Sáng kiến kinh nghiệm năm 2014 - 2015 - Chuyên đề Quy nạp trong hình học

Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
1
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
CHUYÊN ĐỀ QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC
PHẦN THỨ NHẤT
MỞ ĐẦU
1)Lý do cho đề tài:
Quy nạp toán học là một trong nhưng phương pháp chứng minh rất mạnh và có nhều ứng
dụng. Học sinh được làm quen với quy nạp toán học ngay từ cấp trung học cơ sở. Tuy
nhiên học quy nạp toán học và ứng dụng rộng rãi nó phải bắt đầu từ lớp 10 đối với học sinh
chuyên Toán và lớp 11 đối với học sinh không chuyên. Ta có thể tìm thấy ứng dụng của
phương pháp quy nạp vào chứng minh bất đẳng thức, vào chứng minh tính chia hết, vào
tính tổng của các tổng hữu hạn. Quy nạp còn được ứng dụng rộng rãi vào trong nghiên cứu
dãy số và dãy đa thức. Xét cho cùng ở đâu có sự phụ thuộc theo chỉ số n N thì ở đó ý
tưởng quy nạp được hiện hữu.
Ứng dụng của phương pháp quy nạp vào trong hình học thì theo cá nhân tôi có lẽ là một
ứng dụng rất tốt. Nó không chỉ được ứng dụng để tính toán hình học đơn thuần mà còn áp
dụng trong chứng minh định lý hình học , trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích, trong
hình học tổ hợp .Tuy nhiên mức độ quan tâm chưa nhiều đối với học sinh và kể cả giáo
viên Toán. Điều đó được minh chứng bằng sự xuất hiện rất ít của các tài liệu, các bài toán
viết về phạm trù này. Và nếu xuất hiện thì thường là những bài toán hình học có độ khó
nhất định. Theo tôi thì cái khó của quy nạp hình học có nhiều lý do. Có thể do nguyên nhân
là mức độ va chạm với vấn đề ít hơn so với các mảng khác. Thêm nữa để dùng phương
pháp quy nạp hình học một cách có hiệu quả, đòi hỏi phải có sự tư duy về mặt hình học,
bên cạnh các kỹ năng đọc hình, phân chia, lắp ghép các hình cũng rất quan trọng. Chính
những điều này đã tạo ra tâm lý e ngại cho học sinh khi tiếp xúc chúng. Sau một năm về
công tác tại trường Trung học phổ thông chuyên Hùng Vương , có điều kiện tiếp xúc với
học sinh chuyên Toán, tôi mạnh dạn viết đề tài này nhằm cung cấp cho học sinh một
phương pháp hiệu quả trong nghiên cứu các bài toán hình học. Bên cạnh đó cũng trang bị
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
2
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
cho cá nhân một tài liêụ riêng trong quá trình giảng dạy , bồi dưỡng. Đó chính là những lý
do căn bản nhất để tôi quyết định viết chuyên đề Quy nạp trong hình học.
2) Nội dung nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu về nội dung hình học phẳng dưới góc độ quy nạp. Đây là sự kết hợp giữa
đại số và hình học, cho thấy tính thống nhất hữu cơ giữa hai phân môn toán.
2.1) Khách thể nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu trên khách thể là học sinh trung học phổ chuyên, đối tượng chủ yếu là lớp
luyện thi đại học và lớp bồi dưỡng học sinh giỏi. Quá trình giảng dạy các lớp bồi dưỡng học
sinh giỏi nên khi viết đề tài này, muốn giới thiệu các em một ứng dụng rất tốt của phương
pháp quy nạp mà các em chưa để ý nhiều.
2.2) Tác động được thực hiện.
+ Hiện trạng :
Học sinh đã được học về phương pháp quy nạp toán học, tuy nhiên các ví dụ minh họa và
các bài toán các em gặp thường dưới góc độ đại số và số học. Còn ở góc độ hình học thì
đây là một vấn đề mới mẻ. Chính vì thế khi gặp những bài toán hình học mà phát biểu theo
kiểu đệ quy như thế này thì các em thường rất lúng túng. Tuy nhiên theo tham khảo của tác
giả thì các bài toán dùng quy nạp hình học lại xuất hiện khá nhiều trong các kỳ thi học sinh
giỏi.
+ Cơ sở khoa học:
Cơ sở khoa học là các kiến thức về hình học phẳng, về lượng giác và về phương pháp quy
nạp toán học mà các em đã được học trong chương trình THCS, THPT .
Các kiến thức nền tảng của những lĩnh vực mà đề tài nghiên cứu .
+ Cơ sở thực tiển:
Cơ sở thực tiễn là những nội dung kiến thức học sinh gặp phải cần giải quyết trong các lớp
luyện thi và lớp bồi dưỡng học sinh giỏi.
2.3) Những thuận lợi và khó khăn khi thực hiện đề tài.
+ Thuận lợi:
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
3
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
Được sự quan tâm chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường. Được sự động viên giúp đỡ, đóng
góp ý kiến của thầy tổ trưởng và thầy cô khác trong bộ môn Toán, nhất là sự giới thiệu về
các tài liệu tham khảo để có thể chọn lọc những ví dụ hay làm minh họa.
Được tạo điều kiện trong việc giảng dạy các lớp luyện thi và lớp bồi dưỡng học sinh giỏi,
qua đó học sinh có điều kiện tiếp xúc với những kiến thức trong đề tài thường xuyên, do đó
đề tài có điều kiện áp dụng thực tế giảng dạy nhiều hơn.
Mặt bằng chung của học sinh trường chuyên là học sinh khá , giỏi nên việc các em nắm bắt
vấn đề tương đối nhanh chóng.
+ Khó khăn:
Các em hầu như chỉ để ý tới quy nạp trong đại số và số học, còn trong hình học thì chưa
tiếp xúc được nhiều. Vì thế khi triển khai các em thường ái ngại.
Kiến thức nền tảng về hình học phẳng của các em thường không được tốt bằng các phân
môn khác, do tính trực quan sinh động lẫn tư duy trừu tượng cao của bộ môn.
Thời gian dành cho cho nội dung quy nạp trong chương trình hạn chế nên việc triển khai
gặp phải nhiều khó khăn về mặt thời gian.
Các tài liệu trước đó viết về ứng dụng của quy nạp trong hình học rất ít, kể cả nguồn
internet nên việc sưu tầm, chọn lọc các ví dụ minh họa điển hình gặp phải nhiều khó khăn,
bế tắc, thậm chí đôi khi tưởng như không thực hiện được.
3) Phương pháp nghiên cứu đề tài.
Để nghiên cứu đề tài này , tác giả đã phối hợp các phương pháp:
- Phương pháp tiếp cận vấn đề.
- Phương pháp phân tích , bình luận
- Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa
- Phương pháp chọn lọc .
3.1) Phương pháp tiếp cận vấn đề .
Đề tài này được tác giả ấp ủ từ trước đó khá lâu, khi tác giả còn tham gia giảng dạy và bồi
dưỡng học sinh giỏi ở các trường phổ thông không chuyên. Từ đó đến nay, tác giả đã tiếp
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
4
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
cận với nhiều khóa học trò, tiếp cần với nhiều đề thi học sinh giỏi , từ đó rút ra được nhiều
nội dung hơn, có sự đánh giá ngày càng toàn diện hơn. Đặc biệt năm nay được tham gia
giảng dạy và bồi dưỡng ở trường chuyên, là môi trường bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên
ngiệp nhất tỉnh, tác giả đã cố gắng hiện thực hóa ý tưởng của nhiều năm trước thành một
chuyên đề. Qua phân tích và giải đề thi, giúp tác giả có được nhiều ví dụ dẫn chứng cho
dạng bài tập mà mình đưa ra. Từ đó đề tài có nội dung phong phú và đa dạng hơn.
Các nội dung ứng dụng khác nhau được trình bày theo dạng các bài học § , nhằm tránh sự
nặng nề không cần thiết cho học sinh. Cuối mỗi bài có phần bài tập đề nghị để học sinh có
thể tự rèn luyện kiến thức và kỹ năng cho mình.
3.2) Phương pháp phân tích , bình luận.
Trước khi đi vào mỗi dạng , tác giả thường đưa ra những phân tích của mình về các vấn đề
thường gặp của dạng đó. Khái quát phương pháp giải cũng như chỉ ra các việc cần làm khi
giải. Học sinh sẽ bước đầu hình dung được nội dung phương pháp giải tổng quát của vấn đề
mình đang gặp.
Qua các ví dụ , tác giả thường có các bình luận về dạng bài tập đó, từ đó học sinh có thể
thấy rõ bản chất của vấn đề mình đang gặp phải. Thấy được tính cụ thể cũng như tổng quát
trong mỗi bài toán.
Qua mỗi bình luận tác giả muốn trao đổi với người đọc về phương pháp giải, cách suy
nghĩ nào đi tới lời giải như thế. Thấy được tính tương tự hóa trong các bài toán khác nhau.
Một khi nắm được bản chất, học sinh có thể làm được các bài tập tương tự , cũng như có
thể sáng tạo ra các bài toán khác từ bài toán gốc.
3.3) Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa.
Đây là phương pháp chủ đạo của đề tài. Nội dung đề tài được phân chia thành nhiều dạng
Toán, đó là quá trình tổng hợp những kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu và từ bản thân rút ra.
Các dạng bài tập đưa ra cũng ở mức độ khá trở lên, nên đòi hỏi nhiều quá trình suy luận và
tổng hợp lời giải .Vì nội dung đề tài xuyên suốt cả một vấn đề Toán học khá rộng , nên đòi
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
5
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
hỏi người viết phải có sự chuẩn bị khá lâu dài về mặt thời gian ( ý tưởng hình thành), và khi
viết ra cần phải tổng hợp các kiến thức lại thành chủ đề thống nhất.
Các chủ đề khác nhau được hệ thống hóa theo một bố cục chặt chẽ , nhằm làm toát lên tính
ứng dụng của phương pháp quy nạp vào trong hình học.
Đọc qua đề tài ta thấy các vấn đề toán học đề cập tới ở đây đều được giải quyết dưới góc độ
của quy nạp toán học. Tác giả đã cố gắng tổng hợp các vấn đề toán học có cùng bản chất đó.
3.4) Phương pháp chọn lọc.
Ứng dụng của quy nạp còn rất nhiều nhưng ở đây tác giả chọn lọc ra những ứng dụng mang
tính rộng rãi hơn, phù hợp với trình độ của học sinh, với nội dung chương trình mà các em
thường gặp hằng ngày. Các ứng dụng mang tính chuyên sâu và mang nặng lý thuyết hàn
lâm như ứng dụng vào bài toán tô màu , ứng dụng vào xây dựng định nghĩa,quy nạp theo
số chiều không gian không được trình bày ở đây. Các ví dụ đưa ra làm minh họa cho
phương pháp cũng được chọn lọc rất kỹ, vừa cố gắng đảm bảo tính điển hình, vừa có mức
kiến thức vừa phải, phù hợp với chương trình phổ thông.
4) Mục đích nghiên cứu đề tài:
Chọn đề Phương pháp quy nạp trong hình học để nghiên cứu với những mục đích như sau:
- Chỉ ra các ứng dụng của quy nạp trong hình học.
- Muốn có sự đầu tư nhiều hơn về nội dung quy nạp và hình học, một nội dung mà bản thân
cảm thấy mình còn vấp phải nhiều khó khăn trong quá trình giảng dạy. Bằng việc nghiên
cứu tìm tòi để viết về nó, tôi hi vọng mình sẽ trau dồi thêm kiến thức và kỹ năng về phương
pháp quy nạp cũng như về lĩnh vực hình học.
- Tạo cho mình một tài liệu riêng theo cách hiểu của mình, bằng ngôn ngữ của mình, phục
vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học.
- Có điều kiện để trao đổi, học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp gần xa.
- Đưa tới cho học sinh một tài liệu tham khảo đã được bản thân nghiên cứu, trình bày theo
ngôn ngữ của mình, giúp các em trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại
học.
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
6
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
5) Nhiệm vụ của việc nghiên cứu đề tài:
- Thể hiện được những ứng dụng của phương pháp quy nạp trong hình học.
- Xây dựng được hệ thống bài tập ứng dụng.
- Quá trình nghiên cứu đề tài để bản thân trau dồi thêm kiến thức chuyên môn và nghiệp vụ.
Cách thức thực hiện một đề tài khoa học là như thế nào. Có điều kiện để trao đổi nhiều hơn
với thầy cô trong tổ Toán về các vấn đề Toán. Quan trọng hơn nữa là đưa tới cho học sinh
một số dạng bài tập mà các em thường ít có điều kiện để va chạm
- Đề tài mà tác giả thực hiện với nhiệm vụ là giúp học sinh cải tiến phương pháp học tập.
Biết quan tâm tới bản chất Toán học trong mỗi phát biểu. Các em thấy được mối liên quan
chặt chẽ giữa quy nạp và hình học.
- Đề tài khi được công bố, nó phải giúp học sinh nắm vững hơn về phương pháp quy nạp.
Thấy được bản chất của quy nạp chính là đi lên từ những điều tương tự đã có trước đó. Đây
cũng là một kĩ năng quan trọng của cuộc sống.
6) Phạm vi nghiên cứu:
- Đề tài nghiên cứu hoàn toàn về lĩnh vực hình học nhưng được khám phá bằng tư tưởng
quy nạp. Các kỹ thuật chứng minh được phân tích kỹ càng và trình bày dưới dạng các bài
học. Thiết nghĩ cách trình bày như vậy sẽ tách bạch được các phương pháp, tránh sự nặng
nề không cần thiết đối với học sinh.
- Công cụ nghiên cứu hoàn toàn dùng hình học sơ cấp, chủ yếu nghiên cứu về hình học
phẳng.
PHẦN THỨ HAI
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
7
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
Trong phần này ta sẽ cùng đi nghiên cứu các ứng dụng mang tính phổ biến của quy nạp
trong hình học. Những ứng dụng này theo chủ quan của cá nhân là rất quan trọng, đặc biệt
là dành cho đối tượng học sinh giỏi. Do phạm vi đối hướng tới của đề tài tượng nghiên cứu
là học sinh phổ thông nên các ứng dụng cao hơn như dùng quy nạp để xây dựng các định
nghĩa, các khái niệm, quy nạp theo số chiều không gian không được xét đến.
§1. QUY NẠP TRONG ĐẾM SỐMIỀN CỦA MẶT PHẲNG
Ví dụ 1:
Cho n đường tròn trong mặt phẳng, hai đường tròn nào cũng cắt nhau tại hai điểm phân
biêt, không có ba đường tròn nào cùng đi qua một điểm. Chứng minh rằng n đường tròn đó
chia mặt phẳng thành  2 1n n  miền.
Chứng minh:
Đặt  2 1nM n n   là số miền của mặt phẳng được chia bởi n đường tròn thỏa mãn các
điều kiện trên.
Với 1n  ta có 1 2M  nên khẳng định đúng.
Giả sử khẳng định đúng tới 1n k  . Ta có k đường tròn chia mặt phẳng thành
 2 1kM k k   miền. ta phải chứng minh khẳng định đúng với 1n k  , nghĩa là với 1k 
đường tròn sẽ chia mặt phẳng thành  1 2 1kM k k    miền. Thật vậy, đường tròn thứ
1k  bị k đường tròn kia cắt tại 2k điểm và bị chia thành 2k cung. Mõi cung này chia mỗi
miền chứa nó thành hai miền. Vì thế số miền của mặt phẳng tăng lên là 2 k miền. Nghĩa là
ta có 1 2k kM M k   . Do đó    1 2 1 2 2 1kM k k k k k        .
Ta có khẳng định đúng với mọi *n .
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
8
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng tổng các góc trong của một đa giác lồi n cạnh ( 3n  ) bằng
  02 .180nS n  .
Chứng minh:
Với 3n  thì khẳng định hiển nhiên đúng.
Giả sử khẳng định đúng với 3n k  , tức là ta có   02 .180kS k  (1). Ta cần chứng minh
khẳng định đúng với 1n k  . Tức là phải chứng minh   01 1 .180kS k   (2).
Thật vậy:
Từ đa giác n đỉnh là 1 2 3... nA A A A ta vẽ thêm đỉnh 1nA 
Nên ta tạo thêm tam giác mới 1 1n nA A A , nên tổng số góc
trong được cộng thêm 0180 . Điều đó có nghĩa là
   0 0 0 01 180 2 180 180 1 180n nS S n n        .
Khẳng định được chứng minh.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng số đường chéo trong một đa giác lồi bằng  32n
n nC  , 4n  .
Chứng minh: Khẳng định đúng với 4n  vì tứ giác có hai đường chéo.
Giả sử khẳng định đúng với 4n k  , tức là  32k
k kC  .
Ta cần chứng minh khẳng định đúng khi 1n k  , có nghĩa là phải chứng minh
  
1
1 2
2k
k kC 
  .
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
9
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
Thật vậy. Khi ta vẻ thêm đỉnh 1kA  thì cạnh 1kA A bây giờ trở thành đường chéo. Ngoài ra từ
đỉnh 1kA  ta kẻ được tới 2k  đỉnh còn lại để có thể tạo thành đường chéo. Nên số đường
chéo mới tạo thành khi ta thêm đỉnh 1kA  là 2 1 1k k    .
Vậy ta có     1 3 1 21 12 2k k
k k k kC C k k
         . Khẳng định được chứng minh.
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng n đường thẳng trong mặt phẳng sẻ chia mặt phẳng thành
 1 1, 12n
n nM n   miền.
Chứng minh:
Hiển nhiên khẳng định đúng với 1n  .
Ta giả sử khẳng định đúng với 1n k  , tức là  1 12k
k kM   . Ta cần chứng minh khẳng
định đúng với 1n k  . Điều đó có nghĩa là 1k  đường thẳng sẽ chia mặt phẳng tối đa
thành   1 1 2 12k
k kM 
   .
Thật vậy, để chia mặt phẳng thành nhiều miền nhất thì đường thẳng thứ 1k  phải cắt cả k
đường thẳng kia tại k điểm phân biệt. Khi đó cứ mỗi đoạn thẳng tạo bởi hai điểm phân biệt
sẽ chia mặt phẳng ra làm hai miền. với k điểm phân biệt sẽ cắt đường thảng đó làm 1k 
phần.Vậy số miền mặt phẳng mới được tạo ra là 1k  .
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
10
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
Do đó ta có       1 1 1 21 1 1 12 2k k
k k k kM M k k
           .
Ví dụ 5:
Trong một đường tròn ta vẽ n dây cung, số giao điểm nằm trong đường tròn của các dây đó
là m ( ta quy định nếu có p dây cùng đi qua một điểm thì số giao điểm là 1p  ). Chứng
minh rằng hình tròn bị chia thành 1n m  miền.
Chứng minh:
Đặt 1nS n m   (1)
Khẳng định đúng với 1n  với một đường thì số gia điểm là 0m  nên 1 2S  .
Giả sử khẳng định đúng với 1n k  , tức là với k đường và có m giao điểm thì số miền là
1kS k m   .
Ta cần chứng minh với 1k  dây thì số miền là 1 ' 2kS k m    , trong đó 'm là số giao điểm
ứng với 1k  đường.
Thật vậy. Dây thứ 1k  cắt k dây kia nên số giao điểm tăng thêm là ' .m m Các giao điểm
này chia dây thứ 1k  thành ' 1m m  phần, nên số miền tăng lên là ' 1m m  .
Do đó  1 ' 1 1 ' 1 ' 2k kS S m m k m m m k m              .
Vậy khẳng định được chứng minh.
Ví dụ 6:
Cho đa giác lồi n cạnh. Hỏi có thể chia đa giác đó thành bao nhiêu tam giác bởi các đường
chéo không cắt nhau.
Giải: Với 4n  thì số tam giác là  4 2S  . Với 5n  thì số tam giác là  5 3S 
Ta dự đoán   2, 4S n n n   .
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
11
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
Ta giả sử khẳng định đúng với n k . Tức là   2, 4S k k k   . Ta cần chứng minh khẳng
định đúng với 1n k  , tức là  1 1S k k   .
Thật vậy , khi ta thêm đỉnh thứ 1k  thì cạnh 1 kA A trỏ thành
đường chéo và không cắt các đường chéo trước, nó cũng tạo
ra một tam giác mới là 1 1k kA A A  . Dó đó    1 1 1S k S k k     .
Bài toán được chứng minh.
Nhận xét:
Từ bài toán trên ta suy ra tổng số đường chéo N ta cần để chia
đa giác n cạnh thành các tam giác ( 2n  tam giác ) là
 2 3 2N n n   3N n   .
Ví dụ 7:
Trong mặt phẳng cho  3n n  đa giác lồi. Biết rằng ba đa giác bất kỳ luôn có điểm chung.
Chứng minh rằng tồn tại một điểm là điểm chung của tất cả các đa giác đó.
Chứng minh:
Ta kiểm tra với 4n  . Ta gọi các đa giác lần lượt là 1D , 2D , 3D , 4D . Ta ký hiệu
  , ,1 , 4i jA D i j i j    và 41 llC D  .
Nếu 4A nằm trong tam giác 1 2 3A A A thì , vì 1 2 3 4A A A D nên 4 4 4A D A C   .
Nếu 4A nằm ngoài tam giác thì 1 2 3 4A A A A là tứ giác lồi thì giao điểm của hai đường chéo sẽ
thuộc C .
WWW.VNMATH.COM
Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp trong hình học
12
Nguyễn Thành Nhân..............................THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương
Nên với 4n  luôn tồn tại một điểm thuộc C .
Bây giờ ta giả sử khẳng định đúng với 1n k  . Ta xét k đa giác 1D , 2D , 3D ,, kD . Gọi
1k kD D D  .
Xét dãy 1D , 2D , 3D ,, kD , D . Bằng kĩ thuật quy nạp ta dễ dàng thu được điều khẳng định.
Bài tập đề nghị
1) Cho đa giác lồi n cạnh, trong đó không có ba đường chéo nào đồng quy. Tính số
miền của đa giác được chia bởi các đường chéo đó.
2) Xây dựng quy tắc tính  P n là hàm tính số cách chia một đa giác n cạnh thành các
tam giác bởi các đường chéo không cắt nhau.
§2 QUY NẠP TRONG TÍNH TOÁN CÁC ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC
Để dùng quy nạp vào trong tính toán các đại lượng, trước hết ta cần chỉ ra quy luật biến đổi
của các đại lượng và xây dựng các hàm có tính đệ quy theo n .
Ví dụ 1:
Một người cắt một tờ giấy 4A thành 5 mảnh , sau đó chọn một mảnh trong 5 mảnh đó và
tiếp tục cắt nó thành 5 mảnh khác. Quá trình cứ lặp lại với các mảnh giấy nhỏ hơn. Sau một
số bước thực hiện người đó đếm được tổng số các mảnh giấy đã cắt là 153. Hỏi người đó
đếm đúng hay sai.
Giải:
Phân tích
Trước hất ta cần thấy quy luật biến đổi của số mảnh giấy. Mỗi lần người đó cắt mảnh giấy
thành 5 mảnh nên số mảnh giấy tăng lên sau mỗi lần cắt là 4. Tính cả mảnh ban đầu thì sau
n bước ta được số mảnh giấy được tạo thành là   4 1, 1G n n n   (1).
Với 1n  thì sau lần cắt thứ nhất ta có số mảnh giấy l