Phân loại bài Toán: Đường - Điểm trong mặt phẳng

PHÂN LOẠI BÀI TOÁN : ĐƯỜNG -ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đối tượng đã ngiên cứu là : Điểm - tam giác , hình bình hành - hình vuông , hình chữ nhật , hình thoi , hình thang và hình tròn .
Với đề thi đại học gần đây , Bộ ra đề tương đối tổng hợp . Các em cần phải nắm vững những kiến thức về các hình nói trên thì mới giải ngắn gọn được . 
Trong bài giảng này , tôi hệ thống theo các dạng : Tam giác - Hình vuông - Hình thoi - Hình chữ nhật . Mỗi một dạng tôi trình bày một số bài để các em tham khảo , một số bài hướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự để các em tự luyện .
I. VỀ TAM GIÁC 
A. VỀ KIẾN THỨC 
1. Về véc tơ : 
- Cần phải biết được khái niệm hai véc tơ bằng nhau : Tọa độ tương ứng bằng nhau 
- Cách viết tọa độ của một véc tơ : Tọa độ ngọn trừ cho tạo độ gốc 
- Hai véc tơ song song nhau : tỷ số hai tọa độ bằng nhau 
2. Về diện tích :
 Chủ yếu sử dụng hai công thức chính : 
3. Tính chất trọng tâm : 
Trọng tâm của tam giác chia các đường trung tuyến thành ba phần , cách đỉnh hai phần và cách đáy 1 phần .
4. Các khái niệm .
 Trực tâm - là giao ba đường cao . Trọng tâm - Giao ba đường trung tuyến . Tâm đường tròn ngoại tiếp - giao ba đường trung trực . Tâm đường tròn nội tiếp - Giao ba đường phan giác 
5. Tính chất đường phân giác : 
Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy 
6. Thuộc công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng d:
 ax+by+c=0 . 
7. Công thức tính cos của góc giữa hai đường thẳng có :
B.MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO 
Bài 1.(KB-2011-KPB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và d: 2x-y-2=0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng tại M thỏa mãn : OM.ON=8 
Gợi ý
+/ Nhận xét : hai đường thẳng này cắt nhau tại A(-2;-6) Gọi I là tâm đường tròn đi qua M,N có bán kính R . H là trung điểm MN 
+/ Nếu N thuộc d suy ra : . Do đó M thuộc 
+/ Đường thẳng (ON) cắt tại M thì O,M,N thẳng hàng : 
. Hay : 
y
O
d:x-y-4=0
N
M
x
-4
4
1
-2
(1)
+/ Theo giả thiết : 
Vậy có hai điểm N : và .
Bài 2.(KB-2011-PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các diểm D,E,F . Cho D(3;1) và đường thẳng EF có phương trình y-3=0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương 
A
B()
C
D(3;1)
E
F
y=1
y=3
H
d
Gợi ý .
+/ Nhận xét : B và D có tung độ bằng 1 suy ra (BC) nằm trên đường thẳng y=1 suy ra BD=. Do E và F thuộc đường thẳng y=a suy ra tọa độ chúng có dạng : E(a;3) và F(b;3) . Theo tính chất tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ đến đường tròn ta có :
BD=BE 
. Ta có đường thẳng d qua D(3;1) và A vuông góc với (BC) nên có dạng : x=3 H là trung điểm EF có tạo độ H(3;3) suy ra : . 
Ta lại có Đường thẳng qua A và vuông góc với BC tại D (3;1) : x = 3 
Do đó ta tọa độ A : 
Bài 3 (KD-2011-KPB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A có phương trình x-y-1=0 . Tìm tọa độ đỉnh A và C 
A
B(-4;1)
D
C
x-y-1=0
M
E
G(1;1)
Gợi ý
Gọi M là trung điểm của AC và E là điểm đối xứng với B qua phân giác (AD). Với G là trọng tâm (1)
+/ Ta có : M(x;y) suy ra (1) ta có hệ : 
+/ Gọi E(x;y) ( I là trung điểm của BE ). Với . Nếu E đối xứng với B qua (AD): x-y-1=0 thì :
+/ (AC) qua E(2;-5) có véc tơ chỉ phương 
+/ (AC) cắt d tại A : 
+/ C đối xứng với A qua M cho nên C :
Bài 4.(KA-2010) 
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng và . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với tại A và cắt tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương trình của (T) , biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương 
Gợi ý
Ta thấy . Do đó ta thấy . (T) tiếp xúc với tại A và tam giác ABC vuông tại B suy ra AC là đường kính , do vậy AC tại A .
y
x
A
B
C
O
Từ kết quả trên suy ra . Xét tam giác vuông OAB : và tam giác vuông OAC : .
Từ giả thiết : 
Hay : (1)
Do A thuộc . Từ (1):
. Vì A có hoành độ dương suy ra 
Và . Đường thẳng qua A vuông góc với (AC): 
(AC) cắt tại C : 
Tọa độ tâm I của (T) có tạo độ : và bán kính IA= Do đó (T) có phương trình là : 
Bài 5 . (KA-2010PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6) ; đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình : x+y-4=0 . Tìm tọa độ đỉnh B và C biết điểm E nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho .
A(6;6)
d:x+y-4=0
B
C
E(1;-3)
D
H
Gợi ý
+/ Đường thẳng (AD) qua A(6;6) và vuông góc với d suy ra H là giao của (AD) với d :
( Vì H là trung điểm của AD).
 Đường thẳng (BC) qua D(-2;-2) và song song với d : . Điểm B thuộc (BC) suy ra và điểm C(-4-t;t). Ta có : .
Vì E nằm trên đường cao kẻ từ C cho nên 
. 
Bài 6.(KD-2010-KPB)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7) ; trực tâm H(3;-1) và tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) . Xác định tạo độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương 
Gợi ý
A(3;-7)
H(3;-1)
I(-2;0)
B
C
M
* Cách 1.
Từ tọa độ A(3;-7) và H(3;-1) suy ra A,H nằm trên đường thẳng : x=3 và . Đường thẳng (BC) vuông góc với (AH) nên (BC): y=3 , do đó nếu gọi M là trung điểm của BC thì thì IM//AH suy ra M nằm trên đường thẳng x=-2 . Vậy M(-2;3) . Gọi C=( m;3 ) do C có hoành độ dương cho nên : m>0 .
B đối xứng với C qua M cho nên B=( -4-m;3). Ta có : 
(BH) là đường cao 
A
B
C
H
I
* Cách 2.
+/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA :
Với 
+/ Phương trình (AH) : x=3 và suy ra (BC) có dạng y=a ( ) ví (BC) không qua A . Do đó B,C thỏa mãn phương trình : (1).
Do vậu (1) có hai nghiệm khi 
Do C có hoành độ dương cho nên (1) : 
+/ Do 
. Do đó a=3 . Vậy 
Bài 7 (KD-2010-PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(0;2) và d là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Viết phương trình đường thẳng d , biết khoảng cách từ H đền trục hoành bằng AH 
Gọi ý
+/Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì H(a;b) hoctoancapba.com
+/ Ta có : (1)
+ Nhứng H nằm trên đường tròn (C) có đường kính OA , có tâm I (0;1) là trung điểm của OA và bán kính bằng =1. cho nên (C) có phương trình : từ đó suy ra : 
 (2). Với HK= và từ (1) và (2) ta có hệ :
y
x
O
H
K
d
A(0;2)
E
. Vậy có hai đường thẳng d:
 hoặc : 
Chú ý : Ta còn có cách giải khác 
+/ Xét tam giác vuông OAH ta có :
 (1) 
( do AH=HK )
+/ Xét tam giác vuông AEH : (2)
+/ Từ (1) và (2) 
Từ 
* Với : thay vào 
Suy ra : 
* Với : thay vào (vô nghiệm )
+/ Ta cũng có kết quả trên 
Bài 8. (KB=2010)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh C(-4;1) , phân giác trong góc A có phương trình x+y-5=0 . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương 
A
B
C(-4;1)
d:x+y-5=0
C'
H
Gợi ý
+/ Gọi C' là điểm đối xớng của C qua phân giác d thì C' phải nằm trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại A . .Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d : d' .
D' cắt d tại H thì tọa độ H là nghiệm của hệ :
C' đói xứng với C qua H suy ra C'=(4;9). Vì A nằm trên d suy ra A(t;5-t ). Do hoành đọ A dương cho nên t>0. . Ta có : 
Xét tam giác vuông cân AHC : ( vì t>0)
Với t=4 suy ra A(4;1). .
Đường thẳng (BC') qua A(4;1) có .
B thuộc (AC') suy ra B(4;1+t) . Và 
+/ Từ giả thiết : 
Do cùng hướng suy ra : với B(4;-5) thì . Hai véc tơ ngược hướng cho nên B(4;-5) loại . Vậy B(4;7) và phương trình (BC) qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương 
Chú ý . Bài này còn có cách giải khác 
+/ Tìm C' đối xứng với C qua d x+y-5=0 suy ra C'(x;y) thỏa mãn :
 . A thuộc đường tròn đường kính CC' nên tọa độ A(x;y) thỏa mãn : . Với x>0 suy ra A(4;1) 
+/ B thuộc đường thẳng (AC') : x=4 suy ra tọa độ B(4;m) thỏa mãn : 
Như phần trên kiểm tra chọn B(4;7) . Việc lập (BC) như trên .
Bài 9 (KB-2009-PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B,C thuộc đường thẳng d: x-y-4=0 . Xác định tọa độ các đỉnh B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 
Gợi ý
A(-1;4)
B
C
H
x-y-4=0
+/ Gọi d' là đường thẳng qua A(-1;4) và vuông góc với d thì d' có phương trình : . Đường thẳng d' cắt d tại H ( là trung điểm của BC- do tam giác ABC cân ) thì tọa độ của nó là nghiệm 
+/ Khoảng cách từ A đến BC d(A;BC)=d(A;d)=
+/ B,C thuộc d suy ra : B=(t;t-4 ) và C(7-t;3-t) .(1)
Theo giả thiết thì : (2)
Từ (1) và (2) : 
+/ Với 
+/ Với 
Bài 10 (KD-2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là : 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0 . Viết phương trình đường thẳng AC 
Gợi ý
A
B
C
H
N
M(2;0)
7x-2y-3=0
6x-y-4=0
+/ Tọa đọ A thỏa mãn : 
+/ Vì M là trung điểm AB suy ra B=(3;-2) 
+/ Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao AH : 
+/ (BC) cắt đường trung tuyến (AN) tại N thỏa mãn hệ :
. Vì C đối xứng với B qua N suy ra C=(-3;-1)
Vậy (AC) qua A(1;2) có 
HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình là và hai điểm phân biệt và B không thuộc đường thẳng d . Lập phương trình đường thẳng AB . Biết rằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d bằng hai lần khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d 
Bài 12.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trực tâm H(1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;-2) và trung điểm cạnh AB là M(3;1) 
Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC 
Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABCvuông cân tại A . Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x+7y-31=0 , điểm thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc đường thẳng AB . Xác định tọa dộ các đỉnh tam giác 
Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM và đường phân giác trong BD . Biết H(-4;1), M và (BD) : x+y-5=0 . Tìm tọa độ đỉnh A 
Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A , đỉnh B thuộc đường thẳng d: x-4y-2=0 . Cạnh AC song song với đường thẳng d . Đường cao kẻ từ A có phương trình : x+y+3=0 . Điểm M(1;1) nằm trên cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC 
Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16 . đỉnh A và B thuộc đường thẳng d có phương trình . B và C thuộc Ox . Xác định tọa độ trọng tâm tam giác ABC 
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC 
Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) và đường thẳng (BC) có phương trình : x-2y-2=0 . Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân tại B 
Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(5;-3), trọng tâm G(3;1) .Đỉnh B thuộc đường thẳng d có phương trình : 2x+y-4=0 . Tìm tọa độ các dỉnh B,C biết BC bằng và B có tọa độ nguyên 
Bài 21*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+y-1=0 , phương trình AC: 3x+4y+6=0 và điểm M(1;-3) nằm trên đường thẳng BC thỏa mãn 3MB=2MC . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC 
Bài 22*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có , đường cao BH: 3x+y+10=0 , trung điểm cạnh BC là và trực tâm tam giác H(0;-10) . Biết tạo độ điểm B âm . Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 23 * . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình cạnh BC : x-y+4=0 , trung điểm cạnh AC là M(0;3) , đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm N(7;-1). Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC
Bài 24* . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;3). Các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm lần lượt là I(1;2) và 
a/ Lập phương trình đường thẳng BC hoctoancapba.com
b/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
 .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4) ;B(1;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d có phương trình : x+2y+1=0 , có trọng tâm G . Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 , tìm tọa độ đỉnh C 
Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân giác trong BK lần lượt có phương trình x-y+1=0; và 2x+y+5=0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M 
Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0;-1) . Biết AB=2AM , đường phân giác trong AD có phương trình : x-y=0 và đường cao CH có phương trình là 2x+y+3=0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC 
Bài 24*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 
Giả sử tại I . Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;1) cắt tại A và B sao cho AB=3IA 
Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ; C(-1;-1) . Cạnh AB có phương trình là : x-2y-3=0 , trọng tâm G thuộc đường thẳng d : x+y-2=0 . Tìm tọa độ các đỉnh A,B của tam giác ABC.
Bài 26. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) . Viết phương trình đường thẳng d qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 3.
Bài 27 Trong (Oxy) cho A(2;5) và đường thẳng d : 2x+3y+4=0. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d' qua A và tạo với d một góc bằng .
Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: x-2y+3=0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC=3BC .
II. VỀ HÌNH CHỮ NHẬT
A
B
C
D
I
A. KIẾN THỨC 
1. Trong hình chữ nhật : Hai cạnh liên tiếp vuông góc nhau 
2. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường 
3. Hai cạch đối diện nhau bằng nhau 
3. Theo tính chất hai đường thẳng // bị cắt bởi một cát tuyến :
- Các góc so le bằng nhau 
- Các góc cùng phía bằng nhau 
B. CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. (KD-2012 )
Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD . Các đường thẳng AC và AD có phương trình x+3y=0 và x-y+4=0 ., đường thẳng BD đi qua diểm . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật 
A
B
C
D
I
M
N
E
K
Gợi ý
+/ AC cắt AD tại A có tọa độ : 
+/ Đường thẳng d' qua M song song với AD : x-y+m=0 ; 
+/ d' cắt AC tại N 
+/ Gọi E là trung điểm MN . Đường thẳng qua E vuông góc với AD cắt AC tại I là tâm hình chữ nhật . Do đó . Suy ra tọa độ I ;K là nghiệm của hệ : . Và 
Do tính chất đối xứng ta có tọa độ các đỉnh : . 
Bài 2 .(KA-2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của của hai đường chéo AC và BD . Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng có phương trình x+y-5=0 . Viết phương trình đường thẳng AB 
A
B
C
D
M(1;5)
E
F
d:y+y-5=0
I(6;2)
Gợi ý
+/ E thuộc d suy ra E(t;5-t) . Gọi F là điểm đối xứng với E qua I thì F thuộc AB và F(12-t;t-1 ). 
Khi đó : 
Theo tính chất hình chữ nhật : 
Vậy (AB) qua M(1;5) có là chỉ phương : 
Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
A
B
C
D
M(2;1)
x-7y+14=0
x-2y+1=0
I
Giải
- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ : 
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
 .
+/ Mặt khác : 
+/ Do đó : :
+/ (AC) cắt (BC) tại C 
+/ Hoặc : (AC) cắt (BC) tại C 
- (AC) cắt (AB) tại A : 
+/ Hoặc : 
+/ Tìm tọa độ của I : AC cắt BD , sau đó tìm D đối xứng với B qua I 
* Chú ý : Ta còn cách giải khác 
+/ Theo tính chất hình chữ nhật : suy ra : gọi véc tơ pháp tuyến của (AC) là :
; véc tơ pháp tuyến của AB là và véc tơ pháp tuyến của (BD) là thì ta có : 
+/ Từ đó ta lập được AC qua M(2;1) và có :
+/ Các bước giải lại như phần sau của cách giải trên .
HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP
Bài 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình hai đường Chéo (AC): 7x +y -4 = 0, phương trình đường thẳng (BD): x – y + 2 = 0, Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật , biết đường thẳng đó đi qua điểm M(-3;5).
Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng và . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình chữ nhật ABCD ,cạnh (AB) có phương trình : x-y+1=0 , tọa độ tâm I(1;1) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật , biết AB=3BC và A có hoành độ âm 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , giao điểm hai đường chéo là I(), trung điểm cạnh BC là M(3;0) và hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm C. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật 
Bài 8. Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB ,BC,CD và DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5) ,N(6;5);P(5;2) và Q(2;1) với diện tích hình chữ nhật bằng 16 .
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;1). Các đường thẳng chứa các cạnh AB , AD lần lượt đi qua các điểm M(-2;2) và N(2;3) . Xác định tọa độ các điểm A,B,C,D , biết 3AB=2AD và điểm A có hoành độ âm 
III. VỀ HÌNH VUÔNG
A
B
C
D
I
A. KIẾN THỨC 
1. Các cạnh đôi một vuông góc nhau và bằng nhau 
2. Hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau 
3. Bốn tam giác vuông cân : AIB,BIC,CID và AID bằng nhau ..
4. Nếu cạnh hình vuông bằng a thì hai đường chéo có đọ dài là 
5. Hình vuông nội tiếp trong đường tròn có tâm I bán kính R=
A. CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. (KA-2012). Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho hình vuông ABCD .Gọi M là trung điểm cạnh CD, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN=2ND .Giả sử và đường thẳng AN có phương trình 2x-y-3=0 . Tìm tọa độ đỉnh A 
Gợi ý
A
B
M
C
D
N
P
E
K
Gọi giao của AN với BD là P .Kẻ qua P đường thẳng song song với AB cắt AD tại E cà cắt BC tại K . Đặt EP=x ta thấy tam giác EPD là tam giác vuông cân tại E :
vì suy ra AE=PK=3x . Mặt khác ta lại có KC=x cho nên MQ=x , cho nên tam giác AEP=PKM suy ra AP PM (1).và AP=PM . Vậy :
.
Vì A thuộc (AN) suy ra A(t;2t-3). 
Chú ý : 
Phần chứng minh AP PM còn có cách khác .
+/ Gọi cạnh hình vuông là x . Hai tam giác PDN đồng dạng với PAB suy ra 
+/ Xét tam giác vuông ADN 
Nhưng : (1)
+/ Xét tam giác PBM với , ta áp dụng hệ thức hàm số cos :
 (*) 
Với PB=3PD=3.ED
(2)
+/ Xét tam giác CMN : (3) 
Từ (1) ,(2),(3) ta có AP=PM và . Tam giác PMN vuông tại P hay .
Như phần trên 
Bài 2 . Một hình vuông có đỉnh A(– 4;5) và một đường chéo có phương trình 7x – y + 8 = 0.Hãy lập phương trình đường chéo còn lại và các cạnh của hình vuông ấy
Gợi ý
+/ Nhận xét : PA/d=-28-5+8=31 . Chứng tỏ d không qua A , do đó d là đường chéo BD 
+/ Giả sử AB qua A(-4;5) : 
+/ Theo tính chất hình vuông : 
+/ Vậy 
+/ AB cắt BD tại B thỏa mãn : ....
+/ D thuộc BD suy ra D(a;7a-8) . Từ , suy ra tọa độ D 
+/ Đường thẳng AC qua A(-4;5) và vuông góc với BD suy ra AC: x+7y-31=0 
+/ AC cắt BD tại I thỏa mãn : . Từ đó suy ra tọa độ C 
HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP
Bài 3 Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB,CD,lần lượt đi qua các điểm P(2;1) và Q(3;5), còn BC và AD qua các điểm R(0;1) và S(-3;-1)
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B,C thuộc đường tròn (C), hai đỉnh A,D thuộc trục Ox và đỉnh B có tung độ dương 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I. Các đường thẳng AB và CD lần lượt đi qua các điểm M(-4;-1);N(-2;-4). Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông đó , biết B có hoành độ âm .
Bài 6. Trong mawtjphawngr toa độ Oxy cho hai điểm A(2;1),B(-1;-3) và hai đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm C,D lần lượt thuộc sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành . 
IV. VỀ HÌNH THOI
A. KIẾN THỨC 
A
B
C
D
I
1. Có hai cặp cạnh tương ứng song song và bằng nhau 
2. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường và chúng vuông góc với nhau 
3. Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi 
4. Các tam giác cân bằng nhau : ABD=CBD và ABC=ADC .
5. Diện tích hình thoi bằng tí