Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
“Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com - 1 - 
MỤC LỤC 
 Trang 
Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2 
A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5 
 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8 
 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 29 
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác -------------------------- 32 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33 
 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 35 
 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 56 
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59 
 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 62 
 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 81 
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85 
 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 87 
 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 92 
E – Phương trình lượng giác đối xứng --------------------------------------------------------------- 93 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94 
 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 96 
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97 
 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 99 
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ----------------------------------------------------- 101 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102 
 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 104 
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương --------- 106 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106 
 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 112 
I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------- 116 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117 
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121 
 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122 
 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 125 
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 
 - 2 - www.DeThiThuDaiHoc.com 
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG 



 
 Công thức cơ bản 
 ● 2 2sin x cos x 1+ = ● tan x.cotx 1= ● 
sin x
tan x
cos x
= 
 ● 
cos x
cotx
sin x
= ● 
os
2
2
1
1 tan x
c x
+ = ● 2
2
1
1 cot x
sin x
+ = 
 Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba 
 ● sin2x 2sin x.cos x=
● 
2 2
2 2
cos x sin x
cos2x
2cos x 1 1 2 sin x
 −=  − = −
 ● 
os2 1 c 2xsin x
2
−
= ● 
os
os2
1 c 2x
c x
2
+
= 
 ● 3sin 3x 3 sin x 4 sin x= − ● 3cos 3x 4 cos x 3cos x= − 
 Công thức cộng cung 
 ● ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ± ● ( )osc a b cosa.cosb sina.sin b± = ∓ 
 ● ( )
tana tanb
tan a b
1 tana.tanb
+
+ =
−
 ● ( )
tana tan b
tan a b
1 tana.tanb
−
− =
+
 ● 
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
  + + =   − 
 ● 
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
  − − =   + 
 Công thức biến đổi tổng thành tích 
 ● 
a b a b
cosa cosb 2cos .cos
2 2
+ −
+ = ● 
a b a b
cosa cosb 2sin .sin
2 2
+ −
− =− 
 ● 
a b a b
sina sin b 2sin .cos
2 2
+ −
+ = ● 
a b a b
sina sin b 2cos .sin
2 2
+ −
− = 
 ● 
( )sin a b
tana tanb
cosa.cosb
+
+ = ● 
( )sin a b
tana tanb
cosa.cosb
−
− = 
 Công thức biến đổi tích thành tổng 
 ● 
( ) ( )cos a b cos a b
cosa.cosb
2
+ + −
= ● 
( ) ( )sin a b sin a b
sin a.cosb
2
+ + −
= 
 ● 
( ) ( )cos a b cos a b
sin a.sin b
2
− − +
= 
 Một số công thức thông dụng khác 
 ● 
π π
sinx cosx 2 sin x 2cos x
4 4
      + = + = −        
 ● 
π π
sinx cosx 2 sin x 2cos x
4 4
      − = − = +        
 ● 4 4 2
1 cos4x
cos x sin x 1 s
3 1
in 2x
2 4
+
+ = − = ● 6 6 2
3 cos4x
cos x sin x 1 s
5 3
in 2x
4 8
+
+ = − = 
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
“Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com - 3 - 
 Một số lưu ý: 
	 Điều kiện có nghiệm của phương trình 
sin x
cos x
 = α
 = α
 là: 1 1− ≤α ≤ . 
	 Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết 
phải đặt điều kiện để phương trình xác định. 
 Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( ) cos x 0 x k k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ . 
 Phương trình chứa cotx , điều kiện: ( ) sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ ℤ . 
 Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiện: ( ) x k. k
2
π
≠ ∈ ℤ . 
	 Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để 
kiểm tra điều kiện: 
 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy 
làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm. 
 Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. 
Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm. 
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác AM có 
số đo là 
k2
n
π
α + 
0
0 k.360hay a
n
  +   
 với k ,n +∈ ∈ℤ ℕ thì có n điểm M trên đường tròn 
lượng giác cách đều nhau". 
Ví dụ 1: Nếu sđ AM k2
3
π
= + π thì có một điểm M tại vị trí 
3
π
 (ta chọn k 0= ). 
Ví dụ 2: Nếu sđ AM k
6
π
= + π thì có 2 điểm M tại vị trí 
6
π
và 
7
6
π
 (ta chọn k 0,k 1= = ). 
Ví dụ 3: Nếu sđ  2AM k.
4 3
π π
= + thì có 3 điểm M tại các vị trí 11;
4 12
π π
và 
19
12
π
, ( )k 0;1;2= . 
Ví dụ 4: Nếu sđ  k2AM k.
4 2 4 4
π π π π
= + = + thì có 4 điểm M tại các vị trí 
4
π
,
3
4
π
, 
5
4
π
;
7
4
π
(ứng với các vị trí k 0,1,2,3= ). 
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k
6
π
=− + π và x k
3
π
= + π 
 Biểu diễn cung x k
6
π
= − + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
6
π
− và 
5
6
π
 Biểu diễn cung x k
3
π
= + π trên đường tròn thì có 
Để giải được phương trình lượng giác cũng như các 
ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả 
những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công 
cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: 
"Phương trình lượng giác" 
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 
 - 4 - www.DeThiThuDaiHoc.com 
 2 điểm tại các vị trí: 
3
π
 và 
4
3
π
. 
 Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và 
 cung tổng hợp là: x k
3 2
π π
= + 
	 Đối với phương trình 
2
2
1 1
cos x cos x
2 2
1 1
sin x sin x
2 2
 
 = = ±
 
⇔ 
 = = ± 
 
 ta không nên giải 
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là 
tối ưu nhất. Nghĩa là: 
2 2
2
2
1
cos x 2cos x 1 0 cos2x 0
2
1 cos2x 02sin x 1 0
sin x
2

 = − = =  ⇔ ⇔   =− =  = 

. Tương tự đối với phương trình 
2
2
sin x 1 sin x 1
cos x 1cos x 1
 = = ± ⇔  = ±= 
 ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức 
2 2sin x cos x 1+ = . Lúc đó: 
2 2
2 2
sin x 1 cos x 0 cos x 0
sin x 0cos x 1 sin x 0
  = = =  ⇔ ⇔   == =   
	 Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo '' 
 Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là 
một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác. 
 Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là ( )cos cos−α = α , còn các cung 
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: 
( ) ( ) ( ) sin sin , tan tan , cot tan−α =− α −α =− α −α =− α 
 Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là ( )sin sinπ−α = α , còn các cung 
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: 
( ) ( ) ( ) cos cos , tan tan , cot tanπ−α =− α π−α = − α π−α = − α 
 Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và 
ngược lại, tức là: 
 sin cos , cos sin , tan cot , cot tan
2 2 2 2
       π π π π         −α = α −α = α −α = α −α = α                      
 Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: 
Giải phương trình lượng giác: sin u cos v= 
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình 
sin u sin v= , vậy còn phương trình sin u cos v= thì sao ? 
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sin u sin v
2
 π  = ⇔ = −   
( ) u v k2 u v k2 , k
2 2
π π
= − + π ∨ = + + π ∈ ℤ . 
Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 2sin x cos x
3
 π  = −   
pi/3 
5pi/6 
4pi/3 
–pi/6 
O 
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
“Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com - 5 - 
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa. 
 Một số cung góc hay dùng khác: 
( )
( )
sin x k2 sin x
cos x k2 cos x
 + π =

 + π =
 và 
( )
( )
( ) 
sin x k2 sin x
k
cos x k2 cos x
 + π + π =−
∈
 + π + π =−
ℤ . 
A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
 Dạng: 
 u v k2
sin u sin v
u v k2
 = + π= ⇔  = π− + π
 Đặc biệt: 
sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2
 = ⇒ = π π = ⇒ = + π
 π = − ⇒ =− + π
 Dạng: 
 u v k2
cosu cos v
u v k2
 = + π= ⇔  = − + π
 Đặc biệt: 
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
 π = ⇒ = + π = ⇒ = π
 = − ⇒ = π+ π
 Dạng: 
tanu tan v u v k
Ðk : u,v k
2
= ⇔ = + π
π
≠ + π
 Đặc biệt: 
 tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
 = ⇔ = π
 π = ± ⇔ = ± + π
 Dạng: 
cotu cotv u v k
Ðk : u,v k
= ⇔ = + π
≠ π
 Đặc biệt: 
 cotx 0 x k
2
cotx 1 x k
4
 π = ⇔ = + π

 π = ± ⇔ = ± + π
BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈    
Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗ 
Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗ 
Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗ 
Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗ 
Bài 6. Giải phương trình: ( ) 
1 1 7
4 sin x
sin x 43
sin x
2
 π  + = − ∗   π   −   
Bài 7. Giải phương trình: ( ) 4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
   π π   + = + − ∗        
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 
 - 6 - www.DeThiThuDaiHoc.com 
Bài 8. Giải phương trình: ( ) 
4 4
4sin 2x cos 2x cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
   π π   − +        
Bài 9. Giải phương trình: ( ) 
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
   π π   − = +        
Bài 10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin2x sin x 1
4 4
   π π   − = +        
Bài 11. ( ) 38 cos x cos 3x 1
3
 π + =   
Bài 12. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2 sin x 1
4
 π + =   
Bài 13. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x 1
4
 π − =   
Bài 14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗ 
Bài 15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = ∗ . 
Bài 16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ . 
Bài 17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗ 
Bài 18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗ 
Bài 19. Giải phương trình: ( )sin 2 2
5x 9x
cos 3x sin7x 2 2cos
4 2 2
 π  + = + − ∗   
Bài 20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x cos 2x cos 3x= + ∗ 
Bài 21. Giải phương trình: ( ) 22sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗ 
Bài 22. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗ 
Bài 23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗ 
Bài 24. Giải phương trình: ( ) 2 3cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗ 
Bài 25. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗ 
Bài 26. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 22sin x 1 3cos 4x 2sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗ 
Bài 27. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 6 8 8sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗ 
Bài 28. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗ 
Bài 29. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 5sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗ 
Bài 30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗ 
Bài 31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x
8
−
− = ∗ 
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
“Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com - 7 - 
Bài 32. Giải phương trình: ( ) 1cos x cos2x cos 4x cos 8x
16
= ∗ 
Bài 33. Giải phương trình: ( ) 34 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗ 
Bài 34. Giải phương trình: ( ) 1cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x
2
+ + + + =− ∗ 
Bài 35. Giải phương trình: ( ) 
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
= ∗
+
Bài 36. Giải phương trình: ( ) 2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+
Bài 37. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗ 
Bài 38. Giải phương trình: ( ) 2tan x tan x tan 3x 2− = ∗ 
Bài 39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗ 
Bài 40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
 π − − = ∗   
Bài 41. Giải phương trình: ( ) ( ) 2sin2x cotx tan2x 4 cos x+ = ∗ 
Bài 42. Giải phương trình: ( ) ( ) 
2 2cot x tan x
16 1 cos 4x
cos2x
−
= + ∗ 
Bài 43. Giải phương trình: ( ) 12 tan x cot2x 2 sin2x
2sin2x
+ = + ∗ 
Bài 44. Giải phương trình: 
( )
( ) ( ) 
3 sin x tan x
2 1 cos x 0
tan x sin x
+
− + = ∗
−
Bài 45. Giải phương trình: 
( ) ( )
( )
( ) ( ) 
2 2
2 2
1 cos x 1 cos x 1
tan x sin x 1 sin x tan x
24 1 sin x
− + +
− = + + ∗
−
Bài 46. Giải phương trình: ( ) cos 3x tan5x sin7x= ∗ 
Bài 47. Giải phương trình: ( ) 1 1sin2x sin x 2cotx
2 sin x sin2x
+ − − = ∗ 
Bài 48. Giải phương trình: ( ) ( ) 
4 4sin x cos x 1
tan x cot2x
sin2x 2
+
= + ∗ 
Bài 49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗ 
Bài 50. Giải phương trình: ( ) 
x
cotx sin x 1 tan x tan 4
2
  + + = ∗   
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 
 - 8 - www.DeThiThuDaiHoc.com 
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 



 
 Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x,2x,3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một 
cung. Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan 
niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x,2x,3x , ta nên đưa về cung 
trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc 
cos2x), nên đưa về cung x ". 
Bài giải tham khảo 
( ) ( ) ( )3 2 3 24 cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − = 
( )
( )
( )
( )
2
cos x 0 N
4 cos x cos x 2 0 x k , k
cos x 2 L 2
 = π⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈ =
ℤ . 
0,5 k 3,9 3 5 7
Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ;
k2 2 2 2 2
  − ≤ ≤≈  π π π π π   ∈ ∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ ⇒ ∈       ∈   
ℤ
ℤ
. 
Bài giải tham khảo 
( ) ( )( )2cos x 1 2 sin x cos x 2sin x cos x sin x∗ ⇔ − + = − 
( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin x 2cos x 1 0⇔ − + − − = 
( ) ( ) ( )( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2cos x 1 sin x cos x 0 ⇔ − + − = ⇔ − + =   
( ) 
x k22cos x 1 0 cos x cos 3 k; l3
sin x cos x 0 tan x 1 x l
4
 π π  = ± + π − =  =  ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + = π = − = − + π  
ℤ . 
 Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một 
cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos 
Bài giải tham khảo 
( ) 3 2 3 24 cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0 2cos x cos x 2cos x 1 0∗ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − = 
( ) ( ) ( )( ) 2 2cos x 2cos x 1 2cos x 1 0 2cos x 1 cos x 1 0⇔ + − + = ⇔ + − = 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈    
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002 
Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗ 
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 
Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗ 
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006 
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
“Cần cù bù thông minh” www.DeThiThuDaiHoc.com - 9 - 
Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗ 
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 
( ) ( ) 2
sin x 0 x k
2cos x 1 sin x 0 k;l1 2
cos x x l2
2 3
 = = π 
 ⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈π = − = ± + π  
ℤ . 
Bài giải tham khảo 
( ) ( ) 2sin x cos x 2 sin x cos x 2cos x 0∗ ⇔ + + + = 
( ) ( ) sin x cos x 2cos x sin x cos x 0⇔ + + + = 
( )( ) sin x cos x 1 2cos x 0⇔ + + = 
( ) 
sin x cos x tan x 1 x k
4 k; l1 2 2cos x cos x cos x l22 3 3
 π = − =−  = − + π   ⇔ ⇔ ⇔ ∈π  π= − =  = ± + π    
ℤ . 
 Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x 
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế 
( ) ( )2sin x 1 2cos x 1 2 sin x cos x 1 cos x∗ ⇔ + − + = + 
( ) ( ) 22sin x cos x 2 sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 cos x 0⇔ + = + ⇔ + − + = 
( )( ) ( ) 
21 x k2cos x 3cos x 1 sin2x 1 0 k, l2
sin2x 1 x l
4
 π  = ± + π = − ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= = + π  
ℤ . 
 Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3x
2
π
− và 
7
x
4
π
− giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung 
khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công 
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý 
tưởng đó qua hai cách giải sau đây 
Bài giải tham khảo 
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ± 
Bài 6. Giải phương trình: ( ) 
1 1 7
4 sin x
sin x 43
sin x
2
 π  + = − ∗   π   −   
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 
Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗ 
Trích đề thi tuyển sinh Đại