Phương pháp tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 
CÔNG THỨC 
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp 
dx x C  du u C  
 
1
x
x dx C 1
1

    
 
  
1
u
u du C 1
1

    
 
 
x
x
a
a dx C 0 a 1
lna
     
u
u
a
a dx C 0 a 1
lna
    
 
dx
ln x C x 0
x
    
du
ln u C u 0
u
   
x x
e dx e C  
u u
e du e C  
cosxdx sinx C  cosudu sinu C  
sinxdx cosx C   sinudu cosu C   
coskx
sin kxdx C
k
   
sin kx
coskxdx C
k
  
2
1
dx cot x C
sin x
   2
1
du tanu C
cos u
  
2
1
dx tanx C
cos x
  2
1
du cot u C
sin u
   
Caùc phöông phaùp tính nguyeân haøm 
a.Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn sè:    f u(x) u '(x)dx F u(x) C  
b.Ph-¬ng ph¸p tích phaân töøng phaàn: udv u.v vdu   
   
1
d ax b ax b C
a
    
kx
kx ee dx C
k
  
 
1
1
dx , 1
1
ax b
ax b c
a





 
     
 
    
1
cos dx sinax b ax b
a
    c 
dx 1
ln ax b c
ax b a
  

  c    
1
sin dx cosax b ax b c
a

    
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 
1
dxax b ax be e c
a
      
1
tg dx ln cosax b ax b c
a
     
1
dx
ln
px q px qa a c
p a
      
1
cotg dx ln sinax b ax b c
a
    
2 2
dx 1
arctg
x
c
a aa x
 

  
 
2
dx 1
cotg
sin
ax b c
aax b

  

 
2 2
dx 1
ln
2
a x
c
a a xa x

 

  
 
2
dx 1
tg
cos
ax b c
aax b
  

 
 2 2
2 2
dx
ln x x a c
x a
   

 2 2arcsin dx arcsin
x x
x a x c
a a
    
2 2
dx
arcsin
x
c
aa x
 

 2 2arccos dx arccos
x x
x a x c
a a
    
2 2
dx 1
arccos
x
c
a ax x a
 

  2 2arctg dx arctg ln
2
x x a
x a x c
a a
    
2 2
2 2
dx 1
ln
a x a
c
a xx x a
 
  

  
2 2arccotg dx arccotg ln
2
x x a
x a x c
a a
    
   ln dx ln
b
ax b x ax b x c
a
 
      
 
  
dx 1
ln tg
sin 2
ax b
c
ax b a

 

2 2 2
2 2 dx arcsin
2 2
x a x a x
a x c
a

     
dx 1
ln tg
sin 2
ax b
c
ax b a

 

 
2 2
sin cos
sin dx
ax
ax e a bx b bxe bx c
a b

 

 
 
2 2
cos sin
cos dx
ax
ax e a bx b bxe bx c
a b

 

 
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích 
phân bất định . Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa 
trên định lý sau : 
a/ Nếu : ( ) ( )f x F x C  và với u= (x) là hàm số có đạo hàm thì : 
( ) ( )f u du F u C  
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x=  t . Trong đó  t cùng với đạo hàm của nó 
(  ' t là những hàm số liên tục ) thì ta được : 
   ( ) ' ( ) ( )f x dx f t t dt g t dt G t C         . 
Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến số như sau : 
Bài toán 1: 
Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân bất định : 
( )I f x dx  
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau : 
 Bước 1: chọn x=  t , trong đó  t là hàm số mà ta chọn thích hợp . 
 Bước 2: lấy vi phân hai vế :  'dx t dt 
 Bước 3 : Biến đổi :      ( ) 'f x dx f t t dt g t dt     
 Bước 4: Khi đó tính : ( ) ( ) ( )f x dx g t dt G t C    . 
* Lưu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là : 
Dấu hiệu Cách chọn 
2 2a x sin
2 2
ost 0 t
x a t t
x a c
 


    

   
2 2x a 
 
;
sin 2 2
0; \
ost 2
a
x t
t
a
x t
c
 


  
     
 
  
    
 
2 2a x 
 
tan ;
2 2
cot 0;
x a t t
x a t t
 

  
    
 
   
a x a x
a x a x
 

 
x=a.cos2t 
  x a b x  x=a+  
2sinb a t 
Ví dụ 1. Tính tích phân bất định 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4 
 a/ 
 
3
21
dx
x
 b/ 2 2 3
dx
x x 
 
Giải 
a/ Đặt : x=sint ; t ; ostdt
2 2
dx c
  
    
 
Suy ra : 
   
 3 23 3
2 2
ostdt ostdt
tan
cos os
1 1-sin
dx c c dt
d t
t c t
x t
   

. 
Khi đó : 
 
 
3 2 2
2
sin
tan tan
1 sin 11
dx t x
d t t C C
t xx
     
 
  
b/ Vì :    
222 2 3 1 2x x x     , nên 
Đặt : 
2
1
1 2 tan ; ; 2. ; tan
2 2 os 2
dt x
x t t dx t
c t
   
       
 
Suy ra : 
     
22 2 2 22
1 ostdt
.
1-sin2 ost 22 3 2 tan 1 . os1 2
dx dx dt dt c
tcx x t c tx
   
   
1 ostdt ostdt
.
sint-1 sint+12 2
c c 
   
 
. 
Khi đó : 
2
1 ostdt ostdt 1 sin 1
ln
sint-1 sint+1 sin 12 2 2 22 3
dx c c t
C
tx x
 
     
  
  (*) 
Từ : 
 
22
2 2
2 2
11 sin 2
tan tan sin 1
1 sin 2 2 32
xx t
t t t
t x x

      
  
. Ta tìm được sint , 
thay vào (*) ta tính được I . 
Ví dụ 2: Tính tích phân bất định : 
2
2 1
x dx
I
x


 . 
Giải 
Vì điều kiện : 1x  , nên ta xét hai trường hợp : 
 Với x>1 
Đặt 
2
1 2cos 2
; 0;
sin 2 4 sin 2
tdt
x t dx
t t
 
     
 
. 
Do đó : 
 2 22
2 3 3 32
2
2
2 sin os1 2cos 2 2
sin 2 sin 2 8sin cos11
sin 2 . 1
sin 2
t c t dtx dx tdt dt
t t t tx
t
t
 
      
 

 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5 
=
2 2 2
1 1 1 2 1
cot . tan . .
4 sin os tan os
t t dt
t c t t c t
 
   
 
Vậy : 
2 21 2 1 1 1cot . (cot ) tan . (tan ) . (tan ) cot tan 2ln tan
4 tan 4 2 2
I I t d t t d t d t t t t C
t
   
              
   

2 21 11 ln 1
2 2
x x x x C      
 Với x<1 . Đề nghị học sinh tự làm . 
* Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn : 
Ta có : 
 
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
x x x dx dx
x I x dx J K
x x x x x
 
          
    
   
Với : J  
2
2 2 2
2
1 1 1
1
x
x dx x x dx x x I a
x
       

  
Tích phân : 2 2 2
2
ln 1 1 ln 1
1
dx
K x x I x x I x x
x
          


2 2 2 21 12 1 ln 1 1 ln 1
2 2
I x x x x I x x x x C             
Ví dụ 3. Tính tích phân bất định : 
 
3
21
dx
I
x


 
Giải 
Đặt : 
2
tan ; ;
2 2 os
dt
x t t dx
c t
  
     
 
Suy ra : 
   
23 3
2 2
1
. ostdt
os
1 1 tan
dx dt
c
c t
x t
 
 
 . 
Khi đó : 
 
3 2
2
ostdt sin
11
dx x
I c t C C
xx
     

  
Chú ý : 
1. Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì : 
2 2
2
2
1
ost= ;sin
1+x 1
; ost>0 cos ost;sint=tant.cost=
2 2 1
x
c t
x
x
t c t c
x
 




          
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6 
2. Phương pháp trên áp dụng để giải bài toán tổng quát : 
 
 
2 1
2 2
k
dx
k Z
a x



 . 
Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 để tính tích phân : 
( )I f x dx  . 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG. 
Ta thực hiện theo các bước sau : 
 Bước 1: Chọn t=  x . Trong đó  x là hàm số mà ta chọn thích hợp . 
 Bước 2: Tính vi phân hai vế :  'dt t dt . 
 Bước 3: Biểu thị :    ( ) ' ( )f x dx f t t dt g t dt     . 
 Bước 4: Khi đó : ( ) ( ) ( )I f x dx g t dt G t C     
* Chú ý : Ta có một số dấu hiệu để đổi biến thường gặp : 
Dấu hiệu Cách chọn 
Hàm số mẫu số có t là mẫu số 
Hàm số :   ;f x x t=  x 
Hàm  
.s inx+b.cosx
.s inx+d.cosx+e
a
f x
c
 
x
tan ; os 0
2 2
x
t c
 
  
 
Hàm  
  
1
f x
x a x b

 
  Với : x+a>0 và x+b>0 : Đặt : 
t x a x b    
 Với x+a<0 và x+b<0 , 
đặt : t x a x b     
Ví dụ 4. Tính tích phân bất định sau :  
8
2 22 3I x x dx  
Giải 
Đặt :    
8
2 2 2 8 8 9
2
6
2 1
2 3 2 3 22
3 3
3
dt xdx
t
t x x x t t tt
x
 
  
         
  
. 
Vậy : 
       
8 9 10
2 2 8 9 9 10 2 21 2 1 2 12 3 2 2 3 2 3
3 27 30 27 30
I x x dx t dt t dt t t C x x C              
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7 
Ví dụ 5 : Tính tích phân bất định : 
3
1
x dx
x
 
Giải 
Đặt : t=
   
 
3
22 2
2 4 6
1 21
1 2 1 2 3
2 1
t tdtx t x dx
x t t t dt
tdx tdt x
   
        
  
. 
Vậy :  
3
2 4 6 3 5 74 6 22 4 6 2 2
3 5 71
x dx
t t t dt t t t t C
x
          

  
     
2 34 6 2
2 1 1 1 1 1 1 1
3 5 7
x x x x x x x C             
Ví dụ 6: Tính tích phân bất định :  
2
5 23 1 2x x dx 
Giải 
Đặt : t=    
3
2 3 2 2 23
1 3
1 2 1 2 2
2 2
t
x t x x xdx t dt

         
Do đó :    
3
2
5 2 2 2 7 43
1 3 3
1 2 .
2 4 8
t
x x dx t t dt t t dt
  
     
 
Vậy :      
2
5 2 7 4 8 5 6 3 23
3 3 1 1 3
1 2 5 8
8 8 8 5 320
x x dx t t dt t t t t t C
 
        
 
  
=      
2 2
2 2 23
3
5 1 2 8 1 2 1 2
320
x x x C     
  
Ví dụ 7: Tính tích phân bất định : 3sin osxI x c dx  . 
Giải 
Đặt : t= 2osx osx 2tdt=-sinxdxc t c   . 
Do đó :      3 2 4 6 2sin osx 1 os osx sinxdx= t 1 2 2x c dx c x c t tdt t t dt     . 
Vậy :  3 6 2 7 3 3
2 2 2 1
sin osx 2 os osx osx osx+C
7 3 7 2
I x c dx t t dt t t C c x c c c         
Ví dụ 8: Tính tích phân bất định : 
3
2
osx.sin
1 sin
c x
I dx
x


Giải 
Đặt : 
2
2 sin 11 sin
2sin cos
x t
t x
x xdx dt
  
   

 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8 
Suy ra : 
 3 2
2 2
1osx.sin 1 sin .2sin . osx.dx 1 1 1
1
1 sin 2 1 sin 2 2
t dtc x x x c
dx dt
x x t t
  
    
   
. 
Vậy :    
3
2 2
2
osx.sin 1 1 1 1
1 ln 1 sin ln 1 sin
1 sin 2 2 2
c x
I dx dt t t C x x C
x t
                  
  
Ví dụ 9: Tính tích phân bất định : 
2
8
os
sin
c x
I dx
x
  
Giải 
Vì : 
     
2
2 2 2 2 2 22
8 8 8
os os sin 1 sin 1 sin sinos
sin sin sin
c x c x x x x xc x
x x x
   
   
Đặt : t = 
2
2 2
2
1
sin
cot
1
1 cot 1
sin
dt dx
x
x
x t
x

 
 
    

Suy ra :    
2
2 2
2 2 2 2 2
8 6 2
os 1 1
cot cot 1 cot . 1
sin sin sin
c x
dx x dx x x dx t t dt
x x x
   
        
   
Vậy :  
2
2 4 6 3 5 7
8
os 1 2 1
2
sin 3 5 7
c x
I dx t t t dt t t t C
x
 
          
 
  . Thay : t= cotx 
vào . 
Ví dụ 10 : Tính tích phân bất định :  
2
0
dx
I a
x a
 

 
Giải 
Đặt : 
 2
2
2 2 2 2
1
x x a dxx tdx dt dx
t x x a dt dx
tx a x a x a x a
 
         
   
Vậy : 2
2
ln ln
dx dt
I t C x x a C
tx a
       

  
Ví dụ 11: Tính tích phân bất định : 
  1 2
dx
I
x x

 
 
Giải 
a. xét hai trường hợp : 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9 
 Với : 
1 0
1.
2 0
x
x
x
 
  
 
 Đặt : 1 2t x x     
Suy ra : 
     
1 1 1 1 2
2 21 2 1 2 1 2
tdx dt dx
dt dx
tx x x x x x
 
     
      
Vậy : 
  
2 2ln 2ln 1 2
1 2
dx dt
I t C x x C
tx x
        
 
  
 Với : 
1 0
2.
2 0
x
x
x
 
  
 
 Đặt t =    1 2x x     
Suy ra : 
         
1 1 1 1 2
2 21 2 1 2 1 2
tdx dt dx
dt dx
tx x x x x x
 
        
        
Vậy : 
  
2 2ln 2ln 1 2
1 2
dx dt
I t C x x C
tx x
           
 
  
BÀI TẬP CHO HAI PHƯƠNG PHÁP : PHÂN TÍCH VÀ ĐỔI BIẾN SỐ 
Bài 1 : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau 
 a/  
92 1x x dx b/ 
3 2
2
2 6 9 9
3 2
x x x
dx
x x
  
 
 c/ 
 
2
3
3 1
x
dx
x 
 d/ 
 
2
3
2
x x
dx
x


 
Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 a/ 
2
2
1
x
dx
x x 
 b/ 
2
4
1
1
x
dx
x


 c/ 
5
3
os
s inx
c x
dx d/ 3
s inx+cosx
sinx-cosx
dx 
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 a/ 
4sin
dx
x
 b/ 
1
s inx.sin x+
6
dx
 
 
 
 
 c/ 
1
sinxcos x+
4
dx
 
 
 
 d/ 
1
os x- os
6 3
dx
c c x
    
   
   
 
Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 a/ 2 4sin cosx xdx b/ 
2 3sin cosx xdx 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 
 c/ 4 5sin cosx xdx d/ 
4tan xdx 
Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 a/ 
3s inxcos
dx
x
 b/ 
4sin cos
dx
x x
 c/ 
3
2
sin
1 os
x
dx
c x
 d/ 
 
3
2
8 4
x dx
x 
 
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 a/. 
4 23 2
xdx
x x 
 b/ 
 
2
10 1
dx
x x 
 
c/ 
5
6 3 2
x dx
x x 
 d/ 
 
2
2 5
3 2 1
x
dx
x x

 
Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 a/ 
sin 2 sinx
1 3cos
x
dx
x


 b/ 
1 3ln lnx x
dx
x

 
 c/ 
2 2
sin 2
os 4sin
x
dx
c x x
 d/ 
1 sin 2 cos 2
cos sin
x x
dx
x x
 

Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 a/ 
2 2
sin 2
sin 2cos
x
dx
x x
 b/ 
4 4sin cos
sin cos 1
x x
dx
x x

 
 c/ 
sinx+7cosx+6
4sin 5cos 5
dx
x x 
 d/ 
3 3
3
sin s inx
sin tan
x
dx
x x

 
Bài 9: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
 a/ 
1
1 sinx+cosx
dx

 b/ 
2 2 2 2
s inxcosx
os sin
dx
a c x b x
 
 c/ 
osx+sinxcosx
2 sinx
c
dx

 d/ 
2
s inxdx
cosx sin 1x 
 
LUYỆN TẬP TẠI LỚP 
Tìm nguyên hàm các hàm số sau : 
1. 
1
0
2x 9
dx
x 3


 2. 
1
2
0
3
dx
x 4x 5 
 3. 
2
2
1
5
dx
x 6x 9 
 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 
4. 
4
2
1
1
dx
x (x 1)
 5. 
1
2
0
x 3
dx
(x 1)(x 3x 2)

  
 
6. 
1
4 2
0
1
dx
(x 4x 3) 
 7. 
21
0
x 3x 2
dx
x 3
 

 
 9. 
21
2
0
x
dx
4 x
 10. 
1
2
0
x
dx
4 x
 
11. 
1
2
2
0
4x 1
dx
x 3x 2

 
 12. 
32
2
1
3x
dx
x 2x 1 
 
13 . 
1
3 2
0
4x 1
dx
x 2x x 2

  
 14. dx
x
xxx
I  


2
0
2
23
4
942
 15. 
 1
2
0
x x 1
dx
x 4


 16. 
1 2
2
0
x 3x 10
dx
x 2x 9
 
 
 
 17. 
2
1
dx
x 1



1 4
0
x
 18. 
2 2
2
1
x
dx
x 7x 12 
 
 19.f(x)= 
4
6
x 1
dx
x 1


 20. 
1 2
4
1/ 2
1 x
dx
1 x


