Ôn tập Hình học 10 - Chương 1: Véc tơ

§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. LÝ THUYẾT:
	· Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là .
	· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
	· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu .
	· Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .
	· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
	· Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
	· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
	Chú ý: 	+ Ta còn sử dụng kí hiệu để biểu diễn vectơ.
	+ Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 
	 Mọi vectơ đều bằng nhau.
B. CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Cách xác định một véc tơ, hướng của véc tơ, độ dài của véc tơ, phương của véc tơ, chứng minh hai véc tơ bàng nhau:
Ví dụ 1: Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng.
Khi nào hai véc tơ và cùng hướng?
Khi nào hai véc tơ và ngược hướng?
Trường hợp nào ta có 
Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc nhọn . 
Chứng minh và 
Tính độ dài các véc tơ theo a.
Dạng 2: Véc tơ không và các tính chất đặc biệt của véc tơ không
Phương pháp: Để chứng minh ta dùng các cách sau:
Ví dụ 1: Cho véc tơ . Từ B dựng véc tơ . Chứng minh: 
Ví dụ 2: Cho hai véc tơ không cùng phương và đều khác véc tơ không. Từ một điểm O bất kỳ dựng . Từ điểm A dựng . Tiếp đó từ O dựng và từ C dựng . Chứng minh .
Dạng 3: Véc tơ đối của một véc tơ
Phương pháp: 
Chứng minh và đối nhau, ta chứng minh: và hai véc tơ , ngược hướng
Dùng tính chất: I là trung điểm AB là hai véc tơ đối nhau 
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng véc tơ đối của là , véc tơ đối của là .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Dựng điểm B’ sao cho và dựng điểm A’ sao cho . Tiếp tục dựng điểm C’ sao cho .
Chứng minh là véc tơ đối của và A là trung điểm của đoạn thẳng B’C’.
Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại một điểm. 
Dạng 4: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn một điều kiện có liên quan đến một véc tơ cho trước
Ví dụ 1: Tìm tập hợp điểm cuối của các véc tơ có điểm đầu là O cho trước và cùng phương với véc tơ cho trước.
Ví dụ 2: Cho véc tơ . Tìm tập hợp điểm cuối của các véc tơ bằng véc tơ và có điểm đầu chạy trên một đường tròn cho trước.
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho ABCD là hình thoi có O là tâm đối xứng.
Tìm các véc tơ khác véc tơ không và cùng phương với véc tơ 
Tìm các véc tơ bằng véc tơ 
Tìm các véc tơ đối của véc tơ 
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF có O là tâm đối xứng. Tìm các véc tơ nhận một trong các đỉnh của lục giác hoặc tâm O làm điểm đầu hoặc điểm cuối mà chúng:
Cùng phương với véc tơ 
Bằng véc tơ 
Là các véc tơ đối của véc tơ .
Bài 3: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d. Gọi A’, B’ lần lượt là các điểm đối xứng của A, B qua d. Với vị trí nào của A và B ta có:
?
 là véc tơ đối của 
 không bằng véc tơ .
Bài 4: Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có H là trực tâm và có O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng của đỉnh B qua tâm O. Chứng minh: cùng phương với và cùng phương với .
Bài 5: Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng .
Bài 6: Cho tam giác đều ABC. Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?
Bài 7: Cho tam giác ABC có trực tâm H nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ta dựng véc tơ và gọi A’ là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng O, A’, E thẳng hàng.
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho AM=CN. Chứng minh: và 
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh .
Bài 10: Cho tam giác ABC và điểm M ở trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’.
Chứng minh: 
Chứng tỏ 3 đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy.
 Ghi chú: 
§ 1. Nguyễn Mộng Hy: 
§ 2. Trần Thành Minh: 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ
A. LÝ THUYẾT
1. Tổng của hai vectơ
	· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: .
	· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: .
	· Tính chất:	;	;	
2. Hiệu của hai vectơ
	· Vectơ đối của là vectơ sao cho . Kí hiệu vectơ đối của là .
	· Vectơ đối của là .
	· .
	· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: .
3. Áp dụng:
I là trung điểm của đoạn thẳng AB 
G là trọng tâm của tam giác ABC 
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức véc tơ
Phương pháp: 
Biến đổi biểu thức véc tơ ở vế này thành biểu thức véc tơ ở vế kia
Biến đổi biểu thức véc tơ ở hai vế cùng bằng biểu thức véc tơ thứ ba
Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức mà ta biết là đúng.
Trong quá trình biến đổi có thể sử dụng: các tính chất véc tơ, các quy tắc biến đổi véc tơ
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh:
Ví dụ 2: Cho tư giác ABCD và điểm M bất kì. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng với O là trung điểm của đoạn EF ta có:
, với M là điểm bất kỳ.
Dạng 2: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véc tơ cho trước
Phương pháp: Ta biến đổi đẳng thức véc tơ về dạng trong đó A là điểm cố định, là một véc tơ không đổi và M là điểm cần tìm.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hãy dựng các điểm M, N sao cho:
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Dựng điểm D sao cho và chứng minh .
Dựng điểm H sao cho và chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến độ dài của các véc tơ 
Phương pháp: Tùy theo tính chất của véc tơ được tạo thành từ các véc tơ , ta dựa vào tính chất hình học của hình được tạo nên gắn với các véc tơ , để tính toán.
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hãy tính độ dài của véc tơ 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB=3cm, BC=4cm. Hãy tính độ dài của véc tơ 
Ví dụ 3: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và có AB=3cm, AC=2cm
Tính khi và cùng hướng.
Tính khi và ngược hướng.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi véc tơ ta có: . Khi nào ? Khi nào ? Khi nào ?
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Hình lục giác đều ABCDEF có O là tâm đối xứng. Chứng minh rằng: 
Bài 2: Hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy đơn giản các biểu thức sau:
Bài 3: Chứng minh rằng với O là điểm bất kỳ và nếu 4 điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thỏa mãn hệ thức: thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 4: Nếu ABCD là hình bình hành thì với điểm O bất kỳ ta có .
Bài 5: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có góc thì 
Bài 6: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm.
Chứng minh rằng 
Ngược lại nếu có một điểm I thỏa mãn hệ thức , chứng minh I là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIK, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng .
Bài 8: Một ca no vượt ngang dòng sông nước chảy với động cơ đẩy sang ngang với vận tốc biết rằng . Dòng nước sông chảy kéo theo ca no với vận tốc biết rằng . Với sự tổng hợp của hai vận tốc đó, kết quả là ca no di chuyển với vận tốc . Hãy tính biết rằng hai véc tơ và tạo thành một góc . Gọi là góc tạo thành bởi hai véc tơ và , hãy tính góc .
Bài 9: Cho hai lực và đều bằng 100 N cùng đặt tại điểm O và tạo với nhau một góc . Tính lực tổng hợp của hai lực đó.
Bài 10: Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 11: Cho các điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng: 
Bài 12: Cho tứ giác ABCD. Hãy xác định vị trí điểm G sao cho . Chứng minh rằng với mọi điểm O ta có .
Bài 13: Cho tam giác đều ABC. Lấy điểm M bất kì thuộc miến trong của tam giác đó và vẽ MH, MK, MI lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB của tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 14: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 15: Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng nếu có thì điểm M sẽ ở trên một đường thẳng cố định.
 Ghi chú: 
§ 1. Nguyễn Mộng Hy: 
§ 2. Trần Thành Minh: 
§3. TÍCH CỦA MỘT VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ
A. LÝ THUYẾT
	· Cho vectơ và số k Î R. là một vectơ được xác định như sau:
	+ cùng hướng với nếu k ³ 0, ngược hướng với nếu k < 0.
	+ .
	· Tính chất:	;	; 	
	 Û k = 0 hoặc .
	· Điều kiện để hai vectơ cùng phương: 
	· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: 	A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: .
	· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương và tuỳ ý. Khi đó $! m, n Î R: .
	Chú ý:
	· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: 
	M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û Û (O tuỳ ý).
	· Hệ thức trọng tâm tam giác: 
	G là trọng tâm DABC Û Û (O tuỳ ý).
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức về véc tơ trong đó có chứa phép toán nhân một véc tơ với một số
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta có: 
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Hãy xác định vị trí của điểm O sao cho: 
Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc hai đường thẳng song song
Phương pháp: Ba điểm A, B, C thẳng hàng cùng phương 
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho . Trên cạnh AB lấy điểm P sao cho . Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Ví dụ 2: Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có H là trực tâm và D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng: 
	a) 	b) 	c) 
	d) Đường thẳng HO đi qua trọng tâm G của tam giác ABC ( đường thẳng Ơ-le )
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M và N là hai điểm thỏa mãn các đẳng thức .
Chứng minh ba điểm M, B, G thẳng hàng.
Chứng minh hai véc tơ cùng phương.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác OMN và số k khác 1. Gọi M’, N’ là các điểm sao cho và 
Chứng minh rằng: 
Tìm giá trị của k để là các véc tơ khác và đối nhau.
Tìm giá trị của k để MN, M’N’ là hai đường thẳng song song.
Bài 2: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1 nếu .
Xét vị trí điểm M với hai điểm A, B nếu: 
Chứng minh rằng nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1, thì với điểm O bất kì ta luôn có: 
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo cùng tỉ số k khác 1. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
Bài 4: Cho ngũ giác lồi ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE và gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Chứng minh rằng và IK//AE.
Bài 5: Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A, B cố định. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có số k sao cho . Với điều kiện nào của k thì M thuộc đoạn AB.
Bài 6: Cho điểm O cố định và hai véc tơ cho trước không cùng phương và đều khác . Với mỗi số m ta xác định điểm M sao cho . Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý ta lấy các điểm M, N sao cho . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN với mọi giá trị của k.
Bài 8: Cho hai điểm A, B cố định và hai số m, n với .
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn đẳng thức 
Với điểm M bất kỳ, chứng minh rằng . Nếu m=n=1, hãy xác định điểm I.
Bài 9: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M và N là các điểm xác định bởi các đẳng thức . Và gọi O là trung điểm của đoạn MN.
Chứng minh rằng 
Từ đó chứng minh rằng và hãy kết luận về vị trí của 3 điểm O, I, J.
Gọi P và Q là hai điểm xác định bởi . Chứng minh rằng O là trung điểm của PQ.
Bài 10: Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Hai trung tuyến AN và BM cắt nhau tại G. Hãy tìm những số m và n thích hợp trong các đẳng thức sau đây:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
Bài 11: Tam giác ABC có G là trọng tâm. Đặt . Hãy phân tích các véc tơ theo các véc tơ .
Bài 12: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng: 
Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm.
Bài 13: Cho tam giác ABC. Lần lượt lấy các điểm M,N,P trên các đoạn AB, BC, CA sao cho . Chứng minh: .
Bài 14: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM=2MI. Chứng minh rằng ba điểm A, M, C thẳng hàng.
Bài 15(*): Cho tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 
Bài 16(*): Tìm điểm C trên đoạn AB sao cho . Cho điểm M bất kì trong mặt phẳng và gọi là véc tơ định bởi . Chứng tỏ đường thẳng MN qua một điểm cố định.
Bài 19(*): Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm định bởi và I là trung điểm của AD. Gọi M là điểm thỏa mãn với x là số thực.
Tính theo và 
Tính theo và 
Tính x để ba điểm B, I, M thẳng hàng.
Bài 20: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng .
Bài 21: Cho tam giác ABC trọng tâm G. Gọi I là trung điểm AG. Chứng minh: 
Bài 22: Cho tam giác ABC có AB=3 và AC=4. Gọi AD là phân giác trong của góc A. Tính theo .
Bài 23: Cho tam giác ABC trọng tâm G và I là trung điểm của AG. Lấy điểm K trên đoạn AC. Tính theo để 3 điểm B, I, K thẳng hàng.
Bài 24: Cho tam giác ABC.
Xác định điểm D thỏa mãn ;
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 
Bài 25: Cho tam giác ABC. Xác định điểm D thỏa mãn . Cho M là điểm bất kì và . Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định. 
 Ghi chú: 
§ 1. Nguyễn Mộng Hy: 
§ 2. Trần Thành Minh: 13-25
§4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. LÝ THUYẾT
1. Trục tọa độ:
· Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị . Kí hiệu .
	· Toạ độ của vectơ trên trục:	.
	· Toạ độ của điểm trên trục:	.
	· Độ dài đại số của vectơ trên trục:	.
	Chú ý:	+ Nếu thì .
	 Nếu thì .
	+ Nếu A(a), B(b) thì .
	+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: .
2. Hệ trục tọa độ: Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
3. Tọa độ của véc tơ với trục: 
4. Tọa độ của một điểm:
5. Cho véc tơ , ta có:
 cùng phương với 
6. Cho ta có:
Tọa độ trung điểm I của AB: 
 tọa độ của M là 
7. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tọa độ của điểm, của véc tơ
Ví dụ 1: Cho véc tơ . Tìm tọa độ của véc tơ:
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Tìm tọa độ của véc tơ biết:
	a) với 	b) với , 
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(-4;0), B(-5;0), C(3;0). Tìm điểm M trên trục Ox sao cho 
Dạng2:Tìm tọa độ trung điểm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp, điểm thứ tư của hình bình hành
Phương pháp:
Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, trọng tâm
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(-3;6), B(9;-10), C(-5;4)
Tính tọa độ trung điểm I của đoạn AB
Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Tính tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1;2), B(-2;6), C(4;4)
Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Xác định tọa độ giao điểm I của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành nói trên.
Dạng 3: Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương
Phương pháp: 
Ví dụ 1: Cho véc tơ , . Hãy phân tích véc tơ theo hai véc tơ 
Ví dụ 2: Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc O trùng với đỉnh A, véc tơ , véc tơ , 
Tính tọa độ các đỉnh của lục giác đều đối với hệ trục tọa độ Oxy nói trên
Hãy phân tích các véc tơ theo hai véc tơ 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Trên trục (O;) cho 3 điểm A(-4), B(-5), C(3)
Tìm điểm M trên trục sao cho 
Tính 
Bài 2: Trong mp(Oxy) cho các véc tơ 
Tìm tọa độ của véc tơ 
Tìm véc tơ sao cho 
Tìm các số k,l để: 
Bài 3: Cho 3 điểm A(2;0), B(0;4), C(1;3)
Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Tính độ dài đường trung tuyến CM của tam giác ABC.
Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 4: Cho hai điểm M(-2;2) và N(1;1) 
Tìm tọa độ điểm P trên trục Ox cách đều hai điểm M, N
Tìm điểm R trên trục Ox sao cho ba điểm M, N, K thẳng hàng.
Bài 5: Cho 3 điểm A(-1;-2), B(3;2), C(4;-1).
Chứng minh rằng 3 điểm đó là ba đỉnh của một tam giác
Tính chu vi tam giác ABC
Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A
Tìm điểm E trên Ox sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: Cho tam giác ABC với A(2;5), B(1;1), C(3;3).
Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.
Tìm tọa độ điểm E sao cho 
Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của tam giác và biết rằng . Hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 8: Cho 4 điểm A(-1;1), B(0;2), C(3;1), D(0;-2). Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
Bài 9: Cho tam giác ABC với A(2;4), B(-3;1), C(3;-1)
Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
Tính tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
Bài 10: Cho điểm A(5;4) và điểm B(3;-2). Tìm GTNN của khi M di động trên trục hoành Ox.
Bài 11: Hãy sử dụng bất đẳng thức tam giác đối với véc tơ để chứng minh bất đẳng thức sau:
Bài 12: Cho véc tơ 
Tìm m để cùng phương với 
Tìm tọa độ của véc tơ có độ dài bằng 1 cùng phương với .
Bài 13: Cho hai điểm A(-2;1), B(-4;5)
Tìm M trên trục Ox sao cho A, B, M thẳng hàng;
Tìm N trên trục Ox sao cho ABNO là hình thang cạnh đáy AO;
Tìm giao điểm I của hai đường chéo hình thang.
Bài 14: Cho tam giác ABC với AB=5 và AC=1. Tính tọa độ điểm D là chân của phân giác trong góc A theo tọa độ của B và C.
Bài 15: Cho . Tìm m để véc tơ cùng phương với 
Bài 16: Cho tam giác ABC với A(2;3), B(-1;-1), C(6;0)
Tính AB, BC và CA. Suy ra tam giác ABC vuông cân;
Tính diện tích tam giác ABC và đường cao AH.
Bài 17: Cho 3 điểm A(-1;1), B(0;2), C(3;1)
Chứng tỏ A, B, C không thẳng hàng
Tính tọa độ đỉnh D để ABCD là hình thang cân cạnh đáy AB
Bài 18: Cho 4 điểm A(-1;1), B(3;3), C(1;-1), D(-3;-3). Tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 19: Cho tam giác ABC biết A(2;-2), B(10;-6), C ở trên trục Oy và trọng tâm G ở trên trục Ox. Tìm tọa độ của C và G.
Bài 20: Cho 3 điểm A(1;2), B(-2;3), C(2;-1). Tìm m sao cho đạt GTNN.
Bài 21: Cho tam giác ABC với A(1;3), B(2;5), C(4;-1). Tính tọa độ điểm D là chân của đường phân giác trong AD.
Bài 22: Trong hệ trục Oxy cho điểm A(-1;2) và B(4;5).
Tính tọa độ của điểm A’ đối xứng với A qua Ox
Tìm tọa độ của M trên Ox sao cho A’, M, B thẳng hàng. Tính A’B.
Bài 23: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của BC, N là điểm đối xứng của C qua A và M là điểm thỏa mãn . Tìm điểm K trên đường thẳng MN sao cho A, D, K thẳng hàng.
 Ghi chú: 
§ 1. Nguyễn Mộng Hy: 
§ 2. Trần Thành Minh: 12-23