Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng máy tính cầm tay để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b”

SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
1 
MỞ ĐẦU 
Trong những năm qua, việc sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) được 
sử dụng rộng rãi trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong 
việc tính toán và những bài tập không thể giải nhanh bằng tay. Một trong 
những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là 
“Các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT và 
cuộc thi giải toán Violympic trên Internet ở lớp 7, 8, 9 đều có dạng toán về đa 
thức. 
Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của 
huyện sử dụng MTCT để giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần lớn các 
em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng, cũng như kỹ năng trình 
bày bài giải chưa hợp lý, chính xác. Vì vậy, để giúp cho các em học sinh có 
kỹ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng 
một cách thành thạo, chính xác và nhanh là hết sức cần thiết . 
Đứng trước thực trạng trên, tôi xin đưa ra phương pháp giải và cách 
trình bày để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa 
thức đặc biệt là “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) 
cho g(x) = ax + b”. 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
2 
CƠ SỞ KHOA HỌC 
 KHI TÌM SỐ DƢ CỦA PHÉP CHIA ĐA THỨC f(x) CHO g(x) = ax +b 
Để tìm số dư trong phép chia f(x) cho g(x) = ax + b thì ta sử dụng các 
phương pháp sau: 
1. Thực hiện phép chia thông thường. 
2. Định lí Bezoul. 
3. Sơ đồ Hoocne. 
Tùy theo yêu cầu của bài toán mà chọn phương pháp giải phù hợp. 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
3 
NỘI DUNG 
1.Định lí Bezoul. 
 a) Giả sử đa thức f(x) là đa thức của biến x và a R trong biểu thức của 
f(x). 
 - Khi thay x = a thì được một số ký hiệu là f(a). Gọi là giá trị của f(x) tại 
a. 
 - Nếu f(a) = 0 thì f(x) có nghiệm là x = a. 
b) Định lí Bezoul: 
Trƣờng hợp 1: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là 
hằng số bằng f(a). 
VD1. Chia f(x) = 7x
5
 - 30x
4
 - 1975 cho g(x) = x – 19,54. 
Giải: Số dư f(x) chia cho g(x) là f(19,54) 
Cách 1: Sử dụng phím nhớ 
- Ấn: 19,54 ( gán 19,54 vào biến nhớ X ) 
 hoặc ấn: 19,54 ( gán 19,54 vào biến Ans) 
- Nhập biểu thức: 7X5 – 30X4 - 1975 
hoặc nhập biểu thức: 7Ans5 - 30Ans4 – 1975 
 - Ấn: KQ: f(19,54) = 15 564 423,85 
 Cách 2: Sử dụng chức năng phím CALC 
- Nhập biểu thức: 7X5 – 30X4 - 1975 
 Ấn: 7 5 30 4 4 1975 
= 
X X Alpha - 
STO Shift X
= 
Alpha ^ -
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
4 
 - Lưu biểu thức: + Ấn máy hỏi X? ấn 19,54 
 KQ: f(19,54) = 15 564 423,85 
VD2. Chia f(x) = 19x
5
 - 3x
2
 – 1930x + 1890 cho g(x) = x + 19,11. 
Ta có số dư là f(-19,11) = 48 461 272,57 
Trƣờng hợp 2: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là 
hằng số bằng f
b
a
 
 
 
. 
VD3. Chia f(x) = 26x
3
 + 1931x
2
 + 9x – 1982 cho g(x) = 20x + 11. 
 Ta có số dư là: f
11
1407,14825
20
 
  
 
VD4. Chia f(x) = 3x
4
 + 5x
3
 – 4x2 + 2x – 7 cho g(x) = 4x -5. 
 Ta có số dư là f
4 3 2
5 5 5 5 5 87
3. 5. 4. 2. 7 6
4 4 4 4 4 256
         
              
         
2.Sơ đồ Hoocne: 
 Trong trường hợp chia một đa thức Pn(x) cho một nhị thức x – m ta có 
thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau: 
 Giả sử khi chia đa thức Pn(x) = anx
n
 + an-1x
n-1
 + an-2x
n-2
 +  + a1x + a0 
cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn(x) = bn-1x
n-1
 + bn-2x
n-2
 +  + b1x + b0 
thì giữa các hệ số an , an-1 , an-2 , , a1 , a0 và bn-1 , bn-2 , b1, b0 có mối quan hệ 
sau đây: bn-1 = an 
 bn-2 = m. bn-1 + an-1 
 .. . . . .. .. . .. .. . . 
 b0 = m.b1 + a1 
CALC = 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
5 
và số dư r = m.b0 + a0 
 an an-1 an-2  a1 a0 
m bn-1 = an bn-2= m.bn-1+an-1 bn-3= m.bn-2+an-2 b0=m.b1+a1 r =m.b0+a0 
Ví dụ 1. Tìm thương và số dư của đa thức: f( 4 2) 2 3 2013 2014x x x x    chia 
cho ( ) 195g x x  
Giải: 
Ta ghi: 
 2 0 -3 2013 -2014 
-195 bn-1 = 2 -390 76047 -14 827 152 2 891 292 626 
Ấn : -195 
 2 0 ta được - 390 
ấn tiếp: 3 ta được 76047 
ấn tiếp: 2013 ta được -14 827 152 
ấn tiếp: 2014 ta được 2 891 292 626 
Vậy đa thức thương Q 3 2( ) 2 390 576047 14 827 152x x x x    
 và số dư r = 2 891 292 626 
Ví dụ 2. Tìm thương và số dư của đa thức 4 3 2( ) 3 5 4 2 7f x x x x x     chia cho 
( ) 4 5g x x  
Giải: 
STO Shift 
= Alpha A x + 
x Alpha 
(-) 
A + = 
A 
x Alpha A + =
x Alpha (-) A + =
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
6 
Ta ghi: 
 3 5 -4 2 -7 
5
4
 3 
35
4
111
16
683
64
 6
87
256
 3
4
35
16
111
64
683
256
Vậy đa thức Q 3 2
3 35 111 683
( )
4 16 64 256
x x x x    và số dư r = 6
87
256
. 
Chú ý: Các hệ số của đa thức thương ta phải chia cho a (a =4) 
Ví dụ 3. Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (đa thức bậc 3), 
biết f(1) = 3941; f(-1) = 69; f(5) = 14493; f(-2) = -2041. 
a) Tính f(75); f(103) 
b) Tìm thương và số dư của f(x) chia cho 7x – 5 
( số dư biểu diễn dưới dạng hỗn số hoặc phân số) 
c) Tìm m để f(x) + m – 1945 chia hết cho 3x + 10 
Giải: 
Theo đề ta có hệ phương trình: 
(1) 3941 3941 3941 25
( 1) 69 69 2 2 3872 8
(5) 14493 125 25 5 14493 124 24 4 10552 1911
( 2) 2041 8 4 2 2041 9 3 3 582 2013
f a b c d a b c d a
f a b c d a c b
f a b c d a b c c
f a b c d a b c d
            
                  
     
          
                  


Suy ra f(x) = 25x
3
 - 8x
2
 + 1911x + 2013 
a) Do đó f(75) = 10 647 213; f(103) = 27 423 149 
b) Ta ghi: 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
7 
 25 -8 1911 2013 
5
7
 25 
69
7
93984
49
 3383
10 1160379
343 343
 
 25
7
69
49
93984
343
Vậy đa thức Q 2
25 69 93984
( )
7 49 343
x x x   và số dư r =3383
10 1160379
343 343
 . 
c) Để f(x) + m – 1945 chia hết cho 3x + 10 
 g(x) = 25x
3
 - 8x
2
 + 1911x + 2013 + m – 1945 chia hết cho 3x + 10 
 
10
0
3
g
 
 
 
m = 7 316,814815 (dùng chức năng SHIFT SOLVE) 
BÀI TẬP: 
Bài 1.Tìm số dư của các phép chia sau: 
a) (x4 + x3 +2x2 – x +1) : (x -3) KQ: r = 124 
b) (x3 – 9x2 – 35x + 7) : (x – 12) KQ: r = 19 
c) (2x3 + x2 – 3x +5) : (x + 11) KQ: r = -2.503 
d) (4x5 + 3x3 – 4x + 5) : (2x +11) KQ: r = -20.603,5 
e) (3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) : ( -3x +2) KQ: r = 
145
27

f) (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) : (3x – 1) KQ: r = 
848
81
Hướng dẫn: Áp dụng định lí Bezoul 
Bài 2.Tìm số dư và đa thức thương của các phép chia f(x) cho g(x) sau: 
a) f(x) = (x4 + x3 +2x2 – x +1) và g(x) =(x -3) 
b) f(x) = (x3 – 9x2 – 35x + 7) và g(x) = (x – 12) 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
8 
c) f(x) = (2x3 + x2 – 3x +5) và g(x) = (x + 11) 
d) f(x) = (4x5 + 3x3 – 4x + 5) và g(x) = (2x +11) 
e) f(x) = (3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) và g(x) = ( -3x +2) 
f) f(x) = (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) và g(x) = (3x – 1) . 
Hướng dẫn: Áp dụng Sơ đồ Hoocne. 
KQ: a) r = 124 và Q(x) = x
3
 + 4x
2
 + 14x + 41 
 b) r = 19 và Q(x) =x
2
 + 3x + 1 
 c) r = -2.503 và Q(x) = 2x
2
 – 21x + 228 
 d) r = -20.603,5 và Q(x) = 2x
4
 – 11x3 + 62x2 – 341x + 
3.747
2
 e) r =
145
27

 và Q(x) = -x
3
 - 
7
3
x
2
 - 
2
9
x - 
22
27
 f) r = 
848
81
và Q(x) = 
5
3
x
3
 - 
7
9
x
2
 + 
11
27
x + 
200
81
Bài 3. Tìm a để P(x) = x4 + 7x3 +2x2 +13x + a chia hết cho x + 6. 
Giải: 
C1: Để P(x) x + 6  P(-6) = 0 
  (-222) + a = 0 
  a = 222. 
 Vậy a = 222. 
C2: Để P(x) x + 6  P(-6) = 0 
 Ta nhập biểu thức : X4 + 7X3 + 2X2 + 13X +A = 0 
 Ấn: X ? nhập -6 Solve Shift = 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
9 
 Ấn tiếp: máy hiện: A = 222. 
 Vậy : a = 222. 
Bài 4. Cho phương trình 2,5x5 – 3,1x4 + 2,7x3 + 1,7x2 – (5m -1,7)x + 6,5m – 
2,8 có một nghiệm là x = - 0,6. Tính giá trị của m chính xác đến 4 chữ số thập 
phân. 
Hƣớng dẫn: Giải như bài 3. KQ: m = 0,4618 
Bài 5. Tìm m để f(x) = 2x4 + 3x2 – 5x + 2005 – m chia hết cho x – 12. 
Hƣớng dẫn: Giải như bài 3. KQ: m = 43849. 
Bài 6. Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho 
đa thức g(x) = x2 – x – 2. 
Giải: 
C1: Lấy f(x) chia cho g(x) để tìm số dư và đặt số dư bằng 0 để tìm k. 
 Ta có: f(x) = (x
2
 – x – 2)(x2 – 8x + 15) +k +30 = 0 
 Vậy để f(x) g(x) thì k + 30 = 0. 
 Suy ra k = -30 
C2: Ta có g(x) = x
2
 – x – 2. 
 = x
2
 – 2x + x – 2 = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) 
Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x2 – x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1) 
 Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 
hoặc x = 2 vào f(x), ta được f(-1) = 0  k = - 30. 
Bài 7. Cho đa thức f(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – x + m. 
a) Xác dịnh m để f(x) chia hết cho x – 2 
Solve Shift 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
10 
 b) Với m tìm được ở câu a. Xác định đa thức thương và số dư của f(x) 
chia cho x + 3. 
KQ: a) m = - 46. 
b) Q(x) = 3x3 – 10x2 + 32x – 97 và r = 245. 
Bài 8. Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m. 
 a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003. 
 b) Tính giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5 
 c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là bao nhiêu? 
Giải: 
a) Nhập : X5 + 2X4 – 3X3 + 4X2 – 5X + 2003 
X? khai báo: 2,5 
 KQ: r =2144,406250 
b) Giải như bài 3. KQ: m = -141,40625 
c) P(x) có nghiệm x = 2  P(2) = 0  m = - 46 
Bài 9. Cho hai đa thức: P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m. 
 Q(x) = x
4
 + 4x
3
 – 3x2 + 2x + n. 
 a) Tìm giá trị của m và n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2. 
 b)Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm được. Hãy 
chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất. 
Giải: 
 a) Giải như bài 3. KQ: m = -46, n = -40 
CALC = 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
11 
 b) Ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6. 
Vì P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 nên R(x) = P(x) – Q(x) 
cũng chia hết cho x – 2. 
 Do đó ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6 = (x – 2)(x2 + x + 3) 
Mà x
2
 + x + 3 = x
2
 + 2.
1
2
x + 
1
4
 + 
3
4
 = (x + 
1
2
)
2
 + 
3
4
 > 0 x 
( hay tam thức bậc hai x2 + x + 3 có 1 4 3     nên vô nghiệm ) 
 Suy ra R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 2. 
Bài 10. Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m. 
 a)Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3. 
 b)Với m tìm được ở câu a. Hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) 
cho 3x – 2. 
 c)Với m tìm được ở câu a. Hãy phân tích đ thức P(x) ra tích của các 
thừa số bậc nhất. 
 d)Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và 
Q(x) = 2x
3
 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x - 2 
 e)Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích của các thừa số bậc nhất. 
Giải: 
a) Để P(x) chia hết cho 2x + 3 thì P( 
3
2

) = 0 m = 12. 
b) Chia đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + 12 cho 3x – 2. 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
12 
 6 -7 -16 12 
2
3
 6 -3 -18 0 
 2 -1 -6 
 Ta được P(x) = (3x – 2)(2x2 – x – 6) và số dư r = 0 
c) P(x) = (3x – 2)(2x + 3)(x – 2). 
d) Để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m 
và Q(x) = 2x
3
 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x – 2 thì P(2) = 0 và 
Q(2) = 0 
Suy ra m = 12, n = 30 
e) Đa thức Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + 30 chia cho x – 2 nên chia Q(x) 
cho x – 2 ta được. Q(x) =(x – 2)(2x2 – x – 15). 
 Vì 2x
2
 – x – 15 = 2x2 – 6x + 5x – 15 = (x – 3)2x + 5(x – 3) 
 = (x – 3)(2x + 5). 
 Vậy Q(x) = (x – 2)(x – 3)(2x + 5) 
Bài 11. Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e. Biết P(1) = 1, 
P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. 
 a) Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9) 
 b) Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là số nguyên. 
Giải: 
 a) Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. 
 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2. 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
13 
 Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25. 
 Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x). 
 Vì hệ số của x5 = 1 nên suy ra Q(x) có dạng: 
 Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) 
 Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – 62. 
 Suy ra P(6) = 6
2
 + 5! = 156. 
 Tương tự P(7) = 72 + 6! = 769. 
 P(8) = 8
2
 + 
7!
2!
 = 2584. 
 P(9) = 9
2
 + 
8!
3!
 = 6801. 
 b)P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) + x2. 
 P(x) = x
5
 – 15x4 + 85x3 – 284x2 + 274x – 120. 
Bài 12. Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và cho biết Q(1) = 5; 
Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tính các giá trị Q(10); Q(11); Q(12); Q(13). 
Giải: 
 Nhận xét: Q(1) = 5 = 2.1 + 3 ; Q(2) = 7 = 2.2 + 3 
 Q(3) = 9 =2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3 
 Xét đa thức P(x) = Q(x) – (2x + 3). 
 Ta có P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0. 
Điều này chứng tỏ 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x). 
 Suy ra: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = Q(x) – (2x + 3). 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
14 
 Nên P(10) = 9.8.7.6 = Q(10) – ( 2.10 + 3). 
 Hay Q(10) = 2.10 + 3 + 9.8.7.6 
 = 2.10 + 3 + 
9!
5!
 = 3047. 
Tương tự: Q(11) = 2.11 + 3 +
10!
6!
 = 5065. 
 Q(12) = 2.12 + 3 +
11!
7!
 = 7947. 
 Q(13) = 2.13 + 3 +
12!
8!
 = 11909. 
Bài 13. Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 
9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), 
P(11). 
Giải: 
 Đặt Q(x) = 2x2 + 1 . Khi đó Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, 
Q(5) = 51. 
Điều này chứng tỏ đa thức (bậc 5)R(x) = P(x) – Q(x) có 5 nghiệm 1; 2; 3; 4; 5. 
 Vậy : P(x) = Q(x) + (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5). 
Do đó: P(6) = 2.62 + 1 + 5! = 193 
 P(7) = 2.7
2
 + 1 + 6! = 819 
 P(8) = 2.8
2
 + 1 + 
7!
2!
 = 2649 
 P(9) = 2.9
2
 + 1 + 
8!
3!
 = 6883 
 P(10) = 2.10
2
 + 1 + 
9!
4!
 = 15321 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
15 
 P(11) = 2.11
2
 + 1 + 
10!
5!
 = 30483 
Bài 14. Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn 
P(1) = 3; P(3) = 11; P(5) = 27; P(5) = 27; P(7) = 51. 
Tính giá trị của P(-2) + 7 P(6). 
Giải: 
 Nhận xét: P(1) = 3 = 12 + 2; P(3) = 11 = 32 + 2; P(5) = 27 = 52 + 2; 
P(7) = 51 = 7
2
 + 2. 
 Xét đa thức Q(x) = P(x) – ( x2 + 2) 
 Ta có Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = 0. 
 Điều này chứng tỏ 1; 3; 5; 7 là nghiệm của Q(x). 
Suy ra Q(x) = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7) 
 Nên P(x) = Q(x) + x
2
 + 2 
 = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7) + x2 + 2 
Do đó P(-2) = 951 và P(6) = 23. 
 Vậy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112. 
Bài 15. Cho đa thức : 
Q = x
1931
 – 1931x1930 +1931x1929 – 1931x1928 + - 1931x2 + 1931x – m+15,5(1941). 
Tìm m để Q chia cho x – 1930 dư 26,3(1931). 
Giải: 
Ta có Q - 26,3(1931) chia hết cho x – 1930 
hay Q(1930) - 26,3(1931) = 0 
Thay 1931 = x+1 vào biểu thức Q(1930) - 26,3(1931) = 0 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
16 
 Ta được x1931 - x1931 - x1930 + x1930 +x1929 - x1929 - x1928 + ...- x3 – x2 + x2 + x - 
m + 15,5(1941) - 26,3(1931) = 0 
  x - m + 15,5(1941) - 26,3(1931) = 0 
  1930 - m + 15,5(1941) - 26,3(1931) = 0 
 m =1930 + 15,5(1941) - 26,3(1931) = 1919,2001 
Vậy: m = 1919,2001 
Bài 16. Tìm đa thức f(x) sao cho f(x) chia cho x – 2 dư 10, chia cho x - 7 dư 5 
và chia cho x
2
 - 9x + 14 được thương là x3 + 2 và còn dư. 
Giải: 
Ta có x
2
 - 9x + 14 = (x – 2)(x – 7) 
- Tìm dư của f(x) chia cho (x – 2)(x – 7) 
Xét f(x) = (x – 2).A(x) +10 (1) 
 f(x) = (x – 7).B(x) +5 (2) 
 f(x) = (x – 2)(x – 7)(x3 +2) + ax +b (3) 
Từ (1), (2) và (3) ta có : 
(2) 10 2 10 1
(7) 5 7 5 12
f a b a
f a b b
      
   
     
Vậy dư của f(x) chia cho x2 - 9x + 14 là –x +12 
Do đó f(x) = (x2 - 9x + 14 )(x3 +2) – x + 12 
 Hay f(x) = x
5
 - 9x
4
 + 14x
3
 + 2x
2
 –19x + 40 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
17 
Bài 17. Tìm đa thức g(x), biết rằng g(x) chia cho x – 7 dư 5, g(x) chia cho 
x – 19 dư 5, g(x) chia cho x – 2 dư 9 và g(x) chia cho x3 – 28x2 + 185x – 266 
thì được thương là x3 và còn dư. 
Giải: 
Ta có x
3
 – 28x2 + 185x – 266 = (x – 7)(x – 19)(x – 2) 
- Tìm dư của g(x) chia cho (x – 7)(x – 19)(x – 2) 
Xét g(x) = (x – 7).A(x) +5 (1) 
 g(x) = (x – 19).B(x) +5 (2) 
 g(x) = (x – 2).C(x) +9 (3) 
 g(x) = (x – 7)(x – 19)(x – 2).x3 + ax2 +bx +c (4) 
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có : 
2
2
2
4
857 7 5(7) 5
104
(19) 5 19 19 5
85
(2) 9 2 2 9 957
85
a
a b cf
f a b c b
f a b c
c


    
  
        
       


Vậy dư của g(x) chia cho x3 – 28x2 + 185x – 266 là 2
4 104 957
85 85 85
x x  
Do đó g(x) = (x3 – 28x2 + 185x – 266).x3 + 2
4 104 957
85 85 85
x x  
 Hay g(x) = x
6
 – 28x5 +185x4 – 266x3 + 2
4 104 957
85 85 85
x x  
Bài 18. Tìm a, b để P(x) = ax2013 + bx2014 + 3x + b chia hết cho đa thức x2 -1 
Giải: Ta có x2 -1 = (x +1)(x – 1) 
SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 
Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 
18 
Do đó để P(x) chia hết cho x2 -1 thì P(x) chia hết cho x + 1 và x – 1 

(1) 0 2 3 3
( 1) 0 2 3 0
P a b a
P a b b
       
   
       
Bài 19.Tìm phần dư của đa thức x2014 + x2013 +... +x2 +x +1 chia cho đa thức x2 -1 
Giải: 
Vì x2 -1 là đa thức bậc hai nên phần dư có dạng ax +b 
Ta có x
2014
 + x
2013
 +... +x
2
 +x +1 = (x
2
 -1) A(x) + ax + b 
Do đó ta có hệ phương trình: 
2015 1008
1 1007
a b a
a b b
   
 
    
Vậy phần dư của đa thức x2014 + x2013 +... +x2 +x +1 chia cho đa thức x2 -1 là: 
1008x +1007 
Bài 20. Tìm phần dư của đa thức x2015 + x2014 +... +x2 +x +1 chia cho đa thức x2 -1. 
Giải: Vì x2 -1là đa thức bậc hai nên phần dư có dạng ax +b 
Ta có x
2015
 + x
2014
 +... +x
2
 +x +1 = (x
2
 -1) Q(x) + ax + b 
Do đó ta có hệ phương trình: 
2016 1008
0 1008
a b a
a b b
   
 
    
Vậy phần dư của đa thức x2015 + x2014 +... +x2 +x +1 chia cho đa thức x2 -1 là: 
1008x +1008 
Bài 21. Cho đa thức : P (x) = x3 + ax2 + bx + c và cho biết: P(1) = 1905; 
P(2) = 1964; P( 3) = 2073. 
 a) Tìm các hệ số a, b, c của P(x). 
SKKN: “Sử d