Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập - Trần Thị Huyền Trang

A. §Æt vÊn ®Ò 
 Ngµy nay sù ph¸t triÓn cña tÊt c¶ c¸c nghµnh khoa häc, c¬ b¶n còng nh­ øng dông vµo tÊt c¶ c¸c nghµnh c«ng nghiÖp then chèt nh­ : DÇu khÝ, viÔn th«ng, hµng kh«ng ®Òu kh«ng thÓ thiÕu to¸n häc. Sù ra ®êi ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña c«ng nghÖ th«ng tin ®· thùc sù dÉn ®Õn hiÖn t­îng “Bïng næ ” c¸c øng dông cña to¸n häc, ®­a l¹i hiÖu qu¶ to lín trong mçi lÜnh vùc cña ®êi sèng x· héi. To¸n häc cã vÞ trÝ ®Æc biÖt trong viÖc n©ng cao ph¸t triÓn d©n trÝ , gãp phÇn t¹o nªn nguån tµi nguyªn chÊt x¸m, nguån tµi nguyªn quý nhÊt cho ®Êt n­íc. To¸n häc kh«ng chØ cung cÊp cho con ng­êi nh÷ng kÜ n¨ng tÝnh to¸n cÇn thiÕt, mµ cßn ë ®©y chñ yÕu lµ rÌn luyÖn cho con ng­êi mét kh¶ n¨ng t­ duy logic, mét ph­¬ng ph¸p luËn khoa häc. Do ®ã ngay tõ ban ®Çu ng­êi thÇy ®Þnh h­íng cho häc sinh cã mét ph­¬ng ph¸p tèt ®Ó n©ng cao chÊt l­îng gi¸o dôc trong tr­êng THCS lµ nhiÖm vô sè mét vµ còng lµ môc tiªu phÊn ®Êu cña mçi gi¸o viªn. §Æc biÖt lµ chÊt l­îng gi¸o dôc víi häc sinh líp 9. Bëi v× ®©y lµ líp cuèi cÊp quyÕt ®Þnh ®Õn kÕt qu¶ thi tuyÓn sinh vµo tr­êng THPT, ®¸nh dÊu b­íc ngoÆt chuyÓn tiÕp quan träng trªn con ®­êng häc tËp cña häc sinh.
 Lµ gi¸o viªn tham gia gi¶ng d¹y bé m«n to¸n häc tr­êng THCS t«i lu«n suy nghÜ, ch¨n trë mét ®iÒu lµm thÕ nµo ®Ó n©ng cao chÊt l­îng bé m«n. Muèn vËy ng­êi thÇy cÇn n©ng cao chÊt l­îng ngay tõ giê lªn líp chó träng ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc, tÝch cùc kiÓm tra vµ theo dâi s¸t sao viÖc häc cña häc sinh. Tõ ®ã ng­êi thÇy uèn n¾n, gi¶i ®¸p v­íng m¾c cho c¸c em vµ ®iÒu hµnh ph­¬ng ph¸p vµ kü n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh.
* Trong ch­¬ng tr×nh to¸n th×: 
 Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT hay vào các trường chuyên, lớp chọn đây là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi. Trong các tài liệu tham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này. Sau nhiều năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Viét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này. Hệ thức Vi-ét còn được tiếp tục vận dụng trong chương trình Toán THPT tuy nhiên trong bài viết này tôi chỉ đề cập trong nội dung chương trình Toán THCS.
 Hệ thức Vi-ét được ứng dụng rộng vào bài tập vì thế để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng thì khi dạy giáo viên nên chia ra thành nhiều dạng ứng dụng và phân chia thời gian dạy ®èi với từng nội dung phải thích hợp.
 Sau đây là hệ thống bài tập mà tôi đã áp dụng vào ôn thi cho học sinh lớp 9 và có hiệu quả tốt. 
b. Néi dung
I. Lý thuyết 
§Þnh lÝ Vi-Ðt 
 - Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) thì: 
 S = x1 +x2 = 
 P = x1 x2 = 
 - Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình X 2 - SX + P = 0 
II. C¸c d¹ng bµi tËp
Vận dụng Định lý Vi-ét và ®Þnh lý Vi-ét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho
Dạng 3: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai
Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức nào đó
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số
Dạng 8: Tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất , chứng minh bất đẳng thức của biếu thức chứa nghiệm
Dạng 9: T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch
Dạng 10: Ứng dụng định lí Viét đảo vào bài tập
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Lý thuyÕt 
 - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = 
 - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - 
Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 a) 3x2 - 5x + 2 = 0
 b) -7x2 - x + 6 = 0
Giải:
 a) 3x2 - 5x + 2 = 0 lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai 
Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm:
 x1 = 1, x2 = = 
 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 1, x2 = 
 b) -7x2 - x + 6 = 0 lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai 
Ta có a - b + c = - 7 - (- 1) + 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm:
 x1= - 1, x2 = - = 
 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = - 1, x2 = 
Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm nghiệm theo hệ thức Vi-ét, xét ví dụ sau:
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau
 a) x2 - 7x + 10 = 0
 b) x2 + 6x +8 = 0
Giải:
 a) x2 - 7x + 10 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x
 Ta cã: = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.1.10 = 9 > 0
 V× > 0 nªn phương trình có nghiệm x1, x2 
Ap dông hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 7 vµ x1x2 = 10 
 x1= 2, x2 = 5 
VËy ph­¬ng tr×nh có hai nghiệm phân biệt lµ : x1= 2, x2 = 5
 b) Tương tự như câu a
 Ta cã: = b2 – 4ac = 6 2 – 4.1.8 = 4 > 0
 V× > 0 nªn phương trình có nghiệm x1, x2 
 x1 + x2 = - 6 và x1 x2 = 8 
 x1 = - 2, x2 = - 4
VËy ph­¬ng tr×nh có hai nghiệm phân biệt lµ x1 = -2, x2 = - 4
Dạng2: Tìm điều kiện của tham số vµ t×m nghiÖm cßn l¹i khi biết một nghiệm của phương trình đã cho
Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + 5 = 0
 Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và nghiệm còn lại?
Giải:
 Cách 1: - Thay x = 2 vào phương trình ta được :
 2. 22 – p.2 + 5 = 0
 p = . 
 - Gọi nghiệm đã biết của phương trình là x1, nghiệm còn lại là x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2 = 2x2 = x2 = 
V©y khi ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x1 = 2 th× p = vµ nghiÖm cßn l¹i x2 = 
 Cách 2: - Vì phương trình có nghiệm x1 , x2 nên theo hệ thức Viét ta có:
 x1x2 = mà x1 = 2 2x2 = x2 = 
 - Mặt khác x1+ x2 = Þ = 2 + Þ p = 
V©y khi ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x1 = 2 th× p = vµ nghiÖm cßn l¹i x2 = 
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - 3 = 0.
 Biết phương trình có một nghiệm là 3. Tìm m và tìm nghiệm còn lại ?
Giải:
 Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = - 2 và nghiệm còn lại là x = - 1 
Bµi tËp ¸p dông:
1. cho ph­¬ng tr×nh x2 + 5x + q = 0 cã mét nghiÖm x1 = 5, t×m q vµ nghiÖm cßn l¹i
2. Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 7x + q = 0 cã hiÖu hai nghiÖm b»ng 11 t×m q vµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh
Dạng 3: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai
1. LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm x1 , x2
 - Vì phương trình có nghiệm x1 =, x2 =  nên ta có
 x1+ x2 = S x1x2 = P 
 V©y x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 – Sx + P = 0
Ví dụ1: H·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 2 vµ 3 ?
 Gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x1 = 2, x2 = 3 ta cã 
 x1+ x2 = 2 + 3 = 5 x1x2 = 2.3 = 6 
VËy lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 – 5x + 6 = 0
Bµi tËp ¸p dông:
 H·y lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm sau:
a. x1 = 2 vµ x2 = 5 
b. x1 = - 2 vµ x2 = -3
c. x1 = 2 + vµ x2 = 2 - 
d. x1 = 36 vµ x2 = -104 
e. x1 = 2m vµ x2 = 5m 
2. LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm tháa m·n biÓu thøc chøa hai nghiÖm cña mét ph­¬ng tr×nh cho tr­íc
Ví dụ: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 3x + 2 = 0 cã hai nghiÖm x1 , x2 kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn, H·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn y, cã hai nghiÖm tháa m·n y1 = x2 + vµ y 2 = x1 + 
Gi¶i - xÐt ph­¬ng tr×nh x2 - 3x + 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có: 
 = b2 – 4ac = (-3)2 – 4.1.2 = 1 > 0
 Vì > 0 nªn phương trình có nghiệm x1 , x2 
 Theo hệ thức Viét ta có:
 x1x2 = = 3
 x1+ x2 = = 2
 - Ta cã : S = y1 + y2 = x2 + + x1 + 
 = (x1 + x2 ) + (+ )
 = (x1 + x2 ) + 
 = 3+ = 
- Ta cã P= y1 y2 = ... = 
VËy ph­¬ng tr×nh cÇn t×m lµ y2 – Sy + P = 0
 Hay y2 – y + = 0 2y2 – 9x + 9 = 0
 Bµi tËp ¸p dông:
1. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai 3x2 + 5x - 6 = 0 cã hai nghiÖm x1 , x2 kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn, h·y lËp pt bËc hai Èn y cã hai nghiÖm y1 , y2 tháa m·n : 
 y1 = x1 + vµ y 2 = x2 + 
2. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai x2 - 5x - 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 , x2 kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn, h·y lËp pt bËc hai Èn y cã hai nghiÖm y1 , y2 tháa m·n : 
 y1 = x14 vµ y 2 = x24
3. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai x2 -px +q = 0 cã hai nghiÖmd­¬ng x1 , x2 kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn, h·y lËp pt bËc hai Èn cã hai nghiÖm vµ 
4. cho pt x2 – 11x + 5 = 0 (1). Hãy lập pt bậc hai có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của pt(1).
 Dạng 4: T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch 
 NÕu hai sè cã tæng b»ng S cã tÝch b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 – Sx + P = 0 ( ®iÒu kiÖn S2 – 4P 0)
Ví dụ: T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng -3 tÝch b»ng - 4
Gi¶i 
Gäi hai sè cÇn t×m lµ a vµ b ta cã: a+ b = -3 vµ a.b = - 4 
 a, b lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 + 3x - 4 = 0 (*)
 Ta thÊy 1+3+ (-4) = 0 nªn ph­¬ng tr×nh (*)cã nghiÖm x1 = 1, x2 = - 4
 VËy hai sè cÇn t×m lµ 1 vµ - 4
Bµi tËp ¸p dông:
Bài 1. T×m hai sè a , b biÕt tæng a + b = S vµ tÝch ab = P
1, S = 3 vµ P = 2
2, S = -3 vµ P = 6
3, S = 9 vµ P = 20
4, S = 2 vµ P = - 8
Bài 2. Tìm hai số a và b biết: 
a) a + b = - 42 và ab = - 400
b) a – b = 5 và ab = 24
HD: ta có a –b = 5 a + ( - b) = 5
 ab = 24 a.(- b) = - 24
 a , ( - b) là hai nghiệm của pt: x2 – 5x – 24 = 0
Bài 3: Tính kích thước của một mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22 m và diện tích bằng 30 m2
HD Gọi chiều dài của mảnh vườn là a (m) chiều rộng là b (m) ( với a>b > 0)
Vì chu vi ...... là 22 m nên ta có: 2(a + b ) = 22 a + b = 11 (1)
Vì diện tích ..... là 30 m2 nên ta có: ab = 30 (2)
Từ (1) và (2) ta có a , b là nghiệm của pt: x2 – 11x + 30 = 0
Dạng 5: 
Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
 Lý thuyÕt: 
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) nếu có nghiệm x1 , x2 
 ¸p dông hÖ thøc Vi-Ðt ta cã S = x1 +x2 = 
 P = x1 x2 = 
1. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ac < 0
2. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu 0 vµ P > 0
3. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d­¬ng 0 vµ P > 0 , S > 0
4. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m 0 vµ P > 0 , S < 0
5. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm d­¬ng cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n GTT§ cña nghiÖm ©m ac 0
6. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n GTT§ cña nghiÖm d­¬ng ac < 0 , S < 0
7. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®èi nhau 0 vµ S = 0
8. Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nghÞch ®¶o cña nhau 0 vµ P = 1
Ví dụ1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:
 a) x2 - 2 x + 4 = 0
 b) x2 + 5x - 1 = 0
 c) x2 - 2x + 1 =0
 d) x2 + 9x + 6 = 0
Giải: 
 a) Phương trình x2 - 2 x + 4 = 0 là phương trình bạc hai ẩn x.
Ta có D ' = ( -)2 – 1. 4 = 3 – 4 = -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm
 b) Phương trình x2 + 5x - 1 = 0 là phương trình bạc hai ẩn x.
 Ta có a = 1 > 0
 c = -1 < 0 
 ac < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu
 c) H Dẫn: Ta có D' = 2 > 0 ; S = 2 > 0; P = 1 > 0 
 phương trình có hai nghiệm ph©n biÖt cïng dương 
 d) H Dẫn: Ta có D =57 > 0; S = - 9 0 
 phương trình có hai nghiệm ph©n biÖt cïng âm 
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:
 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 
 a) Có hai nghiệm khác dấu
 b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm
 c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương
 d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Giải: phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 ( 1) là phương trình bạc hai ẩn x có : a = 2 , b = 2m – 1 , c = m - 1
 a) Phương trình (1) có hai nghiệm khác dấu khi:
 ac < 0 
 Û 2(m – 1) < 0 
 Û m – 1 < 0 
 Û m < 1 
 VËy víi m < 1 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
 b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều âm khi :
 VËy víi m > 1 , m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m
 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi:
  Û kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m
 V©y không có giá trị nào của m ®Ó pt cã hai nghiÖm ®Òu d­¬ng
d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau .
 Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: 
 Û .... Û 1 - 2m = 0 Û m = 
VD3: Cho pt: x2 – 4x + m + 1 = 0 ( m là tham số ) 
Giải pt với m = 2
Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu ( x1 < 0 < x2 ) Khi đó nghiệm nào có GTTĐ lớn hơn.
 Điều cần chú ý 
- khi D < 0 thì không cần xét dấu các nghiệm của phương trình vì phương trình vô nghiệm. 
- Khi P 0
- Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là D và S
Dạng 6: 
Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của
 phương trình đã cho
 §iÒu quan träng nhÊt ®èi víi d¹ng to¸n nµy lµ ph¶i biÕt biÕn ®æi biÓu thøc nghiÖm ®· cho vÒ biÓu thøc míi chøa tæng vµ tÝch hai nghiÖm ®Ó ¸p dông hÖ thøc Vi-et råi tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc.
1. BiÕn ®æi biÓu thøc ®Ó lµm xuÊt hiÖn x1 +x2 vµ x1 x2 
 a) x12 + x22 = ( x12 + x22 + 2 x1 x2 ) - 2x1 x2 = (x1 + x2)2 - 2x1 x2 
 b) x13 + x23 = (x1 + x2)( x12 + x22 - x1 x2 ) = (x1 + x2)[ (x1 + x2)2 - 3x1 x2 ] 
 c) = = 
 d) 
 e) ) x14 + x24 = ... = .... = [(x1 + x2)2 - 2x1 x2 ]2 - 2(x1x2)2
 g) 
2. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:
Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số)
 Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:
 a) x12 + x22 
 b) x13 + x23 
 c) 
 d) 
 e) ) x14 + x24
Giải: phương trình x2+ mx + 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có a = 1, b = m, c = 1
- Ta cã = b2 – 4ac = m2 – 4.1= m2 – 4
 Khi m2 – 4 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm và x1 . x2 
 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1
a) Ta có x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 (1)
Thay x1+ x2 = - m và x1.x2 = 1 vào (1) ta được x12 + x22 = m2 - 2
b) H dẫn x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m
 c) H Dẫn (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- 4 nên = 
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 4x + 1 = 0 . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, Tính giá trị của biểu thức 
 ( với x1 là một nghiệm của phương trình đã cho)
Giải:Ta cã = b2 – 4ac =(- 4)2 – 4.1= 16 – 4= 12 > 0
 V× > 0 nªn ph­¬ng tr×nh cã hai cã hai nghiÖm x1 , x2 
Theo hệ thức Viét ta có: 
 HD: Ta phải biến đổi biểu thức dưới căn bậc hai thành dạng (5x1+a)2 để đưa 
 A về dạng A= 
Bằng cách xét dấu nghiệm của phương trình đã cho chứng tỏ 5x1+ a > 0 từ đó tính được giá trị của A. Sau đây là cách biến đổi cụ thể:
 Vì x1 là nghiệm của phương trình đã cho nên : 
 x12 = 4x1-1 Þ x14 = 16x12 - 8x1+ 1
 V× ta cã 
 Þ x1 > 0 Þ 5x1+ 2 > 0 Þ A =2
Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + x - 1 = 0 
 và x1,x2 là nghiệm của phương trình (x1 < x2) . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh TÝnh giá trị của biểuthức
Giải: Ta cã a = 1 > 0 , c = -1 < 0 nªn ac < 0 . VËy pt lu«n lu«n cã nghiÖm 
Từ giả thiết ta có: x12 = 1 - x1Þ x14 = x12 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1= - 3x1 + 2 
 Þ x18 = 9x12 - 12x1+ 4
 Þ =
Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x1< x2 nên x1< 0
 Vậy B = = 5 - x1+ x1 = 5
Dạng 7: 
Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 
 a) 3x1 + 2x2 = 1
 b) x12 - x22 = 6
 c) x12 + x22 = 8
Giải: Ta cã ’= b’2 – ac = 12 – 1.m = 1 - m
 Để phương trình có nghiệm thì D' 0 Û m1
a) H Dẫn : Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:
 Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7
 Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)
b) H Dẫn : Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ: 
 Giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 
 Thay vào (3) ta được m = - (thoả mãn điều kiện)
c) x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 Þ 4 - 2m = 8 Þ m = -2 (thoả mãn)
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 - mx + 3 = 0 (m là tham số)
 có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = 6
HDGiải: 
 Để phương trình có nghiệm thì D 0 
 Û m2 - 12 0 
 Û m 2 hoặc m -2
Kết hợp với hệ thức Viét ta có 
 giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 
giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 
Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn) 
Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2mx + 4 = 0. 
 Xác định m để x14 + x24 32
HDGiải: 
 Để phương trình có nghiệm thì D' 0 hay m2 - 4 0 Û 
Ta có: x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12x22 = 
 Theo hệ thức Viét ta có: 
 nên x14 + x24 32 Û (4m2 - 8)2 - 32 32 
 Û 
Kết hợp với điều kiện D' 0 ta được m = 2 hoặc m = -2 
Dạng 8: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
PP chung: - T×m §K ®Ó pt ®· cho cã hai nghiÖm x1 , x2
 - Ap dông hÖ thøc Vi-Ðt tÝnh S = x1 + x2 vµ P = x1 x2
 - Dïng pp céng hoÆc thÕ ®Ó tÝnh tham sè theo x1 , x2
Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0
 a) Tìm m để phương trình có nghiệm
 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Giải:
 a) Ta có D' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1
 Phương trình đã cho có nghiệm Û D' 0 Û m - 
 b ) Theo hệ thức Viét ta có 
 Từ (1) ta có m = thay vào (2) ta được 
 hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ 
 thuộc vào m
 Cách giải chung của dạng này là theo hệ thức Viét ta có hai biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau đó thế vào biểu thức còn lại ta được biểu thức cần tìm. 
Tuy nhiên có thể dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m0, m là tham số )
 Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải :
 Do phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có:
 Ta có (2) Û 6x1x2 = 6 + (3). 
Cộng vế theo vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: 
 x1 + x2 + 6x1x2 = 8
Dạng 9: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. 
Giải: 
 Ta có D' = (m - 1)2 - (m - 5)
 = m2 - 3m + 6 
 = m2 – 2.m. + 
 = ( m - )2 + > 0
 Vi D' > 0 nên phương trình luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của m 
Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5
 Þ A = x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 
 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5) 
 = 4m2 - 10m +14 = víi mäi m
 Amin = Dấu = xẩy ra khi m = 
 VËy Amin = khi m = 
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - mx + m - 1= 0 với m là tham số.
 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: 
Giải: 
 Ta có D = m2 - 4(m - 1) = (m - 2)2 0 nên phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của m
- Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = m và x1x2 = m - 1
 Þ x12+x22 =(x1+x2)2 - 2x1x2 = m2 -2m + 2 . Thay vào ta có 
 = 
 Đặt t = ta có tm2 - 2m + 2t - 1 = 0 (1)
Nếu t = 0 thì m = 
Nếu t 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với m. Ta có :
 D' = 1 - t(2t - 1) 0 Û - 2t2 + t + 1 0 
 Û (t - 1)(-2t - 1) 0 Û 
 t = - khi m = -2 ; t =1 khi m = 1
Vậy Cmin = khi m = -2; Cmax= 1 khi m = 1
Hoặc ta chứng minh C - 1 0 và C + 0
Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình 
 2008x2 - (2008m - 2009)x - 2008 = 0
 Chứng minh 
 A= 
Giải: Theo hệ thứcViet ta có: x1 + x2 = và x1x2 = - 1
BiÕn ®æi biÓu thøc A = .
 A = 6(x1 - x2)2 
 A = 6( (x1 + x2)2 + 4) 24
VËy ....
Dạng 10: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết 
 a) b) 
Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
 Û 
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0
Giải phương trình ta được x1 = 1; x2 = 2 . Vậy (x ; y) 
b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ
Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trình
 X2 - 2X - 15 = 0 giải ra ta được x1 = - 3; x2 = 5
 Vậy (x ; y) 
Thực chất dạng này được ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn.
 Ta xét tiếp ví dụ sau
Ví dụ 2: Giải hệ
 Giải:
 Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
 S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5
Suy ra x, y là nghiệm phương trình X 2 - 2X = 0 hoặc X2 + 3X + 5 =0
 Vậy (x ; y) 
Hệ thức Viét đảo còn được ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào các bài toán chứng minh khác . Ta xét các ví dụ sau
Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau: 
 a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc. Chứng minh rằng: 
 a , b > 0, c > 0 và b2 + c2 2a2
Giải:
 Từ a + b + c = abc Þ b + c = a(b