Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi trên máy tính cầm tay Toán lớp 8, 9

Chuyên đề 1: 
BÀI TOÁN ĐA THỨC
TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA ĐA THỨC f(x) CHO NHỊ THỨC g(x) =ax + b
	Phương pháp:	
	- Chia thông thường
	- Áp dụng định lí Bezoul
	- Áp dụng Sơ đồ Hoocne	
1) Định nghĩa phép chia hết- Chia có dư của 2 đa thức f(x) và g(x);
 f(x) : g(x) thì tồn tại q(x) và r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x). Nếu r(x) = 0 thì f(x) chia hết cho g(x).
Định lí Bezoul:
a. Giả sử đa thức f(x) là đa thức của biến x và a R trong biểu thức của f(x).
	Khi thay x = a thì được một số ký hiệu là f(a). gọi là giá trị của f(x) tại a.
	Nếu f(a) = 0 thì f(x) có nghiệm là x = a.
b. Định lí Bezoul:
- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là hằng số bằng f(a).
VD1: Chia f(x) = x3 + 4x2 - 5 cho g(x) = x – 1.
	Ta có số dư là f(1) = 13 + 4.12 – 5 = 0
VD2: Chia f(x) = x5 +2x3 – x + 4 cho g(x) = x + 1.
	Ta có số dư là f(-1) = (-1)5 +2.(-1)3 – (-1) + 4 = 2
- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là hằng số bằng f.
VD3: Chia f(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 7 cho g(x) = 2x + 1.
	Ta có số dư là: f
VD4: Chia f(x) = 3x4 + 5x3 – 4x2 + 2x – 7 cho g(x) = 4x -5.
	Ta có số dư là f
	3) Sơ đồ Hoocne: Trong trường hợp chia một đa thức Pn(x) cho một nhị thức x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau:
Giả sử khi chia đa thức Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +  + a1x + a0 cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +  + b1x + b0 thì giữa các hệ số an , an-1 , an-2 , , a1 , a0 và bn-1 , bn-2 , b1, b0 có mối quan hệ sau đây:
	bn-1 = an
	bn-2 = m. bn-1 + an-1
	 .. . . . .. .. . .. .. . . 
	 b0 = m.b1 + a1 và số dư r = m.b0 + a0
an
an-1
an-2
a1
a0
m
bn-1 = an
bn-2= m.bn-1+an-1
bn-3= m.bn-2+an-2
b0=m.b1+a1
r =m.b0+a0
Ví dụ 1: Tìm thương và số dư của đa thức
	f( chia cho 
Giải:
Ta ghi:
2
0
-3
4
-5
-2
2
-4
5
-6
7
Vậy đa thức thương Q và số dư r = 7
Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của đa thức
	 chia cho 
Giải:
Ta ghi:
3
5
-4
2
-7
3
6
Vậy đa thức Q và số dư r = 6.
BÀI TẬP:
1)Tìm số dư của các phép chia sau:
(x4 + x3 +2x2 – x +1) : (x -3)	KQ: r = 124
(x3 – 9x2 – 35x + 7) : (x – 12)	KQ: r = 19
(2x3 + x2 – 3x +5) : (x + 11)	KQ: r = -2.503
(4x5 + 3x3 – 4x + 5) : (2x +11)	KQ: r = -20.603,5
(3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) : ( -3x +2)	KQ: r = 
(5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) : (3x – 1)	KQ: r = 
Hướng dẫn: Áp dụng định lí Bezoul
Tìm số dư và đa thức thương của các phép chia f(x) cho g(x) sau:
f(x) = (x4 + x3 +2x2 – x +1) và g(x) =(x -3)	
f(x) = (x3 – 9x2 – 35x + 7) và g(x) = (x – 12)	
f(x) = (2x3 + x2 – 3x +5) và g(x) = (x + 11)	
f(x) = (4x5 + 3x3 – 4x + 5) và g(x) = (2x +11)	
f(x) = (3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) và g(x) = ( -3x +2)	
f(x) = (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) và g(x) = (3x – 1)	.
Hướng dẫn: Áp dụng Sơ đồ Hoocne.
KQ: a) r = 124
	và Q(x) = x3 + 4x2 + 14x + 41
	b) r = 19	 và Q(x) =x2 + 3x + 1
	c) r = -2.503	và Q(x) = 2x2 – 21x + 228
	d) r = -20.603,5	và Q(x) = 2x4 – 11x3 + 62x2 – 341x + 
	e) r =	và Q(x) = -x3 - x2 - x - 
	f) r = 	và Q(x) = x3 - x2 + x + 
Tìm a để P(x) = x4 + 7x3 +2x2 +13x + a chia hết cho x + 6.
Giải:
C1: Để P(x) x + 6 P(-6) = 0	 (-222) + a = 0
	 a = 222.	Vậy a = 222.
C2: Để P(x) x + 6 P(-6) = 0
	Ta nhập biểu thức : X4 + 7X3 + 2X2 + 13X +A = 0
Shift
Solve
=
	Ấn: X ?	nhập -6 
Shift
Solve
	Ấn tiếp: máy hiện: A = 222.	Vậy : a = 222.
4, Cho phương trình 2,5x5 – 3,1x4 + 2,7x3 + 1,7x2 – (5m -1,7)x + 6,5m – 2,8 có một nghiệm là x = - 0,6. Tính giá trị của m chính xác đến 4 chữ số thập phân.
Hướng dẫn: Giải như bài 3. KQ: m = 0,4618
5, Tìm m để f(x) = 2x4 + 3x2 – 5x + 2005 – m chia hết cho x – 12.
Hướng dẫn: Giải như bài 3. KQ: m = 43849.
6, Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho đa thức g(x) = x2 – x – 2.
Giải:
C1: Lấy f(x) chia cho g(x) để tìm số dư và đặt số dư bằng 0 để tìm k.
	Ta có: f(x) = (x2 – x – 2)(x2 – 8x + 15) +k +30 = 0 
	Vậy để f(x) g(x) thì k + 30 = 0.	Suy ra k = -30
C2: Ta có g(x) = x2 – x – 2 = x2 – 2x + x – 2	= x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1)
	Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x2 – x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1)
	Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 hoặc x = 2 vào f(x), ta được f(-1) = 0 k = - 30.
7, Cho đa thức f(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – x + m.
Xác dịnh m để f(x) chia hết cho x – 2
Với m tìm được ở câu a. Xác định đa thức thương và số dư của f(x) chia cho x + 3.
KQ: a) m = - 46.
	 b)Q(x) = 3x3 – 10x2 + 32x – 97 và r = 245.
8) Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
	a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003.
	b) Tính giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5
	c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là bao nhiêu?
Giải:
Nhập : X5 + 2X4 – 3X3 + 4X2 – 5X + 2003 
CALC
=
X? khai báo: 2,5 
	KQ: r =2144,406250
Giải như bài 3. KQ: m = -141,40625
P(x) có nghiệm x = 2 P(2) = 0 m = - 46
9)Cho hai đa thức: P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m.
	 Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
	 a) Tìm giá trị của m và n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
	 b)Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm được. Hãy chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Giải:
	a) Giải như bài 3. KQ: m = -46, n = -40
	b) Ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6.
Vì P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 nên R(x) = P(x) – Q(x) cũng chia hết cho x – 2.
	Do đó ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6 = (x – 2)(x2 + x + 3)
Mà x2 + x + 3 = x2 + 2.x + + = (x + )2 + > 0 x
( hay tam thức bậc hai x2 + x + 3 có nên vô nghiệm )
	Suy ra R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 2.
10)Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
	a)Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3.
 b)Với m tìm được ở câu a. Hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho 3x – 2.
	c)Với m tìm được ở câu a. Hãy p.tích đa thức P(x) ra tích của các thừa số bậc 1.
d)Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x - 2
e)Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích của các thừa số bậc nhất.
Giải:
Để P(x) chia hết cho 2x + 3 thì P( ) = 0 m = 12.
Chia đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + 12 cho 3x – 2
6
-7
-16
12
6
-3
-18
0
2
-1
-6
	Ta được P(x) = (3x – 2)(2x2 – x – 6) và số dư r = 0
P(x) = (3x – 2)(2x + 3)(x – 2).
Để hai đa thức P(x) =6x3 – 7x2 – 16x + m và Q(x)=2x3 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x – 2 thì P(2) = 0 và Q(2) = 0
 Suy ra m = 12, n = 30
Đa thức Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + 30 chia cho x – 2 nên chia Q(x) cho x – 2 ta được. Q(x) =(x – 2)(2x2 – x – 15).
 Vì 2x2 – x – 15 = 2x2 – 6x + 5x – 15=(x – 3)2x + 5(x – 3)=(x – 3)(2x + 5)
	Vậy Q(x) = (x – 2)(x – 3)(2x + 5)
11) Cho đa thức P(x) = x5+ax4+bx3+cx2+dx+e. Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.
Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9)
Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là số nguyên.
Giải:
	a) Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.
	Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.
	Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25.
	Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
	Vì hệ số của x5 = 1 nên suy ra Q(x) có dạng:
	Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5)
	Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – 62.
	Suy ra P(6) = 62 + 5! = 156.
	Tương tự 	 P(7) = 72 + 6! = 769.
	 P(8) = 82 + = 2584.
	 P(9) = 92 + = 6801.
b)P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) + x2.
P(x) = x5 – 15x4 + 85x3 – 284x2 + 274x – 120.
12)Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và cho biết Q(1) = 5; Q(2) = 7;
 Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tính các giá trị Q(10); Q(11); Q(12); Q(13).
	Giải:
Nhận xét: Q(1) = 5 = 2.1 + 3	; Q(2) = 7 = 2.2 + 3 ; Q(3) = 9 =2.3 + 3	; Q(4) = 11 = 2.4 + 3
	Xét đa thức P(x) = Q(x) – (2x + 3).
	Ta có P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0. Điều này chứng tỏ 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x).
	Suy ra: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = Q(x) – (2x + 3).
 	Nên P(10) = 9.8.7.6 = Q(10) – ( 2.10 + 3).
	Hay Q(10) = 2.10 + 3 + 9.8.7.6
	 	 = 2.10 + 3 + = 3047.
Tương tự: Q(11) = 2.11 + 3 + = 5065.
	Q(12) = 2.12 + 3 + = 7947.
	Q(13) = 2.13 + 3 + = 11909.
13) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e. Biết P(1) = 3, 
P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
Giải:
 Đặt Q(x) = 2x2 + 1 . Khi đó Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, Q(5) = 51.
	Điều này chứng tỏ đa thức (bậc 5) R(x) = P(x) – Q(x) có 5 nghiệm 1; 2; 3; 4; 5.
	Vậy : P(x) = Q(x) + (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Do đó: P(6) = 2.62 + 1 + 5! = 193
 	 P(7) = 2.72 + 1 + 6! = 819
	 P(8) = 2.82 + 1 + = 2649
	 P(9) = 2.92 + 1 + = 6883
	 P(10) = 2.102 + 1 + = 15321
	 P(11) = 2.112 + 1 + = 30483
14) Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn P(1) = 3; P(3) = 11; P(5) = 27; P(5) = 27; P(7) = 51. 
	Tính giá trị của P(-2) + 7 P(6).
Giải:
	Nhận xét:
 P(1) = 3 = 12 + 2;	P(3) = 11= 32 + 2; P(5) = 27 = 52 + 2; P(7) =51 =72 + 2.	
	Xét đa thức Q(x) = P(x) – ( x2 + 2)
	Ta có Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = 0.
	Điều này chứng tỏ 1; 3; 5; 7 là nghiệm của Q(x).
Suy ra Q(x) = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7)
 Nên P(x) = Q(x) + x2 + 2 = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7) + x2 + 2
Do đó P(-2) = 951 và P(6) = 23.
	Vậy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112.
Chuyên đề 2:
Tìm ước và bội của 1 số - Tìm UCLN, BCNN của các số.
I. TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ:
	1. Tìm các ước của một số a :
Phương pháp:
	Gán: A = 0 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : a A
=
	Ấn nhiều lần phím 
QTAPLQuy trình ấn phím:
STOT
A
Shift
0
Gán: 
Alpha
1
+
A
A
Alpha
:
Alpha
Alpha
Alpha
=
A
Nhập: a
=
Ấn nhiều lần dấu 
Ví dụ: Tìm ( các ước ) tập hợp các ước của 120
Ta gán:	 A = 0
Nhập: A = A + 1 : 120 A
=
Ấn nhiều lần phím 
Ta có A = {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;30;40;60;120} 
	2. Tìm các bội của b:
	Gán: A = -1 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : b x A
=
	Ấn nhiều lần phím 
Ví dụ : Tìm tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn 100.
Ta gán:	 A = -1
=
Nhập: A = A + 1 : 7 x A
Ấn nhiều lần phím 
Ta có: B = {0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91;98}
BÀI TẬP:
Tìm các ước của các số sau: 24; 48; 176.
Tìm tất cả các bội của 14 nhỏ hơn 150
 3.Kiểm tra số nguyên tố: Để kiểm tra một số là số nguyên tố ta làm như sau:
Để kết luận số a là số nguyên tố ( a > 1) , chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
Vì nếu một số a là hợp số thì nó phải có ước nhỏ hơn 
Ví dụ: Số 647 có phải là số nguyên tố không ?
	Giải Ta có = 25,43
Gán: A = 0
Nhập: A = A + 1 : 647 A
=
Ấn 25 lần phím mà trên màn hình kết quả thương là số thập phân thì kết luận 647 là số nguyên tố
BÀI TẬP:
1)Các số sau đây số nào là số nguyên tố: 
197; 247; 567; 899; 917; 929
 2) Tìm một ước của 3809783 có chữ số tận cùng là 9	KQ: 19339
 3) Tìm một số tự nhiên x biết lập phương của nó có tận cùng là ba chữ số 1.
HD: Gán : A = 10
 Nhập: A = A + 1 : A3
	KQ: x = 471
4)Tìm các số a, b, c, d để ta có x.
Giải:
 Số là ước của 7850. Bằng cách thử trên máy khi cho a = 0; 1; 2; .. ..; 9
Ta thấy rằng a chỉ có thể bằng 2.
Khi a = 2 thì : 25 = 314
	Vậy a = 2; b = 3; c = 1; d = 4.
II. TÌM ƯCLN, BCNN CỦA HAI SỐ :
Vì máy đã cài sẵn chương trình đơn giản phân số thành phân số tối giản.
	 ( tối giản )
 thì ƯCLN (A, B) = A a BCNN (A, B) = A x b
Ví dụ 1: Tìm a) ƯCLN( 209865; 283935 )
	 b) BCNN(209865; 283935 )
=
Ghi vào màn hình 209865 ┘ 289335 và ấn 
Màn hình hiện: 17┘23
=
	a) Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865 17 
	KQ: ƯCLN( 209865; 283935 ) = 12345
=
x
	b) Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865 23 
	KQ: BCNN(209865; 283935 ) = 4826895
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN( 2419580247; 3802197531)
	 BCNN( 2419580247; 3802197531)
=
Ghi vào màn hình 2419580247 ┘ 3802197531và ấn
Màn hình hiện: 7┘11
=
	a) Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 2419580247 7
x
	KQ: ƯCLN( 2419580247; 3802197531) = 345654321
	b) Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 2419580247 11
 Màn hình hiện 2661538272 x 1010
	Ở đây lại gặp tình trạng tràn màn hình. Muốn ghi đầy đủ số đúng, ta đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá chữ số 2 (đầu tiên của số A) để chỉ còn
x
=
	419580247 11 và ấn 
	Màn hình hiện46115382717
	Ta đọc kết quả BCNN( 2419580247; 3802197531) = 26615382717
Ví dụ 3: Tìm các ước nguyên tố của 	A = 17513 + 19573 + 23693
 Giải: 
=
Ghi vào màn hình 1751┘1957 và ấn Máy hiện: 17 ┘19
Chỉnh lại màn hình 1751 17 và ấn =
	Kết quả ƯCLN(1751, 1957) = 103 ( số nguyên tố )
Thử lại: 2369 cũng có ước nguyên tố 103
 	 A = 1033(173 + 193 + 233) Tính tiếp 173 + 193 + 233 = 23939
Chia 23939 cho các số nguyên tố: Ta được 23939 = 37.647 ( 647 là số nguyên tố )
	Vậy A có các ước nguyên tố 37, 103, 647
Bài tập:
Tìm BCNN và ƯCLN của a = 24614205, b = 10719433
KQ: BCNN(a,b) = 12380945115 ; ƯCLN(a,b) = 21311
Tìm BCNN và ƯCLN của hai số 168599421 và 2654176.
KQ: BCNN(a,b) = 37766270304 ; ƯCLN(a,b) = 11849.
Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 2152 + 3142
Giải:
Tính 2152 + 3142 = 144821 ; = 380,553
Gán: A = 0
Nhập: A = A + 1: 144821A
=
Ấn liên tục thấy 144821 = 97.1493
Tiếp tục kiểm tra 1493 có phải là số nguyên tố không. Ta có = 38,639
Gán: A = 0
Nhập: A = A + 1: 1493A
=
Ấn liên tục cho tới A = 40 mà không thấy kết quả thương là số nguyên thì 1493 là số nguyên tố.	Vậy 2152 + 3142 = 144821 = 97.1493 có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 97, có ước số nguyên tố lớn nhất là 1493.
Chuyên đề 3:
 BÀI TOÁN ĐåNG DƯ
Số dư của số A chia cho số B: ( Đối với số bị chia tối đa 10 chữ số ) Số dư của x phần nguyên của (A chia cho B )
-
=
¸
Cách ấn: A B màn hình hiện kết quả là số thập phân. 
=
x
Đưa con trỏ lên biểu thức sửa lại A B phần nguyên của A chia cho B và ấn
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 9124565217 cho 123456 .	
¸
=
	Ấn: 9124565217 123456 
 	Máy hiện thương số là: 73909,45128
	Đưa côn trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là: 
x
-
	 9124565217 123456 73909 và ấn = 
Kết quả: Số dư: r = 55713.
BÀI TẬP: Tìm số dư trong các phép chia sau:
	a) 143946 chia cho 32147	KQ: r = 15358
	b) 37592004 chia cho 4502005	KQ: r = 1575964
	c) 11031972 chia cho 101972	KQ: r = 18996
	d) 412327 chia cho 95215	KQ: r = 31467
	e) 18901969 chia cho 1512005	KQ: r = 757909 
Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:
Nếu như số bị chia A là số bình thường nhiều hơn 10 chữ số. Ta ngắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số ( kể từ bên trái ). Ta tìm số dư như phần a). Rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa thì tính liên tiếp như vậy.
	Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.
	Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567 được kết quả là 2203. Tìm tiếp số dư của 22031234 cho 4567. Kết quả cuối cùng là 26. 	Vậy r = 26.
BÀI TẬP:
a) Tìm số dư r khi chia số 24728303034986074 cho 2003. KQ: r = 401
b) Tìm số dư r khi chia số 2212194522121975 cho 2005. KQ: r = 1095
Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn thì ta dùng phép đồng dư thức theo công thức sau:
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
	Giải:
Ta có 20042 841 (mod 1975) =>	20044 8412 (mod 1975)
 200412 2313 416 (mod 1975) 200448 4164 536 (mod 1975)
 200448 .200412 536. 416 (mod 1975)
 200460 1776 (mod 1975)
 200462 1776. 841 (mod 1975)
 200462 516 (mod 1975)
 200462x3 5163 1171(mod 1975)
 200462x3x2 11712 (mod 1975)
 200462x6 591 (mod 1975)
	 200462x6+4 591.231 (mod 1975)
	 2004376 246 (mod 1975)
	Vậy 2004376 chia cho 1975 có số dư là 246.
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 17659427 cho 293
	Giải:
Ta có 176594 208 (mod 293)
	1765943 2083 3 (mod 293)
	17659427 39 (mod 293)
	17659427 52 (mod 293)
Vậy 17659427 chia cho 293 có số dư là 52
Bài tập:
1)Tìm số dư của phép chia 232005 cho 100.
Giải:
	Ta có: 231 23 (mod 100)
232 29 (mod 100)
234 292 41 (mod 100)
 (234 )5 415 (mod 100)
 2320 1 (mod 100)
 (2320 )100 1100 1 (mod 100)
 232000 1 (mod 100)
 232005 =232000.234.231 1.41.23 (mod 100) 
	 232005 43 (mod 100) 
Vậy 232005 chia cho 100 có số dư là 43
2) Tìm hai chữ số cuối cùng của 232005
Giải:
Ta giải như bài 1.
Trả lời: Hai chữ số cuối cùng của 232005 là 43
3) Tìm chữ số hàng chục của 232005
Giải:
Ta cũng giải như bài 1.
Trả lời: Chữ số hàng chục của 232005 là 4.
4) Tìm số dư của phép chia 72005 chia cho 10 
	( Tìm chữ số hàng đơn vị của 72005 )
Giải:
	Ta có 71 7 (mod 10) 
72 49 (mod 10) 
	74 1 (mod 10) 
 72004 = (74)501 1501 1(mod 10) 
 72005 = 72004 .71 1.7 7(mod 10) 
 Vậy: + 72005 chia cho 10 là 7.
	+ Chữ số hàng đơn vị của 72005 là 7.
5) Tìm chữ số hàng đơn vị của 172002.
Giải:
	Ta có 171 7 (mod 10) 
172 9 (mod 10) 
	 	174 1 (mod 10) 
 (174)500 1500 1(mod 10) 
 172000 1(mod 10) 
 172002 172000. 172 1.9 9(mod 10) 
Vậy: Chữ số hàng đơn vị của 172002 là 9.
6) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng 
	A = 22000 + 22001 + 22002
Giải:
	Ta có A = 22000 ( 1+ 21 + 22 ) = 7. 22000
	Mà ta lại có 210 24 (mod 100) 
(210)5 245 24 (mod 100)
 2250 245 24 (mod 100)
21250 245 24 (mod 100)
22000 = 21250.2250.2250.2250 24.24.24.24 76 (mod 100)
 A = 7. 22000 7.76 32 (mod 100)
 	Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng A là 32
7) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng 
B = 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 
Giải:
	Ta có B = 22000 ( 1+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26) = 127. 22000
 B = 127. 22000 127.76 52 (mod 100)
 	Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng B là 52
8) Tìm số dư của phép chia 19971997 cho 13
Giải:
	Ta có 19971 8 (mod 13)
19972 12 (mod 13)
19973 12.8 5(mod 13)
19974 1 (mod 13)
 (19974 )499 1499 1(mod 13)
	19971997 = 19971996 . 19971 1.8 (mod 13)
	Hay 19971997 8 (mod 13)
	Vậy số dư của phép chia 19971997 cho 13 là 8
9) Tìm dư trong phép chia 21000 cho 25
Giải:
	Ta có 210 24 (mod 25)
	220 1 (mod 25)
	21000 1500 1 (mod 25)
	Vậy số dư trong phép chia 21000 cho 25 là 1
10) Tìm dư trong phép chia 21997 cho 49
Giải:
	Ta có 22 4 (mod 49)
	210 44 (mod 49)
	220 442 25 (mod 49)
	221 25.2 1 (mod 49)
	(221 )95 195 1 (mod 49)
	21995 1 (mod 49)
	21997 = 21995 .22 1.4 4 (mod 49)
V ậy dư trong phép chia 21997 cho 49 là 4.
11) Tìm dư trong phép chia 21999 cho 35
Giải:
 Ta có 21 2 (mod 35)
	210 9 (mod 35)
	220 442 25 (mod 35)
	230 9.25 29 (mod 35)
 216 16 (mod 35)
	248 1 (mod 35)
	21999 = (248)41.231 1.29.2 23 (mod 35)
V ậy dư trong phép chia 21999 cho 35 là 23.
12) Tìm dư khi chia 
a) 43624362 cho 11
b) 301293 cho 13
c) 19991999 cho 99
d) 109345 cho 14	( r = 1 )
e) 31000 cho 49
f) 61991 cho 28	( r = 20)
g) 35150 cho 425
h) 222002 cho 1001
i) 20012010 cho 2003
13) a) CMR: 18901930 + 19451975 + 1 7
 b) CMR: 22225555 + 55552222 7
	Bài tập để nghỏ(NHĐ): ( Mời độc giả tự sáng tạo thêm một số bài cho phong phú)
..
..
..
..
..
Chuyên đề 4: DÃY Sè
1/ Dãy số Lucas: Dãy số Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonaci: Các số hạng của nó tuân theo quy luật u1 = a; u2 = b; un+1 = un +un-1 với mọi n 2. trong đó a, b là hai số tùy ý.
	Với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonaci.
Dạng 1: u1 = a; u2 = b	( a, b tùy ý ).Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n 2
	Shift
STO
M
+
A 
Shift
STO
 Phương pháp:
	- C1: + Ấn: b a u3
A 
Shift
STO
+
ALPHA
A 
+
	+ Lặp:	 a	 u4, u6 , . . .
M
Shift
STO
ALPHA
+
M 
 	 u5, u7 , . . .
	- C2: + Gán: D = 2 ( biến đếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) B = b ( Số hạng u2)	 + Ghi vào màn hình:	D = D + 1: A = B + A : D = D + 1 : B = A + B 
=
 + Ấn:  ta được u3, u4, u5, , un 
Ví dụ 1: Với u1 = 1; u2 = 3. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n 2
 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 
Ví dụ 2: Với u1 = -3; u2 = 4. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n 2
-3, 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, ..
Ví dụ 3: Với u1 = -1; u2 = -5. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n 2
-1, -5, -6, -11, -17, -28, -45, ..
Ví dụ 4: Với u1 = 1; u2 = -5. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n 2
1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149, .
BÀI TẬP:
 1)Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; .; un+1 = un +un-1 với mọi n 2. Tính u12, u37, u38, u39.
KQ: u12 = 28657; u37 = 4807526976; u38 = 7778742049;
	 u39 = 12586269025 ( tính bằng tay )
Cho u1 = 2002, u2 = 2003 và un+1 = un +un-1 với mọi n 2. 
	 Xác định u5, u10 ?
	KQ: u5 = 10013, u10 = 1101