Ôn tập Đại số 10 - Chương I: Mệnh đề và Tập hợp

MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
MỆNH ĐỀ
1. Định nghĩa: Mệnh đề là một phát biểu (một câu khẳng định) luôn đúng hoặc luôn sai (không thể vừa đúng hoặc vừa sai).
 Mệnh đề thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa như: P, Q, R, S, 
 Ví dụ 1: Mệnh đề P là “Mặt trời mọc ở hướng Đông”. Đây là mệnh đề đúng hay P đúng.
 Mệnh đề Q là “Hai nhân hai bằng 6”. Đây là mệnh đề sai hay Q sai.
2. Mệnh đề chứa biến: Trong phát biểu chứa biến và chưa biết được đúng sai.
 Ví dụ 2: là “ chia hết cho 5”.
 + Nếu thì đúng.
 + Nếu thì sai.
3. Mệnh đề phủ định (phủ định mệnh đề): Cho mệnh đề P, khi đó mệnh đề phủ định của P là .
 + Nếu P đúng thì sai.
 + Nếu P sai thì đúng.
 Ví dụ 3: Cho mệnh đề Q “”. Khi đó mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là 
4. Mệnh đề kéo theo: Cho hai mệnh đề P và Q. Ta nói mệnh đề “nếu P thì Q”, kí hiệu: “”
 (Nếu có P thì có Q, ngược lại nếu có Q thì chưa chắc là có P)
 + Ta nói Q là điều kiện cần để có P.
 + Hay P là điều kiện đủ để có Q.
 Chú ý: Đây là cơ sở để giải những bài tập khó cần phải sử dụng điều kiện cần và đủ. 
 Ví dụ 4: Nếu vuông tại A thì (Định lí Pytago).
 Nếu thì vuông tại A (Định lí Pytago đão). 
5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương: 
 Mệnh đề đảo của mệnh đề là mệnh đề .
 Cho hai mệnh đề P và Q đều là 2 mệnh đề đúng, khi đó nếu ta có thì hai mệnh đề P và Q tương đương. Kí hiệu .
 Chú ý: Hai mệnh đề tương đương có cùng tính chất.
 Ví dụ 5: Từ ví dụ 4, ta có: vuông tại A 
6. Lượng từ: Có 2 lượng từ là (đọc là với mọi) và (đọc là tồn tại).
 Ví dụ 6: Mệnh đề “”. Mệnh đề này sai vì phương trình vô nghiệm với mọi .
 Mệnh đề “”. Mệnh đề này sai vì nếu chọn thì .
 Mệnh đề “”. Mệnh đề này đúng vì thay vào ta được: .
 Chú ý: Phủ định của lượng từ “” là “”, phủ định của lượng từ “” là “”.
 Phủ định của “” là “”, của “” là “”, của “>” là “”, của “” là “>”, của “” là “<”.
 Ví dụ 7: Cho mệnh đề P là , khi đó: . P đúng, sai.
 Cho mệnh đề Q là , khi đó: :. Q sai, đúng.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài tập 1: Câu nào sau đây là mệnh đề đúng, mệnh đề sai?
a. Đây là đâu? b. Phương trình: vô nghiệm.
c. d. 16 không là số nguyên tố.
Bài tập 2: Tìm các mệnh đề đúng, mệnh đề sai và cho biết mệnh đề đảo của chúng.
a. “Phương trình ” b. “6 là số nguyên tố” c. “ là số lẻ”
Bài tập 3: Xác định tính đúng sai và cho biết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a. b. 
Bài tập 4: Phát biểu mệnh đề , xét tính đúng sai và phát biểu mệnh đề đảo của nó.
 là hình chữ nhật” và “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
 và .
 “ABC là tam giác vuông cân tại A” và “Góc 
Bài tập 5: Phát biểu mệnh đề bằng 2 cách và xét tính đúng sai của nó.
 là hình chữ nhật” và “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
 “9 là số nguyên tố” và “ là số nguyên tố”
Bài tập 6: Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phat biểu mệnh đề đảo của nó.
 “Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc nhau”
 “Tam giác cân có 1 góc là tam giác đều”
 “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10”
Bài tập 7: Cho mệnh đề chứa biến . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a. b. c. d. 
Bài tập 8: Phát biểu mệnh đề và của các cặp mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.
A: “Tứ giác là hình bình hành” và B: “Tứ giác có hai cạnh đối diện bằng nhau”
A: “Tứ giác là hình vuông” và B: “Tứ giác có ba góc vuông”
A: “” và B: “” (với )
A: “Điểm M cách đều hai cạnh của góc ” và B: “Điểm M nằm trên đường phân giác góc ”
Bài tập 9: Hãy xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và phủ định chúng.
a. b. c. 
Bài tập 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đảo đúng:
A: “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”
B: “Tam giác cân có một góc là tam giác đều”
C: “Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương”
D: “Hình thoi có một góc vuông là hình vuông”
Bài tập 11: Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây và xét tính đúng sai của chúng.
A: B: 
C: D: 
E: F: 
G: H: 
Bài tập 12: Cho số thực , xét các mệnh đề chứa biến:
Phát biểu mệnh đề , mệnh đề đảo và tính đúng sai của mệnh đề đó.
Hãy chỉ ra một giá trị của làm cho mệnh đề sai.
Bài tập 13: Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.
Nếu thì ABC là tam giác đều.
Nếu thì 
Nếu thì ABC là tam giác vuông.
II. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài tập 14: Hãy phát biểu và chứng minh các định lý sau đây
a. b. c. 
Bài tập 15: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây, tại sao? Lập mệnh đề phủ định của chúng.
a. b. 
c. d. 
Bài tập 16: Cho : “n là số chẵn” và : “ là số chẵn”
Phát biểu và chứng minh định lý “”
Phát biểu và chứng minh định lý đảo của định lý trên.
Phát biểu gộp 2 định lý trên bằng 2 cách.
Bài tập 17: Chứng minh rằng: là số vô tỉ.
TẬP HỢP
1. Định nghĩa: Là một nhóm các phần tử có cùng tính chất hoặc có cùng một đặc điểm nào đó. Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa như: A, B, C,
 Ví dụ 1: Tập hợp những học sinh lớp chuyên Hóa của Trường Chuyên Thành Phố Cao Lãnh.
 Tập hợp các chữ cái bảng chữ cái (trong bảng chữ cái Việt Nam).
 Cho tập hợp A.
 + Nếu là phần tử thuộc tập A ta viết 
 + Nếu là phần tử không thuộc tập A ta viết 
 Một vài tập hợp số thường gặp:
 + Tập các số tự nhiên: 
 + Tập các số tự nhiên khác 0: 
 + Tập các số nguyên: 
 + Tập các số hữu tỉ: 
 + Tập các số thực: gồm tất cả các số trên kể cả số vô tỉ.
2. Cách xác định tập hợp: Có 2 cách để xác định tập hợp.
 a. Liệt kê: Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấy , các phần tử cách nhau bởi dấu “,”.
A
 Ví dụ 2: 
 b. Nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
Tập hợp A
 Ví dụ 3: 
 Ta thường minh họa tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven.
3. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là .
4. Tập con của một tập hợp: 
 Tập hợp A là con của tập hợp B hay còn gọi tập B là tập cha của tập A. Kí hiệu: .
 Ví dụ 4: Cho . Khi đó: vì .
 Chú ý: » » » (bắc cầu).
 Số tập con của một tập hợp: Tập hợp A gồm có n phần tử thì số tập con của tập hợp A là .
 Ví dụ 5: Cho , các tập con của tập hợp A là .
5. Hai tập hợp bằng nhau: 
6. Các phép toán trên tập hợp: 
 a. Phép giao: hay 
 b. Phép hợp: hay 
 c. Hiệu của hai tập hợp: hay 
 d. Phần bù: Cho tập , khi đó phần bù của trong là , kí hiệu là .
 Vậy 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
§ BÀI TẬP VỀ TẬP HỢP
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
Bài 2: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
Bài 3: Cho tập hợp 
 Hãy liệt kê tất cả các tập con của tập hợp chứa đúng 2 phần tử.
Bài 4: Hãy xét quan hệ bao hàm các tập hợp sau:
 A là tập hợp các tam giác.
 B là tập hợp các tam giác đều. C là tập hợp các tam giác cân.
Bài 5: Cho hai tập hợp:
 là ước của là ước chung của 6 và 
 Hãy xét quan hệ bao hàm của hai tập hợp trên.
Bài 6: Hãy xét quan hệ bao hàm của hai tập hợp A và B dưới đây. Hai tập hợp A và B có bằng nhau không?
A là tập các hình vuông, B là tập các hình thoi.
 là ước của và là ước chung của 24 và 
Bài 7: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau đây.
 A là tập các hình tứ giác B là tập các hình bình hành
 C là tập các hình vuông D là tập các hình chữ nhật
Bài 8: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau đây.
 A là tập các hình tứ giác B là tập các hình bình hành
 C là tập các hình thang D là tập các hình chữ nhật
 E là tập các hình vuông G là tập các hình thoi
Bài 9: Cho
 tập hợp tất cả các tam giác vuông
 tập hợp tất cả các tam giác 
 tập hợp tất cả các tam giác cân
 tập hợp tất cả các tam giác đều
 tập hợp tất cả các tam giác vuông cân
 Xác định tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập trên.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 10: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
Bài 11: Viết các tập hợp sau đây bằng cách nêu tính chất đặc trưng của chúng.
Bài 12: Tìm tập hợp X sao cho 
Bài 13: Tìm tập hợp X sao cho và , trong đó: và 
Bài 14: Chứng minh rằng với là ước của và là ước của thì 
Bài 15: Cho . Tìm các cặp số để .
Bài 16: Cho .
Tìm tất cả các tập X sao cho .
Tìm tất cả các tập Y sao cho 
Bài 17: Cho là ước nguyên dương của ; 
 và 
Tìm tất cả các tập X sao cho 
Tìm tất cả các tập Y sao cho 
§ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho 
 Xác định các tập hợp sau: 
Bài 2: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho . Hãy xác định: .
Bài 4: Cho . Hãy xác định .
Bài 5: Cho 
Tìm b. Chứng minh: 
Bài 6: Cho 
Chứng minh: và 
Tìm và . Tìm quan hệ của hai tập này.
Chứng minh rằng: .
Bài 7: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 8: Hãy xác định: 
Bài 9: Cho 
 Xác định các tập hợp sau: 
Bài 10: Cho và 
Xác định các tập hợp sau: 
Chứng minh rằng: 
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 11: Cho tập A. Hãy cho biết quan hệ giữa tập B và tập A nếu
Bài 12: Cho A và B là hai tập hợp. Hãy xác định các tập hợp sau:
a. b. c. d. 
Bài 13: Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
a. b. c. d. 
Bài 14: Chứng minh nhận định sau:
 và 
 thì 
 với là tập hợp các tập con của X.
Với thì ta có 
Bài 15: Tìm tập hợp X sao cho với .
Bài 16: Gọi là số phần tử tập . Cho 
 Tính 
Bài 17:
Xác định các tập hợp X sao cho 
Cho . Xác định các tập hợp X sao cho 
Tìm biết 
Bài 18: Cho 
Liệt kê A, B
Chứng minh rằng: 
Bài 19: Cho tập hợp: 
Chứng minh rằng: b. Tìm 
Bài 20: Chứng minh rằng:
Nếu 
§ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ
Bài 1: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số
a. b. c. d. 
Bài 2: Cho . Xác định các tập hợp: .
Bài 3: Cho . 
 Viết các tập sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng: .
Bài 4: Cho và .
 Xác định các tập hợp: 
Bài 5: Cho và .
 Xác định các tập hợp: 
Bài 6: Cho và . Xác định các tập hợp: 
Bài 7: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số
a. b. 
c. d. 
Bài 8: Cho , và . 
Xác định các tập hợp: 
Gọi . Xác định để 
Bài 9: Viết phần bù trong các tập hợp sau:
Bài 10: Cho 
Tìm khoảng – đoạn – nửa khoảng sau đây: 
Cho . Xác định biết rằng là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9. Tìm .