Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ
Chú ý: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. 
1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Trong một đa thức nếu các hạng tử có nhân tử giống nhau thì ta có thể đưa ra làm nhân tử chung theo công thức sau: A.B + A.C = A(B + C).
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2x – 4y.
Giải :	 Ta có : 2x – 4y = 2.x – 2.2y 
 = 2( x – 2y).
Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là 2 do đó ta có thể đưa ra ngoài làm nhân tử chung theo công thức A.B + A.C = A(B + C) như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định được nhân tử chung . 
Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2
Ví dụ2 :
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(a – b) – 5a(b – a).
Giải :	
Ta có : 3(a – b) – 5a(b – a) = 3(a – b) + 5a (a – b)
 = (a – b)(3 + 5a) .
Nhận xét : Ở ví dụ 2 đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(a – b) và – 5a(b – a) nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung. Ta có thể đổi dấu – 5a(b – a) thành 5a (a – b) để xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung . 
Khi dạy học sinh thông qua 2 ví dụ, giáo viên có thể đưa ra thêm ví dụ 3 để rèn luyện cho học sinh được thành thạo về các bước phân tích. 
Ví dụ3 :
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y).
Giải :	Ta có : 
 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung ở đây là 5(x – 2y))
 = 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y]
 = 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y) .
Nhận xét: 
	Đối với các ví dụ trên khi sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên như sau:
 + Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử .
	 + Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.
b/ Bài tập tự luyện:
 Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a, 4x – 16y.
 b, a2 + ab – a.
 c, 6x(x – y ) – 8y (y – x ).
 d, 7x2 – 14xy2 + 21x2y2.
 Bài 2: Tìm x biết x3 +2x = 0.
 Bài 3: Chứng minh rằng n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n .
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: 
 Các bước giải và kết quả như sau: 
Bài 1:
 a, 4x – 16y = 4(x – 4y).
 b, a2 + ab – a =a(a + b -1).
 c, 6x(x – y) – 8y (y – x) = 2(x –y ).3x + 2(x – y).4y
 = 2(x –y )(3x + 4y).
 d, 7x2 – 14x y2 + 21x2y2 = 7x.x – 7x.2y2 + 7x.3xy2
 = 7x(x – 2y2 + 3xy2).
Bài 2: 
Ta có : x3 + 2x = 0 x(x2 + 2 ) = 0
 x = 0 hoặc x2 + 2 = 0
 + x = 0 .
 + x2 + 2 = 0 (vô lý vì x2 0 vớix).
 Vậy x = 0 .
Bài 3: Ta có: n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n .n .(n + 1) + 2n(n +1)
 = n( n + 1)(n + 2).
Khi n Z thì n( n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên 2; 3 mà(2,3) =1 do đó n( n + 1)(n + 2) 6. 
2. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Các hằng đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
 A2 – B2 = (A + B) (A – B)
 A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A+B)3
 A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)
 A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2)
Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích, như vậy học sinh phải học thuộc các hằng đẳng thức . 
a/ Các ví dụ:
Ví dụ 1:
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a2 – 6ab + 9b2.
Giải :	
Ta có : a2 – 6ab + 9b2 = a2 – 2.a .3b + (3b)2 
 = ( a – 3b)2 .
Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ nhất và thứ ba của đa thức dưới dạng một lũy thừa để áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu .
Qua ví dụ này học sinh chú ý khi một đa thức có ba hạng tử, trong đó có hai hạng tử được viết dưới dạng một lũy thừa thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hoặc bình phương của một tổng.
Ví dụ 2:
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 9 .
 Giải :	
Ta có : x2 – 9 = x2 – 32
 = (x – 3)(x + 3).
Nhận xét: Để áp dụng được hằng đẳng thức thì hạng tử thứ hai của đa thức phải được viết dưới dạng một lũy thừa 9 = 32.Khi đó hằng đẳng thức sử dụng là hiệu hai bình phương. 
Ví dụ 3:
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2.
Giải:	
Ta có: (x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )]
 = (x – y + y – t )(x – y – y + t)
 = (x – t )(x – 2y + t).
Nhận xét: Từ ví dụ trên ta chú ý khi áp dụng hằng đẳng thức A2 – B2 =(A + B)(A – B) nếu B là một đa thức thì khi viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu. 
b/ Bài tập tự luyện:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a, x2 – 4y2.
 b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 .
 c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3.
Bài 2: Tính nhanh 
 a, 1052 – 25
 b, 452 + 402 – 152 + 80.45.
Bài 3: Rút gọn biểu thức 
 	 a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2
 b, (6x + 1 )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + 1 )( 6x - 1 )
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Một số bước giải và kết quả: 
Bài 1 : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y). 
 b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)]
 = (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y) 
 = (4x + y )(2x – 3y).
 c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3
 = (2x + y)3 .
Bài 2: 
 a, 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 + 5)(105 – 5)
 = 110.100
 = 11000.
 b, 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402) – 152
 = (45 + 40)2 – 152
 = 852 – 152
 = (85 + 15) (85– 15)
 = 100.70
 = 7000.
Bài 3: 
a. (3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 = [(3x –1) + (2x + 1)]2
 = (3x – 1 + 2x + 1 )2
 = (5x)2
 = 25x2 .
 b. (6x + 1 )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + 1 )( 6x - 1 ) = [(6x + 1 ) – ( 6x - 1 )]2
 = (6x + 1 – 6x + 1 )2 
 = 4.
3. PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ :
a/ Các ví dụ:
Ví dụ 1:
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + 2.
Giải :
Ta có : 5x(x – 2) – x + 2 = 5x(x – 2) – (x – 2 ) 
 = (x – 2) (5x – 1) .
Nhận xét : Với ba hạng tử của đa thức trên ta có thể nhóm hai hạng tử thứ hai và thứ ba với nhau ta được nhân tử chung là x – 2.
Ví dụ 2:
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – y2 – y .
Giải :
Ta có : x2 – x – y2 – y = (x2 – y2) – (x + y )
 = (x + y ) (x – y) – (x + y )
 = (x + y )(x – y – 1) .
Nhận xét: Hạng tử thứ nhất và thứ ba là dạng của hằng đẳng thức nên ta nhóm hai hạng tử đó với nhau,vậy thì hai hạng tử còn lại nhóm thành một nhóm. 
Ví dụ 3:
	Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – y2 + 6x + 9.
Giải:
Ta có: x2 – y2 + 6x + 9 = (x2 + 6x + 9) – y2
 = (x + 3)2 – y2
 = (x + 3 + y)(x + 3 – y) .
Nhận xét : Nếu ta cứ tiếp tục nhóm hai hạng tử thành một nhóm thì sẽ không phân tích đa thức trên thành nhân tử được. Như vậy ta có thể nhóm ba hạng tử x2 , 6x , 9 thành một nhóm để đưa về một hằng đẳng thức, tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để ta phân tích.
Sau 3 ví dụ, giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau : 
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
x2 + 4x – y2 + 4.
3x2 – 3xy – 5x + 5y.
x3 – 2x2 + x – xy2 .
x2 – 4 + (x – 2)2
Bài 2 : Làm tính chia 
 a. (x2 – y2 + 6x + 9 ) : (x + y + 3)
 b. (x2 – 3x + xy – 3y ) : (x + y).
Bài 3 : Chứng minh x2 - 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi số thực x và y.
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: 
 Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực hiện được như sau:
Bài 1 : a. x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2
 = (x + 2)2 – y2 
 = (x + 2 + y ) (x + 2 – y).
 b. 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) 
 = 3x (x – y) – 5 (x – y) 
 = (x – y) (3x – 5) . 
 c. x3 – 2x2 + x – xy2 = x(x2 - 2x + 1 – y2)
 = x[(x2 - 2x + 1) – y2]
 = x[(x – 1)2 – y2]
 = x(x – 1 + y )(x – 1 – y).
 d. x2 – 4 + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x + 2)
 = (x + 2 ) (x – 2 + 1 )
 = (x + 2 ) (x – 1).
Bài 2: a. (x2 – y2 + 6x + 9 ) : (x + y + 3)
 Ta có : x2 – y2 + 6x + 9 = (x2 + 6x + 9) – y2 
 = (x + 3)2 – y2
 = (x + 3 + y )(x + 3 – y).
Do đó (x + 3 + y )(x + 3 – y) : (x + 3 + y ) = x + 3 – y . 
b. Ta có: x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) 
 = x (x – 3) + y(x – 3) 
 = (x – 3) (x + y) . 
Do đó (x2 – 3x + xy – 3y) : (x + y) = x – 3 .
Bài 3 : Ta có : x2 - 2xy + y2 + 1 = (x2 - 2xy + y2) + 1 
 = (x – y)2 + 1
Vì (x – y)2 0 với x, y R nên (x – y)2 + 1 > 0 với x, y R .
Nhận xét : 
	Phương pháp nhóm các hạng tử là phương pháp mà học sinh sai sót và nhầm lẫn như nhầm từ cách nhóm các hạng tử không hợp lý dẫn đến quá trình phân tích tiếp theo không thực hiện được hoặc khi nhóm các hạng tử với nhau mà có dấu trừ thì hay sai dấu, vì vậy mà giáo viên cần chú ý rèn luyện kỹ năng vận dụng cách nhóm cho học sinh .
4.PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ KHÁC.
Chú ý :Ở phương pháp này có rất nhiều cách tách khác nhau, với tam thức bậc hai 
ax2 + bx + c (a 0) có thể tách hạng tử có bậc cao nhất hoặc tách hạng tử tự do nhưng thông thường ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho : b1 + b2 = b 
 b1 . b2 = a. c 
Trong thực hành ta có thể làm như sau :
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách .	
Bước 3 : Chọn 2 thừa số có tích bằng a.c nói trên mà có tổng bằng b .
- Đối với các đa thức bậc lớn hơn 2 ta dùng phương pháp nhẩm nghiệm
a/ Các ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16.
Giải: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 
 = (x2 – 2x) – (8x – 16)
 = x(x – 2 ) – 8(x - 2) 
 = (x – 2)(x – 8).
Nhận xét: Ở đây ta đã tách -10x thành -2x và -8x, sau đó dùng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - x – 6.
Giải: Ta có x2 – x – 6 = x2 – 3x + 2x – 6
 = (x2 – 3x )+ (2x – 6) 
 = x(x – 3) + 2(x – 3)
 = (x – 3)(x + 2).
Nhận xét : Ở đây ta đã tách -x thành -3x và 2x, sau đó dùng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung.
Ví dụ 3: Tìm x biết : x2 + 5x + 6 = 0
Để tìm được x trước hết ta đi phân tích đa thức x2 + 5x + 6 thành nhân tử .
Giải : Ta có x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
 = (x2 + 2x )+ (3x + 6)
 = x(x + 2) + 3(x + 2)
 = (x + 2)(x + 3) .
Nên x2 + 5x + 6 = 0 (x + 2)(x + 3) = 0 
 x + 2 = 0 hoặc x + 3 = 0
 + x + 2 = 0 x = -2 . 
 + x + 3 = 0 x = -3 .
Vậy x = -2; -3.
Nhận xét: 
	Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải được nhiều cách, tuy nhiên ở đây các ví dụ đều chỉ ra sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn ở trên để thực hành giải bài toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp tách, rèn luyện được kỹ năng sử dụng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải chú ý đến bước sử dụng phương pháp nhóm đó cũng chính là phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử.
Sau khi giáo viên dạy học sinh thông qua 3 ví dụ cụ thể của phương pháp tách hạng tử, tiếp theo cho học sinh làm bài tập tự luyện như sau:
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
16x – 5x2– 3.
x2 – 7x + 12 .
2x2 + 3x – 5
4x2 – 3x – 1
Bài 2: Chứng minh rằng 
x(x – 6) + 10 > 0
-x2 - x - 1 < 0
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
 A = x2 – 6x + 11
 B = 2x2 + 10x – 1 
 C = 5x – x2
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực hiện được:
 Bài 1 : a. – 5x2 +16x – 3 = -5x2 + 15x + x – 3
	 = (-5x2 + 15x) + (x – 3)
 = -5x(x – 3) + (x – 3)
	 	 = (x – 3) (-5x + 1).
 b. x2 – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12
 = (x2 – 3x) – (4x – 12)
 = x(x – 3) – 4(x – 3)
 = (x – 3 )(x – 4 ).
 c. 2x2 + 3x – 5 = 2x2 + 5x – 2x – 5
 = (2x2 + 5x )– (2x + 5)
 = x(2x + 5) – (2x + 5)
 = (2x + 5) (x – 1).
 d. 4x2 – 3x – 1 = 4x2 – 4x + x – 1
 = (4x2 – 4x)+( x – 1)
 = 4x(x – 1) + (x – 1)
 = (x – 1)(4x + 1).
Bài 2: a. Ta có x(x – 6) + 10 = x2 – 6x + 10
 = x2 – 2. x .3 + 32+ 1 
 = (x – 3)2 + 1 > 0 x.
 b. Ta có -x2 - x - 1 = -[( x2 + 2.x. +()2 + ]
 = – [(x +)2+ ] < 0 .
Bài 3 : a. Ta có : A = x2 – 6x + 11 = x2 – 2 .x .3 + 32+ 2
 = (x – 3)2 + 2 2 .
 Vậy Amin = 2 tại x = 3.
 b. B = 2x2 + 10x – 1 = 2(x2+ 5x ) – 1 = 2(x2 + 2.x . + – ) –1
 = 2(x + )2 – –1.
 = – + 2(x + )2 – x.
 Vậy Bmin = – tại x = -.
 c. C = 5x – x2 = - [x2 – 2.x. + ()2]+ 
 = – (x – )2 
 Vậy Cmax = tại x = .
 MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ THỂ GIẢI ĐƯỢC NHIỀU CÁCH
HOẶC TRONG MỘT CÁCH CÓ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2.
Giải : 
 Ta có 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 = 3(x2 + 2xy + y2– z2) (Đặt nhhân tử chung )
 = 3 [( x2 + 2xy +y2) – z2] (Nhóm)
 = 3[(x + y)2– z2] ( Dùng hằng đẳng thức )
 = 3(x + y + z)(x + y– z).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16.
Giải : 
Cách 1: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 (Tách -10x thành -2x và -8x)
 = (x2 – 2x) – (8x – 16) 
 = x(x – 2 ) – 8(x - 2) 
 = (x – 2)(x – 8).
Cách 2: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 4 – 10x + 20 (Tách 16 thành -4 và 20 )
	 = (x2 – 4) – (10x – 20)
 = (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2)
 = (x – 2) (x + 2 – 10)
 = (x – 2) (x – 8).
Cách 3: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 4x + 4 – 6x + 12 (Tách -10x thành -4x và -6x ;16 thành 4 và 12)
	 = (x2 – 4x + 4) – (6x – 12) 
 = (x – 2)2 – 6(x – 2)
 = (x – 2) (x – 2 – 6)
 = (x – 2) (x – 8 ).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 3x – 1.
Giải : 
Cách1: 4x2 – 3x – 1 = 3x2– 3x + x2 – 1 (Tách 4x2 thành3x2 và x2 )
 = 3x(x – 1) + (x +1)(x– 1) 
 = (x – 1)(3x + x +1) 
 = (x – 1)(4x + 1).
Cách 2 : 4x2 – 3x – 1 = 4x2 – 4x + x – 1 (Tách -3x thành -4x và x)
 = (4x2 – 4x) + ( x – 1)
 = 4x(x – 1) + (x – 1)
 = (x – 1)(4x + 1).
Cách 3 : 4x2 – 3x – 1 = 4x2– 4 – 3x + 3 (Tách -1 thành -4 và 3)
 = 4(x2 – 1) – 3( x –1)
 = 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1) 
 = (x – 1)(4x + 1).
 Nhận xét : 
 Một bài toán có thể có nhiều lời giải khác nhau nhưng cuối cùng đều có chung một kết quả. Như vậy trong các tiết luyện tập, giáo viên có thể cho học sinh giải một số bài tập ở các dạng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau, sau đó nhận xét và so sánh, lời giải nào hay và ngắn gọn.
 Giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :
 b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a. x3 – 2x2y + xy2 – 9x
 b. 2x – 2y – x2 + 2xy – y2
 c. x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y 
Bài 2 : Tìm x biết 
 a. 7x – 6x2 – 2 = 0 c. 2x2 + 3x – 5 = 0
 b. 16x – 5x2 – 3 = 0 
5. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ
Phân tích đa thức thành nhân tử đôi khi ta phải dùng biến phụ để cho việc phân tích được đơn giản hơn .
 a/ Các ví du:
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +128
Giải :
Ta có A = x(x +10)(x + 4)(x + 6) +128
 = (x2 + 10x )(x2 + 10x + 24) +128
Đặt x2 + 10x + 12 = y. Khi đó đa thức đã cho trở thành :
(y – 12)(y +12) +128 = y2 -144 +128 = y2 - 16
 = (y - 4)(y + 4)
 = (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16).
Nhận xét : Ở đây ta đã dùng biến phụ là y = x2 + 10x + 12 . Như vậy khi dùng biến phụ để phân tích đa thức thành nhân tử thì sau khi phân tích xong ta phải đổi về biến cũ.
* Ta có bài toán tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 A = (x + a) (x + b )(x + c)(x + d) + m .
 - Đối với bài toán này thường dùng phương pháp đặt biến số phụ chú ý :
+ Khi a + b = c + d thì ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)] 
và đặt y = x2 + (a + b)x + .
+ Khi a + c = b + d thì ta ghép [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)] 
và đặt y = x2 + (a + c)x + .
+ Khi a + d = b + c thì ta ghép [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)]
Và đặt y = x2 + (a + d)x + .
Áp dụng bài toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau :
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 24
Giải : Ta có A = [x(x + 1)][(x – 1)(x + 2)] – 24 (Do 0 + 1 = -1+ 2)
 = (x2 + x )(x2 + x – 2) – 24
Đặt x2 + x – 1 = y. Đa thức đã cho có dạng :
(y +1) (y – 1) – 24 = y2 – 1 – 24 = y2– 25
 = (y – 5)(y + 5)
 = (x2 + x + 1 – 5)(x2 + x + 1 + 5).
 = (x2 + x – 4)( x2 + x + 6)
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a. (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72
 b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72
 c. (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
Bài 2 : Giải phương trình 
	 (6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) = 6
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết quả cần hướng dẫn cho học sinh:
Bài 1: 
a. Ta có : (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 4)( x2 – 10) – 72
 Đặt x2 – 7 = y, đa thức trên trở thành :
 (y – 3)( y + 3) – 72 = y2 – 9 – 72 
 = y2 – 81
 = (y – 9 )(y + 9)
 Vậy (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 7 + 9) (x2 – 7 – 9) 
 = (x2 + 2 ) (x2 – 16)
 = (x2 + 2) (x + 4) (x – 4) .
b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72 
 = (x2 – 9x + 14)( x2 – 9x + 20) - 72
Đặt x2 – 9x + 17 = y . Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72 
Làm tương tự như câu a ta được kết quả như sau: 
 (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8).
 = (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1).
c. Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy ra x + y + z = 0 hay z = -(x + y). 
Từ đó đa thức có dạng :
x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2)
 = (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2)
 = (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 )
 = -3xy(x + y)
 = 3xyz.
Vậy B = 3(a – b)(b – c)(c – a).
Qua bài trên ta suy ra : Nếu có X + Y + Z = 0 ta luôn có X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ 
Bài 2 : Giải phương trình 
	 (6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) = 6
 ó (6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) . 12 = 6 .12
 ó (6x + 7 )2(6x + 8) ( 6x + 6) = 72
 Đặt 6x + 7 = y, phương trình trở thành y2(y + 1)( y – 1) = 72
 ó y4 – y2 – 72 = 0
 ó y4 – 9y2 + 8y – 72 = 0
 ó y2(y2 – 9) + 8(y2 – 9) = 0
 ó (y2 – 9)(y2 + 8) = 0 ó y = -3 hoặc y = 3 .
Với y = -3 x =.
Với y = 3 x =.
Vậy phương trình có nghiệm là và .
Bài 3 : Ta có :
 A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
 = [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)]
 = (x2 + 5x – 6)( x2 + 5x + 6)
Đặt x2 + 5x = y khi đó A = y2 – 36 -36 
Amin = -36 x2 + 5x = 0 x = 0 , x = -5.
6. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Mệnh đề : Nếu hai đa thức A và B bằng nhau thì các hạng tử cùng bậc của hai đa thức đó phải có hệ số bằng nhau .
 a/ Các ví dụ:
 Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 2x3 – 5x2 + 8x – 3 
Giải : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4 x2+ 2x + 6x – 3
 = (2x3 – x2) – (4 x2– 2x) + (6x – 3)
 = x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1)
 = (2x – 1) (x2– 2x+ 3).
Nhận xét : Đa thức bậc ba ở ví dụ 1 phân tích được thành tích của một nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai, do đó ta còn có cách giải tổng quát hơn như sau :
Với đa thức bậc 3 : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 (a1 0) ta luôn phân tích được thành tích của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai như sau :
 a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = (ax + b ) (cx2 + dx + m). (*) 
 ó a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm 
Đồng nhất các hệ số với nhau ta được: 
Giải ra ta tìm được các giá trị a, b, c, d, m, thay vào vế phải của (*) ta có kết quả cần tìm.(Ta có thể chọn các giá trị sao cho thỏa mãn bài toán)
Ap dụng : Bài toán ở ví dụ 1 ta có cách giải khác như sau :
Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = (ax + b ) (cx2 + dx + m)
ó 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm 
Đồng nhất thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3. 
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 2 hoặc a = 1.
Xét a = 2 c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = 8 , bm = -3 , b có thể bằng 1; 3. 
Xét b = -1 thì m = 3 , d = -2 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta có : 
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = (2x – 1)(x2 – 2x + 3). 
 Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 x3+ 3x2 + 3x + 2
Giải:
Đặt x3 + 3x2 + 3x + 2 = (ax + b ) (cx2 + dx + m) 
 ó x3 + 3x2 + 3x + 2 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm 
 Đồng nhất thức ta có: 
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 1.
Xét a = 1 c = 1, d + b = 3 , m + bd = 3 , bm = 2 , b có thể bằng 1 ; 2 
Xét b = 2 thì m =1, d = 1 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = 1 ta có :
 x3 + 3x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x2 + x + 1).
 Nhận xét: 
	Khi sử dụng phương pháp hệ số bất định dựa vào mối quan hệ của các hệ số để ta đưa ra các giá trị tương ứng của a,c từ đó ta tìm các giá trị tiếp theo của các hệ số còn lại . 
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất định 
 a. 2x3 – 12x2 + 17x – 2
 b. 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1.
Bài 2 : Tìm số nguyên a sao cho đa