Phương trình lượng giác - Cơ bản và nâng cao

Chương 1
Phương trình lượng giác - Cơ bản
1.1 Công thức lượng giác
1.1.1 Bảng lượng giác
α 0
pi
6
pi
4
pi
3
pi
2
pi
sinα 0
1
2
p
2
2
p
3
2
1 0
cosα 1
p
3
2
p
2
2
1
2
0 −1
tanα 0
p
3
3
1
p
3 ∥ 0
cotα ∥ p3 1
p
3
3
0 ∥
1.1.2 Công thức lượng giác cơ bản
• sin2x+cos2x= 1
• tanx= sinx
cosx
• cotx= cosx
sinx
• tanx.cotx= 1
• 1+ tan2x= 1
cos2x
• 1+cot2x= 1
sin2x
1.1.3 Mất dấu trừ
• −cos(x)= cos(pi− x)
• −sinx= sin(−x)
• −tanx=−tan(−x)
• −cotx= cot(−x)
1.1.4 Đổi chéo
• cosx= sin
(pi
2
− x
)
• sinx= cos
(pi
2
− x
)
• cotx= tan
(pi
2
− x
)
• tanx= cot
(pi
2
− x
)
1.1.5 Hơn kém nhau pi
2
• −sinx= cos
(pi
2
+ x
)
• −cotx= tan
(pi
2
+ x
)
• −tanx= cot
(pi
2
+ x
)
• −cosx= sin
(
x− pi
2
)
1.2 Công thức cộng
• sin(x+ y)= sinxcos y+sin ycosx
• sin(x− y)= sinxcos y−sin ycosx
• cos(x+ y)= cosxcos y−sinxsin y
• cos(x− y)= cosxcos y+sinxsin y
• tan(x+ y)= tanx+ tan y
1− tanxtan y
• tan(x− y)= tanx− tan y
1+ tanxtan y
1.2.1 Công thức nhân đôi
• sin2x= 2sinxcosx
• cos2x= cos2x−sin2x
= 2cos2x−1
= 1−2sin2x
1
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
• tan2x= 2tanx
1− tan2 x
• cos2x= 1+cos2x
2
• sin2x= 1−cos2x
2
1.2.2 Công thức nhân ba
• sin3x= 3sinx−4sin3x
• cos3x= 4cos3x−3cosx
• tan3x= 3tanx− tan
3 x
1−3tan2 x
• cos3x= 3cosx+cos3x
4
• sin3x= 3sinx−sin3x
4
1.2.3 Tích thành tổng
• cosx.cos y= 1
2
[cos(x− y)+cos(x+ y)]
• sinx.sin y= 1
2
[cos(x− y)−cos(x+ y)]
• sinx.cos y= 1
2
[sin(x− y)+sin(x+ y)]
1.2.4 Tổng thành tích
• cosx+cos y= 2cos x+ y
2
cos
x− y
2
• cosx−cos y=−2sin x+ y
2
sin
x− y
2
• sinx+sin y= 2sin x+ y
2
cos
x− y
2
• sinx−sin y= 2cos x+ y
2
sin
x− y
2
• tanx+ tan y= sin(x+ y)
cosxcos y
• tanx− tan y= sin(x− y)
cosxcos y
• cotx+cot y= sin(x+ y)
sinxsin y
• cotx−cot y= sin(x− y)
sinxsin y
• sinx+cosx=p2sin
(
x+ pi
4
)
=p2cos
(
x− pi
4
)
• sinx−cosx=p2sin
(
x− pi
4
)
=−p2cos
(
x+ pi
4
)
• 1+sin2x= (sinx+cosx)2
• 1−sin2x= (sinx−cosx)2
1.3 Phương trình lượng giác
1.3.1 Phương trình cơ bản
• sinx= sinu⇔
[
x= u+k2pi
x=pi−u+k2pi
• cosx= cosu⇔
[
x= u+k2pi
x=−u+k2pi
• tan= tanu⇔ x= u+kpi
• cot= cotu⇔ x= u+kpi
1.3.2 Công thức nghiệm thu gọn
• sinx= 1⇔ x= pi
2
+k2pi
• sinx=−1⇔ x=−pi
2
+k2pi
• sinx= 0⇔ x= kpi
• cosx= 1⇔ x= k2pi
• cosx=−1⇔ x=pi+k2pi
• cosx= 0⇔ x= pi
2
+kpi
1.4 Tập xác định
• Căn thức
√
f (x)xác định ⇔ f (x)≥ 0
• Phân thức
g (x)
f (x)
xác định ⇔ f (x) 6= 0
• Phân thức và căn thức
g (x)√
f (x)
xác định ⇔ f (x)> 0
• y= sin f (x) xác định ⇔ f (x) xác định.
• y= cos f (x) xác định ⇔ f (x) xác định.
• y= tan f (x) xác định ⇔ cos f (x) 6= 0⇔ f (x) 6= pi
2
+kpi
• y= cot f (x)xác định ⇔ sin(x) 6= 0⇔ f (x) 6= kpi.
1.4.1 Tìm tập xác định của hàm số
1. y= sin3x
2. y= cos 2
x
3. y= cos 2x
x−1
4. y= sin
(
2x
x−1
)
5. y= sin 1
1− x2
6. y= cospx
2
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
7. y= sin
√
1+ x
1− x
8. y= 3
2cosx
9. y= tan
(
x− pi
6
)
10. y= cot
(
2x− pi
4
)
11. y=p3−sinx
12. y=p2−sinx
13. y=pcosx+1
14. y=p2−cosx
1.4.2 Tìm tập xác định các hàm số
1. y= 1−cosx
sinx+1
2. y=
√
sinx+2
cosx+1
3. y=
√
cosx+1
1−cosx
4. y= cotx
cosx−1
5. y= sin(x−2)
cos2x−cosx
6. y= 1p
3cot2x+1
7. y= 1
tanx−1
8. y= 1p
sinx+1
9. y= 2
cosx−cos3x
10. y= 3
sin2x−cos2x
11. y= tanx+cotx
12. y= 3sin2x+cosx
cos
(
4x+ 2pi
5
)
+cos
(
3x− pi
4
)
1.5 GTLN, GTNN của hàm số lượng
giác
• −1≤ cosx≤ 1, −1≤ sinx≤ 1
• 0≤ cos2 x≤,1 0≤ sin2 x≤ 1
• 0≤ |cosx| ≤ 1, 0≤ |sinx| ≤ 1
• −1≤ cosx≤ 1⇔−1≤−cosx≤ 1
• −1≤ sinx≤ 1⇔−1≤−sinx≤ 1
1.5.1 Tìm GTLN, GTNN của
1. y= 2sinx+3
2. y= 2sin
(
x+ pi
4
)
+1
3. y= 3−2sinx
4. y= 1−2cos
(
x+ pi
6
)
5. y= 4sinpx
6. y= 2pcosx+1
7. y= 2pcosx+1−3
8. y=psinx
9. y=
√
1−sin(x2)−1
10. y=
∣∣∣sin(3x+ pi
4
)∣∣∣
11. y= 3−2 |sinx|
12. y= 1+4cos
2x
3
13. y= 2sin2x−2cos2x
14. y= cos2x+2cos2x
15. y=
√
5−2cos2x.sin2x
16. y= 4sin2x−4sinx+3
17. y= cos2x+2sinx+2
18. y= sin4x−2cos2x+1
1.6 Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình sin
a) sinx= sinα⇔
[
x=α+k2pi
x=pi−α+k2pi ,k ∈ Z
b) sinx=m
• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu |m| ≤ 1
◦ m ∈
{
0,±12 ,±
p
2
2 ,±
p
3
2 ,±1
}
thì m= sinα với α
là các góc đặc biệt trong bảng lượng giác.
◦ m ∉
{
0,±12 ,±
p
2
2 ,±
p
3
2 ,±1
}
thì
sinx=m⇔
[
x= arcsinm+k2pi
x=pi−arcsinm+k2pi ,k ∈ Z
2. Phương trình cos
3
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
a) cosx= cosα⇔
[
x=α+k2pi
x=−α+k2pi ,k ∈ Z
b) sinx=m
• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu |m| ≤ 1
◦ m ∈
{
0,±12 ,±
p
2
2 ,±
p
3
2 ,±1
}
thì m= sinα với α
là các góc đặc biệt trong bảng lượng giác.
◦ m ∉
{
0,±12 ,±
p
2
2 ,±
p
3
2 ,±1
}
thì
cosx=m⇔
[
x= arcsinm+k2pi
x=−arcsinm+k2pi ,k ∈ Z
3. Phương trình tan
a) tanx= tanα⇔ x=α+kpi,k ∈ Z
b) tanx=m
• Nếu m ∈
{
0,±
p
3
3 ,±1,±
p
3
}
thì m= tanα với α
là các góc đặc biệt trong bảng lượng giác.
• Nếu m ∉
{
0,±
p
3
3 ,±1,±
p
3
}
thì
tanx=m⇔ x= arctanm+kpi,k ∈ Z
4. Phương trình cotan
a) cotx= cotα⇔ x=α+kpi,k ∈ Z
b) cotx=m
• Nếu m ∈
{
0,±
p
3
3 ,±1,±
p
3
}
thì m = cotα với α
là các góc đặc biệt trong bảng lượng giác.
• Nếu m ∉
{
0,±
p
3
3 ,±1,±
p
3
}
thì
cotx=m⇔ x= arctanm+kpi,k ∈ Z
1.6.1 Giải các phương trình:
1. sin(3x)= sin pi
6
2. sin
(
−x+ pi
3
)
= sin
(
−pi
4
)
3. sin(2− x)= sin5
4. sin
(
6x− 2pi
3
)
= sin6
5. sin
(
2x+300)= sin106◦
6. sin(2x)= sin90◦
7. sin(x+1◦)= sin(−x+30◦)
8. sin(3x+1)= sin(x−2)
9. sinx−sin
(
2x+ pi
5
)
= 0
10. sin3x= sin
(
x+ pi
4
)
11. sin
(pi
6
+2x
)
=−1
12. sin
( x
2
− pi
4
)
= 1
13. sin
(
3x+ pi
3
)
= 0
14. sin
( x
2
− pi
3
)
=−
p
3
2
15. sin(x−60◦)= 1
2
16. 2sin
(
5x+ pi
8
)
+p2= 0
17. sin(x+2)= 1
3
18. sin(−2x+1)= 1
6
19. sin
(
x
5
+ 2pi
3
)
= −3
8
20. sinx= 3
2
21. 2−3sin(3x)= 0
1.6.2 Giải các phương trình sau
1. tanx= tan pi
5
2. tan(3x+15◦)=p3
3. tan(x−15◦)=
p
3
3
4. tan(2x−1)=−p3
5. tanx= 1
6. tan
(
−2x+ pi
3
)
=−1
7. tanx= −1
3
8. 2tanx−p2= 0
9.
p
3tanx+1= 0
10. cot4x= cot 2pi
7
11. cot(2x−10◦)= 1p
3
12. cot(3x−1)=−p3
13. cot3x=−2
14. cotx= 1
15. cot(3x+10◦)=
p
3
3
16. 3cotx+3= 0
17.
p
3cotx−3= 0
4
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.6.3 Giải phương trình
1. sinx=
p
3
2
,00 < x< 3600
2. sin2x=−1
2
,0< x<pi
3. cos(x−5)=
p
3
2
,−pi< x<pi
4. tan(2x−15◦)= 1,−1800 < x< 90◦
5. cot3x=− 1p
3
,−pi
2
< x< 0
1.6.4 Giải các phương trình sau
1. sin2x= 1
2
2. |cosx| = 1
2
3. cot2x= 1
4. 3cot2
(
x+ pi
5
)
= 1
5. tan2
(
2x− pi
4
)
= 3
6. (1+2cosx) (2−2sinx)= 0
7. (1+2cos3)(3−cosx)= 0
1.6.5 Giải các phương trình sau
1. sin3x= cos2x
2. sin3x+sin5x= 0
3. cos3x= sin2x
4. sin3x+sin
(pi
4
− x
2
)
= 0
5. cos
x
2
=−cos(2x−30◦)
6. sinx+cos2x= 0
7. sin(x−120◦)+cos2x= 0
8. sin
(
3x− 5pi
6
)
+cos(3x)= 0
9. sin2
(
x− pi
4
)
= cos2x
1.6.6 Giải các phương trình sau
1.
(
cot
x
3
−1
)(
cot
x
2
+1
)
= 0
2. tan
(pi
4
− x
)
= tan2x
3. tan3x= tan
(pi
3
−2x
)
4.
sin3x
cos3x−1 = 0
5. (cotx+1)sin3x= 0
6. cos2x.cot
(
x− pi
4
)
= 0
7. tan
(
2x+600)cos(x+75◦)= 0
8. cos2x. tanx= 0
9. sinx.cotx= 0
10. sin2x.cotx= 0
11. tan(x−30◦)cos(2x−150◦)= 0
12.
(
3tanx+p3) (2sinx−1)= 0
13. tan(2x+1)+cotx= 0
1.6.7 Giải và biện luận phương trình
1. sinx= 2m−1
2. (2m−1)cosx=mcosx−5
3. 4tanx−m= (m+1)tanx
4. (3m−2)cos2x+4sin2x+m= 0
5. (2+m)sin
(
x+ 7pi
2
)
−3m+2cos(2pi− x)+m−2= 0
6. mcosx−2(m−1)= 2(m+3)cosx−1
7. 3tanx−m= (m+2)tanx
8. (4m−1)sinx+5=msinx−3
1.6.8 Giải các phương trình sau
1. sin(picosx)= 1
2. 2cos
[pi
2
(
cosx− pi
4
)]
−p2= 0
3. tan
[pi
4
(cosx−sinx)
]
= 1
5
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.6.9 Giải các phương trình sau
1. tan(x−30◦)cos(2x−150◦)= 0 Đs: 30◦+k180◦
2.
1
sinx
+ 1
cosx
= 2
sin2x
Đs: ;
3.
1−cos2x
cosx
= sin2x
1+cos2x Đs kpi,
pi
6 ,
5pi
6 +kpi
4. sin2x.cotx= 0 Đs: pi2 +kpi
5.
(
2tanx+p3) (2sinx−1)= 0 Đs: 5pi6 +kpi, pi6 +k2pi
6. cos2x.cot
(
x− pi
4
)
= 0 Đs: pi3 +k2pi
7. tan(2x+60◦)cos(x+75◦)= 0 Đs: 3pi4 +kpi
8. (cotx+1)sin3x= 0 Đs: −pi4 +kpi, pi3 +kpi, 2pi3 +kpi
1.7 Phương trình bậc 2 đối với hàm
số lượng giác
• asin2x+bsinx+ c= 0, đặt t= sinx, điều kiện |t| ≤ 1
• acos2x+bcosx+ c= 0, đặt t= cosx, điều kiện |t| ≤ 1
• atan2x+b tanx+ c= 0, đặt t= tanx, điều kiện
x 6= pi2 +kpi (k ∈ Z)
• acot2x+bcotx+ c= 0, đặt t= cotx, điều kiện
x 6= kpi (k ∈ Z)
• Nếu đặt : t = sin2x hoặc t = |sinx| , thì điều kiện là
0≤ t≤ 1.
1.7.1 Giải các phương trình sau :
1. sin2x−sinx= 0
2. sin22x+sin2x−2= 0
3. 2sin2x+5sinx+1= 0
4. 3cos2x−5cosx+2= 0
5. 2sin2x+3sinx−2= 0
6. sin2x+2 |sinx|−3= 0
7. 2tan2x−3tanx+1= 0
8. cot22x–4cot2x+3= 0
9. 2sin2
x
2
+p2sin x
2
−2= 0
10. 4sin2x−2(p3+1)sinx+p3= 0
11. 3tan2x−2p3tanx+3= 0
12. tan2x+ (1−p3)tanx−p3= 0
1.7.2 Giải các phương trình sau :
1. 4sin2x – 4cosx – 1 = 0
2. cos2x−3sin2x= 0
3. 6cos2x+5sinx−2= 0
4. 8cos2x+2sinx−7= 0
5. sin2
x
6
−2cos x
6
+2= 0
6. 3sin2x+7cos2x−3= 0
7. −1
4
+sin2x= cos4x
8. 4sin23x+2(p3+1)cos3x−p3= 4
9. cos2x+cos2x+1= 0
10. cos2x+cosx+1= 0
11. cos2x+6sin2x−2= 0
12. cos2x+9cosx+5= 0
13. cos2x+3sinx−2= 0
14. 2cos2x+cos2x= 2
15. cos2x= 3sin2x+3
16. tanx−2cotx+1= 0
17. 2tanx−3cotx−2= 0
18.
p
3tanx−6cotx+2p3−3= 0
19. 3tanx+p3cotx−3−p3= 0
20. tan2x+cot2x= 2
21.
3
cosx
+ tan2x= 9
22. 9–13cosx+ 4
1+ tan2x = 0
23.
1
sin2x
= cotx+3
24.
1
cos2x
+3cot2x= 5
25. 4cos5x.sinx–4sin5x.cosx= sin24x
26. 4cos3x+3p2sin2x= 8cosx
27. 4cos(2–6x)+16cos2(1–3x)= 13
6
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.7.3 Giải các phương trình sau :
1. 4cos2(2–6x)+16cos2(1–3x)= 13
2. cos2x–3cosx= 4cos2 x
2
3. 2cos22x+3sin2x= 2
4. 2−cos2x= sin4x
5. 4sin4x+12cos2x= 7
6. (tanx+cotx)2− (tanx+cotx)= 2
7. sin22x+4sinxcosx+1= 0
8. cos22x+4sinxcosx+1= 0
9. sin22x+sinxcosx− 3
2
= 0
10. 2cos2x−sin2x−4cosx+2= 0
11. 9sin2x−5cos2x−5sinx+4= 0
12. cos2x+sin2x+2cosx+1= 0
1.7.4 Tìm m để phương trình :
1. cos2x+ (1−m)cosx+2m−6= 0 có nghiệm.
2. 4cos22x−4cos2x−3−3m= 0 có nghiệm.
3. (m−1)tan2x− (m−3)tanx−m−3= 0 có nghiệm.
4. cos2x−2mcosx+6m−9= 0 có nghiệm x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
.
5. 2cos2x− (2+m)cosx+m= 0 có nghiệm x ∈
[
0,
pi
2
]
.
6. cos2x+(m−4)cosx−2m−4= 0 có nghiệm x ∈
[−pi
3
,2pi
]
.
1.8 Phương trình bậc nhất theo sin
và cos
Dạng asinx+bcosx= c, điều kiện có nghiệm a2+b2 ≥ c2
1.8.1 Giải các phương trình sau
1. cosx+2sinx= 6
2. cosx+p3sinx=p2
3. sinx+cosx=
p
6
2
4.
p
3cos3x+sin3x=p2
5. 2cosx−sinx= 2
6. cosx−p3sinx=p2
7. 2sinx+2cosx−p2= 0
8. 3sinx−4cosx= 5
9. 5cos2x+12sin2x+13= 0
10. 3sin6x−4cos6x= 5
11. 3sinx–2cosx= 2
12. 3sinx+2cosx= 2
1.8.2 Giải các phương trình sau:
1.
p
3sin2x+sin
(pi
2
+2x
)
= 1
2. cosx–
p
3sinx= 2cos
(pi
3
− x
)
3.
p
3cos2x+sin2x+2sin
(
2x− pi
6
)
= 2p2
4. 4sin2x−cos2x−1= 0
5. 5sin2x−6cos2x= 13
6. −2sin2x+cos2x+1= 0
7. 2sin2x+p3sin2x= 3
1.8.3 Giải các phương trình sau:
1. (3cosx–4sinx–6)2+2= –3(3cosx–4sinx–6)
2. 12cosx+5sinx+ 5
12cosx+5sinx+14 +8= 0
3. Tìm m để phương trình : (m+2)sinx+mcosx= 2 có
nghiệm.
4. Tìm m để phương trình :
(2m–1)sinx+ (m–1)cosx=m–3 vô nghiệm.
1.8.4 Giải các phương trình sau:
1. cosx+p3sinx= 2cos2x
2. sinx+3cosx= 2sin6x
3. 2sin2x+3cos2x=p13sin14x
4. sinx=p2sin5x−cosx
5. sin3x+p3cos3x= cosx−p3sinx
6. 3sin4x+4cos3x= 4sin5x−3sin5x
1.8.5 Tìm x để phương trình
1.
(
cosx+3sinx−p3) y2+(p3cosx−3sinx−2) y+sinx−
cosx+p3= 0 có nghiệm y= 1
2.
(
2sinx−cos2x+1) y2 − (p3sinx) y + 2cos2x −(
3−p3sinx)= 0 có nghiệm y=p3
7
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.8.6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
các hàm số sau :
1. y= sinx+cosx
2. y=p3sin2x−cos2x
3. y= sinx+p3cosx+3
4. y= (2−p3)sin2x+cos2x
5. y= (sinx−cosx)2+2cos2x+3sinx.cosx
6. y= (sinx−2cosx) (2sinx+cosx)−1
7. y= sinx
5+cosx
8. y= sinx+cosx−1
sinx−cosx+3
9. y= cosx+2sinx+3
2cosx−sinx+4
1.9 Phương trình đẳng cấp bậc 2
1.9.1 Giải các phương trình sau:
1. 3sin2x+8sinx.cosx+4cos2x= 0
2. 2cos2x–3sinx.cosx+sin2x= 0
3. 3sin2x+8sinx.cosx+ (8p3−9)cos2x= 0
4.
(p
3+1)sin2x−2p3sinx.cosx+ (p3−1)cos2x= 0
5. 2sin2x−5sinxcosx−cos2x= 2
6. 3sin2x−4sinxcosx+5cos2x= 2
7. cos2x+2sinxcosx+5sin2x= 2
8. 4sin2x+3p3sinx.cosx−2cos2x= 4
9. 5sin2x+2p3sinx.cosx+3cos2x= 5
10. 5sin2x+2p3sinx.cosx+3cos2x= 2
11. 2sin2x+ (1−p3)sinx.cosx+ (1−p3)cos2x= 1
12.
(p
2−1)sin2x+sin2x+ (p2+1)cos2x=p2
13. 3sin2x−sin2x−cos2x= 0
14. 3cos2x−2sin2x+sin2x= 1
15. sin2x+sin2x−2cos2x= 1
2
16. 3sin22x−sin2x.cos2x−4cos22x= 2
17. 2sin22x−3sin2x.cos2x+cos22x= 2
18. sin2x−2sin2x= 2cos2x
19. 4sin2x+3p3sinx.cosx−2cos2x= 4
1.9.2 Giải các phương trình sau:
1. sin3x+2sinx.cos2x3cos3x= 0
2.
p
3sinx.cosx−sin2x=
p
2−1
2
3. sin3x−5sin2x.cosx−3sinx.cos2x+3cos3x= 0
4. 3cos4x−4sin2xcos2x+sin4x= 0
1.9.3 Tìm m để phương trình:
1. (m+1)sin2x+sin2x+2cos2x= 1 có nghiệm.
2. msin2x+2sin2x+3mcos2x= 2 có nghiệm.
3. msin2x+2msinxcosx+ (m+5)cos2x= 1 có nghiệm.
1.9.4 Tìm m để phương trình :
(3m–2)sin2x–(5m–2)sin2x+3(2m+1)cos2x= 0
vô nghiệm .
1.10 Phương trình đối xứng
• Dạng: a.(sinx±cosx)+b.sinx.cosx+ c= 0
• Đặt: t= cosx±sinx=p2.cos
(
x∓ pi
4
)
, |t| ≤p2
⇒ t2 = 1±2sinx.cosx⇒ sinx.cosx=±1
2
(t2−1).
• Lưu ý:
◦cosx+sinx=p2cos
(
x− pi
4
)
=p2sin
(
x+ pi
4
)
◦cosx−sinx=p2cos
(
x+ pi
4
)
=−p2sin
(
x− pi
4
)
1.10.1 Giải các phương trình
1. sinx+cosx–4sinx.cosx–1= 0
2. 5sin2x–12(sinx–cosx)+12=
3. cosx–sinx+3sin2x–1= 0
4. 2(cosx−sinx)+3sin2x= 2
5. 2(sinx+cosx)+3sin2x= 2
6. 3(sinx−cosx)+2sin2x=−3
7. sin2x−4(cosx−sinx)= 4
8. 2sin2x−3p3(sinx+cosx)+8= 0
9.
(
1−p2) (1+sinx+cosx)= sin2x
10. sin2x+p2sin
(
x− pi
4
)
= 1
11. cos2x−p3sin2x= 1+sin2x
8
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.10.2 Giải các phương trình:
1. (sinx−cosx)2− (p2+1) (sinx−cosx)+p2= 0
2. sin3x+cos3x= 1+ (p2−2)sinx.cosx
3. 2sin2x–3
p
6 |sinx+cosx|+8= 0
1.11 Phương trình dạng khác
1.11.1 Giải các phương trình sau:
1. 5cosx−2sin2x= 0
2. 2sin2x+p2sin4x= 0
3. sin2x−2cosx= 0
4. tan2x−2tanx= 0
5. sin4x+cos4x= 1
2
sin2x
6.
sin22x−2
sin22x−4cos2x = tan2x
7. 2tanx+cotx= 2sin2x+ 1
sin2x
8. sin2 x= sin23x
9. sin2 x+sin22x+sin23x= 3
2
10. cos2 x+cos22x+cos23x= 1
11. cos4x+2sin6x= cos2x
12. sin24x−cos26x= sin
(
10x+ 21pi
2
)
13. sin23x+sin24x= sin25x+sin26x
14. sin22x+sin24x= sin26x
15. cos2 x+cos22x+cos23x+cos24x= 2
16. cosxcos2x= 1+sinxsin2x
17. sinx+sin2 x
2
= 0,5
18. 6sin23x+cos12x= 14
1.11.2 Giải các phương trình sau:
1. sin6 x+cos6 x= 1
4
2. sin6x+cos6x= 4cos22x
3. sin6x+cos6x+ 1
2
sin4x= 0
4. sin8 x+cos8 x= 1
8
5. sin3 x+cos3 x= cos2x
6. sin4x+cos4x−2sin2x+ 3
2
= 0
7. sin3x−cos3x= 1+sinxcosx
8. sin8x+cos8x+ 1
8
cos4x= 0
1.11.3 Giải các phương trình sau:
1. 1+2sinx.cosx= sinx+2cosx
2. sinx(sinx–cosx)–1= 0
3. sin2x= 1+p2cosx+cos2x
4. 2sinx.cos2x+1+2cos2x+sinx= 0
5. sin7x+cos22x= sin22x+sinx
6. 1+sin2x+2cos3x(sinx+cosx)= 2sinx+2cos3x+cos2x
7. (1+cosx) (cos2x+2cosx)+2sin2x= 0
8. 9sinx+6cosx−3sin2x+ cox2x= 8
9. 2cos2x+sin2xcosx+cos2xsinx= 2(cosx+sinx)
10. sin2xtanx+cos2xcotx−sin2x= 1+ tanx+cotx
11. sin3xcosx−cos3xsinx=
p
2
8
12. 8cos4x−4cos2x+sin4x−4= 0
1.11.4 Giải các phương trình sau :
1. sinx+sin3x+sin5x= 0
2. sinx+2sin3x=−sin5x
3. cos7x+sin8x= cos3x–sin2x
4. cos2x–cos8x+cos6x= 1
5. sinx+sin2x+ sin3x= 0
6. cos3x−cos4x+cos5x= 0
7. sin7x−sin3x= cos5x
8. sin2x+sin4x= sin6x
9. sinx+sin2x= cosx+cos2x
10. cos2x−sin2x= sin3x+cos4x
11. cos2x−cosx= 2sin2x3x
2
12. sinx+sin2x+sin3x= cosx+cos2x+cos3x
9
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.11.5 Giải các phương trình sau:
1. sinx.sin7x= sin3x.sin5x
2. sin5x.cos3x= sin9x.cos7x
3. cosxcos3x–sin2xsin6x–sin4xsin6x= 0
4. 8sinxcosxcos2x=−1
5. 8sin2xcos2xcos4x= 2
6. 4sinxcosxcos2x=−1
7. sinxsin2xsin3x= 1
4
sin4x
8. cos5xcosx= cos4x
9. cosxcos5x= cos2xcos4x
10. cos5xcos4x= cos3xcos2x
1.11.6 Dùng công thức hạ bậc giải các
phương trình :
1. sin24x+sin23x= sin22x+sin2x
2. cos2x+cos22x+cos23x+cos24x= 2
1.11.7 Giải các phương trình sau:
1.
1−cos2x
cosx
= sin2x
1+cos2x
2.
1
cosx
+ 1
sinx
= 2
sin2x
3.
1
cos2x
+ 1
sin2x
= 2
sin4x
4. sinx− 1
sinx
= sin2x− 1
sin2x
5.
1
sin4x
= cot2x+3
6.
√
sin2x−2sinx+2= 2sinx−1
7.
cosx
(
2sinx+3p2)−2cos2x−1
1+sin2x = 1
8.
sin22x−2
sin22x−4cos2x = tan
2x
9.
1
cosx
+cosx+ 1
sinx
+sinx= 10
3
10.
1
cosx
+ 1
sinx
+ 1
sinxcosx
= 1
11. sinx+cosx= cos2x
1−sin2x
12. 4sinx+3cosx= 4(1+ tanx)− 1
cosx
13. tan(2x+1).tan(3x−1)= 1
14. tanx+ tan
(
x+ pi
4
)
= 1
15. cotx−cot2x= tanx+1
16. cosx. tan5x= sin5x
17. 2tan2x+3tanx+2cot2x+3cotx+2= 0
18. |sinx+cosx| = 1−sin2x
19. |sinx+cosx|+ |sinx−cosx| = 2
20. 3sin2x+5cos2x−2cos2x−4sin2x= 0
21. 3sin2x+2cos2x+2(p3+1)cos2x= 4+p3
1.11.8 Chứng minh rằng các phương trình
sau vô nghiệm :
1. sinx−2cosx= 3
2. 5sin2x+ sinx+ cosx+ 6 = 0 Hướng dẫn : b) đặt t =
sinx+cosx
1.11.9 Giải các phương trình sau :
1. cos3x+cos
(
2x− pi
4
)
= 2
2. sinx+cos2x= 2
3. sin2009x+cos2010x= 1
4. sin10x+cos10x= 1
5. sin10x−cos10x=−1
6. 2sin2
x
3
= x2−2x+3 2sin2 x
3
=−x2+2x−2
1.12 Ôn tập
1.12.1 Tìm tập xác định của hàm số :
1. y= 2−cosx
1+ tan
(
x− pi
3
)
2. y= tanx+cotx
1−sin2x
1.12.2 Xác định tính chẵn, lẻ các hàm số sau
:
1. y= sin3x− tanx
2. y= cosx+cot
2x
sinx
10
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.12.3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
các hàm số sau :
1. y= 3−4sinx
2. y= 3sin
(
x− pi
6
)
−2
3. y= 2−pcosx
4. y=p2(1+cosx)+1
1.12.4 Giải các phương trình sau :
1. sin(x+1)= 2
3
2. sin22x= 1
2
3. 2cos2x−3cosx+1= 0
4. 25sin2x+15sin2x+9cos2x= 25
5. 2sinx+cosx= 1
6. sinx+cotx= 0
7. sin2x−cos2x= cos4x
8. cos3x−cos5x= sinx
9. 3sin2x+4cosx−2= 0
10. sin2x+sin22x= sin23x
11. 2tanx+3cotx= 4
12. 2cos2x−3sin2x+sin2x= 1
13. 2sin2x+sinxcosx−cos2x= 3
14. 3sinx−4cosx= 1
15. 4sin3x+sin5x−2sinxcos2x= 0
16. 2tan2x−3tanx+2cot2x+3cotx−3= 0
1.12.5 Giải các phương trình sau :
1. 2cos2x−sin2x−4cosx+2= 0
2. 9sin2x−5cos2x−5sinx+4= 0
3. cos2x+sin2x+2cosx+1= 0
4. 3cos2x+2(1+p2+sinx)sinx−3−p2= 0
5.
p
3sin2x+cos2x=p2
6. 2(2sinx+cosx)cosx= 3+cosx
7. cos2x−3sin2x= 1+sin2x
8. 4
p
3sinxcosx+4cos2x−2sin2x= 5
2
9. sin
(pi
2
+2x
)
cot3x+sin(pi+2x)−p2cos5x= 0
10. tan2x+cos4x= 0
11. 9sinx+6cosx−3sin2x+cos2x= 8
12. sin4
(
x+ pi
4
)
= 1
4
+cos2x−cos4x
13. (2sinx+1)(3cos4x+2sinx−4)+4cos2x= 3
14.
p
2sin3
(
x+ pi
4
)
= 2sinx
15. 2sinx+cotx= 2sin2x+1
16. tan2x
(
1−sin3x)+cos3x−1= 0
17. 1+cot2x= 1−cos2x
sin22x
18. 6sinx−2cos3x= 5sin4xcosx
2cos2x
11
Chương 2
Phương trình lượng giác - Đề thi ĐH
2.1. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2pi) của
phương trình:
5
(
sinx+ cos3x+sin3x
1+2sin2x
)
= cos2x+3
HD: Điều kiện:
{
x 6= − pi12 +mpi
x 6= 7pi12 +npi
5cosx= 2cos2x+3 ⇔ cosx= 12 ⇔
[
x= pi3
x= 5pi3
.
2.2. (ĐH 2002B) Giải phương trình:
sin23x−cos24x= sin25x−cos26x
HD cosx.sin9x.sin2x= 0⇔ ⇔
[
x= kpi9
x= kpi2
.
2.3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng
phương trình:
cos3x−4cos2x+3cosx−4= 0
HD: 4cos2x(cosx−2)= 0⇔ cosx= 0
⇔ x= pi2 ;x= 3pi2 ;x= 5pi2 ;x= 7pi2 .
2.4. (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình:
2sinx+cosx+1
sinx−2cosx+3 = a (a là tham số)
a) Giải phương trình khi a= 13 .
b) Tìm a để phương trình có nghiệm.
HD: 1) x=−pi4 +kpi
2) −12 ≤ a≤ 2 (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx)
2.5. (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình :
tanx+cosx−cos2x= sinx
(
1+ tanx. tan x
2
)
HD: x= k2pi. Chú ý: Điều kiện:
{
cosx 6= 0
cosx 6= −1 và
1+ tanx. tan x2 = 1cosx .
2.6. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình :
tan4x+1=
(
2−sin22x)sin3x
cos4x
HD: Điều kiện: cosx 6= 0. sin3x= 12
⇔ x= pi18 +k 2pi3 ; x= 5pi18 +k 2pi3 .
2.7. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình :
sin4x+cos4x
5sin2x
= 1
2
cot2x− 1
8sin2x
. HD: Điều kiện: sin2x 6= 0.
PT ⇔ cos22x−5cos2x+ 94 = 0⇔ x=±pi6 +kpi.
2.8. (ĐH 2002D–db1