Tài liệu bài giảng: Các bài toán về cực trị

Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Các bài toán về cực trị 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - 
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 
 Xem lại các quy tắc tìm cực trị (SGK) 
 Cho đường cong bậc ba: 3 2ax , 0 ( )y bx cx d a C     . (C) có cực trị khi và chỉ khi phương 
trình: ' 23 2 0 (1)y ax bx c    có hai nghiệm phân biệt. 
Khi đó gọi 1 2,x x là hai nghiệm phân biệt của (1) thành: 
3 2
1 1 1 1 1
3 2
2 2 2 2 2
( ) ax
( ) ax
y y x bx cx d
y y x bx cx d
    
    
Ta còn có cách tính 1y và 2y khác như sau: 
1 1 2 2Ax , Axy B y B    , ở đây Ax + B là phần dư trong phép chia của y cho 
'y . 
Đường thẳng nối hai cực trị M ( 1 1,x y ), N ( 2 2,x y ) chính là đường thẳng y = Ax + B. 
 Cho đường cong 4 2ax , 0 ( )y bx c a C    , (C) có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình: 
' 34ax 2 0y bx   có ba nghiệm phân biệt. 
II. CÁC DẠNG TOÁN 
Loại 1: Các bài toán cực trị có thêm điều kiện phụ 
Thí dụ 1 (B - 2011). Cho đường cong 4 22( 1)y x m x m    . Tìm m để đường cong (C) có 3 cực trị A, 
B, C. Trong đó A thuộc trục tung, B và C là hai cực trị còn lại và thỏa mãn OA = OB. 
Thí dụ 2 (B - 2002). Cho đường cong 4 2 2( 9) 10y mx m x    . Tìm m để đường cong có 3 cực trị. 
Thí dụ 3 (B - 2007). Cho y = 3 2 2 23 3( 1) 3 1x x m x m      . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu cách 
đều gốc tọa độ. 
Thí dụ 4. Cho hàm số y = 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)x m x m m x m       
Tìm m để hàm số có cực trị tại 1 2,x x sao cho 1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
   
Thí dụ 5 (Cao đẳng - 2009): y = 3 22( 1) (2 ) 2x m x m x     . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và 
hoành độ 2 điểm cực trị đều dương. 
Thí dụ 6: Cho đường cong 3 2
1
( 2) (5 4) 3 1
3
y x m x m x m       . Tìm m để hàm số có cực trị tại 1 2,x x 
sao cho 1 22x x  . 
Thí dụ 7: Cho đường cong 4 2
1 3
4 2
y x mx   . Tìm m để đường cong chỉ có cực tiểu mà không có cực 
đại. 
 CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ 
 TÀI LIỆU BÀI GIẢNG 
 Giáo viên: PHAN HUY KHẢI 
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Các bài toán về cực trị thuộc khóa học 
Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến 
thức phần Các bài toán về cực trị, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. 
Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Các bài toán về cực trị 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - 
Thí dụ 8: (ĐHKA – 2012) Cho hàm số 4 2 22( 1) (1)y x m x m    , với m là tham số thực. Tìm m để đồ 
thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. 
Thí dụ 9: (ĐHKB – 2012) Cho hàm số 23 33 ),3 (1y x m mmx   là tham số thực. 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. 
Thí dụ 10: (ĐHKD – 2012) Cho hàm số 3 2 2
2 2
2(3 1) (1)
3 3
y x mx m x     , m là tham số thực. 
Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị 1 2àx v x sao cho 1 2 1 22( ) 1x x x x   . 
Loại 2: Các bài toán về đường thẳng nối cực trị. 
Thí dụ 1 (A - 2002): Cho đường cong 3 2 2 3 23 3(1 )y x mx m x m m       . Viết phương trình đường 
thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu. 
Thí dụ 2: Cho y = 3 2
1
3
x mx x m   . Tìm m để khoảng cách giữa hai cực trị là max. 
Giáo viên : Phan Huy Khải 
Nguồn : Hocmai.vn