⇒ = 
 + Khi đó: ( )
( )
( )
( ) ( )( ) ?=== ∫ bu au
bu
au
tFdttfI 
*Đổi biến số dạng 2: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa: 
 + 2 2a x− ⇒ Đặt: 



−∈=
2
;
2
,sin. pipittax 
 + 2 2x a− ⇒ Đặt: 





−∈=
2
;
2
,
cos
pipi
t
t
a
x 
 + ⇒+ 22 ax Đặt: . tan , ;
2 2
x a t t
pi pi 
= ∈ − 
 
 + ⇒+ 22 ax Đặt: . tan , ;
2 2
x a t t
pi pi 
= ∈ − 
 
2)Phương pháp tính tích phân từng phần: 
 * Công thức: duvvudvuI
b
a
b
a
b
a
∫∫ −== ... 
 *Các dạng tích phân từng phần thường gặp: 
• Dạng 1: 
( )
( )
( )
( )
.sin
.cos
.
.
b
a
b
a
b
x
a
b
x
a
P x xdx
P x xdx
P x e dx
P x a dx

+ 


+


+ 


+ 

∫
∫
∫
∫
 Ta đặt: ( ) ( ) /u P x du P x dx = ⇒ =   
 ( ( )P x : là đa thức ) 
• Dạng 2: 
( ).ln
ln
b
a
b
n
a
P x xdx
x dx
x

+ 


+ 

∫
∫
 Ta đặt: ( )/ln lnu x du x dx= ⇒ = 
 ( ( )P x : là đa thức ) 
Trang - 5 
B. BÀI TẬP: 
BÀI TẬP TRÊN LỚP BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài tập 1: Tính các tich phân sau: 
a. Tính 
2
2
0
cosI xdx
pi
= ∫ 
b. Tính 
pi
pi
−
= ∫
2
2
sin 3 .cos5 .I x x dx 
c. Tính = +∫
4
2
1
( 3 )I x x dx 
d. Tính 
−
+ +
=
−
∫
0 2
1
3 2
1
x xI dx
x
e. Tính −=
+ +∫
2
2
1
1
3 2
xI dx
x x
f. Tính 
0
cosI x dx
pi
= ∫ 
Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 
 a.Tính 
pi
= ∫
2
2
0
sinI xdx 
b. Tính 
2
0
cos 2 .cos3 .I x x dx
pi
= ∫ 
c. Tính + += ∫
4 2
1
2 1
.
x xI dx
x
d. Tính 
1 2
0
3 3
1
x xI dx
x
− +
=
+∫
e. Tính 
−
=
+ −∫
0
2
1
3
2
xI dx
x x
f. Tính = −∫
2
2
0
1I x x dx 
Bài tập 2: Tính 
a. 
2
5
1
(2 1)x dx−∫ b. −∫
1
0
1x xdx 
c. 
4
3
0
cos sinx xdx
pi
∫ d. 
pi
+∫
4
0
cos
1 3sin
x dx
x
e. 3
0
sin xdx
pi
∫ f. ∫
2
1
lne xdx
x
Bài tập 2: tính 
a. 
3
20
1
(1 2 ) .x dx−∫ b. −∫
1
2
0
. 1 .x x dx 
c. 
2
2
1
2
.
1
x dx
x +
∫ d. 
pi
+∫
6
0
1 4 sin .cosx dx 
e. 
pi
∫
2
sin
0
.cosxe xdx f. 
2
3
0
cos xdx
pi
∫ 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
a. ∫
1
0
x
xe dx b. 
1
2
0
( 1)
x
x e dx+∫ 
c. ∫ 2
1
lne x dx
x
 d. 
pi
∫
/ 2
0
sinx xdx 
e. 
/2
0
cos
2
x
x dx
pi
∫ f. 
+
∫
1
1
0
x
xe dx 
g. 
1
2
0
xx e dx∫ h. +∫
1
0
. ln(2 1)x x dx 
i.
1
2
0
( 2) xx e dx−∫ 
Bài 3: Tính các tích phân sau : 
a. +∫
1
2
0
( 1) xx e dx b. 
/2
2
0
sin
2
x
x dx
pi
∫ 
c. −∫
1
0
ln(3 1)x dx d. 
/4
0
(3 2)cosx xdx
pi
−∫ 
e. 
pi
pi−
+∫
/ 2
/ 2
( sin )x x x dx f.
2
0
(2 7) ln( 1)x x dx+ +∫ 
g.
4
2
0
x(2cos x 1)dx
pi
−∫ i. +∫
1
1( ) ln
e
x xdx
x
Trang - 6 
PHẦN 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM: 
1. Diện tích hình phẳng: 
a)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành: 
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x= , trục hoành, hai đường thẳng bxax == , được 
tính theo công thức: ( )
b
a
S f x dx= ∫ 
 b)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: 
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ( ) ( )xfyxfy 21 , == và hai đường thẳng ,x a x b= = 
được tính bởi công thức: ( ) ( )dxxfxfS
b
a
∫ −= 21 
 * Chú ý: Để tính diện tích trên ta làm như sau: 
 + Giải PT : ( ) ( ) 021 =− xfxf trên đoạn ( ; )a b 
 + Giả sử PT có nghiệm đúng hai nghiệm là 1 2 1 2, ( ; ),c c a b c c∈ < 
 + Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
c cb b
a a c c
S f x f x dx f x f x dx f x f x dx f x f x dx= − = − + − + −∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
c c b
a c c
f x f x dx f x f x dx f x f x dx=  −  +  −  +  −      ∫ ∫ ∫ 
2. Thể tích khối tròn xoay: 
Thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )xfy = , trục hoành, ,x a x b= = 
quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: ( )∫=
b
a
dxxfV 2.pi
3) Ví dụ cụ thể: 
Ví dụ 1: 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x, (P2) : y= x2 + 1 và các đường thẳng x = 0 ; x=2 . 
Giải 
+ Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1 
+ Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1⇔ –2 x -1 = 0 ⇔ x = -1/2 (loại) 
+ Vậy S = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0
0 0
2 1 1 2 . 2 2 0 0 6 6x dx x dx x x− − = − − = − − = − − − − − = − =∫ ∫ 
Ví dụ 2: 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x=2 . 
Giải 
+ Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1 
+ Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1⇔ –2 x -1 = 0 ⇔ x = -1/2 (nhận) 
( ) ( )
( ) ( )
−
−
−
−
−
= − − + − − = − − + − −
   
− − − −       
= − − − − − + − − − − −                       
−
= + − − = + = =
∫ ∫
1
122 22 22
10
1 21
2
2 2
2 2
2 1 2 1
1 1 1 10 0 2 2
2 2 2 2
1 1 1 25 26 136
4 4 4 4 4 2
S x dx x dx x x x x
Trang - 7 
Ví dụ 3: 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x3 – x và (P2) y= x - x2 
Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó 
quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x 
Ví dụ 5: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó 
quay xung quanh trục Ox: x =0 ; 
4
x
pi
= ; y = 0 ; y = sinx Đs: 1( )
2 4 2
V pi pi= − (đvtt) 
B. BÀI TẬP: 
BÀI TẬP TRÊN LỚP BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng : 
a.
 y = 0, x = 0, x = 3= −3 21 ,
3
y x x 
b. 3 23y x x= − ,và trục Ox 
c.
4 22 1y x x= − + và trục Ox 
d. 2 1,
1
xy
x
+
=
+
trục Ox, x=1 
e.
2 22 , y = 4x - xy x x= − 
f. ln , y = 0, x = ey x= 
h. 3 1y x= − và tiếp tuyến với 3 1y x= − tại điểm 
( )− −1; 2A 
Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi 
hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox 
a. 
1
, y = 0, x = 0, x = - 2
2
xy
x
+
=
−
b.
 y = 0= − 22 ,y x x 
c. 2. , y = 0, x = 0, x = 1
x
y x e= 
d. y = x(4 – x), y = 0 
e. y = cosx, y = 0, x = 0, x = pi
4
f. y = ln x , y = 0, x = 1, x = 2 
g. = − = = − =22 1 , 0, 1, 1y x y x x 
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng 
a. 3 23y x x= − và trục Ox 
b.
 x + y = 3= +2 1,y x 
c.
4 21 52
2 2
y x x= − − và trục Ox 
c.
 y = 3x= +2 2,y x 
d. 3 2 1, 1y x x x y x= − + + = + 
f. = + − +3 2( ) : 3 6 2C y x x x và tiếp tuyến của ( C ) 
tại điểm có hoành độ bằng 1 
Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi 
hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox 
a.
2 1
,
1
xy
x
+
=
+
trục Ox, x=1 
b. = − =22 , 0y x x y 
c. y = 
1
3
x
3
 – x
2
, y = 0, x = 0, x = 3 
d. pi pi= = = − =sin , 0, ,
2 2
y x y x x 
e. 2. , 0, 1, 2
x
y x e y x x= = = = 
f. = − = =1, 0, 4y x y x 
g. y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = pi 

Câu hỏi trắc nghiệm phần nguyên hàm. 
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2xf x e= là: 
A. ( ) 21
2
xF x e= B. ( ) 1
2
xF x e C= + C. ( ) 21
2
xF x e C= − + D. ( ) 21
2
xF x e C= + 
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) sin3f x x= là: 
A. ( ) 1 cos3
3
F x x C= + B. ( ) cos3F x x C= − + 
C. ( ) 1 cos3
3
F x x C= − + D. ( ) 1 cos3
3
F x x= − 
Trang - 8 
Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1f x
x
= là: 
A. ( )F x x C= + B. ( ) 1
2
F x C
x
= + C. ( ) 2F x x C= + D. ( )F x x= − 
Câu 4: Tìm họ nguyên hàm sau ( )
1
.
2 1
dx
x
∫
+
: 
A. 
1 ln 2 1
2
x + B. 
1 ln 2 1
2
x C+ + C. 1 ln 2 1
2
x C− + − D. ln 2 1x C+ + 
Câu 5: Tìm họ nguyên hàm sau 
3
1
x dx
x
 
 + 
∫ : 
A. 
3 3 3ln 1
1
x dx x C
x
 
= − + + + 
∫ B. 
3 3 ln 1
1
x dx x x C
x
 
= − + + + 
∫ 
C. 
3 3 ln 1
1
x dx x C
x
 
= − + + + 
∫ D. 
3 3 3ln 1
1
x dx x x C
x
 
= − + + + 
∫ 
Câu 6: Tìm họ nguyên hàm sau 3 2 2
1 2
cos sin
x dx
x x
 
− + 
 
∫ : 
A. ( )
4
tan 2cot
3
xF x x x C= − − + B. ( )
4
tan 2cot
4
xF x x x C= − + + 
C. ( )
4
tan 2cot
4
xF x x x C= − − + D. ( )
4
tan 2cot
4
xF x x x C= + − + 
Câu 7: Tìm họ nguyên hàm sau 2
1
3 2
dx
x x+ +∫ : 
A. ( ) ln 1 ln 2F x x x C= + + + + B. ( ) 1ln 1 ln 2
2
F x x x C= + + + + 
C. ( ) 1ln
2
xF x C
x
+
= +
+
 D. ( ) ln 2 ln 1F x x x C= + − + + 
Câu 8: Tìm họ nguyên hàm 
1
3
dx
x−
∫ , kết quả là: 
A. ( ) 3F x x C= − + B. ( ) 2 3F x x C= − + 
C. ( ) . 3F x C x= − D. ( ) 2 3F x x C= − − + 
Câu 9: Tìm họ nguyên hàm 2
2
3
x dx
x +∫ , kết quả là: 
A. ( ) 2lnF x x C= + B. ( ) 22ln 3F x x C= + + 
C. ( ) 2.ln 3F x C x= + D. ( ) 2ln 3F x x C= + + . 
Trang - 9 
Câu 10: Tìm họ nguyên hàm 2 3.x x dx+∫ , kết quả là: 
A. ( ) ( )321 33F x x= + B. ( ) ( )2 3F x x C= + + 
C. ( ) ( )321 33F x x C= + + D. Một kết quả khác. 
Câu 11: Tìm họ nguyên hàm 
1 x
dx
e+∫
, kết quả nào sau đây sai : 
A. ( ) ln
1
x
x
eF x C
e
= +
+
 B. ( ) ln
1
x
x
eF x C
e
= +
+
C. ( ) ln ln 1x xF x e e C= + + + D. ( ) ( )lne ln 1x xF x e C= − + + 
Câu 12: Tìm họ nguyên hàm 
2
x
.dx
x 4+∫
, kết quả là: 
A. 2 4x + B. 21 4
2
x C+ + C. 2. 4C x + D. 2 4x C+ + 
Câu 13: Một nguyên hàm của hàm ( ) ( ) ( )2 51 2f x x x= − − là: 
A. 
( ) ( ) ( )8 7 52 2 2 2
8 7 5
x x x− − −
+ + B. 
( ) ( ) ( )8 6 52 2 2
8 6 5
x x x− − −
+ + 
C. ( ) ( ) ( )
9 7 62 2 2 2
9 7 6
x x x− − −
+ + D. 
( ) ( ) ( )8 7 62 2 2 2
8 7 6
x x x− − −
+ + 
Câu 14: Một nguyên hàm của hàm ( ) 21lnf x x x= là: 
A. 
1
ln x
− B. 
1
ln x
 C. 
2
ln x
− D. 
1
2.ln x
− 
Câu 15: Tìm họ nguyên hàm .cos2 .x x dx∫ , kết quả là: 
A. 
1 1
cos 2 .sin 2
4 2
x x x c− − + B. 
1 1
cos 2 .sin 2
4 2
x x x c+ + 
C. 
1 1
cos 2 .sin 2
4 2
x x x c− + + D. 
1 1
cos 2 .sin 2
4 2
x x x c− + 
Câu 16: Tìm họ nguyên hàm ( ).sin 2 1 .x x dx+∫ , kết quả là: 
A. ( ) ( )1cos 2 1 sin 2 1
2 2
x
x x c− + + + + B. ( ) ( )1cos 2 1 sin 2 1
2 2
x
x x c− + − + + 
C. ( ) ( )1cos 2 1 sin 2 1
2 4
x
x x c+ + + + D. ( ) ( )1cos 2 1 sin 2 1
2 4
x
x x c− + + + + 
Trang - 10 
Câu 17: Tìm họ nguyên hàm .lnxx dx∫ , kết quả là: 
A. 
2 2
.ln
2 4
x x
x c+ + B. 
2 2
.ln
2 2
x x
x c− + C. 
2 2
.ln
2 4
x x
x c− + D. 
2 2
.ln
2 2
x x
x c+ + 
Câu 18: Tìm họ nguyên hàm 2
1
.ln .x dx
x∫
, kết quả là: 
A. ( )1 ln 1x c
x
+ + B. ( )1 ln 1x c
x
− − + C. ( )1 ln 1x
x
− − D. ( )1 ln 1x c
x
− + + 
Câu 19: Tìm họ nguyên hàm ( )x.ln 1 .x dx+∫ , kết quả là: 
A. ( )
2 21 1ln 1
2 2 2
x x
x x c
 −
+ + − + 
 
 B. ( )
2 21 1ln 1
2 2 2
x x
x x c
 −
+ − + + 
 
C. ( )
2 21 1ln 1
2 2 2
x x
x x c
 −
+ − − + 
 
 D. ( )
2 21 1ln 1
2 2 2
x x
x x c
 −
+ + + + 
 
Câu 20:Tìm 1 nguyên hàm ( )F x của hàm ( ) ( )2 .ln 2f x x x= − ,biết ( ) 213
2
F −= : 
A. ( ) ( ) ( ) 22 4 ln 2 22
xF x x x x= − − + − B. ( ) ( ) ( ) 22 4 ln 2 22
xF x x x x= + − − − 
C. ( ) ( ) ( ) 22 4 ln 2 22
xF x x x x= − − − − D. Một kết quả khác 

Câu hỏi trắc nghiệm phần tích phân. 
Câu 1: Biến đổi tích phân 
3
0 1 1
xI dx
x
=
+ +∫
 thành ( )
2
1
I f t dt= ∫ với 1t x= + .Khi đó ( )f t là hàm nào 
trong các hàm sau ?. 
A. ( ) 22 2f t t t= − B. ( ) 22 2f t t t= − C. ( ) 2
1
tf t
t
=
+
 D. ( ) 2f t t t= − 
Câu 2: Tính tích phân 
4
0
cosI xdx
pi
= ∫ . 
A. 2
2
− . B. 2
2
 C. 2 2
2
− +
 D. 2 2
2
−
Câu 3: Tính tích phân 
3
2
1
2 3
I dx
x
=
−
∫ . 
A. ln 3 B. 1 1ln 3
2 2
− C. 1 ln 3
2
 D. 2ln 3 
Câu 4: Tính tích phân 
2
1
2
3
I dx= ∫ . 
A. 2 B. 1
3
 C. 2
3
− D. 2
3
Trang - 11 
Câu 5: Tính tích phân 
1
2
0
xI e dx= ∫ . 
A. 
2 2
2
e −
 B. 2e C. 2 1e − D. 
2 1
2
e −
Câu 6: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? 
A. 
4
0
1 1
1 cos
dx
x
pi
=
+∫
. B. 
2
1
1 ln 2.=∫ dxx
C. 2
1
1
2ln ln
e
ex xdx x
x
+
=∫ . D. 
11
2
2
0 0
1 ln 1
1 2
x dx x
x
= +
+∫
Câu 7: Tính tích phân 
3
1
2 lnI x xdx= ∫ . 
A. 9ln 3 5− B. 9ln 3 4− C. 9 ln 3 2
2
− D. 9 ln 3
2
Câu 8: Tính tích phân 
2
0
cos
1 sin
xI dx
x
pi
=
+∫
. 
A. 1
2
 B. ln
2
pi
 C. ln 2 D. ln 2 1− 
Câu 9: Cho biết ( ) ( )
1 1
0 0
4; 1f x dx g x dx= = −∫ ∫ .Tính giá trị ( ) ( )
1
0
f x g x dx−  ∫ . 
A. 5 B. 3 C. -3 D. -5 
Câu 10:Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ? 
A. 
0
1
2 1 33
1 25
−
−
= −
−
∫
x dx
x
 B. ( ) ( )3 2 3
0 0 2
2 4 2 4 2 4x x xdx dx− = − + −∫ ∫ ∫ dx 
C. ( )
22
1 1
1 ln
1 1
xdx
x x x
=
+ +∫
 D. ( ) ( )2 1 22 2 2
2 2 1
1 1 1x dx x dx x dx
− −
− = − + −∫ ∫ ∫ 
Câu 11:Tính tích phân 
2
2
1
2
1
xI dx
x
=
+
∫ . 
A. 5 2− B. ( )2 5 2− C. 5ln 5 2 ln 2− D. 2 
Câu 12:Tính tích phân ( )
2
0
2 1 cosI x xdx
pi
= −∫ . 
A. 1pi + B. 1pi− − C. 3 pi− D. 3pi − 
Câu 13:Tính tích phân ( )
1
2
0
2 xI x e dx= −∫ . 
A. 
23 2
2
e−
 B. 
23 2
4
e−
 C. 
25 3
4
e−
 D. 
21 2
2
e−
Câu 14:Tính tích phân ( )
0
1 cosI x x dx
pi
= +∫ . 
A. 
2 4
2
pi −
 . B. 
2 4
2
pi +
 C. 
2 2 4
2
pi pi− +
 D. 
2 2 4
2
pi pi− −
Trang - 12 
Câu 15:Giả sử ( )
1
22
0
30 291
30
m
x x dx −− =∫ .Tìm giá trị của m ?. 
A. 1m = B. 29
30
m = C. 1m = − D. 59
30
m = 
Câu 16:Tính tích phân 
tan 24
2
0 cos
xeI dx
x
pi
+
= ∫ . 
A. 3 22e e− B. 2 3−e e C. 3e D. 3 2e e− 
Câu 17:Tính tích phân 
1
0
2 1
1
xI dx
x
−
=
+∫
. 
A. 2 ln 2− B. 2 3ln 2− C. 3 2ln 2− + . D. 1 2 ln 2− + 
Câu 18:Tính tích phân ( )3 2
2
lnI x x dx= −∫ 
A. 3ln 3 ln 2− B. 3ln 6 1+ C. 3ln 3 2− D. ln 54 2− 
Câu 19:Tính tích phân 
2
1
2 1
( 1)
xI dx
x x
+
=
+∫
. 
A. 2 ln 2 B. ln 3 C. 3ln3 3ln 2− D. 4ln 3 ln 2 2− − 
Câu 20:Một vật chuyển động với gia tốc có độ lớn là ( )210 /a m s= .Tính vận tốc và quãng đường vật đi 
được sau 10s. 
A. 100 / , 5000v m s s= = /m s . B. 90 / , 4455 /v m s s m s= = 
C. 100 / , 500 /v m s s m s= = D. 90 / , 495 /v m s s m s= = 
Câu 21:Tính tích phân 
1
1 3ln ln
e
xI xdx
x
+
= ∫ . 
A. 112
45
 B. 56
135
 C. 112
15
 D. 116
135
. 

Câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân. 
Câu 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )1y e x= + và ( )1 xy e x= + . 
A. 3 1
2
S e= − B. 2S e= − C. 
2
eS = D. 1
2
eS = − 
Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 , 3xy y x= = − và trục tung. 
A. 5 1
2 ln 2
S = − B. 5 2
2 ln 2
S = − C. 5 l n 2
2
S = − D. 9 7
2 ln 2
S = − 
Câu 3: Gọi D là miền giới hạn bởi ( ) 2: 2P y x x= − và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay 
D quanh trục ox. 
A. 64
15
V pi= B. 16
15
V pi= C. 4
3
V pi= D. 53
480
V pi= 
Câu 4: Tính diện tích hình ph