Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh ở THCS thông qua dạy học chứng minh toán học

Mục lục
TT
Trang
Mở đầu
2
Cơ sở của đề tài
2
Lịch sử của đề tài
4
Mục đích- nhiệm vụ- phương pháp nghiên cứu
4
Đổi mới trong kết quả nghiên cứu
6
Nội dung đề tài
7
Làm rõ các khái niệm
7
Tìm hiểu thực trạng khả năng tư duy lôgic của học sinh ở trường sở tại nói riêng và học sinh THCS nói chung
7
Tìm hiểu thực tế mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập môn toán của học sinh THCS
9
Phân tích những nội dung chương trình SGK toán THCS có thể thực hiện hoạt động rèn luyện tư duy cho các em
9
Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy
10
Kết quả thực nghiệm
23
Đúc rút kinh nghiệm
23
Kết luận
24
Tài liệu tham khảo
25
A. Më ®Çu
I. Cơ sở của đề tài
1. Cơ sở lí luận.
	Trong các môn khoa học, Toán học được coi là " môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo"(Phạm Văn Đồng).
	Thật vậy, trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng đã từng có sự so sánh, phán đoán, suy luận trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh. Đó chính là tư duy lôgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, nhận xét, đánh giá một cách chính xác, lập luận có căn cứ về một vấn đề. Như vậy tính lôgic là bắt buộc đối với mọi khoa học cũng như đối với cuộc sống hằng ngày.Và Toán học là một nghành khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật của tư duy lôgic.
	 Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ". Phải có sự suy nghĩ chính xác, phù hợp và lôgíc thì mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập môn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Như vậy rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cần thiết và rất đáng để nghiên cứu và đầu tư công sức đối với người thầy dạy toán.
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi trình bày môn Toán cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp học nhà viết sách đã có phần châm chước, nhân nhượng giảm nhẹ về tính lôgic. Cụ thể là : Mô tả (không định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứng minh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minh chưa thật chặt chẽ. Tuy vậy, nhìn chung chương trình toán THCS vẫn mang tính lôgic, hệ thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như một chuỗi mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ. Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được các kiến thức toán học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu của chương trình. Như vậy, rõ ràng học sinh phải biết phân tích cấu trúc của các định nghĩa, khái niệm, các mệnh đề, biết vận dụng kiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sách giáo khoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh. Bằng chứng cụ thể là trong chương trình toán ở trường THCS rất nhiều kí hiệu và ngôn ngữ lôgic toán đã được đưa vào sử dụng(Chẳng hạn: , mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đề phủ định, chứng minh phản chứng... ), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong chương trình không có chương nào, thậm chí không có bài nào dạy riêng về vấn đề lôgic toán học cũng như cách sử dụng chúng . Các kí hiệu và ngôn ngữ, liên từ lôgic toán được giới thiệu và hình thành dần dần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan.(Khi nào cần đến chúng thì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng). Trong chương trình toán ở THCS, các phương pháp suy luận, chứng minh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách "ngấm ngầm" thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể chứa đựng chúng trong quá trình học tập bộ môn.
Do đó, trong điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học đã quy định hiện hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh THCS, muốn cho học sinh học toán có hiệu quả thì người thầy giáo dạy toán phải khéo léo dạy cho học sinh cách tư duy lôgic th ông qua những tiết học chính khoá và cả trong hoạt động ôn tập và rèn luyện ngoài giờ. 
Khả năng tư duy lôgic không chỉ là cái đích cần đạt mà còn là phương tiện giúp học sinh học tốt môn toán. Tuy nhiên, như đã trình bày, vì kiến thức về lôgic toán học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáo khoa nên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xuyên nhưng vì không nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và cũng chưa hình thành được thói quen, kĩ năng sử dụng và rèn luyện nó.
Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối với hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS nói riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh, tôi luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác nhau của giáo viên đã tác động như thế nào đến khả năng ấy. Tôi đã phát hiện ra rằng khi học loại toán chứng minh đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgic chặt chẽ và đó cũng là môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em . Vì vậy, tôi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học".
II. Lịch sử của đề tài.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trong quá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khó khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng cao năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng dạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh. Những kết quả thu được báo hiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thành bản sáng kiến kinh nghiệm này.
III. Mục đích - nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu.
1. Mục đích:
Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm, nêu lên một vài kinh nghiệm nhỏ đã có hiệu quả đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy lôgic nói chung, kỹ năng tư duy lôgic toán học nói riêng thông qua loại toán chứng minh ở THCS. Đồng thời với cách làm này khi học sinh có được khả năng tư duy lôgic tốt thì càng góp phần kích thích sự hứng thú và làm tăng lòng say mê môn Toán ở các em.
2. Nhiệm vụ:
	2.1. Nghiên cứu về mặt lý luận các khái niệm liên quan đến khả năng tư duy lôgic, tư duy lôgic toán học.
2.2. Tìm hiểu thực trạng về khả năng tư duy lôgic toán học trong học sinh THCS.
2.3. Tìm hiểu mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập môn Toán ở học sinh THCS.
2.4. Tìm hiểu cơ chế hình thành và phát triển kỹ năng tư duy lôgic toán học trong học tập môn Toán.
2.5. Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa và đặc biệt quan tâm đến nội dung dạy học môn Toán mà trong đó ẩn chứa nhiều nhất khả năng phát triển tốt tư duy lôgic toán học cho học sinh. Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy
2.6. Phân tích những thành công, thất bại và nguyên nhân của những thành công thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và cải tạo các biện pháp hình thành và phát triển khả năng tư duy lôgic cho học sinh trong dạy toán sao cho hiệu quả nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu 
Đề tài này được hoàn thành bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, phương pháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh THCS trong khi học loại toán chứng minh.
IV. Phạm vi nghiên cứu.
Khả năng tư duy lôgic và hiệu quả học tập môn Toán là hai vấn đề có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Để học tốt môn Toán người học phải có khả năng nhất định về tư duy lôgic. Ngược lại khả năng tư duy lôgic được hình thành và phát triển tốt hơn trong học tập môn Toán. Vì thế, việc hình thành khả năng tư duy lôgic cho học sinh là một quá trình lâu dài, đòi hỏi sự quan tâm ngay từ đầu và duy trì bền bỉ trong suốt cả quá trình dạy học của giáo viên. Mọi bài toán, mọi đối tượng toán học đều ẩn chứa trong đó yếu tố lôgic học. Vì vậy trong mọi giờ học toán dù chính khoá hay ngoại khoá, dù dạy kiến thức mới hay luyện tập, ôn tập, dù với đối tượng học sinh khá giỏi hay yếu kém đều có thể thực hiện được việc rèn luyện được kỹ năng tư duy lôgic bằng phương pháp khéo léo, mềm dẻo, phù hợp nhất.Tuy nhiên để có điều kiện nghiên cứu sâu, tìm hiểu kỹ thì trong đề tài này tôi tập trung nghiên cứu và thể nghiệm chủ yếu trong loại toán chứng minh. Bởi vì khi học loại toán chứng minh thì khả năng tư duy của các em được bộc lộ rõ nhất và cũng ở dạng toán này rất thuận lợi cho việc kiểm tra kết quả thực nghiệm. Để đảm bảo yêu cầu sư phạm và tính phổ dụng rộng rãi của đề tài, các bài toán, các vấn đề được sử dụng trong đề tài mang tính vừa sức với đối tượng học sinh THCS.
V. Đổi mới trong kết quả nghiên cứu.
Qua nghiên cứu và thử nghiệm nhiều năm trên nhiều đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp tôi đã giảng dạy cho thấy kết quả rất khả quan.
Trước một vấn đề , một bài toán đặt ra, học sinh bước đầu biết "cách suy nghĩ" biết định hướng, lựa chọn phương pháp phù hợp . Khi tìm ra cách giải quyết vấn đề các em đã khắc phục dần những sai lầm trong cách suy nghĩ cũng như khi trình bày bài làm do khả năng tư duy lôgic được rèn luyện tốt. Từ đó, các em biết trình bày, lập luận một cách chặt chẽ, hợp lý, ngắn gọn súc tích và đầy đủ. Qua đó hình thành thói quen xem xét vấn đề ở các góc độ khác nhau theo các chiều hướng khác nhau, các khả năng khác nhau . Hơn thế nữa, khi khả năng tư duy lôgic của học sinh được nâng lên cũng góp phần đáng kể trong việc hình thành các phương pháp học tập phù hợp với các bộ môn khác kể cả năng lực tư duy lôgic trong đời sống hằng ngày.
B. Néi dung ®Ò tµi
I. Làm rõ các khái niệm.
1.Tư duy lôgic như đã nói ở trên là "chìa khoá" để tối ưu hoá khả năng phát triển cá nhân và khả năng hoạch định công vịêc một cách có hiệu quả.
2. Chứng minh toán học là thao tác lôgic dùng để lập luận tính đúng đắn của một phát biểu, một tính chất hay mệnh đề nào đó.
3. Rèn luyện khả năng tư duy lôgic trong học toán là rèn luyện khả năng linh hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ, khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tình huống, một vấn đề toán học hoặc vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đó đưa ra chọn lựa hợp lý các phương án giải quyết một cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp và tối ưu nhất.
II. Tìm hiểu thực trạng khả năng tư duy lôgic toán học của học sinh của trường sở tại nói riêng, học sinh THCS nói chung.
Trong mỗi giờ lên lớp ngay từ khi tiếp nhận giảng dạy đầu năm học tôi thường xuyên quan tâm để ý đến các câu trả lời, cách diễn đạt, trình bày của các em trong mỗi vấn đề, mỗi câu hỏi mà tôi nêu ra. Kết quả cho thấy ở đa số học sinh thể hiện rõ sự non yếu, thiếu chặt chẽ . Các em thiếu hẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các khả năng có thể xảy ra . Đặc biệt là khâu trình bày tự luận ở các bài toán đòi hỏi suy luận, chứng minh cho thấy học sinh vấp phải nhiều sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu là do khả năng tư duy lôgic toán học còn non kém.
Chẳng hạn: 
Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em đều nắm được: "Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó" 
Và " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"
Tuy nhiên khi hỏi học sinh:
" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? "
Học sinh chỉ trả lời được:
 " Muốn chứng minh một số là số nguyên tố ta chứng tỏ nó là hợp số" 
Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgic của khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán.
Hoặc khi gặp bài toán: 
 Cho số : 
Tìm * để chia hết cho 2, cho 3 và cho 5.
Không ít học sinh lần lượt xét * để chia hết cho 2. Rồi lại xét * để chia hết cho 3 .....
Trong trường hợp này học sinh không phân tích được bản chất của dấu phẩy (,) cũng như từ "và" của bài toán. Thực ra chúng là phép hội trong lôgic toán học.
Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau: 
"x là số lớn hơn 3 và bé hơn 4".
Trong thực tế ban đầu học sinh đều viết: x > 3 và x <4 . 
(Yếu tố lôgic toán "ngầm" chứa ở đây là " tuyển của hai hàm mệnh đề" - một vấn đề rất cơ bản của lôgic toán học. Tuy nhiên vì lý do sư phạm nên giáo viên không thể trình bày tường minh được mà phải khéo léo hướng dẫn bằng ngôn ngữ dễ hiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn).
Ngay cả ở học sinh lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy lôgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên. Thí dụ khi giải phương trình tích: 
Tôi đã gặp học sinh trình bày như sau:
Rõ ràng học sinh đã mắc cả lỗi về sử dụng dấu "" cả lỗi về dấu " "
( Thực chất của dấu "" là phép "Kéo theo" , dấu " " hay liên từ "và " là "Phép tuyển" trong lôgic toán học )
Không chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc nhiều lỗi không kém.Thí dụ:
Từ kết luận " Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB" 
Nhiều học sinh đã kết luận " Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB".
Hoặc từ tính chất: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau". Nhiều học sinh đã sai lầm rút ra kết luận: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh"
Trong cả hai tình huống hình học trên học sinh đã sử dụng quy tắc suy diễn không hợp lôgic.
v.v và v.v...
Không chỉ bản thân tôi mà qua trao đổi với nhiều đồng nghiệp ở các đon vị bạn đều phản ánh thực trạng chung như thế. Thực tế khi tham gia chấm bài các đợt khảo sát chất lượng, thi tốt nghiệp THCS thậm chí cả thi chọn học sinh giỏi cũng gặp những sai lầm tương tự do quá trình tư duy không hợp lôgic mang lại.
III. Tìm hiểu thực tế mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập môn Toán ở học sinh THCS.
Khi tìm hiểu thực tế tôi thấy: Những học sinh học tốt môn Toán là những em có khả năng tư duy lôgic tốt. Ngược lại, nếu được rèn luyện thường xuyên khả năng này thì hiệu quả học tập môn Toán được nâng lên rõ rệt. Đặc biệt những học sinh làm tốt dạng bài toán chứng minh là những em thực sự có có khả năng tư duy lôgic.
IV.Phân tích những nội dung chương trình sách giáo khoa THCS có thể thực hiện hoạt động rèn luyện tư duy lôgic cho các em.
Nhìn chung hầu hết các nội dung trong chương trình sách giáo khoa đều "ngầm chứa" yếu tố tư duy lôgic. Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyện tập hay bài tập tổng hợp và ôn tập chương đều đòi hỏi giáo viên phải có ý thức khai thác và rèn luyện thường xuyên để có thể tìm chọn biện pháp tốt nhất phù hợp với đối tượng học sinh mà mình giảng dạy. Tuy nhiên về mặt lý luận cũng như thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minh toán học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất.
V. Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về chuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn ...tôi rút ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toán học tốt qua loại toán chứng minh.
1. Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực tiếp. 
 Có nhiều phương pháp chứng minh. Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho học sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp. Để có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán. Sau đó dần dần hình thành ở các em kỹ năng sử dụng các kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic.
1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học, hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho các em nắm chắc cấu trúc của bài toán (cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện khả năng tư duy có lôgic. 
Dẫn chứng: 
Ví dụ 1:
Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài toán bằng kí hiệu (ở bài toán này chính là giả thiết, kết luận) 
 GT	ABCD là hình chữ nhật	
 KL	AC = BD	 
Hay: (Nếu ABCD là hình chữ nhật ) (AC = BD)
Với cách viết đó học sinh thấy rõ cấu trúc bài toán và "Khoanh vùng" kiến thức cần huy động.Như thế ít nhất các em cũng đã suy nghĩ một cách hợp lí.
Hay ở bài toán phức tạp hơn một chút: 
1.2.Giúp học sinh nắm vững bản chất lôgic của loại toán chứng minh trực tiếp.
Các thao tác kết luận lôgic theo những quy tắc thông thường không được dạy tường minh ở trong chương trình THCS.Vì vậy học sinh lĩnh hội chúng một cách ẩn tàng thông qua những trường hợp cụ thể. Thường dùng nhiều nhất là quy tắc có sơ đồ sau:
 ( Nghĩa là: từ A suy ra B, A đúng thì B đúng )
Thí dụ: 
Khi trình bày phần chứng minh bài toán trên giáo viên cần để ý đến việc vạch rõ tiền đề của từng kết luận lôgic trong lời giải.Chẳng hạn có thể trình bày lời giải bài toán trên như sau(đầy đủ và chi tiết, không bỏ qua tiền đề nào), để có điều kiện làm rõ cấu trúc của lời giải: 
1.A1) Trong hình chữ nhật các góc đều vuông và Từ định nghĩa
các cạnh đối bằng nhau.
A2) ABCD là hình chữ nhật Giả thiết
A3) Do đó và AD = BC Từ A1 và A2 
2. A4) Nếu hai tam giác tam giác vuông có 2 cạnh Định lí đã biết 
góc vuông bằng nhau thì chúng bằng nhau.
A5) Hai tam giác vuông ABD và ABC có AB Theo A3
chung và AD =BC 
A6) Do đó hai tam giác vuông ABD và ABC T ừ A4 v à A5
bằng nhau.
3.A7) Nếu hai tam giác vuông bằng nhau thì Từ định nghĩa
cạnh huyền của chúng bằng nhau.
 A8)Hai tam giác vuông bằng nhau ABD và Theo A6
 ABC có các cạnh huyền là AC và BD
 A9) Do đó AC = BD Từ A7 và A8
4.A) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD.
Trong quá trình đó giáo viên khéo léo phân tích làm cho học sinh hiểu cách kết luận lôgic được rút ra trong bài làm (A3, A6, A9).
Chẳng hạn ở bước A3: 
 Từ A1 và A2 suy ra A3. Vì A1, A2 đúng suy ra A3 đúng.
Hay ở bước A6:
Từ A4 và A5 suy ra A6. Vì A4, A5 đúng suy ra A6 đúng.
(Cần khéo léo lồng ghép vấn đề này vào quá trình giảng dạy sao cho thông qua hàng loạt bài tập học sinh tiếp thu được một cách ẩn tàng cách suy luận này nhưng đòi hỏi kỹ năng vận dụng chúng lại phải "nổi " rõ. Đây cũng là một yêu cầu khó mà mức độ thành công rất cần đến kinh nghiệm của mỗi giáo viên).
1.3. Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích bài toán từ đó trình bày tốt lời giải.
Ngoài ra, khi học sinh bước đầu nắm bắt được tinh thần của phương pháp chứng minh này giáo viên có thể trình bày dưới dạng một sơ đồ để giúp học sinh nhìn rõ hơn quá trình suy luận (Sơ đồ 1) Và cũng chính từ sơ đồ này học sinh học được kỹ năng phân tích để trình bày bài giải một cách lôgic.
 (GT)
 ( Định nghĩa)
ABCD là hình chữ nhật 
 (Định nghĩa)
Hai tam giác ABD và 
ABC có AB chung  = B = 900 AD = BC
 (c.g.c)
 ΔABD = ΔABC
 AC = BD
 (KL)
Sơ đồ1
Ví dụ 2: 
Chứng minh định lý về đường trung bình của một tam giác:
 "Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ hai thì cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba".
* Vẽ hình và phân tích làm rõ cấu trúc của mệnh đề cần chứng minh có dạng: 
(AD = DB) và (DE // BC) (AE = EC) ( Liên từ "và" thực chất là "phép hội" trong lôgic toán học ) 
 Hìnhvẽ 
* Xây dựng sơ đồ giúp học sinh nhìn thấy rõ quá trình suy luận(Sơ đồ 2).
DE // BC
 (GT) Vẽ EF//AB 
 (Góc có cạnh 
AD = DB
 tương ứng
 (GT) EF = DB song song) (Góc đồng vị)
 AD = EF 
 D2 =F4 A1 = E3
 (c.g.c)
 ΔADE = ΔEFC
 AE = EC
 (KL)
 Sơ đồ 2
Ví dụ 3:
"Nếu hai số nguyên a, b chia hết cho số nguyên c thì a + b chia hết cho c". 
* Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ chứng minh như sau
a : m
b : m
 (Với a,b,m Z)	(GT)
 (GT) 
a = m.k
b = m.q
	(Khái niệm) 	 (K