Những bài toán học hay

Bµi 1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Trong chương trình Toán lớp 6, các em đã được học về các bài toán liên quan tới phép chia hết của một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0 và đặc biệt là được giới thiệu về số chính phương, đó là số tự nhiên bằng bình phương của một số tự nhiên (chẳng hạn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; ). 
Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài toán : Chứng minh một số không phải là số chính phương. Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức mà các em đã được học. Những bài toán này sẽ làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho các em. 
1. Nhìn chữ số tận cùng 
Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. Từ đó các em có thể giải được bài toán kiểu sau đây : 
Bài toán 1 : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương. 
Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương. 
Chú ý : Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa : 
Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2. 
Bài toán 2 : Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương. 
Lời giải : Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. 
Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương. 
Bài toán 3 : Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương. 
Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương. 
2. Dùng tính chất của số dư 
Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây : 
Bài toán 4 : Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương. 
Chắc chắn các em sẽ dễ bị “choáng”. Vậy ở bài toán này ta sẽ phải nghĩ tới điều gì ? Vì cho giả thiết về tổng các chữ số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9. Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” như bài toán 3. Thế thì ta nói được điều gì về số này ? Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Từ đó ta có lời giải. 
Lời giải : Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 mà thôi (coi như bài tập để các em tự chứng minh !). Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương. 
Tương tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán : 
Bài toán 5 : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương. 
Bài toán 6 : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương. 
Bây giờ các em theo dõi bài toán sau để nghĩ tới một “tình huống” mới. 
Bài toán 7 : Chứng minh số :
n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương.
Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, các em sẽ thấy số dư của phép chia sẽ là 1, thế là không “bắt chước” được cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xét chữ số tận cùng các em sẽ thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như các bài toán 1 ; 2. Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đó chính là 3. Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư như thế nào nhỉ ? Các em có thể tự chứng minh và được kết quả : số dư đó chỉ có thể là 0 hoặc 1. Như vậy là các em đã giải xong bài toán 7. 
3. “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp” 
Các em có thể thấy rằng : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 thì k không là số chính phương. Từ đó các em có thể xét được các bài toán sau : 
Bài toán 8 : Chứng minh số 4014025 không là số chính phương. 
Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Thế là tất cả các cách làm trước đều không vận dụng được. Các em có thể thấy lời giải theo một hướng khác. 
Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042. Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương. 
Bài toán 9 : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. 
Nhận xét : Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận ra A + 1 là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8). Các em lớp 6, lớp 7 cũng có thể chịu khó đọc lời giải. 
Lời giải : Ta có : 
A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2. 
Mặt khác : 
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A. 
Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 A không là số chính phương. 
Các em có thể rèn luyện bằng cách thử giải bài toán sau : 
Bài toán 10 : Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số chính phương. 
Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2. 
Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương. 
Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4. 
Bài toán 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng : Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chính phương. 
Bài toán 13 : Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương. 
Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4. 
Bài toán 14 : Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương. 
Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho  một chục (?) 
Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ? 
Để kết thúc bài viết này, tôi muốn chúc các em học thật giỏi môn toán ngay từ đầu bậc THCS và cho tôi được nói riêng với các quý thầy cô : nguyên tắc chung để chứng minh một số tự nhiên không là số chính phương, đó là dựa vào một trong các điều kiện cần để một số là số chính phương (mà như các quý thầy cô đã biết : mọi điều kiện cần trên đời là dùng để  phủ định !). Từ đó các quý thầy cô có thể sáng tạo thêm nhiều bài toán thú vị khác. 
Bµi 2 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Các bạn đã được giới thiệu các phương pháp chứng minh một số không phải là số chính phương trong TTT2 số 9. Bài viết này, tôi muốn giới thiệu với các bạn bài toán chứng minh một số là số chính phương. 
Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa. 
Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán. 
Bài toán 1 : Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. 
Lời giải : Ta có :
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 
= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1 
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương. 
Bài toán 2 : Chứng minh số : là số chính phương. 
Lời giải :
Ta có : 
Vậy : là số chính phương. 
Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt. 
Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt : “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”.
Bài toán 3 : Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
Lời giải :
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n 
tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) 
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d. 
Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d. 
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1. 
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài toán thú vị về số chính phương :
1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương : 
2) Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c. Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay không ? 
3) Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3n + 4 không là số chính phương. 
4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 là số chính phương.
5) Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương. 
Bµi 3 : TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không có trong chương trình. Vì thế có không ít học sinh, đặc biệt là các bạn lớp 6 và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu được. 
Qua bài viết này, tôi xin trình bày với các bạn một số tính chất và phương pháp giải bài toán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụng kiến thức THCS. 
Chúng ta xuất phát từ tính chất sau : 
Tính chất 1 : 
a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. 
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. 
Việc chứng minh tính chất trên không khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. 
- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6. 
- Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9, vì am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, 3 nên từ tính chất 1c => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar. 
- Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên, từ tính chất 1d => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar. 
Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 
a) 799   b) 141414   c) 4567
Lời giải : 
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 : 
99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 +  + 9 + 1) chia hết cho 4 
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7 
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6. 
c) Ta có 567 - 1 chia hết cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuộc N) 
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4. 
Tính chất sau được => từ tính chất 1. 
Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. 
Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 +  + 20048009. 
Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng : 
(2 + 3 +  + 9) + 199.(1 + 2 +  + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 +  + 9) + 9 = 9009. 
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. 
Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3. 
Tính chất 3 : 
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. 
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. 
Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 +  + 20048011. 
Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ;  
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. 
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9. 
* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo. 
Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. 
Lời giải : 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ? 
Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 không chia hết cho 5. 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. 
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau : 
Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương : 
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) 
b) N = 20042004k + 2003 
Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán : 
Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5. 
* Các bạn hãy giải các bài tập sau : 
Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia : 
a) 21 + 35 + 49 +  + 20038005 cho 5 
b) 23 + 37 + 411 +  + 20038007 cho 5 
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y : 
X = 22 + 36 + 410 +  + 20048010 
Y = 28 + 312 + 416 +  + 20048016 
Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau : 
U = 21 + 35 + 49 +  + 20058013 
V = 23 + 37 + 411 +  + 20058015 
Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 
19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004. 
* Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này. 
* Tìm hai chữ số tận cùng 
Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. 
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn). 
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. 
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau : 
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am ∶ 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 ∶ 25. 
Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq ∶ 4 ta có :
x = am = aq(apn - 1) + aq. 
Vì an - 1 ∶ 25 => apn - 1 ∶ 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) ∶ 100. 
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. 
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 ∶ 100. 
Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : 
x = am = av(aun - 1) + av. 
Vì an - 1 ∶ 100 => aun - 1 ∶ 100. 
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av. 
Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av. 
Bài toán 7 : 
Tìm hai chữ số tận cùng của các số : 
a)   a2003     b)  799 
Lời giải : a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 ∶ 25. 
Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ∶ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ∶ 25 => 23(220 - 1) ∶ 100. Mặt khác :
22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N). 
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08. 
b)   Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1 ∶ 100. 
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 ∶ 100. 
Mặt khác : 99 - 1 ∶ 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N) 
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07. 
Bài toán 8 : 
Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25. 
Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 ∶ 100. 
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ∶ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100. 
Mặt khác : 516 - 1 ∶ 4 => 5(516 - 1) ∶ 20 
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43. 
Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18. 
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp. 
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng. 
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4. 
Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh). 
Tính chất 4 : Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1 ∶ 25. 
Bài toán 9 : Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng : 
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002 
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003 
Lời giải : 
a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25. 
Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ∶ 25. 
Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1) ∶ 100. 
Do đó S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042. 
Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 12 + 22 + 32 + ... + 20042. áp dụng công thức : 
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 
=>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30. 
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. 
b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + ... + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043. Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 13 + 23 + 33 + ... + 20043. 
áp dụng công thức : 
=> 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00. 
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00. 
Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một số không phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng. 
Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh). 
Tính chất 5 : Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu : 
+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ; 
+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; 
+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ; 
+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ; 
+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ. 
Bài toán 10 : Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7n + 2 không thể là số chính phương. 
Lời giải : Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta có 74 - 1 = 2400 ∶ 100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2. 
Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 th