Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHỦ ĐỀ 1
 NGUYÊN HÀM
I. Định nghĩa:
Giả sử liên tục trên khoảng , khi đó hàm số là một nguyên hàm của hàm số khi và chỉ khi , .
Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì , 
II. Vi phân:
	Giả sử xác định trên khoảng và có đạo hàm tại điểm . 
	Vi phân của hàm số là: 
	Quan hệ giữa đạo hàm - nguyên hàm và vi phân:
III. Các tính chất của nguyên hàm
	1. Nếu là hàm số có nguyên hàm thì : ; 
	2. Nếu có đạo hàm thì: 
	3. Phép cộng, phép trừ: 
	4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: , "k ¹ 0
IV. Phương pháp tính nguyên hàm:
	1. Phương pháp đổi biến số: 
Nếu và có đạo hàm liên tục thì: 
	2. Phương pháp từng phần
Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì:
Hay: 
V. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp 
Nguyên hàm của những hàm số hợp
Nguyên hàm của những hàm số thường gặp
V. Nguyên hàm mở rộng
.
 ; 
VẤN ĐỀ 1
 Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Để sử dụng phương pháp này cần phải:
	+ Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng nguyên hàm cơ bản.
	+ Nắm vững bảng các nguyên hàm.
	+ Nắm vững phép tính vi phân (phần này học lớp 11) 
Cho hàm số: xác định trên và có đạo hàm tại . 
Vi phân của hàm số trên là: 
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	
	c) 	d) 	
	e) 	f) 
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: (m là tham số)
	a) 	b) 
ĐS: a) 
	b) 
Tìm các nguyên hàm sau:
a) 	b) 	c) 
ĐS: a) 	b) 	c) 
Tìm nguyên hàm của hàm số: biết 
ĐS: 
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 	 
	d) 	e) 	f) 
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tìm các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 	
Tìm các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 	
Tìm các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
	g) 	h) 	i) 	
Tìm nguyên hàm của các hàm số với:
a) biết 	b) biết 
c) biết 	d) biết 
e) biết 	f) biết 
g) biết 	h) biết 
i) biết 	j) , biết 
Chứng minh là một nguyên hàm của hàm số với:
	a) và.	
	b) và .
	c) và .
	d) và .
Tìm để là một nguyên hàm của hàm số với:
	a) và .
	b) và. 
Tìm để là một nguyên hàm của hàm số với:
	a) và .
	b) và . 
	c) và . 
	d) và .
VẤN ĐỀ 2
 Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
· Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: 	f(x) = thì ta ñaët .
	Khi ñoù:	 = ,	 trong ñoù deã daøng tìm ñöôïc.
	Chuù yù: Sau khi tính theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x).
· Daïng 2: Thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau:
 Đặt hoaëc: 
 Đặt hoaëc: 
Tìm các nguyên hàm sau: (đổi biến dạng 1)
a) 	b) 	c) 	d) 	
e) 	f) 	g) 	h) 
i) 	j) 	k) 	l) 	
Tìm các nguyên hàm sau: (đổi biến dạng 1)
a) 	b) 	c) 	d) 	
e) 	f) 	g) 	h) 	
i) 	j) 	k) 	l) 	
Tìm các nguyên hàm sau: (đổi biến dạng 2)
	a) 	b) 	c) 	d) 	
e) 	f) 	g) 	h) 
	i)	j) 	k) 	l) 
VẤN ĐỀ 3
 Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là hàm đa thức của x, ta thường đặt như sau:
u
lnx
dv
Tìm các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 
ĐS: a) 	b) 	
	c) 
Tìm các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) 	 
ĐS: a) 	b) 	c) 
Tìm các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	 
ĐS: a) 	b) 	
Tìm các nguyên hàm sau: (từng phần 1 lần)
	a) 	b) 	 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
Tìm các nguyên hàm sau: (từng phần nhiều lần)
	a) 	b) 	c) 	d) 	 	e) 	f) 	g) 	h) 
Tìm các nguyên hàm sau: (kết hợp đổi biến và từng phần)
	a) 	b) 	c) 	d) 	
	e) 	f) 	g) 	h) 	
Tìm các nguyên hàm sau: (kết hợp đổi biến và từng phần) 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g)	h) 
Tìm các nguyên hàm sau: (Từng phần đặc biệt và )
	a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 	g) 	h) 
Tìm các nguyên hàm sau:
	a) 	b) 	c) d) 
	e) 	f) 	g) 	 h) 
VẤN ĐỀ 4
 Tính nguyên hàm của một số hàm số hữu tỉ 
- Loại 1: Neáu baäc cuûa P(x) ³ baäc cuûa Q(x) thì ta thöïc hieän pheùp chia ña thöùc.
- Loại 2: Neáu baäc cuûa P(x) < baäc cuûa Q(x) vaø Q(x) coù daïng tích nhieàu nhaân töû thì ta phaân tích f(x) thaønh toång cuûa nhieàu phaân thöùc (baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh).
Các dạng dùng phöông phaùp heä soá baát ñònh thường gặp:
 	Dạng 1: Mẫu số có nghiệm đơn:
Dạng 2: Mẫu số có nghiệm đơn và bậc 2 vô nghiệm:
Dạng 3: Mẫu số có nghiệm bội:
- Loại 3: Một số nguyên hàm ta dùng phương pháp đổi biến hoặc từng phần 	
Tìm các nguyên hàm sau: 
	 a)	b) 	c) 	d) 	
ĐS:	a) 	b) 	c) 	d) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
ĐS:	a) 	b) 
c) 	d) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a)	 b) c) 	d) 
ĐS:	a) 	b) 
c) 	d) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 	
	i)	j) 	m) 	n) 	
Tìm các nguyên hàm sau: 
a)	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	g) 	h) 
i)	j) 	m) 	n) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f)	g) 	h) 
 Tìm các nguyên hàm sau: 
	e) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f)	g) h) 
VẤN ĐỀ 6
 Tính nguyên hàm của một số hàm số vô tỉ
+ Dạng 1: ® đặt:	
+ Dạng 2: ® đặt:
+ Dạng 3: ® đặt: 
+ Dạng 4: 
 Đặt hoaëc: 
 Đặt hoaëc: 
 	Đặt 
 	Đặt 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d)
ĐS: a) 
	b) 	c) 
	d) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 	
ĐS: a) 	b) 	
	c) 	d) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a)	 	b)	c) 
ĐS: a) 	 b) 	c) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) b) 	c) 	d) 
ĐS: a) 	
	b) 
	c) 	
	d) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
	i) 	j) 	m) 	n) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 	
	e) 	f) 	g)	h) 	
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c)	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 	
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
Tìm các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c)	d) 	e) 	f) 	g) 	h) 
VẤN ĐỀ 6
 Tính nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
Dạng 1: Các dạng: 
Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi thành tổng: 
Dạng 2: 
+ Với n lẻ : 
 . Đặt :
 . Phân tích như trên sau đó đặt :
+ Với n chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc : ; 
Dạng 3: (n, m Î N)
+ Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax ; m lẻ Đặt u = sinax
+ Với n và m chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc: 
 ; ; 
Dạng 4: 	Sử dụng công thức: và 
Cần nhớ: 
Dạng 5: 
Phương pháp: . Đặt 
 . Đặt 
Dạng 6: 
Phương pháp: ; Đặt 
 ; Đặt 
Dạng 7: 
Phương pháp: + Biến đổi sao cho làm thừa số chung
 	 + Thay : 
Dạng 8: . Phương pháp: đặt hoặc 
Dạng 9: 
	Cách 1: Phương pháp chung: 	Đặt : 	
	Cách 2: Phương pháp riêng: Nếu .
	Ta có: 
	Trong đó : 
	Khi đó : 
Dạng 10: 	
	Phương pháp: Phân tích 	
	Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B.
Dạng 11: 	
	Phương pháp: 
	Phân tích 
	Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B, C.
Dạng 12: 
Ta thực hiện theo các bước sau :
	+ Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức : 
	+ Bước 2: Ta được :
* Chú ý: phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau :
	sử dụng đồng nhất thức : 
	 	sử dụng đồng nhất thức : .
Dạng 13: 
	* Dùng công thức tổng thành tích biến đổi về dạng 12 rồi giải bình thường. 
	* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :
	;	 .
Dạng 14: .
+ Biến đổi : 
+ Khi đó:
Trong đó : .
Dạng 15: 
	+ Biến đổi về dạng : 
	+ Đặt: 
	+ Khi đó.
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	
ĐS: a) 	b) 	 c) 	
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	
ĐS: a) 	b) 
	c) 	 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 
ĐS: a) 	b) 
	c) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 
ĐS: a) 	 b) c) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	
ĐS: a) 	b) 	 
	c) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	
ĐS: a) 	b) 	
	c) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 
ĐS: a) 	 b) 	c) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	 	c) 
	d) 	e) 	 	f) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 	
	e) 	f) 	g) 	h) 	
	i) 	j) 	m) 	n) 	
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	 	d) 
	e) 	f) 	g)	h) 	
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	 	b) 	c) 	d) 
	e)	f) 	g) 	h) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
	i) 	j) 	m) 	n) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 	 
	e) 	f) 	g) 	h) 
	i) 	j) 	m) 	n) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
	i) 	 	k) 	l) 	m) 	
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	 
	d) 	e) 	f) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
VẤN ĐỀ 7
 Tính nguyên hàm của một số hàm số mũ và logarit
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	 	b) 	c) 	d)
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	d) 	
	e) 	f) 	g) 	h) 
	i) 	j) 	k) 	l) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 	
VẤN ĐỀ 8
 Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm phụ
Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x), ta caàn tìm moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi f(x). Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa f(x).
	Böôùc 1: Tìm haøm g(x).
	Böôùc 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø:
	Böôùc 3: Töø heä (*), ta suy ra laø nguyeân haøm cuûa f(x).
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Tính các nguyên hàm sau: 
	a) 	b) 	c) 	
d) 	 	e) 	f)