Tài liệu bồi dưỡng chuyên môn lớp 11 - Chương IV: Giới hạn

 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG CHUYÊN MÔN LỚP 11 
 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 
 GV: Dương Văn Đông –Trường THPT Tân Yên 2 
 Giới thiệu đến các em bởi Trần Quốc Hoài.  
I. Giới hạn của dãy số 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 
1
lim 0
n n
 ;
1
lim 0 ( )
k
n
k
n


  
lim 0 ( 1)
n
n
q q

  ; lim
n
C C

 
2. Định lí : 
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì 
 lim (un + vn) = a + b 
 lim (un – vn) = a – b 
 lim (un.vn) = a.b 
 lim n
n
u a
v b
 (nếu b  0) 
b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim 
n
u a 
c) Nếu 
n n
u v ,n và lim vn = 0 
thì lim un = 0 
d) Nếu lim un = a thì lim
n
u a 
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
 S = u1 + u1q + u1q
2 +  = 1
1
u
q
 1q  
1. Giới hạn đặc biệt: 
 lim
n
n

  lim ( )k
n
n k


  
 lim ( 1)n
n
q q

   
2. Định lí: 
a)Nếu lim
n
u   thì 
1
lim 0
n
u
 
b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n
n
u
v
= 0 
c) Nếu lim un =a  0, lim vn = 0 
thì lim n
n
u
v
= 
 . 0
 . 0
n
n
neáu a v
neáu a v
 
 
d) Nếu lim un = +, lim vn = a 
thì lim(un.vn) =  0 0neáu aneáu a   
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 
0
0
, 


,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. 
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: 
 Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 
VD: a) 
1
1
1 1
lim lim
32 3 2
2
n n
n
n


 


b) 
2
1
1 3
3
lim lim 1
11 2
2
n n n n
n
n
 
 
 


c) 2 2
2
4 1
lim( 4 1) lim 1n n n
n n
 
       
 
 Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức 
     3 32 23 3 3;a b a b a b a b a ab b a b         
VD:  2lim 3n n n  =
  
 
2 2
2
3 3
lim
3
n n n n n n
n n n
   
 
=
2
3
lim
3
n
n n n 
=
3
2
 Dùng định lí kẹp: Nếu 
n n
u v ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 
VD: a) Tính 
sin
lim
n
n
. 
Vì 0  
sin 1n
n n
 và 
1
lim 0
n
 nên 
sin
lim 0
n
n
 
b) Tính 
2
3sin 4cos
lim
2 1
n n
n


. 
 Vì 2 2 2 23sin 4cos (3 4 )(sin cos ) 5n n n n     
 nên 0  
2 2
3sin 4cos 5
2 1 2 1
n n
n n


 
. 
 Mà 
2
5
lim 0
2 1n


 nên 
2
3sin 4cos
lim 0
2 1
n n
n



Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: 
  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. 
  Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất 
của tử và của mẫu. 
  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu 
cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, 
mẫu riêng). 
Baøi 1: Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung) 
1) lim(n2  n + 1). ĐS: + 
2) lim(n2 + n + 1). ĐS: - 
3) lim 8n3n2 2  ĐS: + 
4) lim 3 3nn21  ĐS: - 
5) lim(2n + cosn). ĐS: + 
6) lim(
2
1
n2  3sin2n + 5). ĐS: + 
7) un = 
12
13
n
n


. ĐS: + 
8) un = 2n  3n. ĐS: -  
9) 
3 2
2 1
lim
4 3
n
n n

 
 ĐS: 0 
10) 
2
4
1
lim
2 1
n
n n

 
 ĐS: 0 
11) lim
2
4
1
2 1
n
n n

 
 ĐS: 0 
12) 
2
2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
 ĐS: 2/3 
13) 
3 2
3
3 2
lim
4
n n n
n
 

 ĐS: 3 
14) 
4
2
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n  
 ĐS: 1 
15) lim
– n2 + n – 1
2n2 – 1
 ĐS: -1/2 
16) lim
4n – 1
n + 1
 ĐS: 2 
17) lim
1n2n
3n2
3 3 

 ĐS: 2 
18) 
4 2
3 2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
 ĐS: + 
19) 
 

3 2
2
3 2
lim
4
n n n
n
 ĐS: - 
20) 
  

2
4 2 5
lim
3 1
n n
n
 ĐS: - 
Baøi 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất) 
1) 
1 3
lim
4 3
n
n


 ĐS: 1 
2) 
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n


 ĐS: 7 
3) 
1 2
4 6
lim
5 8
n n
n n
 

 ĐS: 0 
4) 
1
2 5
lim
1 5
n n
n


 ĐS: 5 
5) 
1 2.3 7
lim
5 2.7
n n
n n
 

 ĐS: -1/2 6) 
1
1 2.3 6
lim
2 (3 5)
n n
n n
 

 ĐS: 1/3 
Baøi 3: Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;bậc của tử và 
mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất;) 
Chú ý: 
k
n có mũ ;
2
k
3 k
n có mũ 
3
k
1) 
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
  
  
 ĐS: 2 
2) 
2
2
3 4
lim
2
n n
n n
  
 
 ĐS: 0 
3) 
32 6
4 2
1
lim
1
n n
n n
 
 
 ĐS: 0 
4) 
2
2
4 1 2
lim
4 1
n n
n n n
 
  
 ĐS: 2 
5) 
(2 1)( 3)
lim
( 1)( 2)
n n n
n n
 
 
 ĐS: 2 
6) 
2 2
2
4 4 1
lim
3 1
n n n
n n
  
 
 ĐS: -1/( 3 1 ) 
Baøi 4: Tính các giới hạn sau: 
Nếu bài toán có dạng: + Vô cùng – vô cùng không có mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau). 
 + Cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. (hệ số của bậc cao nhất giống nhau) 
Thì ta nhân liên hợp có căn bậc 2,3 rồi chia cho lũy thừa có số mũ cao nhất 
 Nếu bài toán ở dạng vô cùng + vô cùng thì kq là vô cùng ta đặt nhân tử chung có mũ cao nhất rồi 
tính giới hạn. Hoặc hệ số của n bậc cao nhất khác nhau ta chia hoặc đặt nhân tử chung. 
1)  2lim( 3 )n n n ĐS: + 
2)   2lim( 2 2013)n n n ĐS: 2012 
3)  2lim n n n  ĐS: -1/2 
4)   2lim( 1 5)n n ĐS: 5 
5)   2lim( 2013 5)n n ĐS: 5 
6) 2lim 2 1n n n
 
   
 
 ĐS: 0 
7) 2 2lim 2n n n
 
   
 
 ĐS: 1/2 
8) 
3 3
lim 2 1n n n
 
   
 
 ĐS: -1 
9) 2 4lim 1 3 1n n n
 
    
 
 ĐS: 1 
10) 
2 2
2
4 4 1
lim
3 1
n n n
n n
  
 
 ĐS: -1/( 3 1 ) 
11) 
2 2
1
lim
2 4n n  
 ĐS: - 
12) 
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
  
  
 ĐS: -1/2 
13) 
32 6
4 2
1
lim
1
n n
n n
 
 
 ĐS: 0 
Baøi 5: Tính các giới hạn sau: (Giới hạn kẹp giữa hai biểu thức có cùng kết quả) 
1) 
2
2
2 cos
lim
1
n
n 
ĐS: 0 
2) 
2
( 1) sin(3 )
lim
3 1
n
n n
n
 

 ĐS: 0 
3) 
6 2
2
3sin 5cos ( 1)
lim
1
n n
n
 

ĐS: 0 
4) 
2 3 2
2
3sin ( 2)
lim
2 3
n n
n
 

 ĐS: -1/3 
Baøi 6: Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn) 
1) 
1 1 1
lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
 
   
  
ĐS: 1/2 
2) 
1 1 1
lim ...
1.3 2.4 ( 2)n n
 
   
 
 ĐS: 3/2 
3) 
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
2 3 n
    
      
    
 ĐS: 1/2 
4) 
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 ( 1)n n
 
   
 
ĐS: 1 
5) 
2
1 2 ...
lim
3
n
n n
  

 ĐS: 1/2 
6) 
2
2
1 2 2 ... 2
lim
1 3 3 ... 3
n
n
   
   
ĐS: 0 
Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = 
2 2 2
1 1 1
1 1 ... 1
2 3 n
    
      
    
,với n 2 
a) Rút gọn un.ĐS: (n+1)/2n b) Tìm lim un. ĐS: 1/2 
Baøi 8: a) Chứng minh: 
1 1 1
1 ( 1) 1n n n n n n
 
   
 (n  N*). 
b) Rút gọn: un = 
1 1 1
...
1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1)n n n n
  
    
. 
c) Tìm lim un. ĐS : 1 
Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
1
1
1
1
( 1)
2
n n n
u
u u n
 


  

. 
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 +  + vn theo n. 
b) Tính un theo n. 
c) Tìm lim un. ĐS: 2 
Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: 1 2
2 1
0; 1
2 , ( 1)
n n n
u u
u u u n 
  

  
a) Chứng minh rằng: un+1 = 
1
1
2
n
u  , n  1. 
b) Đặt vn = un – 
2
3
. Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un. ĐS: 2/3 
Cho dãy số (un) xác định bởi 
1
2
n 1 n n
u 2012
u 2012.u u


 
; nN*. Tìm 1 2 n
n
2 3 n 1
u u u
lim ( .... )
u u u 
   (HSG lạng sơn 2011) 
ĐS: - CM được dãy tăng : 
2
n 1 n nu u 2012u 0 n     
- giả sử có giới hạn là a thì : 
2a 2012a a a 0 2012     Vô Lý 
nên limun =  
- ta có : 
2
n n n 1 n
n 1 n 1 n n 1 n n n 1
u u (u u ) 1 1 1
( )
u u u 2012u u 2012 u u

   

    
Vậy : 
2
n 1 n 1
1 1 1 1
S .lim( )
2012 u u 2012 
   . 
Baøi 11: Cho dãy (xn) xác định như sau: 
1
2
n 1 n n
x 1
x x 3x 1


  
( n N* ) 
Đặt n
1 2 n
1 1 1
S ...
x 2 x 2 x 2
   
  
 ( n N* ). Tìm LimSn . (HSG lạng sơn 2012) 
Baøi 12: Tổng Dãy là cấp số nhân lùi vô hạn: 
a. S = 1 + 
2
1
 + 
4
1
 +  b. S = 1 + ...
10
)1(
...
10
1
10
1
1n
n
2




 ĐS: a. 2 b.12/11 
Baøi 13: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 
a. 0,444... b. 0,2121.... c. 0,32111....ĐS: a.4/9 b.21/99 c.289/900 
Baøi 14: L = 
n2
n2
n b...bb1
a...aa1
lim



, với a, b < 1. ĐS: (1-b)/(1-a) 
II. Giới hạn của hàm số 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 
0
0
lim
x x
x x

 ; 
0
lim
x x
c c

 (c: hằng số) 
2. Định lí: 
a) Nếu 0
0
lim ( )
lim ( )
x x
x x
f x L
g x M




 

 thì: *  
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M

   
*  
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M

   
*  
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M

 
*
0
( )
lim
( )x x
f x L
g x M
 (nếu M  0) 
b) Nếu 
0
f(x) 0 
lim ( )
x x
f x L


 

 thì 
* L  0 *
0
lim ( )
x x
f x L

 
c) Nếu 
0
lim ( )
x x
f x L

 thì 
0
lim ( )
x x
f x L

 
3. Giới hạn một bên: 
0
lim ( )
x x
f x L

 
 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
  
  
lim
k
x
x

  ; lim k
x
neáu k chaün
x
neáu k leû

 

 lim
x
c c

 ; lim 0
k
x
c
x
 
0
1
lim
x x

  ; 
0
1
lim
x x

  
0 0
1 1
lim lim
x xx x
  
   
2. Định lí: 
a) Nếu 0
0
lim ( ) 0
lim ( )
x x
x x
f x L
g x


 

  

 thì: 
* 0
0
0
 . lim ( ) 0
lim ( ) ( )
. lim ( ) 0x x
x x
x x
neáu L g x
f x g x
neáuL g x


 

  

*
0
( )
lim 0
( )x x
f x
g x
 
b) Nếu 0
0
lim ( ) 0
lim ( ) 0
x x
x x
f x L
g x


 

 

 thì: 

0
( ) . ( ) 0
lim
. ( ) 0( )x x
f x neáu L g x
neáu L g xg x
 

 
Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 
0
0
, 


,  – , 
0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. 
Một số phương pháp khử dạng vô định: 
1. Dạng 
0
0
a) L = 
0
( )
lim
( )x x
P x
Q x
 với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0 
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 
VD: 
3 2 2
2
2 2 2
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12
lim lim lim 3
( 2)( 2) 2 44x x x
x x x x x x
x x xx  
     
   
  
b) L = 
0
( )
lim
( )x x
P x
Q x
 với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc 
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 
VD: 
  
 0 0 0
2 4 2 4 2 4 1 1
lim lim lim
42 42 4
x x x
x x x
x xx x
  
     
  
  
c) L = 
0
( )
lim
( )x x
P x
Q x
 với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc 
Giả sử: P(x) = 
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
m n m nu x v x vôùi u x v x a   . 
Ta phân tích P(x) =    ( ) ( )m nu x a a v x   . 
VD: 
3 3
0 0
1 1 1 1 1 1
lim lim
x x
x x x x
x x x 
       
  
 
= 
0 2 33
1 1 1 1 5
lim
3 2 61 1( 1) 1 1
x xx x

 
    
      
2. Dạng 


: L = 
( )
lim
( )x
P x
Q x
 với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. 
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. 
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên 
hợp. 
VD: a) 
2
2
2
2
5 3
2
2 5 3
lim lim 2
6 36 3
1
x x
x x x x
x x
x x
 
 
 
 
   
 b) 
2
2
3
2
2 3
lim lim 1
11
1 1
x x
x x
x x
x
 


  
    
3. Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn 
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 
VD:  
  1 1 1
lim 1 lim lim 0
1 1x x x
x x x x
x x
x x x x  
   
    
   
4. Dạng 0.: 
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. 
VD: 
2
2 2
2. 0. 2
lim ( 2) lim 0
224x x
x x x
x
xx
  

   

Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: 
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a). 
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng . 
1) 
3x
lim

(x2 + x). ĐS: 12 
2) 
x 1
x
lim
x 1 
 ĐS: ± 
3) 
2 3
0
1
lim
1x
x x x
x
  

 ĐS: 1 
4) 
2
1
3 1
lim
1x
x x
x
 

 ĐS: -3/2 
5) 
2
sin
4
lim
x
x
x

 
 
 


 ĐS: 2 /  
6) 
4
1
1
lim
3x
x
x x

 
 ĐS:-2/3 
7) 
2
2
1
lim
1x
x x
x
 

 ĐS: 3 
8) 
2
1
2 3
lim
1x
x x
x
 

 ĐS: 2 / 2 
9) 
1
8 3
lim
2x
x
x
 

 ĐS: 0 
10) 
3 2
2
3 4 3 2
lim
1x
x x
x
  

ĐS: 0 
11) 2
0
1
lim sin
2x
x

ĐS: 0 
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay tiếp tới 
khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là  
1) 
2
x 1
x 1
lim
x 1


 ĐS: 2 
2) 
0x
lim

x
1
2
x
 
 
 
 ĐS: -1 
3) 
2x
lim
 4x
8x
2
3


. ĐS: 3 
4) 
1x
lim
 1x
1x4x3 2


ĐS: 2 
5) 
2x
2x3x2
lim
2
2x 


ĐS: 5 
6) 
4
3 2
2
16
lim
2x
x
x x


ĐS: -8 
7) 
3 2
2
1
1
lim
3 2x
x x x
x x
  
 
ĐS: 0 
8) 
1x
3x5x3x
lim
2
23
1x 


 ĐS:1 
9) 
2 3
1
1
lim
1
  
x
x x x
x
 ĐS: 2 
10) 
9x8x
9x3x5x
lim
24
23
3x 


 ĐS: 0 
11) 
5
3
1
1
lim
1x
x
x


ĐS: 5/3 
12) 
5 6
2
1
5 4
lim
(1 )x
x x x
x
 

ĐS: 10 
13) 
1x
xx5x4
lim
2
56
1x 


ĐS: 0 
14) 
2
1
2 1
lim
1 1x x x
 
 
  
ĐS: -1/2 
15) 
3
1
1 3
lim
1 1x x x
 
 
  
ĐS: -1 
16) 
2 2x 1
x 2 x 4
lim
x 5x 4 3(x 3x 2)
  
 
    
ĐS: 0 
17) 
1992
1990x 1
x x 2
lim
x x 2
 
 
ĐS: 1993/1992 
18) 
1
1
lim
1
m
n
x
x
x


chú ý tổng của CSN ĐS: m/n 
x
x x
x0
(1 5 )(1 9 ) 1
lim

  
ĐS: 14 
19) 
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
x
   
ĐS: 6 
20) 
2
1
...
lim
1
n
x
x x x n
x
   

ĐS: n(n+1)/2 
21) 
n
2x 1
x nx n 1
lim
(x 1)
  

ĐS: n(n-1)/2 
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2) 
1) 
2
2
4 1 3
lim
4x
x
x
 

 ĐS:1/6 
2) 
2
0
1 1
lim
x
x
x
 
ĐS:0 
3) 
x4
35x
lim
4x 


 ĐS: -1/6 
4) 
9x
lim
 2xx9
3x


 ĐS:-1/54 
5) 
49x
3x2
lim
27x 


ĐS: -1/56 
6) 
3x4x
4x7x2
lim
231x 


ĐS: -4/15 
7) 
1x
2x3x
lim
2
3
1x 


ĐS: 9/4 
8) 
1x
x3x3x
lim
32
1x 


ĐS:1/2
Baøi 4: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2) 
1) 
x
x1x1
lim
0x


ĐS: 1 
2) 
23x
1x
lim
1x 


ĐS:2 
3) 
31x4
x2x
lim
2x 


 ĐS:-3/4 
4) 
2
2 2
lim
7 3x
x
x
 
 
 ĐS:3/2 
5) 
3x2
37x2
lim
1x 


ĐS:-4/3 
6) 
1x
xx
lim
2
1x 


ĐS:3 
7) 
x51
x53
lim
4x 


ĐS:-1/3 
8) 
1
2 2 3 1
lim
1x
x x
x
  

ĐS:-1/4 
9) 
3x3
2x3x2
lim
1x 


ĐS:1/6 
10) 
1x
1x1x
lim
2
1x 


ĐS: 2 
11) 
0x
lim
 9x23
11x


ĐS:-3/4 
12) 
2x
lim
 x31x
x22x


ĐS:-1/4 
13) 
2
0 2
1 1
lim
16 4
x
x
x

 
 
ĐS:4 
14) 
2
3
3 2
lim
3x
x x
x x
 

ĐS:-2/9 
15) 
0
9 16 7
lim
x
x x
x
   
ĐS: 7/24 
16) 
ax
lim
 22 ax
axax


, với a> 0. ĐS: a1/ 2
17) 
1x
lim
 x3x3x
1x
32 

ĐS:2 
Baøi 5: Tìm các giới hạn sau: (Một căn Bậc 3) 
1) 
2x
lim
 2x
2x43


ĐS :1/3 
2) 
x 1
lim

3 2x 1 1
x 1
 

ĐS:2/3 
3) 
1x1
x
lim
30x 
ĐS:3 
4) 
1x
2xx
lim
3
35
1x 


ĐS:24 
5) 
2
3 2
0x x
1x1
lim


 ĐS:1/3 
6) 
3
31
1
lim
4 4 2x
x
x

 
 ĐS:1 
7) 
0x
lim
 x
11x55 
ĐS:1 
Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn khác bậc) 
1) 
3
0
1 1
lim
x
x x
x
  
ĐS :1/6 
2) 
0x
lim
 1x1x2
1x1x 33


ĐS:4/3 
3) 
3
0
1 1
lim
1 1x
x
x
 
 
 ĐS:3/2 
4) 
3
0
2 1 8
lim
x
x x
x
  
ĐS:13/12 
5) 
4x5x
x4x
lim
2
3
4x 


ĐS:-1/18 
6) 
9x
5x10x2
lim
2
3
3x 


 ĐS:-7/72 
7) 
3
0
1 4 1 6
lim

  
x
x x
x
ĐS:0 
8) 
2x
2xx10
lim
3
2x 


ĐS:-1/3 
9) 
3
2
2
8 11 7
lim
3 2x
x x
x x
  
 
ĐS:7/54 
10) 
32 2
20
1 8 1 6
lim

  
x
x x
x
ĐS:2 
11) 
3
2
2
8 11 7
lim
2 5 2x
x x
x x
  
 
ĐS:7/162 
12) 
33 2
2
1
5 7
lim
1x
x x
x
  

ĐS:-11/24 
13) 
4x
2x6x
lim
2
3
2x 


ĐS:-1/24 
14) 
0
1 4 . 1 6 1
lim
x
x x
x
  
ĐS:5 
15) 
3
0
1 2 . 1 4 1
lim
x
x x
x
  
ĐS:7/3 
16) 
n
x 1
(1 x)
lim
(1 x)


ĐS: 1/n 
17) 
3 54
4x 1
(1 x)(1 x)(1 x)(1 x)
lim
(1 x)
   

ĐS:1/120 
18) 
3
0
1 1
lim
x
x x
x
  
ĐS:5/6 
19) 
3 3
x 0
x
lim
8 x 8 x   
ĐS:-6 
8) 
1x
lim
 1xx2x
1x3x1x2
23
2


ĐS:0 
Baøi 7: Tìm các giới hạn sau: ( 


x 0
sinx
lim 1
x
;
x 0
ta nx
lim
x
=1) 
1) 
x
2
sin x
lim
x
ĐS: 2/ 
2) 
0
1
lim
cosx x
ĐS:1 
3) 
0
tan s in2x
lim
cosx
x
x

ĐS: 0 
4) 
x
4
tgx
lim
x 
ĐS:4/3 
5) 
x 0
sin5x
lim
3x
ĐS:5/3 
6) 
30 45
sin.3sin.5sin
lim
x
xxx
x
ĐS:1/3 
7) 
x 0
1 cos2x
lim
xsin x

ĐS:2 
8) 
2
x 0
1 cos4x
lim
2x

ĐS:4 
9) 
x 0
sin 2x
lim
x 1 1  
ĐS:4 
10) 
2
x 0
1 cos2x
lim
x

ĐS: 2 
11) 
2
x 0
cosx cos7x
lim
x

ĐS:12 
12) 
2
x 0
cosx cos3x
lim
sin x

ĐS:2 
13) 
x 0
sinx
lim
tan2x
ĐS:1/2 
14) 
x
xxx
x cos1
3cos.2cos.cos1
lim
0 


ĐS:14 
15) 
2
2
x 0
x
sin
3
lim
x
ĐS:1/9 
16) 
2
sin
sincos.sin
lim
0 x
xxx
x


ĐS:0 
17) 
x
x
x cos1
3sin11
lim
0 


ĐS:3 2 
18) 
x
x
x cos1
cos1
lim
0 


ĐS:0 
19) 
x 0
1 cos3x
lim
1 cos5x


ĐS:9/25 
20) 
x 0
lim

21 cos 2x
xsinx

ĐS:4 
21) .
0
sin2 sin
lim
3sinx
x x
x

ĐS:1 
22) 
x 0
sin2x tan3x
lim
x

ĐS:5 
23) 
0
1 sin cos2
lim
sinx
x x
x
 
ĐS: -1 
24) 
3x 0
tanx sinx
lim
x

ĐS:1/2 
25) 
x 0
lim
 2
cos4x cos3x.cos5x
x

ĐS: 18 
26) 
x 0
lim
 2
cos( cosx)
2
x
sin
2

ĐS: BĐ góc phụ chéo 
27) 
π
x
3
sin 3x
lim
1 2cos x 
ĐS: 4 3 Đặt ẩn phụ 
28) 
®
-
p
2
x 2
4 x
lim
x
cos
4
 ĐS:16/ 
29) 
x1
1xcos
lim
1x 

 ĐS:0
30) 







xx
x 4
tan.2tanlim
4


ĐS: 1/2 
31) 
)
4
xsin(
tgx1
lim
4
x 



 ĐS: -2
32)  
x
x
x
3
sin2lim 

ĐS:3 
33) 
)1tan(
23
lim
1 

 x
xx
x
ĐS:-7/4 
34) tgx)x2cos1(lim
2
x



 ĐS:0
35) 
 
x
x
x sin21
sin
lim 6
6





ĐS:1/ 3 
36) 
1cos2
1sin2
lim
2
4


 x
x
x

ĐS:-1/2 
37) 
xxx tancos
1
lim
2

ĐS:0 
38) 
34
)1sin(
lim
21 

 xx
x
x
ĐS:-1/2 
39) 
x
x
x sin21
4
sin
lim
4











ĐS:1 
40) 
3cos4
1sin2
lim
2
6


 x
x
x

ĐS:-1/2 
41) 
tgx1
xcosxsin
lim
4
x 



 ĐS:
2
2
 
42) 
gxcot1
tgx1
lim
4
x 



 ĐS: -1
43) )
x
sinx(lim
x

 ĐS: 
44) 
)2tan(
8
lim
3
2 

 x
x
x
ĐS:12 
45) 
x 0
1 3
lim x
sin x sin3x
 
 
 
ĐS: 0 
22) 
0x
lim
 x2cosx2sin1
x2cosx2sin1


ĐS:-1 
46) 
2
2x 0
tan(a x).tan(a x) tan a
L lim .
x
  
 ĐS:tan4a-1 
47) 
x 0
(a x)sin(a x) asina
lim
x
   ĐS: (a+1)sina 
48) (ĐHGTVT-98): 
x 0
lim

1 2x 1 sinx
3x 4 2 x
  
  
ĐS:0 
49) 
23
0
2 1 1
lim
sin
  
x
x x
x
ĐS:1 
50) 
2
x 0
2 1 cos x
lim
tan x®
- + ĐS: 2 / 8 
51) 
2
2
x 0
1 sin x cosx
lim
sin x
 
ĐS:1 
52) ( )
1
lim 1 tan
2x
x
x
p
®
- ĐS:2/ 
53)