Tài liệu Chinh phục các dạng khó trong giao động điều hòa

O x 
NHÓM OMEGA 
NGUYỄN VĂN VINH - BÁ QUANG GIÀN - LÊ ĐÌNH HÙNG 
-A 
φ 
A 
TP. HỒ CHÍ MINH 
DẠNG 1: CẮT GHÉP LÒ XO 
1.1 Cắt lò xo 
Từ một lò xo có chiều dài ban đầu (l0,k0) cắt lò xo thành nhiều đoạn có chiều dài khác 
nhau (l1,k1), (l2,k2).Khi đó: 
- Chiều dài của lò xo ban đầu: 
0 1 2 ... nl l l l    
- Độ cứng của mỗi đoạn lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó: 
1 1 2 2 0 0... n nk l k l k l k l Const     
Li độ và chiều dài tự 
nhiên mới của con lắc 
Độ cứng lò xo của con 
lắc lò xo mới 
Vị trí cân bằng của lò xo 
mới cách O một đoạn 
0 0
1 1
l x AB
l x BC
 
1 1 0 0
0
1 0 0
1
 l k l k
l AB
k k k
l BC

  
x = l1-CO 
1.2. Ghép lò xo 
Khái niệm: Từ hai hay nhiều lò xo có chiều dài và độ cứng khác nhau ghép thành một 
hệ con lắc lò xo dao động điều hòa. 
Hai dạng toán cơ bản Độ cứng của hệ Chu kỳ dao động 
Ghép nối tiếp 
 1 2
1 1 1
k k k
  2 2 2
1 2T T T  
Ghép song song 
1 2k k k  
2 2 2
1 2
1 1 1
T T T
  
*Lưu ý: Khi con lắc lò xo đang dao động với chiều 
dài lúc đó là AB, li độ x0 và bị giữ lại tại điểm C 
(xem hình), ta có: 
A B C 
O 
x 
k1 k2 
k1 k2 
k1 k2 
Câu 1: Một lò xo có độ cứng k khi gắn vào vật có khối lượng m thì dao động với chu kì 2 
s. Cắt lò xo thành 3 phần bằng nhau. Cho biết độ cứng lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự 
nhiên của nó. Tìm chu kì dao động nếu: 
a/ gắn vật vào một trong 3 lò xo bị cắt. 
b/ gắn vật vào cả 3 lò xo bị cắt khi chúng được mắc song song với nhau. 
Hướng dẫn: 
a/ Gắn vật vào một trong 3 lò xo đã bị cắt. 
- Độ cứng của mỗi đoạn lò xo sau khi cắt: 
0 0kl k l với 
0
0 3
3
l
l k k   
- Chu kỳ dao động của mỗi đoạn lò xo khi gắn vào vật: 
0
0
2
2 2 ( )
3 3 3
Tm m
T T s
k k
      
b/ Trường hợp 3 lò xo mắc song song với nhau: 
- Độ cứng của hệ gồm 3 lò xo mắc song song: 
1 2 3 09k k k k k    
- Chu kỳ dao động của hệ 3 con lắc lò xo: 
0
0
2
2 2 ( )
9 3 3
Tm m
T T s
k k
      
Câu 2: Hai lò xo L1 và L2 có cùng độ dài. Khi treo vật m vào lò xo L1 thì chu kì dao động 
của vật là T1 = 0,3s, khi treo vật vào lò xo L2 thì chu kì dao động của vật là 0,4s. Nối hai 
lò xo với nhau ở cả hai đầu để được một lò xo cùng độ dài rồi treo vật vào hệ hai lò xo thì 
chu kì dao động của vật là bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Độ cứng của hệ hai lò xo mắc song song: 
1 2k k k  
- Chu kỳ dao động của hệ con lắc lò xo mắc song song: 
OMEGAVL12@gmail.com 
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
2 2
m m
T
k k k k T T T
     
 
2 2
1 2
2 2
1 2
0,143( )
T T
T s
T T

  

Câu 3: Một lò xo đồng chất tiết diện đều được cắt thành 2 lò xo có chiều dài tự nhiên l 
(cm) và 3l (cm). Lần lượt gắn mỗi lò xo này với vật nhỏ khối lượng m thì được 2 con lắc 
lò xo có chu kì dao động riêng tương ứng là 2 s và T. Biết độ cứng của các lò xo tỉ lệ 
nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. Giá trị của T là bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Độ cứng của đoạn lò xo sau khi cắt: 
1 1 2 2l k l k với 2 13l l 
1 23k k  
- Chu kỳ dao động của con lắc lò xo thứ 2: 
2 1
2 1
3
2 2 3 2 3( )
m m
T T s
k k
    
Câu 4: Cho hệ lò xo như hình vẽ. Biết m = 100 g, k1 = 100 N/m, k2 =150 N/m. Khi ở vị 
trí cân bằng, tổng độ dãn của hai lò xo là 10 cm. 
a/ Tìm độ cứng hệ hai lò xo và độ dãn mỗi lò xo khi vật ở vị trí cân bằng. 
b/ Kéo vật tới vị trí để lò xo k2 không dãn rồi buông nhẹ để vật dao động điều hòa, tính: 
+ Cơ năng của hệ và lực đàn hồi cực đại của lò xo k1. 
+ Vận tốc của vật sau khi nó đi được 6 cm. 
Hướng dẫn: 
a/ Độ cứng hệ hai lò xo và độ dãn mỗi lò xo 
khi vật ở vị trí cân bằng: 
- Độ cứng của hệ hai lò xo: 
1 2 250( / )k k k N m   
- Lực tác dụng lên vật ở trạng thái cân bằng: 
1F 2F 
P 
O + 
l1 l2 
N
1 2 0P N F F    
Chiếu lên chiều dương: 
1 1 2 2 0k l k l    (1) 
- Độ dãn của hai lò xo tại VTCB: 
1 2l l l    (2) 
- Từ (1) và (2) ta có: 
1 1 2 2 1
1 2 2
0 0,06( )
0,04( )
k l k l l m
l l l l m
      
 
       
b/ Biên độ dao động của vật: 2A l  
- Cơ năng toàn phần của hệ: 
  21 2
1
W 0,2( )
2
k k A J   
- Lực đàn hồi cực đại của lò xo: 
1max 1 1( ) 10( )F k l A N    
- Li độ của vật: x = 6 - A = 2 cm 
- Vận tốc của vật sau khi đi được 6 cm: 
2
2 2
2
v
x A

  
2 2 3v A x   (cm/s) 
Câu 5: Hai lò xo cùng độ dài l = 20 cm, có khối lượng không đáng kể, độ cứng lần lượt là 
k1 = 100 N/m; k2 = 150 N/m được ghép như hình vẽ. Kéo vật nặng có khối lượng m =1 kg 
xuống dưới để hai lò xo có chiều dài 30 cm rồi thả nhẹ để hệ dao động. Cơ năng của hệ 
dao động bằng? 
Hướng dẫn: 
- Độ cứng của hệ con lắc lò xo: 
k = k1 + k2 = 250 (N/m) 
- Các lực tác dụng lên vật tại vị trí cân bằng: 
1 2 0d dP F F   
- Chiếu lên chiều dương: 1 2 0mg k l k l     
- Độ dãn của hai lò xo tại VTCB: 
1 2
mg
l
k k
 

- Biên độ dao động của vật: max 0( )A l l l   
- Cơ năng dao động của hệ: 
  
 
22
1 2 max 0
1 1
W
2 2
W 0,45
kA k k l l l
J
    

Câu 6: Hai lò xo có độ dài l01 = 20 cm, l02 = 30 cm, có khối lượng không đáng kể, độ 
cứng lần lượt là k1 = 100 N/m; k2 = 150 N/m được ghép như hình vẽ. Kéo vật nặng có 
khối lượng m = 300 g xuống dưới để hai lò xo k1 dãn 10 cm rồi thả nhẹ để hệ dao động. 
 l0 
 l 
 A 
 O 
 + 
 P 
1dF 2dF
Biên độ dao động của con lắc là bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Tại vị trí cân bằng (O) lò xo 1 giãn, lò xo 2 bị nén. 
- Các lực tác dụng lên vật tại VTCB: 
1 2 0dh dhP F F   
- Chiếu lên chiều dương: 1 1 2 2k l k l mg    (1) 
- Độ dãn (nén) của hai lò xo: 
1 01 02 2 1 2 02 01l l l l l l l l        (2) 
- Từ (1) và (2) ta có: 
1 1 2 2 1
1 2 02 01 2
0,072( )
0,028( )
k l k l mg l m
l l l l l m
      
 
      
- Biên độ dao động của hệ: 
10,1 0,028A l m   
Câu 7: Một con lắc lò xo độ cứng k0 treo thẳng đứng, vật dao động điều hòa với biên độ 
A. Khi vật đi qua vị trí cân bằng người ta giữ chặt lò xo ở vị trí cách điểm treo của lò xo 
một đoạn bằng 3/4 chiều dài của lò xo lúc đó. Biết độ cứng của các lò xo tỉ lệ nghịch với 
chiều dài tự nhiên của nó. Tìm: 
a/ Độ cứng đoạn lò xo còn gắn với vật dao động. 
b/ Biên độ dao động của vật sau sau khi bị giữ chặt. 
Hướng dẫn: 
a/ Độ cứng đoạn lò xo còn gắn với vật dao động 
- Chiều dài tự nhiên của đoạn lò xo gắn với vật: 
' '
1 0 1 0
1 1
4 4
l l l l   
- Độ cứng đoạn lò xo còn gắn với vật: 
1 1 0 0 1 04l k l k k k   
b/ Biên độ dao động của vật sau khi giữ chặt. 
- Độ dãn của lò xo tại VTCB: 
0
0
mg
l
k
  
- Chiều dài của lò xo lúc đi qua VTCB O: 
1max 0max 0 0v v A  
- Biên độ dao động của con lắc: 
1max 0 0
1
1 1
v A
A

 
  
 l01 
 10 cm 
 l02 
P 
2F 1F 
 l0 
 l0 
'
0l 
 O 
'
1l 
0 0l l l  
- Chiều dài của lò xo gắn với vật khi giữ chặt: 
' 0 0
4 4 4
l ll
l

    VTCB không thay đổi 
- Vận tốc của vật khi đi qua VTCB O: 
0
0
0
1
0
24
k
A
Am
A
k
m
 
Câu 8: Một con lắc lò xo độ cứng k = 42 N/m, có chiều dài tự nhiên l = 60 cm đặt nằm 
ngang, một đầu được gắn cố định. Kích thích cho vật dao động điều hòa với biên độ 20 
cm. Khi vật có li độ 10 cm và lò xo đang dãn thì giữ cố định tại một điểm trên lò xo cách 
vật một đoạn l/2. Tìm: 
a/ Độ cứng đoạn lò xo còn gắn với vật; phần thế năng đàn hồi mà con lắc bị mất ngay sau 
khi bị chặn. 
b/ Sau đó vật dao động điều hòa với biên độ bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
a/ Chiều dài của đoạn lò xo gắn với vật: 
'
1 0 0
3
7
l
l l l
l
  
- Độ cứng của đoạn lò xo gắn với vật: 
0
1 0 0
1
7
3
l
k k k
l
  
- Li độ của con lắc sau khi bị giữ: 
'
1 0 0
3
7
l
x x x
l
  
- Phần thế năng đàn hồi mà con lắc bị mất: 
 
2 2
0 1 0 0 1 1
1 1
W W W
2 2
W 0,12
t t t
t
k x k x
J
   

b/ Vận tốc của vật lúc sau: 
  2 2 2 2 21 0 0 0 0v v A x   
- Biên độ dao động mới của con lắc: 
 2 2 22 0 0 02 2 21
1 1 12 2
1 1
A xv
A x x

 

    
 2 2 02 0 0
1 0
0
3
77
3
k
A x
mA x
k
m
 
 
  
  
1 0,121( )A m 
 O 
 A0 
 x0 
l 
 + 
Câu 9: Hai lò xo có chiều dài bằng nhau độ cứng tương ứng là k1, k2. Khi mắc vật m vào 
lò xo k1, thì vật m dao động với chu kì T1 = 0,6 s. Khi mắc vật m vào lò xo k2, thì vật m 
dao động với chu kì T2 = 0,8 s. Khi mắc vật m vào hệ hai lò xo k1 ghép nối tiếp k2 thì chu 
kì dao động của m là bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Độ cứng của hệ hai lò xo mắc nối tiếp: 1 2
1 2 1 2
1 1 1 k k
k
k k k k k

   

- Chu kỳ dao động của hệ hai con lắc lò xo mắc nối tiếp: 
 
2 2 2
1 2
2 2
1 2 1
T T T
T T T s
 
  
Câu 10: Một con lắc lò xo có chiều dài l0, độ cứng k0, vật nặng có khối lượng m khi treo 
thẳng đứng thì dao động với chu kì 4s. Sau khi cắt lò xo thành 2 phần bằng nhau rồi ghép 
thành hệ như hình vẽ (vật vẫn có khối lượng m) thì con lắc sẽ dao động với chu kì bao 
nhiêu? Cho biết độ cứng lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. 
Hướng dẫn: 
- Chiều dài lò xo sau khi cắt: 
 1 2 0 2l l l  
- Độ cứng mỗi đoạn lò xo: 
 1 2 02k k k  
- Chu kỳ dao động của hệ hai con lắc lò xo: 
 
0
1 2 0
 2 2
4 2
2
Tm m
T
k k k
T s
   

 
Câu 11: Một lò xo có chiều dài tự nhiên l0, độ cứng k0 = 40 N/m, được cắt thành 2 đoạn 
có chiều dài tự nhiên l1 = l0/5 và l2 = 4l0/5. Giữa hai lò xo được mắc một vật nặng có khối 
lượng 100 g. Hai đầu còn lại của chúng gắn vào hai điểm cố định như hình vẽ. Biết độ 
cứng của các lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. Chu kì dao động điều hòa 
của hệ là bao nhiêu? 
k1 k2 
m 
Hướng dẫn: 
- Độ cứng của các lò xo sau khi cắt: 
 1 1 2 2 0 0l k l k l k  với 
0
1 2 0
4
,
5 5
l
l l l  
1 0
1 0
5
5
4
k k
k k


 

- Độ cứng của hệ hai lò xo mắc song song: 
 1 2k k k  
- Chu kỳ dao động của hệ con lắc lò xo: 
 
1 2
0 0
 2 2
2 = 
4 25
5
5
m m
T
k k k
m
T s
k k
 


 

 

Câu 12: Một lò xo đồng chất tiết diện đều được cắt thành 3 lò xo có chiều dài tự nhiên l 
(cm); (l – 10) (cm) và (l – 20) (cm). Lần lượt gắn mỗi lò xo này (theo thứ từ trên) với vật 
nhỏ khối lượng m thì được 3 con lắc lò xo có chu kì dao động riêng tương ứng là 2 s; 3 s 
và T. Biết độ cứng của các lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. Giá trị của T là 
bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Độ cứng của các lò xo sau khi bị bị cắt: 
   1 2 310 20lk l k l k    
1 1
2 3 ; 
10 20
lk lk
k k
l l
  
 
- Chu kỳ dao động tương ứng của các con lắc lò xo khi gắn vào vật: 
   
1 2 3
1 1 1
10 20
2 ; 2 ; 2
m l m lm
T T T
k k l k l
  
 
   
- Lập tỉ số T2/T1: 
2
1
10 3
 40 cm
2
T l
l
T l

    
- Thay 40 cml  vào chu kỳ dao động của con lắc thứ 3 ta được: 
 13
1
2 = 2
2 2
m T
T s
k
  
m k1 
 k2 
Câu 13: Một vật có kích thước không đáng kể được mắc như hình vẽ. Biết k1 = 80 N/m; 
k2 = 100 N/m. Ở thời điểm ban đầu người ta kéo vật theo phương ngang sao cho lò xo (k1) 
dãn 36 cm thì lò xo (k2) không biến dạng và buông nhẹ cho vật dao động điều hòa (bỏ qua 
mọi ma sát). Biên độ dao động của vật có giá trị bằng bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Lực tác dụng vào vật khi hệ ở vị trí cân bằng: 
1 2 0dh dhP N F F    
- Chiếu lên chiều dương: 
1 1 2 2 0k l k l    (1) 
- Kéo vật về vị trí để lò xo k1 dãn 36 cm và lò 
xo k2 không biến dạng do đó: 
1 2 0,36l l   (2) 
- Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình: 
1 1 2 2 1
1 2 2
0 0,20( )
0,36 0,16( )
k l k l l m
l l l m
      
 
       
- Biên độ dao động của hệ : 
2 0,16( )A l m  
Câu 14: Một vật có kích thước không đáng kể khối lượng 360 g được mắc như hình vẽ. 
Chiều dài tự nhiên của hai lò xo là l1 và l2 với l1 + l2 = AB + 18 cm. Biết k1 = 80 N/m; k2 = 
100 N/m. Ở thời điểm ban đầu người ta kéo vật theo phương ngang sao cho lò xo (k1) nén 
4 cm và buông nhẹ cho vật dao động điều hòa (bỏ qua mọi ma sát). Sau khi đi được 9 cm, 
vận tốc của vật bằng bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Tại VTCB, hai lò xo bị nén một đoạn 18 cm: 
1 2 0,18l l   (1) 
- Lực tác dụng lên vật tại VTCB: 
1 2 0dh dhP F F   
- Chiếu lên chiều dương ta được: 
1 1 2 2 0k l k l    (2) 
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình: 
1 1 2 2 1
1 2 2
0 10( )
0,18 8( )
k l k l l cm
l l l cm
      
 
      
- Vận tốc của vật khi đi được quãng 
đường 9cm: 
 
2
2 2 2 2 2 2
2
v
A x v A x 

     
 m 
 k1 
 k2 
 l2 
 l1 
 O 
 + 
 l1 
 + 
B 
 m 
 A 
 l2 
 O 
 18 cm 
 l1 + l2 
 k1 
 k2 
 - Tại thời điểm ban đầu, lò xo 1 bị nén một 
đoạn 4 cm, do đó biên độ dao động của hệ là: 
A = l1 – 4 = 6 (cm) 
- Li độ của vật sau khi đi được 9 cm: x = 3(cm) 
 
 2 2 1 2 30 15
k k
v A x
m

  
(cm/s) 
Câu 15: Hai lò xo cùng độ dài, có khối lượng không đáng kể, độ cứng lần lượt là k1 = 100 
N/m; k2 = 150 N/m được ghép như hình vẽ. Kéo vật nặng có khối lượng m = 1 kg xuống 
dưới để mỗi lò xo dãn 7 cm rồi thả nhẹ để hệ dao động. Khi vật di chuyển lên đến điểm 
cao nhất lần đầu, vật đã di chuyển được quãng đường bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Lực tác dụng vào vật khi hệ ở vị trí cân bằng: 
1 2 0dh dhP F F   
- Chiếu lên chiều dương: 
1 1 2 2k l k l mg    (1) 
- Hai lò xo có cùng chiều dài do đó độ dãn của 
hai lò xo là như nhau: 1 2 0l l   (2) 
- Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình: 
1 1 2 2 1
1 2 2
10 4( )
0 4( )
k l k l l cm
l l l cm
      
 
     
- Biên độ dao động của vật khi kéo giãn 7 cm: 
 27 3( )A l cm   
- Quãng đường vật đi được khi tới 
vị trí cao nhất: 
2 6( )S A cm  
Câu 16: Treo một vật nặng khối lượng m vào lò xo có độ cứng k0, tại VTCB lò xo dãn ra 
một đoạn 10 cm. Khi cắt lò xo thành hai đoạn có độ cứng k1 và k2 rồi ghép với vật m 
thành một hệ lò xo ghép xung đối như hình bên. Các lò xo có 1 đầu gắn vào điểm cố định 
đầu còn lại nối với vật m. Khi vật cân bằng lò xo k1 bị nén 3 cm, lò xo k2 bị nén 2 cm. Lấy 
g = 10 = π2 (m/s2). Chu kì dao động của hệ là bao nhiêu? 
 l01 
 l 
 O 
 A 
7 cm 
Hướng dẫn: 
- Các lực tác dụng vào vật ở vị trí cân bằng: 
1 2 0dh dhP N F F    
- Chiếu lên chiều dương: 
1 1 2 2 1 2
2
0
3
k l k l k k      (1) 
- Độ cứng của lò xo khi chưa cắt (coi như gồm 2 
lò xo k1 và k2 mắc nối tiếp với nhau): 
1 2
1 1 1
k k k
  (2) 
- Từ (1) và (2) ta được: 
1
5
3
k k và 2
5
2
k k 
- Chu kỳ của hệ hai lò xo mắc 
song song: 
1 2
6
2 2
5
6
2 0,31( )
5
m m
T
k k k
l
T s
g
 

 


 
Câu 17: Treo một vật nặng khối lượng m vào lò xo có độ cứng k0, tại VTCB lò xo dãn ra 
một đoạn 8 cm. Khi cắt lò xo thành hai đoạn có chiều dài tự nhiên là l1 = 2l2 rồi ghép với 
vật m thành một hệ lò xo ghép xung đối như hình vẽ. Lấy g =10 = π2 (m/s2). Chu kì dao 
động của hệ là bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Độ cứng của mỗi đoạn lò xo sau khi cắt: 
1 1 2 2 0 0l k l k l k  với 1 0
2
3
l l , 02
1
3
l l 
1 0
3
2
k k  và 2 03k k 
- Chu kỳ dao động của hệ hai con lắc lò xo ghép 
song song: 
1 2
0 0
0
0
2 2
3
3
2
2 2
2 2 0,265( )
3 3
m m
T
k k
k k
lm
T s
k g
 
 
 
 

  
 m 
 k0 
 l0 
 O 
 l0 
 m 
 k1 
 k2 
 l2 
 l1 
 O 
 + 
 m 
 k1 
 k2 
 l2 
 l1 
 O 
 + 
Câu 18: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với tần số góc là ω và biên độ 
A. Khi vật đang dao động thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo lại. Bắt đầu 
từ thời điểm đó vật sẽ dao động điều hòa với tần số góc là bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Độ cứng của đoạn lò xo gắn với vật: 
1 1 0 0l k l k với 1 0 1 0
1
2
2l kl k  
- Vận tốc góc của đoạn lò xo gắn với vật: 
01
1 0
2
2
kk
m m
    
Câu 19: Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc lò 
xo giãn nhiều nhất thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo khi đó con lắc dao 
động với biên độ A’. Biết độ cứng của các lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. 
Tỉ số A’/A bằng bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Chiều dài của đoạn lò xo bị giữ gắn với vật: 
'
' 0 0
1
2 2
l l A
l

  
- Biên độ dao động mới của con lắc lò xo: 
' 2A A
- Tỉ số biên độ dao động của con lắc: 
'
0
1
2
A
A
 
Câu 20: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với chu kỳ T. Khi vật đi tới vị 
có ly độ x thì lò xo có chiều dài là l và ta giữ cố định tại một vị trí trên lò xo sao cho 
khoảng cách từ vị trí này đến vật có chiều dài là l’, biết tỉ số l’/l = n. Biết độ cứng của các 
lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. Lúc này con lắc dao động với chu kỳ T’ 
bằng bao nhiêu? 
A0 
 O 
 0l 
 + 
'
1l 
'
0l 
Hướng dẫn: 
- Chiều dài của đoạn lò xo bị giữ gắn với vật tỉ lệ với 
độ cứng của lò xo: 
' 'l k lk với l’/l = n '
1
k k
n
  
- Chu kỳ dao động của đoạn lò xo gắn với vật là: 
'
'
2 2
1
m m
T T n
k
k
n
   
Câu 21: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm một lò xo có độ cứng k = 18 N/m và vật 
nặng có khối lượng m = 200 g. Đưa vật đến vị trí lò xo dãn 10 cm rồi thả nhẹ cho vật dao 
động điều hòa. Sau khi đi được 2 cm thì giữ cố định lò xo tại điểm cách đầu cố định một 
đoạn bằng 1/4 chiều dài của lò xo khi đó. Biết độ cứng của các lò xo tỉ lệ nghịch với chiều 
dài tự nhiên của nó. Vật tiếp tục dao động với cơ năng gần bằng bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Li độ ban đầu của con lắc: x0 = 8 cm 
- Chiều dài của đoạn lò xo gắn với vật: 3
1 04
l l 
- Li độ lúc sau của con lắc: 3
1 04
x x 
- Độ cứng của đoạn lò xo gắn với vật: 4
1 03
k k 
- Vận tốc của con lắc tại thời điểm giữ cố định: 
   2 2 2 2 2 2 2 01 0 0 0 0 0 0
k
v v A x A x
m
     
- Động năng còn lại của con lắc lò xo: 
 2 2 21 1 0 0 0
1 1
W
2 2
d mv A x k   
- Thế năng còn lại của con lắc lò xo: 
2 2
1 1 1 0 0
1 3
W
2 8
t k x k x  
- Cơ năng còn lại của con lắc lò xo: 
   2 2 20 0 0 0 0
3 1
W 75,6
8 2
k x A x k mJ    
Câu 22: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang gồm lò xo có độ 
cứng 100 N/m và vật dao động nặng 0,1 kg. Khi t = 0 vật qua vị trí cân bằng với tốc độ 4π 
 x 
 O 
 l' 
 l 
 + 
 k 
m 
O 
 x0 
 l' 
 l 
 + 
A0 
 O’ 
 x1 
cm/s. Đến thời điểm t = 1/30 s người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo. Biết độ 
cứng của các lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. Biên độ dao động mới của 
vật là bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Biên độ dao động ban đầu của con lắc lò xo: 
0 0max 0 4( )A V mm  
- Li độ của con lắc tại thời điểm t = 1/30s: 
0 / 3t    
0 0 Cos 2 3( )
2
x A mm


 
   
 
- Li độ x1 còn lại của con lắc: 
1
1 02
3( )x x mm  
- Độ cứng của phần lò xo gắn với vật: 1 02k k 
- Vận tốc của vật tại thời điểm t: 
 2 2 21 0 0 0 0v v A x   
- Biên độ dao động mới của con lắc: 
 
 2 2 22 2 0 0 02 2 1 1
1 1 022 2
1 1
A xv
A x x

 

    
 
 2 2 00 0
2
1
1 02
0
5( )
2
k
A x
mA x mm
k
m

  
Câu 23: Cho một lò xo có khối lượng không đáng kể, độ dài tự nhiên l0 = 40 cm. Hai vật 
m1 = 300 g và m2 = 500 g được gắn vào hai đầu A và B của lò xo. Chúng có thể di chuyển 
không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Gọi C là một điểm trên lò xo. Giữ cố định C và 
cho 2 vật dao động điều hòa thì thấy chu kì của chúng bằng nhau. Biết độ cứng của các lò 
xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó. Ban đầu (lúc 2 vật chưa dao động) C cách 
điểm A một đoạn bao nhiêu? 
Hướng dẫn: 
- Chu kỳ dao động của hai con lắc: 
1
1
1
2
2
2
2
2
m
T
k
m
T
k










 mà 2
1 2 1 2
1
m
T T k k
m
   
C 
l1 
l2 
A 
B 
m1 
1 
m2 
1 
x0 
 0l 
 + 
/ 2l 
 l 
O 
- Do độ cứng tỉ lệ nghịch với chiều dài:: 
2
1 1 2 2 1 2
1
m
l k l k l l
m
   (1) 
- Tổng chiều dài của hai con lắc: 1 2 0l l l  (2) 
- Từ (1) và (2) ta được: 
2
1 2 1
1
2
1 2 0
25
15
m
l l l cm
m
l cm
l l l

 
 
  
 Vậ