Ôn thi đại học - Hệ phương trình

 1 
PHẦN 1.HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN 4 
 A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 
 I.HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN 4 
B.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 13 
C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 16 
 I.HỆ GỒM 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 16 
 II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 17 
 III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 29 
 IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 35 
D. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 42 
E.HÊ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 75 
F.HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 92 
PHẦN 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 103 
PHẦN 3. TRẮC NGHIỆM 122 
PHẦN 4. CÓ THỂ EM CHƢA BIẾT ? 133 
PHẦN 5. PHỤ LỤC 137 
Trang 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 2 
A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
 I. Hệ phương trình cổ điển: 
 1/ Phƣơng pháp: 
Hệ pt bậc nhất 2 ẩn có dạng: 
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
 

 
* TH 1: a1 = b1= a2= b2=0, ta có; 
1
2
0
0
c
c
 
  
* TH2: 
2 1 2 2
1 1 2 2 0a b a b    . 
Tính: 
1 1
2 2
a b
D
a b
 ; 
1 1
2 2
x
c b
D
c b
 ; 
1 1
2 2
y
a c
D
a c
 
+ Nếu 0D  : hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: 
x
y
D
x
D
D
y
D



 

+ Nếu D = 0 
 0xD  hay 0yD  : hệ phương trình vô nghiệm. 
 Dx = Dy = 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm: x R  , được tính theo x 
2/ Ví dụ: 
VD1: Giải hệ phương trình:
6 3 2
5
1 1
4 2 4
2
1 1
x y
y x
x y
y x

   

  
  
Đặt 
2 1
,
1 1
x y
u v
y x

 
 
. Hệ đã cho trở thành 
2
3 2 5
1
2 4 2
2
u
u v
u v v

  
 
   
Ta được hệ phương trình: 
2 1
2 0
2 2 11
1
2 11
2
1 2
x
x
x yy
x y yy
x

     
   
     
 
Vậy 
1
0;
2
S
  
   
  
Đúng: hpt có vô số nghiệm ,x R y R    
Sai: hpt vô nghiệm 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 3 
VD2:Định m để hệ vô nghiệm 
 
 
 
22 3 1 3
2
m x m y
I
m x y y
   

  
 
 
 
22 3 1 3
2 2
m x m y
I
mx m y
   
 
  
Ta có 
   
   
2 3 22 2 3 1 2 7 3
3 2 6 1 3x
D m m m m m m m
D m m m
      
     
Hệ đã cho vô nghiệm 
 
 23 2
2
0
0
2 7 3 02 7 3 0
3 0 0
1
2 7 3 0 3
2
x
D
I
D
m m mm m m
m m
m m m m

 

       
  
   
       
 Vậy hệ vô nghiệm khi: 
1
3
2
m m   
 VD3: định m để hệ có vô số nghiệm: 
 
4 1
6 2 3
x my m
m x y m
   

   
 Ta có: 
 
   
    
2
2
2
8 6 6 8
2 1 3 2
4 3 1 6 11 18
x
y
D m m m m
D m m m m m
D m m m m m
       
       
         
 Hệ có vô số nghiệm 
0
0
0
x
y
D
D
D
 

 
 
2
2
2
6 8 2 4
2 2 1 2
2 911 18
m m m m
m m m m m
m mm m
       
 
            
         
 Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2. 
 VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm 
  2
2
1
x ay b
ax a y b
 

  
 Ta có: 
2
2
1 2
1
0 2 1 0 1
2
D a a
D a a a a
  
         
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 4 
Thì hệ luôn có nghiệm 
Khi a = -1, hệ trở thành: 
2
2
2
x y b
x y b
 

  
Hệ có nghiệm 2 2 0 0 1b b b b b b          
Khi 
1
2
a  , hệ trở thành 
22
x y b
x y b
 
 
 
Hệ có nghiệm  2
1
2 2 1 0 0
2
b b b b b b          
Vậy hệ có nghiệm với mọi a khi: 
0 1
01
0
2
b b
b
b b
   

 
   
VD5: Giải và biện luận hệ phương trình sau: 
 
 
1 1
1 1
a x by
b x ay
  

  
Hệ tương đương: 
1 1
1 1
ax a by ax by a
bx b ay bx ay b
      
 
      
Ta có: 
  
  
2 2
1x
y
D a b a b a b
D a b a b
D a b
    
   
 
Biện luận: 
1/ 2 20 0D a b a b       
Hệ có nghiệm duy nhất: 
  
  
1
1
x
y
a b a bD
x
D a b a b
D
y
D a b
  
 
 
 

2/ 0; 0; 0x ya b D D D     
* 0b  : Hệ có vô số nghiệm. 
3/ ; 0; 2ya b D D b     
0; 0; 0yb D D    hệ vô nghiệm 
4/ 
0. 0. 1
0 :
0. 0. 1
x y
a b
x y
 
  
 
  hệ vô nghiệm 
VD6: Tìm m để hệ phương trình 
( 1) 8 4
( 3) 3 1
m x y m
mx m y m
  

   
 có nghiệm duy nhất 
Hướng dẫn giải: 
Ta có: 
1m
D
m

 
8
3m 
2( 1)( 3) 8 4 3m m m m m       
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất
20 4 3 0D m m      
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 5 
 1m  và 3m  . 
VD7:Giải và biện luận hệ phương trình:
2 (1)
4 6(2)
mx y m
x my m
 

  
Hướng dẫn giải: 
Từ (1) suy ra 2y mx m  , thay vào (2) ta được: 
2 24 ( 2 ) 6 (4 ) 2 6x m mx m m m x m m          
2( 4) ( 2)(2 3)m x m m     (3) 
i) 
2 4 0 2m m     : Hệ có nghiệm duy nhất: 
22 3 2 3
; 2 2
2 2 2
m m m m
x y mx m m
m m m
  
     
  
ii) m=2: Hệ trở thành 
2 4
2 4
4 2 8
x y
x y
x y
 
  
 
. 
 Hệ có vô số nghiệm ( ;2 4);x x x R  
iii) m=-2:(3) trở thành 0 4x  :Hệ vô nghiệm. 
Bài tập củng cố: 
 Bài 1:Giải hệ phƣơng trình: 
( 3) 5)
)
( 2)( 5)
1 1 3
4
)
1 1 2
6 5 15
x y xy
a
x y xy
x y
b
x y
  

  

 


  

 c/
5 4 3
7 9 8
x y
x y
 

 
 d/
3 2 7
5 3 1
x y
x y
  

 
 e/
3 2 1
2 2 3 0
x y
x y
   

 
 f
3( )
7
5 5
3
x y
x y
x y
y x

  

 
 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 6 
g/
6 5
3
9 10
1
x y
x y

 


  

h/
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y

   

   
  
k/
1 1
1 1
m
x y x y
n
x y x y

   

  
  
j/
4 1
3
1
2 2
4
1
x y
x y

  

  
 
l/
2 4 1
2 4 2 5
x y
x y
   

 
Bài 2: Giải và biện luận hệ phƣơng trình: 
a)
2
4 2
x my
mx y m
 

  
b)
2
7 4 2
5 3 1
3 6
x y
x y
mx y m
  

 

  
c/
0
1
x my
mx y m
 

  
d/
2 3 5
( 1) 0
ax y
a x y
 

  
e/
4
2 ( 1)
mx y m
x m y m
  

  
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 7 
f/
3 1
2 ( 1) 3
mx y m
x m y
  

  
g/
1 0
2 0
mx y
x my
  

  
Bài 3:Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phƣơng trình sau là số dƣơng: 
2
3
x y
mx y
 

 
Bài 4: Cho hệ phƣơng trình: 
2
1
mx y m
x my m
 

  
a/ tìm m đễ hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m. 
b/ Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. 
Bài 5: Cho hệ phƣơng trình: 
3 0
2 1 0
x my m
mx y m
  

   
 a/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất 
 b/ gọi (x,y) là nhgiệm của hệ,tìm hệ thức liên hệ giữa x,y độc lập với m. 
Bài 6: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên 
1/
2
( 1) ( 1) 1
mx y m
m x m y
 

   
; 2/ 2 2
2 2
( 1) 1
mx y m
m x y m
  

   
 Bài 7: Định m để hệ sau có vô số nghiệm: 
 1/
2( 2) (5 3) 2( 2)
( 2) 3 2
m x m y m
m x my m
    

   
2/
4 1
( 6) 2 3
x my m
m x y m
   

   
 3/
2 ( 1) 2
3 2
x m y
mx y m
  

  
Bài 8: Cho 4 số a,b,p,q thỏa mãn abpq (p-q) khác 0. Hãy giải hệ phƣơng trình. 
   
   
2 2 3 3
2 2 3 3 4 4
0
0
ap bq x ap bq y ap pq
ap bq x ap bq y ap bq
      

     
Bài 9: Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau: 
1/ 
5 4 3
7 9 8
x y
x y
 

 
 2/
3 2 7
5 3 1
x y
x y
  

 
 3/
3 2 1
2 2 3 0
x y
x y
   

 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 8 
4/ 
2 4 1
2 4 2 5
x y
x y
   

 
 5/ 
4 1
3
1
2 2
4
1
x y
x y

  

  
 
 6/ 
3( )
7
5 5
3
x y
x y
x y
y x

  

 
 
7/ 
6 5
3
9 10
1
x y
x y

 


  

 8/
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y

   

   
  
 9/ 
1
2 5
x a
y x
  

 
10/ 
1 1
1 1
m
x y x y
n
x y x y

   

  
  
 11/ 
2
2 1
x y
x y
  

  
Bài 10: Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dòng 63 
km. Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 
84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô( biết rằng vận tốc thật của ca nô 
và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi) 
Bài 11 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p ( mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng 
cách tăng một cạnh thêm 3 mét và cạnh kia thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 246 m2. Tính 
các kích thước của miếng đất đó ( biện luận theo p). 
Bài 12 : Giải và biện luận các hệ phương trình: 
1/
0
1
x my
mx y m
 

  
 2/
2 3 5
( 1) 0
ax y
a x y
 

  
 3/
2 1
( 1)
ax y
x a y a
 

  
4/
( 2) ( 4) 2
( 1) (3 2) 1
a x a y
a x a y
   

    
 5/
 1 (2 3)
( 1) 3 6
a x a y a
a x y
    

  
 6/ 
1
3 2 3
x my
mx my m
 

  
7/ 
4
2 ( 1)
mx y m
x m y m
  

  
 8/
3( )
2
1
x y
a
x y
x y a
y x

 

  
 
 9/
6 . (2 ) 3
( 1) 2
a x a y
a x ay
  

  
10/
1
2 1
x my
mx y m
 

  
 11/ 
. . 1
. . 1
a x b y a
b x a y b
  

  
 12/ 
1 0
2 0
mx y
x my
  

  
13/
2 2.
2
a x by a b
bx ay ab
   

 
 14/ 
2
2
.a x y a
bx y b
  

 
 15/
2
2
. .
4
a x b y a b
bx b y b
   

 
16/
3 1
2 ( 1) 3
mx y m
x m y
  

  
 17/
5 ( 2)
( 3) ( 3) 2
x a y a
a x a y a
  

   
Bài 13 : Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm: 
1/ 
( 1) 1
( 1) 2
a x y a
x a y
   

  
 2/ 
( 2) 3 3 9
( 4) 2
a x y a
x a y
   

  
3/
2
( 1) ( 1) 1
ax y a
a x a y
 

   
 4/
3 1
3 4
x ay
ax y a
 

   
5/
3
2 3 4
( 1) ( 1) 2
( 1) ( 1) 1
a a x a a y a
a x a y a
     

    
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 9 
Bài 14: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm: 
2
6 4
ax by
x by
 

 
Bài 15 : Định m để các hệ phương trình sau vô nghiệm: 
1/ 
2
1
( ) 2
mx my m
m m x my
  

  
 2/ 
22 3( 1) 3
( ) 2 2
m x m y
m x y y
   

  
 3/ 
2
5
(2 ) 4
(2 1) 2
m x m m
mx m y m
    

   
Bài 16 : Định ( a; b ) để hệ phương trình sau vô nghiệm : 
ax by a b
bx ay a b
  

  
Bài 17: Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệâm: 
 1/
2( 2) (5 3) 2( 2)
( 2) 3 2
m x m y m
m x my m
    

   
 2/
4 1
( 6) 2 3
x my m
m x y m
   

   
3/ 
( 1)
3 (5 ) 2 1
mx m y m
x m y m
  

   
 4/ 
2 ( 1) 2
3 2
x m y
mx y m
  

  
5/ 
(1 ) ( )
(5 ) 2( ) 1
a x a b y b a
a x a b y b
    

    
 6/ 
2 2
2 2 4
a x by a b
bx by b
   

  
7/ 
2 2 2 2 2( ) ( )
( ) ( ) 1
a b x a b y a
a b x a b y a
    

    
Bài 18: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
1/
8 4 4 0
( 1) ( 2) 4 3 0
mx y m
m x m y m
   

     
 2/ 
2 1
( 1) 1
2 2
( 3) 2( 2)
m m m
x y
m m
x y

   


    

3/
( 5) (2 3) 3 2
(3 10) (5 6) 2 4
m x m m
m x m y m
    

    
 4/ 
( 1)( 2) 1
( 3) 2( 2) 2 4
m x m y m
m x y m
     

    
5/
2
2
2
( 3) 1
mx y m
x m y m
  

   
 6/
2
1
x y m
mx my m
 

  
7/
1
2
x my
mx y m
 

 
Bài 19: Cho hệ phương trình :
2
1
mx y m
x my m
 

  
1/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập 
với m. 
2/ Định m nguyên để hệ nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. 
Bài 20: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên: 
1/
2
( 1) ( 1) 1
mx y m
m x m y
 

   
 2/ 
2 2
2 2
( 1) 1
mx y m
m x y m
  

   
Bài 21: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên: 
1/ 
2 2
( 1) 2 1
2
m x y m
m x y m m
   

  
 2/
6 0
2 1 0
mx y
x my m
  

   
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 10 
3/
3
2 1
mx y m
x my m
 

  
Bài 22: Cho hệ phƣơng trình: 
( 1) 3 1
2 5
m x my m
x y m
   

  
 Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà x2 + y2 nhỏ nhất 
Bài 23: Cho hệ phƣơng trình 
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
   

  
 Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x.y lớn nhất. 
Bài 24: Cho hệ phƣơng trình :
. 2 2
1
a x y
x ay
 

  
1/ Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm với mọi a. 
2/ Tìm a để hệ có nghiệm ( x; y) thỏa mãn: x + y > 0 
Bài 25: Tìm b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a: 
2
3ax y b
x ay b b
 

  
Bài 26: Xác định a, b, c để hệ phƣơng trình 
2
( 1) 10 3
ax by a b
c x cy a b
  

    
 có vô số nghiệm, 
đồng thời x = 1, y = 3 là một nghiệm trong các nghiệm đó. 
Bài 27: Cho hệ phương trình:
( 1) ( 1)
(3 ) 3 2
m x m y m
m x y
   

  
 1/ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các 
nghiệm của hệ . 
 2/ Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xáx đến hàng phần nghìn khi m 
Bài 28: Cho hệ phƣơng trình: 
3 0
2 1 0
x my m
mx y m
  

   
1/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất 
2/ Gọi (x;y) là nghiệm của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m. 
B. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN: 
 1. Phƣơng pháp: 
 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng : 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 11 
1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
, 0, 1,2,3i i i
a x b y c z d
a x b y c z d a b c i
a x b y c z d
  

      
   
 Các phương pháp giải hệ phương trình này là: pp Gau – xơ, pp Cramer, pp thế. 
 2. Ví dụ: 
 VD1: Giải hệ:
3 2(1)
4 2 3 15(2)
2 4 7(3)
x y z
x y z
x y z
   

   
   
Hướng dẫn giải: 
Ta khử ẩn z ở phương trình (2) và (3) bằng cách nhân (1) với 3 rồi cộng vào (2), nhân (1) 
với -4 rồi cộng vào (3). Khi đó ta được: 
3 2
7 7 21(2')
2 11 15(3')
x y z
x y
x y
   

  
  
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2’) và (3’) ta được x=-2,y=1. Thay các giá rị này vào 
(1) ta được z=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm (-2;1;3). 
VD 2:Biết rằng hệ phương trình 
ax by c
bx cy a
cx ay b
 

 
  
 có nghiệm 
Hãy chứng minh:
3 3 3 3a b c abc   
Hướng dẫn giải: 
Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ đã cho. Khi đó: 
ax by c
bx cy a
cx ay b
 

 
  
, suy ra 
2 3
2 3
2 3
( )
( )
( )
c ax by c
a bx cy a
b cx ay b
  

 

 
Cộng từng vế ta được:
3 3 3 2 2 2 2 2 2a b c a bx a cy b cx b ay c ax c by        
( ) ( ) ( )
3
ab ax by bc bx cy ca cx ay
abc bca cab abc
     
   
 Bài tập củng cố: 
1/Giải hệ phƣơng trình: 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 12 
2 1
) 6 3 2 5
4 2 3 16
3 2 5
) 0
4 5 3
2 5
) 2 2 5
7 10
x y z
a x y z
x y z
x y z
b x y z
x y z
x y z
c x y z
x y z
   

  
   
  

  
   
  

   
   
 d)
4 4 0
5 2 3
8 2 1
x y z
x y z
z y z
   

  
   
 e)
11
2 5
3 2 14
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 f)
2
2
2
2
3
4
x xy xz
y yz xy
z xz yz
   

  

  
 g) 
3 2 9
2 3 2 3
4 3 11
x y z
x y z
x y z
   

   
    
 h) 
3 2 2
2 5 5
3 7 4 8
x y z
x y z
x y z
   

   
   
 j) 
5 2
2 9 2 8
3 4 5
x y z
x y z
x y z
   

  
   
2/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình theo tham số m,a 
12
) 5 4 46
5 3 38
x y z
a ax y z
x ay z
  

  
   
2
) 3
2
ax y z a
b x ay z a
x y az
   

  
   
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 13 
 c)
2
2 4
4 ( 1)
x y
x y
x y m z m
 

 
    
 e) 
1
2 3 3
3 2
x y z
x y mx
x my z
  

  
   
3/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình (với a,b,c là tham số, a+b+c 0) 
0
) 0
0
)
ax by cz
a bx cy az
cx ay bz
ax by cz a b c
b bx cy az a b c
cx ay bz a b c
  

  
   
    

    
     
c) 
( )( )
( )( )
( )( )
a b x y cz a b
b c y z ax b c
a c x z by c a
    

    
     
d) 
2 3
3 2
5 8
x y z a
x y z b
x y z c
  

  
   
 4/ Giải hệ phƣơng trình:1/
6
5
4
3
12
7
xy
x y
yz
y z
zx
z x

 







 ;
5
2) 11
7
( ) 4
3) ( ) 9
( ) 1
xy x y
yz y z
zx z x
x y z
y z x
z x y
  

  
   
  

 
  
Bài 5: Giả sử hệ : 
ax by c
bx cy a
cx ay b
 

 
  
 có nghiệm 
Chứng minh rằng: 3 3 3 3a b c abc   
Bài 6: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7, b = 5, c = 3.Hãy tìm bán kính đƣờng tròn 
tâm A, tâm B, tâm C đôi một tiếp xác nhau. 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 14 
 C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN: 
 I. Hệ phƣơng trình gốm 1 phƣơng trình bậc nhất và 1 phƣơng trình 
bậc hai: 
1. Phƣơng pháp: 
 Có dạng : 
2 2
ax by c
dx exy fy gx hy k
 

    
Từ phương trình bậc nhất, ta tính y theo x ( hay x theo y) và thế vào phương trình bậc hai 
để được phương trình bậc hai theo 1 ẩn x ( hay ẩn y) 
2. Ví dụ: 
 Bài tập củng cố: 
Bài 1:Giải các hệ phƣơng trình sau: 
1/
2
2 3 1
24
x y
x xy
 

 
 2/
3 4 1 0
3( ) 9
x y
xy x y
  

  
 3/
2 3 2
6 0
x y
xy x y
 

   
4/ 
2 4
2 5 0
y x x
x y
  

  
 5/ 
2 2
2 3 5
3 2 4
x y
x y y
 

  
 6/
2 2
2 5
7
x y
x xy y
 

  
7/
2 23 2 5 4 0
2 4
x xy y x y
x y
      

 
 8/
2 2
2
164
x y
x y
 

 
 9/
2 25 7
2 1
x xy y
x y
   

 
10/
2 2
2 7 0
2 2 4 0
x y
y x x y
  

    
 11/ 
2
4 9 6
3 6 3 0
x y
x xy x y
 

   
12/
2 22 3 7 12 1
1 0
x xy y x y
x y
     

  
 13/
(2 3 2)( 5 3) 0
3 1
x y x y
x y
    

 
Bài 2: Giải các hệ phƣơng trình sau: 
1/
2 2
1 1 1
3 2 3
1 1 1
9 4 4
x y
x y

 


  

 2/
2 2
1 1 1
1 3
1 1 1
( 1) 4
x y
x y

  

  
 
3/ 
3
2
1 2
4
x y x y
x y
x y
 
 

  
 Bài 3: Giải các hệ phƣơng trình : 
1/
4 2( ) 4( ) 117 0
25
x y x y
x y
     

 
 2/ 
2 2(18 18 18 17)(12 12 1) 0
3 4 0
x x y x xy
x y
      

 
3/
3 3
1
7
x y
x y
 

 
 4/ 
2 2( )( ) 45
5
x y x y
x y
   

 
Bài4: Giải các hệ phƣơng trình: 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
kh
on
gb
oc
uo
c.c
om
 15 
1/
2 2( ) 2( ) ( )( ) 2
2
x a y a x a y a
x y
       

 
2/
2 2( ) ( ) 11
2 7
x m y y x m
x y m
     

  
3/
2 22( ) ( 2 ) 2
3 2 5
x m y m m
x y m
     

  
B