Sáng kiến kinh nghiệm Giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏi

Nguyễn Văn Giáp - THPT Nguyễn Trung Ngạn: Giới hạn dãy số trong các đề thi HS giỏi.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số. Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là các tính chất số học và tính chất giải tích của dãy số.
Tính chất số học của dãy số thể hiện như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương , tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là các bài toán tìm giới hạn dãy số. Các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay và khó, tác giả đã sưu tầm, chọn lọc và phân loại theo từng chủ đề
Sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏi” có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết giới hạn dãy số. Đề tài được trình bày với 2 chương.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này hệ thống lại kiến thức cơ bản nhất về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong chương 2.
Chương 2. Giới hạn của dãy số. Chương này đề cập đến một số bài toán về giới hạn dãy số như: Giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán.
	2. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu
Nghiªn cøu lÝ luËn vÒ kü n¨ng, kü n¨ng gi¶i to¸n vµ mét sè biÖn ph¸p rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh THPT
RÌn luyÖn kü n¨ng giải các bài toán về giới hạn dãy số 
T×m hiÓu thùc tr¹ng cña việc học dãy số trong chương trình môn toán của trường THPT
T×m hiÓu bµi to¸n khó về giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏi
X©y dùng hÖ thèng c¸c bµi tËp ®iÓn h×nh nh»m rÌn luyÖn kü n¨ng tổng hợp kiến thức đối với học sinh giỏi
Gîi ý c¸ch vËn dông hÖ thèng bµi tËp ®iÓn h×nh trong viÖc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n nãi chung, gãp phÇn ph¸t triÓn trÝ tuÖ cho học sinh.
	3. Phư¬ng ph¸p nghiªn cøu
Phư¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn: 
 Nghiªn cøu mét sè gi¸o tr×nh phư¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n, SGK phæ th«ng, S¸ch båi dưỡng gi¸o viªn THPT, c¸c s¸ch tham kh¶o, c¸c t¹p chÝ vÒ gi¸o dôc liªn quan ®Õn ®Ò tµi.
Phư¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm: 
 Tæng kÕt kinh nghiÖm qua nhiÒu n¨m trùc tiÕp gi¶ng d¹y, qua trao ®æi kinh nghiÖm víi mét sè gi¸o viªn giái bé m«n To¸n ë trường THPT. Tõ ®ã x©y dùng ®ưîc hÖ thèng c¸c bµi tËp ®iÓn h×nh vµ nh÷ng gîi ý d¹y häc nh»m rÌn luyÖn kü n¨ng tìm giới hạn hàm số
 	c) Phư¬ng ph¸p quan s¸t, ®iÒu tra:
 Quan s¸t vµ ®iÒu tra thùc tr¹ng d¹y häc gi¶i to¸n về dãy số ®èi víi häc sinh líp 11 và 12, qua ®ã n¾m b¾t ®ược nhu cÇu cña viÖc rÌn luyÖn kü n¨ng giải toán về dãy số của học sinh
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
	Đề tài được nghiên cứu đối với học sinh các lớp 11A1, 11A2, 11A3 và học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán lớp 12 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn.
5. Thời gian nghiên cứu.
	Đề tài được nghiên cứu trong các năm học 2009 – 2010, 2010 – 2011, 2011- 2012
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.DÃY SỐ 
1.1.1.Định nghĩa
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: 
u: N* R
 n u(n)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển
	u1, u2, u3,, un, 
Trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số 
	Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,, m} với mN* được gọi là một dãy số hữu hạn
	Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,,um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.
Dãy số (un) được gọi là:
Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2, 
Dãy đơn không giảm nếu un+1 un, với moi n = 1, 2, 
Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un, với mọi n = 1, 2, 
Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1 un, với mọi n = 1, 2, 
Dãy số (un) được gọi là 
Dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M, với mọi n = 1, 2, 
Dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un > m, với mọi n = 1, 2, 
Dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
Dãy số (un) được gọi là tuần hoàn với chu kì k nếu un + k = un, với n
Dãy số (un) được gọi là dãy dừng nếu tồn tại một số N0 sao cho un = C với mọi n N0, (C là hằng số, gọi là hằng số dừng)
1.1.2. Cách cho một dãy số
Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Ví dụ: 
Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Ví dụ: Dãy số (un) được xác định bởi: 
Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:
Ví dụ: Cho a1 = 19, a2 = 98. Với mỗi số nguyên n 1, xác định an +2 bằng số dư của phép chia an + an +1 cho 100. 
1.1.3. Một vài dãy số đặc biệt
	a) Cấp số cộng.
Định nghĩa. Dãy số u1, u2, u3,  được gọi là một cấp số cộng với công sai d (d0) nếu un = un – 1 + d với mọi n = 2, 3, 
Tính chất 
	un =u1 + (n – 1)d
	uk = với mọi k =2, 3, 
	Nếu cấp số cộng hữu hạn phần tử u1, u2, , un thì 
	u1 + un = uk + u n – k với mọi k = 2, 3, , n – 1.
	Sn = u1 + u2 +  + un = 
b)Cấp số nhân.
Định nghĩa.. Dãy số u1, u2, u3,  được gọi là một cấp số nhân với công bội q (q0, q1) nếu un = un – 1q với mọi n = 2, 3, 
Tính chất.
	un = u1qn – 1 với mọi n = 2, 3, 
	 với mọi k = 2, 3, 
	Sn = u1 + u2 +  + un = 
c)Dãy Fibonacci.
Định nghĩa. Dãy u1, u2, được xác định như sau:
được gọi là dãy Fibonacci.
	Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy là:
	1.1.4 Giới hạn của dãy số
	Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn nếu với mọi số dương (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n0N (n0 có thể phụ thuộc vào và vào dãy số (un) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n N, nn0 ta luôn có .Khi đó kí hiệu hoặc limun = a và còn nói rằng dãy số (un) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì
	Định lý 1. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất
	Định lý 2.(Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)
Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
	Định lý 3. Nếu (un) a và (vn)(un), (vn) C thì (vn)a
	Định lý 4.(Định lý kẹp giữa về giới hạn)
	Nếu với mọi nn0 ta luôn có un xn vn và limun = limvn = a thì limxn = a
	Định lý 5 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c (a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)
	Định lý 6 (Định lý trung bình Cesaro)
	Nếu dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng cũng có giới hạn là a
Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:
	Định lý Stolz
	Nếu thì 
Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp a = 0
Vì nên với mọi > 0 luôn tồn tại N0 sao cho với mọi nN0, ta có 
. Khi đó, với mọi n > N0 ta có
Giữ N0 cố định, ta có thể tìm được N1>N0 sao cho 
Khi đó với mọi n>N1 ta sẽ có . Vậy nên 
	Định lý 7: Cho f: DD là hàm liên tục. Khi đó
Phương trình f(x) = x có nghiệm phương trình fn(x) = x có nghiệm
Gọi là các mút trái, mút phải của D. Biết và cùng dương hoặc cùng âm. Khi đó phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất
Trong đó fn(x) = 
Chứng minh
a) Nếu x0 là nghiệm của phương trình f(x) = x thì x0 cũng là nghiệm của phương trình fn(x) = x 
b) Nếu phương trình f(x) = x vô nghiệm thì f(x) – x > 0 hoặc f(x) – x 0 hoặc fn(x) – x < 0 với mọi x D nên phương trình fn(x) = x cũng vô nghiệm
 2) a)Giả sử phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất là x0 thì đây cũng là một nghiệm của phương trình fn(x) = x. Đặt F(x) = f(x) – x do F(x) liên tục trên (x0; ) và nên F(x) giữ nguyên một dấu.
	Nếu và cùng dương thì F(x) > 0 trong khoảng (x0; ) và suy ra f(x) > x với mọi xD\{x0}
	Xét x1D\{x0} suy ra f(x1) > x1 f(f(x1)) > f(x1)> x1. Từ đó fn(x1) > x1 nên x1 khônglà nghiệm của phương trình fn(x) = x. Vậy phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất x = x0.
	Nếu và cùng âm chứng minh tương tự.
	b)Ta thấy mọi nghiệm của phương trình f(x) = x đều là nghiệm của phương trình fn(x) = x, do đó nếu phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất thì phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất.
	Định lý 8. Cho hàm f: DD là hàm đồng biến, dãy (xn) thỏa mãn xn+1 = f(xn), . Khi đó:
Nếu x1< x2 thì dãy (xn) tăng
Nếu x1> x2 thì dãy (xn) giảm
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 ta có x1 < x2 mệnh đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k1) tức uk < uk +1 khi đó f(uk) < f(uk+1) suy ra uk+1 < uk+2 (đpcm)
Chứng minh tương tự
	Định lý 9.Cho hàm f: DD là hàm nghịch biến, dãy (xn) thỏa mãn xn+1 = f(xn), . Khi đó:
Các dãy (x2n+1) và (x2n) đơn điệu, trong đó một dãy tăng, một dãy giảm
Nếu dãy (xn) bị chặn thì = limx2n và =limx2n+1.
Nếu f(x) liên tục thì , là nghiệm của phương trình f(f(x)) = x (1). 
Vì vậy nếu phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì = và limxn ==
Chứng minh
Vì f(x) là hàm nghịch biến nên f(f(x)) đồng biến. Áp dụng định lý 2 ta có điều phải chứng minh.
Suy ra từ a)
Ta có f(f(x2n) = f(x2n+1) = x2n+2 và limf(f(x2n) =limx2n+2=, limx2n = do f(x) liên tục nên f(f() = 
Chứng minh tương tự ta có f(f() = 
Vậy , là nghiệm phương trình f(f(x)) = x
1.2.SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
1. Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, Đặt xk = x0 + kh (kN*) với x0R, hR bất kì, cho trước. Gọi yk = f(xk), khi đó hiệu số (kN*) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f(x)
	Hiệu số (kN*) được gọi là sai phân cấp 2 của hàm số f(x). Tổng quát (kN*) được gọi là sai phân cấp i của hàm số f(x) (i = 1, 2, , n, )
	Mệnh đề. Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số: y0, y1, y2, , yn, 
2.Định nghĩa 2. Phương trình sai phân (cấp k) là một hệ thức tuyến tính chứa sai phân cấp k
	 	(1)
Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số nên ta có thể viết phương trình dạng
	a0yk+1 + a1yn+k-1 +  +akyk = f(n)	(2)
trong đó a0, a1, ., ak, f(n) là các giá trị đã biết, còn yn, yn+1, , yn+k là các giá trị chưa biết.
	Hàm số yn biến n thỏa mãn (2) gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (2)
	3. Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính
Phương trình a0yn+k + a1yn+k-1+ + akyn = f(n) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k.
	Giải
Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
Giải phương trình đặc trưng
 (*)
-Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng
+ Nếu (*) có k nghiệm thực khác nhau là thì nghiệm tổng quát là
	(1)
Trong đó c1, c2, , ck là các hằng số tùy ý	
+Nếu trong (*) có nghiệm thực bội s thì nghiệm tổng quát là
+Nếu phương trình (*) có nghiệm phức đơn thì cũng có nghiệm 
Đặt . Để thu được công thức tổng quát, trong công thức (1) ta thay bộ phận bởi bộ phận tương ứng 
+Nếu phương trình (*) có nghiệm phức bội s
Thì (*) cũng có nghiệm phức bội s liên hợp với là mà ta đặt là 
Trong trường hợp này, để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công thức (1) ta thay bộ phận
bởi bộ phận tương ứng
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k. Nghiệm 
tổng quát có dạng 
Trong đó 	+ yn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k
	+ là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
	+ là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
Chương 2.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
2.1.GIỚI HẠN CỦA TỔNG
	Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa xn , sau đó tìm limxn.
Bài 1. 
Cho dãy số (xn) (n = 1, 2, ) được xác định như sau:
	x1 = 1 và với n = 1, 2, 
Đặt (n = 1, 2, .). Tìm 
Lời giải
Ta có x2 = 5 và xn > 0 với mọi n = 1, 2, 
 (1)
Từ đó suy ra 
	xn+1 +1 = = (xn + 1)(xn + 2)
Do đó =
Từ (1) xk+1 = 
Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp xn > 3n-1	(2)
Nên (vì do (2) xn+1 > 3n)
. Ta có thể chứng minh limxn = với cách khác:
	Dễ thấy (xn) là dãy tăng, giả sử limxn = a (a1)
 Nên ta có 
Suy ra a2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a4 + 6a3 + 10a2 + 6a +1 = 0
Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a1. Vậy limxn = 
Bài 2. (HSG QG năm 2009)
	Cho dãy (xn) (n = 1, 2, ) xác định bởi:
	Chứng minh rằng dãy (yn) (n = 1, 2, ) với có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
	Lời giải
Từ giả thiết ta có xn > 0 
	Ta có xn – xn-1 = - xn-1 = > 0 
Do đó dãy (xn) tăng. Giả sử limxn = a thì a > 0 và
 a = 0 (vô lý)
Vậy limxn = 
Từ xn = suy ra 
Do đó
Suy ra yn yn-1
Vậy (yn) có giới hạn hữu hạn và limyn = 6
Bài 3. 
Xét dãy số (xn) (n = 1, 2, 3, ) xác định bởi: 
x1 = 2 và với mọi n = 1, 2,3, .
Đặt 
Tìm 
Lời giải
Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau:
Cho dãy (un) thỏa mãn
Ta chứng minh 
Thật vậy. 
Ta có suy ra 
Từ đó 
Khai triển và ước lượng được
.
Do đó 
Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = - 1 ta có
Mà xn+1 – xn = > 0 nên dãy (xn) là dãy tăng. Giả sử (a > 2). Thì 2a = a2 + 1 suy ra a = 1. Vô lý.
Vậy . Do đó 
Nhận xét. Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c khác nhau để được các bài toán mới. Chẳng hạn: 
	Cho dãy số (un) thỏa mãn:
	Đặt 
Tìm limSn
Bài 4. 
Cho dãy số (xn) được xác định bởi: x1 = 1; . Với n là số nguyên dương.
	Đặt 
	Tìm limun
	Lời giải
Ta có xn+1 – xn = , 
Suy ra 
Mặt khác: xn + 1 – xn 0 nên dãy (xn) là dãy số tăng . Nếu (xn) bị chặn thì limxn tồn tại.
	Đặt limxn = a và (vô lý). Suy ra (xn) không bị chặn trên hay limxn = suy ra lim=0
Suy ra 
Bài 5 
	Cho dãy số (xn) với n = 1, 2,  được xác định bởi:
 	x1 = a, (a > 1), x2 = 1.
xn+2 = xn – lnxn (nN*)
Đặt 
Tìm 
Lời giải
Nhận xét rằng x2n = 1, n =1, 2,  do ln1 = 0 suy ra 
Tiếp theo ta chứng minh dãy (x2n+1) cũng có giới hạn là 1.
Xét hàm số f(x) = x – lnx liên tục và đồng biến trong (1; +) vì f’(x) = 1- > 0 với mọi x > 1
	Trước hết ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, dãy (x2n+1) bị chặn dưới bởi 1. Theo giả thiết thì x1 = a > 1, giả sử x2k+1 > 1 thì f(x2k+1) > f(1) > 1 nên hiển nhiên x2k+3>1 tức dãy (x2n+1) bị chặn dưới bởi 1.
	Tiếp theo ta chứng minh dãy (x2n+1) là dãy giảm. Thật vậy, do x2n+1 > 1 nên lnx2n+1> 0 vì thế x2n+3 – x3n+1 = - lnx2n+1 < 0, tức dãy (x2n+1) là dãy giảm
	Từ đó suy ra (x2n+1) có giới hạn 
Chuyển qua giới hạn dãy số ta được c = c – lnc c=1
Vậy dãy số (xn) có giới hạn là 1.
	Theo định lý Cessaro, ta có
 hay 
 hay 
2.2.DÃY CON VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ
	Khi khảo sát sự hội tụ của dãy số ta thường sử dụng các định lý về tính đơn điệu và bị chặn, nếu dãy không đơn điệu thì xét dãy với chỉ số chẵn, chỉ số lẻ. Tuy nhiên có những dãy số phức tạp, tăng giảm bất thường, trong trường hợp như thể ta thường xây dựng các dãy số phụ đơn điệu, chứng minh các dãy số phụ có giới hạn, sau đó chứng minh dãy số ban đầu có cùng giới hạn, các dãy số phụ phải được xây dựng từ dãy số chính
Nhận xét: Mọi dãy con của dãy hội tụ đều hội tụ và ngược lại nếu limx2n = limx2n+1 = a thì limxn= a
	Một cách tổng quát ta có
Cho số nguyên m 2 nếu limxmn+i = a = 0, 1, 2, , m – 1 thì limxn= a
Bài 1. 
Dãy số (xn) được xác đinh bởi công thức:
Chứng minh rằng dãy (xn) hội tụ
	Lời giải
Xét dãy số (an) được xác định bởi a0= 1, , dễ thấy (an) giảm dần về 0.
Ta chứng tỏ max{x2n, x2n+1} an, 	(1)
Thật vậy, (1) đúng với n = 0 và n = 1. Giả sử (1) đúng với n và do (an) là dãy giảm nên 
	5x2n+2 = x2n + 2x2n+1 3an x2n+2 an+1
Và 5x2n+3 = x2n+1 + 2x2n+2 an + 2an+13an x2n+3 an+1
Như vậy (1) đúng với n + 1 hay (1) đúng = 0, 1, 2, 
Dễ thấy xn > 0 và từ (1) theo nguyên lý kẹp ta có limx2n = limx2n+1 = 0 suy ra limxn=0
Nhận xét:
Việc đưa vào dãy phụ (an) có tác dụng chặn cả hai dãy con (x2n) và (x2n+1) và làm chúng cùng hội tụ về một điểm
 	Có thể sử dụng phương pháp sai phân tìm được số hạng tổng quát
Thay các giá trị của x0, x1 để tìm C1, C2 từ đó tìm được limxn =0
Bài 2.
Dãy (xn) được xác định bởi:
Chứng minh rằng dãy (xn) hội tụ
	Lời giải
Ta xét dãy số (an) xác định bởi:
	a0= max{x0, x1, x2}, 
Dễ thấy dãy số (an) giảm dần về 0. Ta chứng tỏ max{x3n, x3n+1, x3n+2} an, (1)
Thật vậy, (1) đúng với n = 0, 1, 2, , Giả sử (1) đúng với n và do (an) là dãy giảm nên ta có:
3x3n+3 = 
3x3n+4 = 
 và 3x3n+5 = 
Như vậy, (1) đúng với n + 1, theo nguyên lý quy nạp, (1) được chứng minh. Dễ thấy xn > 0 Từ đó theo nguyên lý kẹp giữa ta có limx3n+i = 0 (i = 0, 1, 2) do đó limxn = 0
Từ các cách chọn dãy số phụ như trên ta có các dãy số sau đều hội tụ về 0 với x0, x1, x2, x3 đều thuộc (0; 1)
, 
Bài 3.
Dãy (xn) được xác định bởi:
Chứng minh rằng dãy (xn) hội tụ
	Lời giải
Ta xây dựng hai dãy (an) và (bn) như sau:
Dãy (an) là dãy giảm dần về 2, dãy (bn) tăng dần về 2.
Bằng quy nạp dễ chứng minh được
Từ đó, dẫn đến limx3n =limx3n+1 = limx3n+2 = 2 suy ra limxn = 2
Bài 4. 
Cho dãy (xn) (n = 0, 1, 2) được xác định như sau:
	x0, x1, x2 là các số dương cho trước
	 với mọi n1
Chứng minh rằng dãy (xn) hội tụ và tìm giới hạn của dãy
	Lời giải
Ta xây dựng hai dãy (an) và (bn) như sau:
Dãy (an) là dãy giảm dần về 9, dãy (bn) tăng dần về 9 suy ra 
Ta chứng minh (1)
Thật vậy, với n = 0 thì (1) hiển nhiên đúng
Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó với n = k + 1 ta có
Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1
Theo nguyên lý quy nạp thì (1) đúng với mọi số tự nhiên n
Từ đó theo định lý kẹp ta có
Nên 
	Dưới đây là một số bài toán tìm giới hạn dãy số dạng xn+1 = f(xn)(dãy số xác định như vậy gọi là cho dưới dạng lặp). Đây là dạng toán thường gặp nhất trong các bài toán về tìm giới hạn dãy số, dãy số hoàn toàn được xác định khi biết f và giá trị ban đầu x0. Do vậy sự hội tụ của dãy số phụ thuộc vào tính chất của f(x) và x0. Một đặc điểm quan trọng khác của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a là nghiệm của phương trình x = f(x).
Bài 5. 
	Cho dãy số (xn) được xác định như sau:
	x1= 0, xn + 1 = với mọi nN*
Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
	Lời giải
Nhận xét rằng xn 0, nN*. Xét hàm số f(x) = nghịch biến trong khoảng [0; +). Khi đó xn+1 = f(xn) , nN* và f(x) f(0) nên 0xn1
Ta có x1 = 0, x2 = 1, x3 = nên x1x3 và x4 = f(x3)f(x1)=x2
Bây giờ ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp x2n – 1 x2n + 1, và x2n+2x2n
với nN*
	Thật vậy, giả sử có x2n-1 x2n + 1 thì f(x2n-1) f(x2n+1) nên x2nx2n+2 và vì vậy f(x2n) f(x2n+2) suy ra x2n+1 x2n+3.
	Tương tự, giả sử có x2n x2n+2 thì f(x2n) f(x2n+2) suy ra x2n+1 x2n+3 vì vậy f(x2n+1) f(x2n+3) suy ra x2n+2 x2n+4
	Vậy dãy (x2n-1) là dãy tăng và dãy (x2n) là dãy giảm và đều thuộc [0; 1] nên có giới hạn hữu hạn: , 
Và a = 
Nên suy ra a = 
Tương tự ta cũng tìm được b =. Vậy a = b = nên 
Bài 6. (HSG QG 2008)
Cho dãy số thực (xn) xác định như sau: 
	x1 = 0, x2 = 2 và xn+2 = với mọi n= 1, 2, 3, 
Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
	 Lời giải
Xét hàm số f(x) = xác dịnh trên R.
Với mỗi nN*, ta có xn+4 = f(xn+2) = f(f(xn)) hay xn+4 = g(xn), trong đó g là hàm số xác định trên R và g(x) = f(f(x)) (1)
	Dễ thấy hàm số f giảm trên R, do đó hàm số g tăng trên R. Vì thế từ (1) suy ra với mỗi k{1; 2; 3; 4}, dãy (x4n+k), nN là dãy đơn điệu, Hơn nữa, từ cách xác định dãy (xn) dễ thấy 0, N*. Do đó với mỗi k{1; 2; 3; 4}, dãy (x4n+k) là dãy hội tụ
	Với mỗi k{1; 2; 3; 4}, đặt ta có 0. Hơn nữa, do hàm số g liên tục trên R nên từ (1) suy ra g(ak) = ak (2)
Xét hàm số h(x) = g(x) – x trên [0; 2]. Ta có h’(x) = 2- (f(x) + x).(ln2)2 – 1 0)
	Suy ra, hàm số h giảm trên [0; 2]. Vì thế có nhiều nhất một điểm sao cho h(x) = 0 hay g(x) = x. Mà g(1) = 1 nên từ (2) ta được ak = 1 với mọi k{1; 2; 3; 4}.
Từ đây, vì dãy (xn) là hợp của bốn dãy con (x4n+k) nên dãy (xn) hội tụ và 
Bài 7. 
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước thì phương trình 
x2n+1 = x + 1 có đúng một nghiệm thực. Gọi nghiệm đó là xn. Tính . 
Lời giải: Nếu x 1. Đặt fn(x) = x2n+1 – x – 1. Ta có fn’(x) = (2n+1)x2n – 1 > 0 trên [1, +¥) suy ra hàm f tăng trên nửa khoảng này. Vì f(1) = - 1 0 nên phương trình này có nghiệm xn thuộc (1, 2). Theo lý luận trên, nghiệm này là suy nhất. 
Xét fn+1 = x2n+3 – x – 1. Ta có fn+1