Ôn tập Đại số 10 - Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình

 WWW.TOANTRUNGHOC.COM 
 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10 
 CHƯƠNGIV 
 BẤT ĐẲNG THỨC 
 VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
Trần Sĩ Tùng 
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 30 
1. Tính chất 
2. Một số bất đẳng thức thông dụng 
 a) a a2 0,  . a b ab2 2 2  . 
 b) Bất đẳng thức Cô–si: 
 + Với a, b  0, ta có: 
a b
ab
2

 . Dấu "=" xảy ra  a = b. 
 + Với a, b, c  0, ta có: 
a b c
abc
3
3
 
 . Dấu "=" xảy ra  a = b = c. 
 Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y. 
 – Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y. 
 c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 
 d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác 
 Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: 
 + a, b, c > 0. 
 + a b c a b    ; b c a b c    ; c a b c a    . 
 e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki 
 Với a, b, x, y  R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )    . Dấu "=" xảy ra  ay = bx. 
CHƯƠNG IV 
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
I. BẤT ĐẲNG THỨC 
Điều kiện Nội dung 
 a < b  a + c < b + c (1) 
c > 0 a < b  ac < bc (2a) 
c bc (2b) 
 a < b và c < d  a + c < b + d (3) 
a > 0, c > 0 a < b và c < d  ac < bd (4) 
n nguyên dương 
a < b  a2n+1 < b2n+1 (5a) 
0 < a < b  a2n < b2n (5b) 
a > 0 a < b  a b (6a) 
 a < b  3 3a b (6b) 
Điều kiện Nội dung 
 x x x x x0, ,    
a > 0 
x a a x a     
x a
x a
x a
  
   
 a b a b a b     
Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 31 
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản 
  Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: 
 – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. 
 – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. 
  Một số BĐT thường dùng: 
 + A2 0 + A B2 2 0  + A B. 0 với A, B  0. + A B AB2 2 2  
 Chú ý: 
 – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. 
 – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có 
thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. 
Bài 1. Cho a, b, c, d, e  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) a b c ab bc ca2 2 2     b) a b ab a b2 2 1     
 c) a b c a b c2 2 2 3 2( )      d) a b c ab bc ca2 2 2 2( )     
 e) a b c a ab a c4 4 2 21 2 ( 1)       f) 
a
b c ab ac bc
2
2 2
2
4
     
 g) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6      h) a b c d e a b c d e2 2 2 2 2 ( )        
 i) 
a b c ab bc ca
1 1 1 1 1 1
     với a, b, c > 0 
 k) a b c ab bc ca     với a, b, c  0 
 HD: a)  a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0      b)  a b a b2 2 2( ) ( 1) ( 1) 0      
 c)  a b c2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 0      d)  a b c 2( ) 0   
 e)  a b a c a2 2 2 2 2( ) ( ) ( 1) 0      f)  
a
b c
2
( ) 0
2
 
   
 
 g)  a bc b ca c ab2 2 2( ) ( ) ( ) 0      
 h) 
a a a a
b c d e
2 2 2 2
0
2 2 2 2
       
              
       
 i)  
a b b c c a
2 2 2
1 1 1 1 1 1
0
     
          
     
 k)       a b b c c a
2 2 2
0      
Bài 2. Cho a, b, c  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 
a b a b
3
3 3
2 2
  
  
 
; với a, b  0 b) a b a b ab4 4 3 3   
 c) a a4 3 4  d) a b c abc3 3 3 3   , với a, b, c > 0. 
 e) 
a b
a b
b a
6 6
4 4
2 2
   ; với a, b  0. f) 
aba b
2 2
1 1 2
11 1
 
 
; với ab  1. 
 g) 
a
a
2
2
3
2
2



 h) a b a b a b a b5 5 4 4 2 2( )( ) ( )( )     ; với ab > 0. 
 HD: a)  a b a b 2
3
( )( ) 0
8
   b)  a b a b3 3( )( ) 0   
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 32 
 c)  a a a2 2( 1) ( 2 3) 0    
 d) Sử dụng hằng đẳng thức a b a b a b ab3 3 3 2 2( ) 3 3     . 
 BĐT  a b c a b c ab bc ca2 2 2( ) ( ) 0          . 
 e)  a b a a b b2 2 2 4 2 2 4( ) ( ) 0    f)  
b a ab
ab a b
2
2 2
( ) ( 1)
0
(1 )(1 )(1 )
 

  
 g)  a2 2( 1) 0  h)  ab a b a b3 3( )( ) 0   . 
Bài 3. Cho a, b, c, d  R. Chứng minh rằng a b ab2 2 2  (1). Áp dụng chứng minh các bất 
đảng thức sau: 
 a) a b c d abcd4 4 4 4 4    b) a b c abc2 2 2( 1)( 1)( 1) 8    
 c) a b c d abcd2 2 2 2( 4)( 4)( 4)( 4) 256     
 HD: a) a b a b c d c d4 4 2 2 2 2 2 22 ; 2    ; a b c d abcd2 2 2 2 2  
 b) a a b b c c2 2 21 2 ; 1 2 ; 1 2      
 c) a a b b c c d d2 2 2 24 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4        
Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu 
a
b
1 thì 
a a c
b b c



(1). Áp dụng chứng 
minh các bất đảng thức sau: 
 a) 
a b c
a b b c c a
2  
  
 b) 
a b c d
a b c b c d c d a d a b
1 2    
       
 c) 
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
2 3
   
    
       
 HD: BĐT (1)  (a – b)c < 0. 
 a) Sử dụng (1), ta được: 
a a c
a b a b c


  
, 
b b a
b c a b c


  
, 
c c b
c a a b c


  
. 
 Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. 
 b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: 
a a a
a b c d a b c a c
 
     
 Tương tự, 
b b b
a b c d b c d b d
 
     
c c c
a b c d c d a a c
 
     
d d d
a b c d d a b d b
 
     
 Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. 
 c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có: 
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
   
 
       
 Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm. 
Bài 5. Cho a, b, c  R. Chứng minh bất đẳng thức: a b c ab bc ca2 2 2     (1). Áp dụng 
chứng minh các bất đảng thức sau: 
 a) a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )     b) 
a b c a b c
2
2 2 2
3 3
    
  
 
 c) a b c ab bc ca2( ) 3( )     d) a b c abc a b c4 4 4 ( )     
Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 33 
 e) 
a b c ab bc ca
3 3
   
 với a,b,c>0. f) a b c abc4 4 4   nếu a b c 1   
 HD:  a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0      . 
 a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a) 
 d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1) 
 f) Sử dụng d) 
Bài 6. Cho a, b  0 . Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab a b3 3 2 2 ( )     (1). Áp 
dụng chứng minh các bất đảng thức sau: 
 a) 
abca b abc b c abc c a abc
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
  
     
; với a, b, c > 0. 
 b) 
a b b c c a
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
  
     
; với a, b, c > 0 và abc = 1. 
 c) 
a b b c c a
1 1 1
1
1 1 1
  
     
; với a, b, c > 0 và abc = 1. 
 d) a b b c c a a b c3 3 3 3 3 33 3 34( ) 4( ) 4( ) 2( )        ; với a, b, c  0 . 
 e*) 
A B C
A B C
3 3 3
3 3 3sin sin sin cos cos cos
2 2 2
     ; với ABC là một tam giác. 
 HD: (1)  a b a b2 2( )( ) 0   . 
 a) Từ (1)  a b abc ab a b c3 3 ( )      
ab a b ca b abc
3 3
1 1
( )

  
. 
 Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 
 b, c) Sử dụng a). 
 d) Từ (1)  a b a b ab3 3 2 23( ) 3( )    a b a b3 3 34( ) ( )   (2). 
 Từ đó: VT  a b b c c a a b c( ) ( ) ( ) 2( )        . 
 e) Ta có: 
C A B C
A Bsin sin 2cos .cos 2cos
2 2 2

   . 
 Sử dụng (2) ta được: a b a b3 33 4( )   . 
  
C C
A B A B
3 3 3 3 3sin sin 4(sin sin ) 4.2.cos 2 cos
2 2
     
 Tương tự, 
A
B C
3 3
3sin sin 2 cos
2
  , 
B
C A
33
3sin sin 2 cos
2
  
 Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. 
Bài 7. Cho a, b, x, y  R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): 
 a x b y a b x y2 2 2 2 2 2( ) ( )       (1) 
 Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: 
 a) Cho a, b  0 thoả a b 1  . Chứng minh: a b2 21 1 5    . 
 b) Tìm GTNN của biểu thức P = a b
b a
2 2
2 2
1 1
   . 
 c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1   . Chứng minh: 
 x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82      . 
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 34 
 d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 3   . Tìm GTNN của biểu thức: 
 P = x y z2 2 2223 223 223     . 
 HD: Bình phương 2 vế ta được: (1)  a b x y ab xy2 2 2 2( )( )    (*) 
  Nếu ab xy 0  thì (*) hiển nhiên đúng. 
  Nếu ab xy 0  thì bình phương 2 vế ta được: (*)  bx ay 2( ) 0  (đúng). 
 a) Sử dụng (1). Ta có: a b a b2 2 2 21 1 (1 1) ( ) 5        . 
 b) Sử dụng (1). P  a b a b
a b a b
2 2
2 21 1 4
( ) ( ) 17
   
         
   
 Chú ý: 
a b a b
1 1 4
 

 (với a, b > 0). 
 c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: 
 x y z x y z
x y zx y z
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
( )
 
           
 
  x y z
x y z
2
2 9
( ) 82
 
    
  
. 
 Chú ý: 
x y z x y z
1 1 1 9
  
 
(với x, y, z > 0). 
 d) Tương tự câu c). Ta có: P    x y z
2
2
3 223 ( ) 2010    . 
Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: 
 a) ab bc ca a b c ab bc ca2 2 2+ <2( )      
 b) abc a b c b c a a c b( )( )( )       
 c) a b b c c a a b c2 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 0      
 d) a b c b c a c a b a b c2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )        
 HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a b bc c2 2 22      . 
 Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 
 b) Ta có: a a b c a a b c a b c2 2 2 2( ) ( )( )         . 
 Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 
 c)  a b c a b c b c a c a b( )( )( )( ) 0         . 
 d)  a b c b c a c a b( )( )( ) 0       . 
Bài 9. 
 a) 
Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 35 
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si 
1. Bất đẳng thức Cô–si: 
 + Với a, b  0, ta có: 
a b
ab
2

 . Dấu "=" xảy ra  a = b. 
 + Với a, b, c  0, ta có: 
a b c
abc
3
3
 
 . Dấu "=" xảy ra  a = b = c. 
2. Hệ quả: + 
a b
ab
2
2
 
 
 
 + 
a b c
abc
3
3
  
 
 
3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: 
 + Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y. 
 + Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y. 
Bài 1. Cho a, b, c  0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) a b b c c a abc( )( )( ) 8    b) a b c a b c abc2 2 2( )( ) 9     
 c)  a b c abc
3
3
(1 )(1 )(1 ) 1     d) 
bc ca ab
a b c
a b c
     ; với a, b, c > 0. 
 e) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6      
 f) 
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
 
  
  
; với a, b, c > 0. 
 g) 
a b c
b c c a a b
3
2
  
  
; với a, b, c > 0. 
 HD: a) a b ab b c bc c a ca2 ; 2 ; 2       đpcm. 
 b) a b c abc a b c a b c
32 2 2 2 2 23
3 ; 3       đpcm. 
 c)  a b c a b c ab bc ca abc(1 )(1 )(1 ) 1           
  a b c abc33    ab bc ca a b c
3 2 2 2
3   
   a b c abc a b c abc abc
3
3 2 2 23 3
(1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1         
 d) 
bc ca abc
c
a b ab
2
2 2   , 
ca ab a bc
a
b c bc
2
2 2   , 
ab bc ab c
b
c a ac
2
2 2   đpcm 
 e) VT  a b b c c a2 2 22( )   a b c abc
3 3 3 3
6 6 . 
 f) Vì a b ab2  nên 
ab ab ab
a b ab 22
 

. Tương tự: 
bc bc ca ca
b c c a
;
2 2
 
 
. 
  
ab bc ca ab bc ca a b c
a b b c c a 2 2
   
   
  
 (vì ab bc ca a b c     ) 
 g) VT = 
a b c
b c c a a b
1 1 1 3
     
          
       
 =  a b b c c a
b c c a a b
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 3
2
 
        
   
 
9 3
3
2 2
  . 
  Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b. 
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 36 
 Khi đó, VT = 
x y z x z y
y x x z y z
1
3
2
      
          
     
  
1 3
(2 2 2 3)
2 2
    . 
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) a b c a b c
a b c
3 3 3 21 1 1
( ) ( )
 
       
 
 b) a b c a b c a b c3 3 3 2 2 23( ) ( )( )       c) a b c a b c3 3 3 39( ) ( )     
 HD: a) VT = 
a b b c c a
a b c
b a c b a c
3 3 3 3 3 3
2 2 2
     
            
     
. 
 Chú ý: 
a b
a b ab
b a
3 3
2 2
2 2   . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. 
 b)       a b c a b b a b c bc c a ca3 3 3 2 2 2 2 2 22( )        . 
 Chú ý: a b ab a b3 3 ( )   . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. 
 c) Áp dụng b) ta có: a b c a b c a b c3 3 3 2 2 29( ) 3( )( )       . 
 Dễ chứng minh được: a b c a b c2 2 2 23( ) ( )      đpcm. 
Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh 
a b a b
1 1 4
 

 (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: 
 a) 
a b c a b b c c a
1 1 1 1 1 1
2
 
     
   
; với a, b, c > 0. 
 b) 
a b b c c a a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2
 
     
         
; với a, b, c > 0. 
 c) Cho a, b, c > 0 thoả 
a b c
1 1 1
4   . Chứng minh: 
a b c a b c a b c
1 1 1
1
2 2 2
  
     
 d) 
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
 
  
  
; với a, b, c > 0. 
 e) Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12   . Chứng minh: 
xy yz xz
x y y z z x
2 8 4
6
2 2 4 4
  
  
. 
 f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 
p a p b p c a b c
1 1 1 1 1 1
2
 
     
    
. 
 HD: (1)  a b
a b
1 1
( ) 4
 
   
 
. Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si. 
 a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 
a b a b b c b c c a c a
1 1 4 1 1 4 1 1 4
; ;     
  
. 
 Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. 
 b) Tương tự câu a). 
 c) Áp dụng a) và b) ta được: 
a b c a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 1
4
2 2 2
 
     
      
. 
 d) Theo (1): 
a b a b
1 1 1 1
4
 
  
  
  
ab
a b
a b
1
( )
4
 

. 
 Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. 
 e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12    đpcm. 
 f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c. 
Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 37 
 Áp dụng (1) ta được: 
p a p b p a p b c
1 1 4 4
( ) ( )
  
    
. 
 Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. 
Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 
a b c a b c
1 1 1 9
  
 
 (1). Áp dụng chứng minh các 
BĐT sau: 
 a) a b c a b c
a b b c c a
2 2 2 1 1 1 3
( ) ( )
2
 
       
   
. 
 b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   . Tìm GTLN của biểu thức: P = 
x y z
x y z1 1 1
 
  
. 
 c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   . Tìm GTNN của biểu thức: 
 P = 
a bc b ac c ab
2 2 2
1 1 1
2 2 2
 
  
. 
 d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   . Chứng minh: 
ab bc caa b c
2 2 2
1 1 1 1
30   
 
. 
 e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh: 
A B C
1 1 1 6
2 cos2 2 cos2 2 cos2 5
  
  
. 
 HD: Ta có: (1)  a b c
a b c
1 1 1
( ) 9
 
     
 
. Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si. 
 a) Áp dụng (1) ta được: 
a b b c c a a b c
1 1 1 9
2( )
  
    
. 
  VT  
a b c a b c
a b c
a b c a b c
2 2 2 2 2 2
9( ) 3 3( ) 3
. ( )
2( ) 2 2
   
   
   
 Chú ý: a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )     . 
 b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau: 
 P = 
x y z
x y z
1 1 1 1 1 1
1 1 1
     
 
  
 = 
x y z
1 1 1
3
1 1 1
 
   
   
 Ta có: 
x y z x y z
1 1 1 9 9
1 1 1 3 4
   
     
. Suy ra: P  
9 3
3
4 4
  . 
 Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau: 
 Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN 
 của biểu thức: P = 
x y z
kx ky kz1 1 1
 
  
. 
 c) Ta có: P  
a bc b ca c ab a b c
2 2 2 2
9 9
9
2 2 2 ( )
 
      
. 
 d) VT  
ab bc caa b c
2 2 2
1 9

  
 = 
ab bc ca ab bc ca ab bc caa b c
2 2 2
1 1 1 7 
   
       
  
ab bc caa b c
2
9 7 9 7
30
11( )
3
   
  
Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 38 
 Chú ý: ab bc ca a b c 2
1 1
( )
3 3
      . 
 e) Áp dụng (1): 
A B C A B C
1 1 1 9
2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2
  
     
  
9 6
3 5
6
2


. 
 Chú ý: A B C
3
cos2 cos2 cos2
2
   . 
Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau: 
 a) 
x
y x
x
18
; 0
2
   . b) 
x
y x
x
2
; 1
2 1
  

. 
 c) 
x
y x
x
3 1
; 1
2 1
   

. d) 
x
y x
x
5 1
;
3 2 1 2
  

 e) 
x
y x
x x
5
; 0 1
1
   

 f) 
x
y x
x
3
2
1
; 0

  
 g) 
x x
y x
x
2
4 4
; 0
 
  h) y x x
x
2
3
2
; 0   
 HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 
3
2
 khi x = 3 
 c) Miny = 
3
6
2
 khi x = 
6
1
3
 d) Miny = 
30 1
3

 khi x = 
30 1
2

 e) Miny = 2 5 5 khi x
5 5
4

 f) Miny = 
3
3
4
 khi x = 3 2 
 g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 
5
5
27
 khi x = 5 3 
Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: 
 a) y x x x( 3)(5 ); 3 5      b) y x x x(6 ); 0 6    
 c) y x x x
5
( 3)(5 2 ); 3
2
      d) y x x x
5
(2 5)(5 ); 5
2
      
 e) y x x x
1 5
(6 3)(5 2 );
2 2
      f) 
x
y x
x
2
; 0
2
 

 g) 
 
x
y
x
2
3
2
2


 HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 
 c) Maxy = 
121
8
 khi x = 
1
4
 d) Maxy = 
625
8
 khi x = 
5
4
 e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 
1
2 2
 khi x = 2 ( x x22 2 2  ) 
 g) Ta có: x x x
32 2 2
2 1 1 3      x x2 3 2( 2) 27   
x
x
2
2 3
1
27( 2)


Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 39 
  Maxy = 
1
27
 khi x = 1. 
Bài 7. 
 a) 
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki 
1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) 
  Với a, b, x, y  R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )    . Dấu "=" xảy ra  ay = bx. 
  Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: ax by cz a b c x y z2 2 2 2 2 2 2( ) ( )( )       
Hệ quả: 
  a b a b2 2 2( ) 2( )    a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )     
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) a b2 23 4 7  , với a b3 4 7  b) a b2 2
735
3 5
47
  , với a b2 3 7  
 c) a b2 2
2464
7 11
137
  , với a b3 5 8  d) a b2 2
4
5
  , với a b2 2  
 e) a b2 22 3 5  , với a b2 3 5  f) x y x y2 2
9
( 2 1) (2 4 5)
5
      
 HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3, 4, 3 , 4 . 
 b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b
2 3
, , 3 , 5
3 5
 . 
 c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b
3 5
, , 7 , 11
7 11
 . 
 d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,2, , . 
 e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2, 3, 2 , 3 . 
 f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT  a b2 2
9
5
  . 
 Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm. 
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) a b2 2
1
2
  , với a b 1  . b) a b3 3
1
4
  , với a b 1  . 
 c) a b4 4
1
8
