Nội dung ôn tập chương IV Đại số 9

NỘI DUNG ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 9
------***------
Dạng 1: Hàm số và đồ thị của hàm số:
Bài 1: 
Bài 2: Cho hai hàm số (P): y = x2 và (d): y = 2x - .
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
	b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Bài 3 : 
	a) Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = -x + 2 trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Bài 4 : Cho hàm số (P) : y = -x2 và (d) y = 3x + 2
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Bài 5 : Cho hàm số (P) : y = -x2 và (d) y = x – 2.
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
X
-2
-1
0
1
2
y = -x2
-4
-1
0
-1
-2
x
0
1
y = x – 2
-2
-1
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
	-x2 = x – 2 x2 + x - 2 = 0 
	Phương trình (5) có a + b + c = 1 + 1 + (-2) = 0 
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = 1 và x2 = = -2
	+ Thay x1 = 1 vào (P) ta được: y1 = -1	+ Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = -4
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (1; -1) và (-2; -4)
Bài 6 : Cho hàm số (P) : y = x2 và (D) y = x + 2.
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.
Bài 7 : Cho hàm số (P) : y = x2 và (d) y = x + .
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
X
-6
-3
0
3
6
y = x2
12
3
0
3
12
x
-2
-0.5
y = x + 
0
0.5
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
	x2 = x + x2 –x - = 0 x2 – x – 2 = 0
	(a = 1; b = 1; c = -8)
	Phương trình (7) có a – b + c = 1 + 1 + (-2) = 0
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = -1 và x2 = = 2
	+ Thay x1 = -1 vào (P) ta được: y1 = 	+ Thay x2 = 2 vào (P) ta được: y2 = 
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (-1; ) và (2; )
Bài 8 : Cho hàm số (P) : y = x2 và (d) y = x + 1.
x
-4
-2
0
2
4
Y = x2
-8
-2
0
-2
-8
x
-2
0
y = x + 1
3
1
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
	x2 = x + 1 x2 x – 1 = 0 x2 – 3x + 2 = 0 (8)
	(a = 1; b = -3; c = 2)
	Phương trình (8) có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = 1 và x2 = = 2
	+ Thay x1 = -1 vào (P) ta được: y1 = 	+ Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = -2
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (-1; ) và (-2; -2)
	Dạng 2 : Giải phương trình bậc hai một ẩn.
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
	a/ 5x2 – 3x = 0 ĩ x(5x – 3) = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
	b/ 36x2 – 4 = 0 ĩ 36x2 = 4 ĩ x2 = ĩ x = . Vậy S = .
	c/ 3m2 – 8m + 5 = 0 ©
	(a = 3; b = -8; c = 5)
	* Phương trình © có: a + b + c = 3 + (-8) + 5 = 0 
	Nên 2 nghiệm của phương trình © sẽ là: x1 = 1 và x2 = . Vậy S = 
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
	a/ 7x2 – 5x = 0 ĩ x(7x – 5) = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	b/ 2x2 – 7x + 3 = 0 (a = 2 ; b = -7 ; c = 3) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0
	Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :
	x1 = = 3 ; x2 = = . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 3 : Giải các phương trình sau :
	a/ x2 – 9 = 0 ĩ x2 = 9 ĩ x = 3. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	b/ 5x2 + x = 0 ĩ x(5x +) = 0 ĩ . Vậy S = .
	c/ x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1; b’ = -2; c = 4)
	∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.4 = 0. Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = 2.
	Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 4 : Giải các phương trình sau :
	a/ 3x2 – 27 = 0 ĩ 3x2 = 27 ĩ x2 = 9 ĩ x = 3. Vậy S = .
	b/ 2x2 + 5x = 0 ĩ x(2x + 5) = 0 ĩ . Vậy S = .
	c/ 2x2 – 7x + 3 = 0 (a = 2 ; b = -7 ; c = 3)	∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0
	Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :
	x1 = = 3 ; x2 = = . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	d/ x2 - 4x + 12 = 0 (a = 1 ; b’ = -2 ; c = 12) ∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.12 = 0. 
	Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = 2. Vậy S = .
Bài 5 : Giải các phương trình sau :
	a/ x2 – 25 = 0 ĩ x2 = 25 ĩ x = 5. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	b/ 4x2 + 5x = 0 ĩ x(4x + 5) = 0 ĩ . Vậy S = .
	c/ 4y2 + 12y + 9 = 0 (a = 4; b’ = 6; c = 9)
	∆’ = b’2 – ac = 36 – 4.9 = 0. Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép:
	y1 = y2 = = -1,5. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
d/ 5t2 – 3t – 8 = 0 (a = 5; b = -3; c = -8) 
	Phương trình đã cho có: a – b + c = 5 – (-3) + (-8) = 0.
	Nên 2 nghiệm của phương trình sẽ là: t1 = -1 và t2 = . Vậy S = 
Bài 6 : Giải các phương trình sau :
	a/ 3x2 – 27 = 0 ĩ 3x2 = 27 ĩ x2 = 9 ĩ x = 3. Vậy S = .
 b/ 7x2 – 5x = 0 ĩ x(7x – 5) = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
 c/ 5x2 – 4x – 9 = 0 (*) 
	(a = 5; b = -4; c = -9) Phương trình (*) có: a – b + c = 5 – (-4) + (-9) = 0
	 Nên 2 nghiệm của phương trình (*) sẽ là: x1 = -1 và x2 = . Vậy S = .
Bài 7 : Giải các phương trình sau :
	a/ 4x2 + 2x – 6 = 0 (**) (a = 4; b = 2; c = -6) Phương trình (**) có: a + b + c = 4 + 2 + (-6) = 0.
	Nên 2 nghiệm của phương trình (**) sẽ là: x1 = 1 và x2 = -1,5. Vậy S = .
	b/ 2x2 – 8 = 0 ĩ x = 2. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	c/ 3x2 – 6x = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 8 : Giải các phương trình sau :
	a/ 4x2 – 16 = 0 ĩ x = 2. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	b/ 2x2 + 3x = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	c/ 2x2 – 7x – 4 = 0 (a = 2; b = -7; c = -4) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.(-4) = 49 + 32 = 81 > 0
	Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = = 4 ; x2 = = . 
	Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 9 : Giải các phương trình sau :
	a/ 7x2 – 12x + 5 = 0 (a)	Phương trình (a) có: a + b + c = 7 + (-12) + 5 = 0
	Nên 2 nghiệm của phương trình (a) sẽ là: x1 = 1 và x2 = . Vậy S = .
	b/ 9x2 – 1 = 0 ĩ x = . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	c/ 3x2 – 6x = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	Dạng 3: Biện luận về nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tham số m.
Bài 1: Cho phương trình ẩn x, tham số m: x2 – 2(m + 1)x + m2 = 0 (1).
	a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
	x2 – 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)	(a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2)
	∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.m2 = m2 + 2m + 1 – m2 = 2m + 1.
	* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => 2m + 1 > 0 ĩ m > .
	* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => 2m + 1 = 0 ĩ m = .
	* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ 2m + 1 < 0 ĩ m < .
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 14.
* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* x12 + x22 = 14 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 14 ĩ [2(m + 1)]2 – 2m2 = 14 ĩ 4m2 + 8m + 4 – 2m2 = 14
ĩ 2m2 + 8m – 10 = 0 (t). Phương trình (t) có : a + b + c = 2 + 8 + (-10) = 0 nên 2 nghiệm của phương trình (t) sẽ là : m1 = 1 và m2 = -5 (loại).
	Vậy khi m = 1 thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 14.
Bài 2 : Cho phương trình : x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0.
	a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
	(a = 1 ; b’ = -(m + 1) ; c = m – 4). ∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.(m – 4) 
	= m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 – m + 5 = m2 – 2m + ()2 + 5 = (m - )2 + 5 0 với mọi m.
	b) Tính tổng và tích các nghiệm theo m.
Phương trình có nghiệm (câu a)
	* Điều kiện: 
	* Aùp dụng định lý Vi-ét ta có: 
Bài 3 : Cho phương trình : x2 + 4x + m + 1 = 0 (1).
	a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
	x2 + 4x + m + 1 = 0 (1)	(a = 1; b’ = 2; c = m + 1) ∆’ = b’2 – ac = 22 – 1.(m + 1) = 3 – m.
	* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => 3 – m > 0 ĩ m < 3.
	* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => 3 – m = 0 ĩ m = 3.
	* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ 3 – m 3.
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10.
* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* x12 + x22 = 10 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 ĩ (-4)2 – 2(m + 1) = 10 ĩ m = (nhận) 
	Vậy khi m = thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10.
Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0 (1)
	a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
	x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0 (1) (a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2 + m – 1)
	∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.( m2 + m – 1) = m2 + 2m + 1 – m2 – m + 1 = m + 2
	* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => m + 2 > 0 ĩ m > -2.
	* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => m + 2 = 0 ĩ m = -2.
	* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ m + 2 -2.
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 14.
* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* x12 + x22 = 14 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 14 ĩ [-2(m + 1)]2 – 2m2 – 2m + 2 = 14 
ĩ 4m2 + 8m + 4 – 2m2 – 2m + 2 – 14 = 0 ĩ 2m2 + 6m – 8 = 0 (L)
	* Phương trình (L) có: a + b + c = 2 + 6 + (-8) = 0
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: m1 = 1; m1 = -4 (loại) 
	Vậy khi m = 1 thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 14.
Bài 5: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2x – m2 – 4 = 0 (m là tham số).
	a) Chứng tỏ rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
	(a = 1 ; b = -2; c = -(m2 + 4))
	* Phương trình đã cho có: a = 1; c = -(m2 + 4), tức là a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
	b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để x12 + x22 = 20.
Phương trình có nghiệm (câu a)
	* Điều kiện: 
	* Aùp dụng định lý Vi-ét ta có: 
	* x12 + x22 = 20 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 20 ĩ 4 – 2(-m2 – 4) = 20 ĩ 4 + 2m2 + 4 = 20 
	ĩ 2m2 – 12 = 0 ĩ m = . 
	Vậy khi m = thì phương trình đã cho sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 20.
Bài 6: Cho phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0 (1).
	a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
	∆ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.(m + 1) = 4 – m – 1 = 3 – m.
	Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0 ĩ 3 – m > 0 => m < 3.
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 26.
	* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* x12 + x22 = 26 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 26 ĩ 42 – 2(m + 1) = 26 
	ĩ 16 – 2m – 1 = 26 ĩ m = (nhận) 
	Vậy khi m = thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 26.
Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 2x + m + 2 = 0.
	a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12 + x22 = 10.
	Bài 8: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham so thực: x2 – 10x – m2 = 0 (1).
	a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
	∆’ = b’2 – ac = (-5)2 – 1.(-m)2 = 25 – m2
Ta có: m2 0 với mọi m => 25 – m2 0 với mọi m.
Từ đó phương trình (1) sẽ có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12 + x22 = 100.
Phương trình có nghiệm (câu a)
	* Điều kiện: 
	* Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
	* x12 + x22 = 100 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 100 ĩ 102 – 2[(-m)2] = 100 ĩ 100 – 2m = 100
	 ĩ m = 0 (nhận) 
	Vậy khi m = 0 thì phương trình đã cho sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 100.
Bài 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 4x + m = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10.
*MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO.
ĐỀ 1.
Bài I (2,5 điểm)
	1) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36
	2) Rút gọn biểu thức (với )
	3) Với các của biểu thức A và B nĩi trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
Bài II (2,0 điểm). Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
	Hai người cùng làm chung một cơng việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hồn thành cơng việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong cơng việc?
Bài III (1,5 điểm)
	1) Giải hệ phương trình: 
	2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : 
Bài IV (3,5 điểm)
	Cho đường trịn (O; R) cĩ đường kính AB. Bán kính CO vuơng gĩc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
	1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.
	2) Chứng minh 
	3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuơng cân tại C
	4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
Bài V (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
ĐỀ 2:
Câu 1: (2,0 điểm).
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
Rút gọn P.
Câu 2: (2,0 điểm). 
Giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
Một tam giác vuơng cĩ đường cao ứng với cạnh huyền dài 24cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng hơn kém nhau 14cm. Tính độ dài cạnh huyền và diện tích của tam giác vuơng đĩ.
Câu 3: (2,0 điểm).
Cho phương trình: (1)	(trong đĩ x là ẩn, m là tham số).
Giải phương trình (1) với .
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm và thỏa mãn .
Câu 4: (3,0 điểm).
	Cho tam giác đều ABC cĩ đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M khơng trùng với B và C). Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ M đến AB và AC, O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng:
Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường trịn.
Tứ giác OPHQ là hình gì ? vì sao ?
Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để đoạn thẳng PQ cĩ độ dài nhỏ nhất.
Câu 5: (1,0 điểm).
Cho các số thực a, b, c khơng âm thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 	
.
ĐỀ 3:
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Cho phương trình với các hệ số .
a. Tính tổng: 	 
b. Giải phương trình trên.
2. Giải hệ phương trình .
Câu 2: (2,0 điểm). 
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức .	
b) Tính giá trị của khi .
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho đường thẳng và parabol .
a) Tìm để đi qua .
b) Tìm để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ lần lượt là thỏa mãn điều kiện .
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường trịn (O;R) đường kính EF. Bán kính IO vuơng gĩc với EF, gọi J là điểm bất kỳ trên cung nhỏ EI (J khác E và I), FJ cắt EI tại L, kẻ LS vuơng gĩc với EF (S thuộc EF).
a) Chứng minh tứ giác IFSL nội tiếp.
b) Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN=EJ. Chứng minh rằng, tam giác IJN vuơng cân.
c) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại E. Lấy D là điểm nằm trên d sao cho hai điểm D và I nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng EF và . Chứng minh rằng đường thẳng FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho thỏa mãn . CMR: .