Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

 Một số phương pháp giảI phương trình vô tỉ
1.Phương pháp đánh giá
Ví dụ 1: Giải phương trình. = 4 – 2x – x2
Giải:
Vế trái : 
+ = 5
Vế phải : 4 – 2x –x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5.
Vậy pt có nghiệm khi: vế trái = vế phải = 5.
Ûx+ 1 = 0 Û x = -1.
Ví dụ 2: Giải phương trình. 
Giải : 
+ Điều kiện : x≥ -1 
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình.
Với x > 3 thì > 1 ; >2 nên vế trái của phương trình lớn hơn 3.
 Với -1 ≤ x < 3 thì < 1 ; < 2 nên vế trái của phương trình nhỏ hơn 3.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Giải phương trình:+=-16x2-8x+1 (1)
Giải
 ĐK: (*)
Ta có (2)
Lại có : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 2 (3)
Từ (2) và (3) ta có:
 (thoả mãn(*))
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
 Luyện tập 
Giải các phương trình sau:
1)
2)
 2. Phương pháp đặt ẩn phụ
 VD1:Giải phuơng trình:
Giải
C1: ĐK:
 Đặt (đk )
 Khi đó phương trình đã cho trở thành: 
Với t=3, ta có: 
	 (thoả mãn (*))
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:x1=-1 và x2=8
C2: ĐK:
Đặt ()
Ta có hệ phương trình: 
(loại)
Với ta có: hoặc 
+)
+): 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x1=1 và x2=8
VD 2: Giải phương trình
Giải
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
 (1)
Đặt (đk t >1), phương trình (1) trở thành:
 (4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn t, khi đó phương trình (2) có:
Phương trình (2) ẩn t có các nghiệm là:
 t1=2x-1 và t2= (loại)
Với t1=2x-1, ta có: 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
Lưu ý : phương trình trên có thể giải theo cách đưa về phương tích
VD3: Giải phương trình
Giải
 ĐK: (*)
Đặt , 
Khi đó ta có hệ phương trình:
Với u=0, ta có: x=2 
Với u=1, ta có: 
Với u=-2, ta có: 
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x2 + 3x + = 33 (*)
Giải:
* Û2x2 + 3x +9 + - 42 = 0
Đặt y = (y > 0 vì 2x2 + 3x +9 = > 0)
Ta có y2 + y – 42 = 0 Û(y – 6 ) ( y + 7 ) = 0
Ûy1 = 6 ; y2 = -7 (Loại)
Suy ra = 6 Û2x2 + 3x – 27 = 0 Û(x – 3)(x +) = 0
Ûx1 = 3 ; x2 = - 
	 Luyện tập 
Giải các phương trình sau:
1) 
2)
3)
 3. Phương pháp biến đổi tương đương
Dạng phương trình:
Dạng 1: 
Dạng 2: 
VD1: Giải phương trình: 
Giải 
 ĐK: (*)
Với đk(*) phương trình đã cho tương đương với phương trình:
	 (thoả mãn (*))
Vậy phương trình có nghiệm là x=0
VD2:Giải phương trình
Giải
Ta có: 
 - =1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
Luyện tập
Giải các phương trình sau:
1)
2)
3)
 4. Phương pháp điều kiện cần và đủ
VD1:tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
Giải: Điều kiện cần:
 Nhận thấy nếu phương trình có nghiệm x0 thì (-1-x0 ) cũng là nghiệm của phương trình. Do đó để phương trình có nghiệm duy nhất thì
Thay vào phương trình đã cho ta được: 
Điều kiện đủ:
 Với phương trình đã cho trở thành: 
	Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Lưu ý: phương trình trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số