Một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức - Đại số Lớp 9

 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTLN>NN CỦA BIỂU THỨC
---------------------------------
I. Phần I: KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. GTLN của biểu thức A:
- Chứng minh A M ( M là một hằng số).
- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra.
- Khi đó M là GTLN của A, ta còn kí hiệu maxA = M
2. GTNN của biểu thức A:
- Chứng minh A m ( m là một hằng số).
- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra.
- Khi đó m là GTNN của A, ta còn kí hiệu minA = m
3. Bất đẳng thức Côsi :
a) Bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm:
- Với hai số a, b không âm, ta luôn có: a + b 2
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
b) Bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm:
- Với 3 số a, b, c không âm, ta luôn có: a + b + c 3
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
 - Với 4 số a, b, c, d bất kì, ta luôn có: (ab + cd) 2 (a2 + c2). (b2 + d2)
 - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc
Chú ý: Nếu b, d 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
5.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
- , với mọi a,b. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab0.
- , với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 0
- , với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0
6. Một số kết quả:
- Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Đối với tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a 
+ Nếu a > 0 thì f(x) có GTNN nhưng không có GTLN.
+ Nếu a < 0 thì f(x) có GTLN nhưng không có GTNN.
- Nếu y = m + A2 thì min y = m khi A = 0
- Nếu y = m – A2 thì max y = m khi A = 0
- Nếu y = m + thì min y = m khi A = 0
- Nếu y = m – thì max y = m khi A = 0
- Nếu y = m + thì min y = m khi A = 0
- Nếu y = m – thì max y = m khi A = 0
II. Phần II: MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTNN VÀ GTLN CỦA BIỂU THỨC
1.Dạng 1: GTLN và GTNN của một tam thức bậc hai và một số đa thức bậc cao.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
A = x2 – 4x – 2013 
B = 3x2 + 5x + 4
C = x4 – 4x2 – 12 
D = 4x6 – x3 + 5
Giải:
A = (x – 2)2 – 2017 – 2017, với mọi x
Vậy GTNN của A bằng –2017 khi x = 2.
B = 3, với mọi x
Vậy GTNN của B bằng khi x = .
C = (x2 – 2) 2 – 16 – 16, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 = 2 x = 
Vậy GTNN của C bằng – 16 khi x = 
D = 4, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3 = x = 
Vậy GTNN của D bằng khi x = .
Ví dụ 2: Tìm GTNN của các biểu thức:
A = (x + 1)4 – 2(x + 1)2 + 5
B = 2(x – 2)4 – 3x2 + 12x – 1 
Giải:
A = , với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 1) 2 – 1 = 0 
Vậy GTNN của A bằng 4 khi x = 0 hoặc x = – 2
B = 2(x – 2)4 – 3(x – 2)2 + 11
 = 2, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x –2) 2 – = 0 
Vậy GTNN của B bằng khi x = 2 
Ví dụ 3: Tìm GTLN của các biểu thức:
A = – x2 + 2x + 4
B = 5 – 3x – 8x2
C = 4x2 – x4 – 6 
Giải:
A = 5 – (x – 1) 2 5, với mọi x
Vậy GTLN của A bằng 5 khi x = 1.
B = , với mọi x
Vậy GTLN của B bằng khi x = .
 C = – 2 – (x2 – 2) 2 – 2, với mọi x
Vậy GTLN của C bằng – 2 khi x = 2.
Ví dụ 4: Tìm GTLN của các biểu thức:
A = (x + 1)3 – x(x2 – 3) – 5(x – 1)2
B = – (x + 2)4 + 3(x – 1)2 + x(x + 22) – 5 
Giải:
A = –2x2 + 16x – 4 
 = 28 – 2(x – 4)2 28,với mọi x
Vậy GTLN của A bằng 28 khi x = 4.
B = – (x + 2)4 + 4x2 + 16x – 2 
 = – (x + 2)4 + 4(x + 2)2 – 18
 = – 14 –
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 2) 2 – 2 = 0 
Vậy GTLN của B bằng – 14 khi x = – 2 + hoặc x = – 2 – 
Ví dụ 5: Tìm GTNN của các biểu thức:
A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
B = (x2 – 1)(3x – 10)( 3x – 16)
C = (x2 + x + 1)2 
D = x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 2021
Giải:
A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
 = [ x(x – 7)]. [ (x – 3)(x – 4)]
 = (x2 – 7x )(x2 – 7x + 12)
 = y(y + 12), với y = x2 – 7x 
 = (y + 6)2 – 36 – 36
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y + 6 = 0
x2 – 7x + 6 = 0
(x – 1)(x – 6) = 0
Vậy GTNN của A bằng – 36 khi x = 1 hoặc x = 6
B = (x2 – 1)(3x – 10)( 3x – 16)
= [(x – 1)(3x – 10)] . [(x + 1)( 3x – 16)]
= ( 3x2 – 13x + 10)(3x2 – 13x – 16)
= [(3x2 – 13x – 3) + 13]. [ (3x2 – 13x – 3) – 13]
= (3x2 – 13x – 3) 2 – 132 – 169, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3x2 – 13x – 3 = 0
Vậy GTNN của B bằng – 169 khi x = 
Nhận xét: Với A0 thì A2 nhỏ nhất A nhỏ nhất
x2 + x + 1 = , với mọi x
 (x2 + x + 1)2 , với mọi x
Hay C 
Vậy GTNN của C bằng khi x = 
D = x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 2021
= (x2 – 3x + 2)2 + 2017 2017 , với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 – 3x + 2= 0
(x – 2)(x – 1) = 0
Vậy GTNN của D bằng 2017 khi x = 2 hoặc x = 1.
Ví dụ 6: Tìm GTLN của các biểu thức:
A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)
B = 1 + 4x + 3x2 – 2x3 – x4 
Giải:
A = (x2 – 3x + 1)[ 22 – (x2 – 3x + 1)]
= y( 22 – y) , với y = x2 – 3x + 1
= 121 – (y – 11)2 121
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y – 11 = 0
x2 – 3x – 10 = 0
(x + 2)(x – 5) = 0
Vậy GTLN của A bằng 121 khi x = – 2 hoặc x = 5.
 B = 1 + 4x + 3x2 – 2x3 – x4
 = 5 – (x4 + x2 + 4 + 2x3 – 4x2 – 4x)
 = 5 – (x2 + x – 2)2 5, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 + x – 2= 0
 (x + 2)(x – 1) = 0
Vậy GTLN của B bằng 5 khi x = – 2 hoặc x = 1.
2.Dạng 2: GTLN và GTNN của biểu thức là nghịch đảo của tam thức bậc hai.
Chú ý: Với A > 0 thì:
+ nhỏ nhất A lớn nhất
+ lớn nhất A nhỏ nhất
Ví dụ 1: Tìm GTLN của các biểu thức:
A = 
B = 
Giải:
3x2 – 12x + 2017 = 3(x – 2)2 + 2005 2005, với mọi x
Vậy GTLN của A bằng khi x = 2.
B = = 3 + 
 x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 11
 1
 2
 3 + 5
Vậy GTLN của B bằng 5 khi x = – 2.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của các biểu thức: A = 
Giải:
A = = 
3x2 – 4x + 3 = 3
Vậy GTNN của B bằng khi x = .
3.Dạng 3: GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức: 
A = 32017
B = 
C = (3x – 1)2 – 4 + 5
Giải:
Vậy GTNN của A bằng 2017 khi x = 1.
Vậy GTNN của B bằng – 4 khi x = – 1 và y = 2.
C = (3x – 1)2 – 4 + 5
= – 4 + 5
= , với mọi x
Đẳng thức xảy ra = 0
Vậy GTNN của C bằng 1 khi x = 1 và hoặc x = .
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = 
Giải:
Cách 1:
Ta có: A = = , với mọi x
 A 3
Đẳng thức xảy ra (x – 2)(5 – x) 0
Vậy GTNN của A bằng 3 khi .
Cách 2:
 A = = 
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTNN của A bằng 3 khi .
**Chú ý: Nếu biến đổi A = = thì không tìm được GTNN.
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các biểu thức: 
A = 
B = 
Giải:
A = 
x – 1 + 4 – x 
 (1)
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
x – 2 + 3 – x 
 (2)
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 Từ (1)và (2), suy ra : A 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 Vậy GTNN của A bằng 4 khi .
B = 
Tương tự như trên, GTNN của B bằng 8 khi 
Ví dụ 4: Tìm GTNN của các biểu thức: 
A = 
B = 
C = 3
Giải:
A = 
x – 1 + 9 – x 
 8 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
, đẳng thức xảy ra khi x = 7
Suy ra: A 
Vậy GTNN của A bằng 8 khi 
B = 
Tương tự câu a, GTNN của B bằng 4 khi x = 
C = 
3x +3 + 5 – 3x 
 8 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
, đẳng thức xảy ra khi x = 1
Suy ra: C 
Vậy GTNN của C bằng 8 khi 
Ví dụ 5: Tìm GTLN của các biểu thức: 
A = 5 – 
B = 
C = 
Giải:
A = 5 – 
Vậy GTLN của A bằng 5 khi 4 – 5x = 0 
Ta có: 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTLN của B bằng 5 khi 
C = 
x – 2 + 6 – x 
 4 
Suy ra: 4
Hay C – 4 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTLN của C bằng – 4 khi x = 4.
Ví dụ 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = 
Giải:
A = 
=
= 
= 
A 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTNN của A bằng 8 khi 
Ví dụ 7: Tìm GTNN của biểu thức: A = 
Giải:
A = 
= 
= 
= 
= 
 A 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTNN của A bằng 2 khi 
Ví dụ 8: Tìm GTNN của biểu thức: A = 
Giải:
A = 
 = 
 nhỏ nhất bằng 2016 khi 
 Tương tự:
 nhỏ nhất bằng 2014 khi 
 nhỏ nhất bằng 2012 khi 
.
 nhỏ nhất bằng 2 khi 
 nhỏ nhất bằng 0 khi x = 1009
Suy ra: 
 A0 + 2 + 4 + 6 +  + 2016
 A 1017072
Vậy GTNN của A bằng 1017072 khi x = 1009 
4. Dạng 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức bằng phương pháp tổng bình phương.
 A2 + B2 + m m, đẳng thức xảy ra A = B = 0
A2 + B2 + C2 + m m, đẳng thức xảy ra A = B = C = 0
 – A2 – B2 + m m , đẳng thức xảy ra A = B = 0
– A2 – B2 – C2 + m m, đẳng thức xảy ra A = B = C = 0
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức: 
A = x2 + y2 – 2x + 4y – 2017 
B = x2 + 5y2 + 2xy – 4y + 7
C = 2x2 +5y2 – 4xy – 4x – 2y + 8
Giải:
A = (x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) – 2022 
 = (x – 1)2 + (y + 2)2 – 2022 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 Vậy GTNN của A bằng – 2022 khi x = 1 và y = – 2 
B = (x + y)2 + (2x – 1)2 + 6 6 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTNN của B bằng 6 khi x = và y = – 
C = (x2 – 4xy + 4y2) + (x2 – 4x + 4) + (y2 – 2y + 1) + 3
 = (x – 2y)2 + (x – 2)2 + (y – 1)2 + 3 3 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTNN của C bằng 3 khi x = 2 và y = 1.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 19
Giải:
A = (x4 – 6x3 + 9x2) + (x2 – 6x + 9) + 10 
 = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 + 10 10
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTNN của A bằng 10 khi x = 3.
Ví dụ 3: Tìm GTLN của các biểu thức:
A = – x2 – y2 + 2x + 2y +2015
B = – x4 – x2 + 6x + 6 
Giải:
A = – x2 – y2 + 2x + 2y +2015
= – (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2y + 1) + 2017
= – (x – 1)2 + (y – 1)2 + 2017 2017
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTLN của A bằng 2017 khi x = 1 và y = 1.
B = – x4 – x2 + 6x + 6
= – (x4 – 2x2 + 1) – 3(x2 – 2x + 1) + 10
= – (x2 – 1)2 – 3(x – 1)2 + 10 10
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTLN của B bằng 10 khi x = 1.
5.Dạng 5: Tìm GTLN và GTNN của một phân thức hữu tỉ.
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: A = 
Giải:
Đặt y = x + 10 = 
 x = – 10 
Khi đó : A = y2 
Đẳng thức xảy ra y = 
x = 10
Vậy GTLN của A bằng khi x = 10.
 **Chú ý: Nếu mẫu là bình phương của nhị thức ax + b thì đặt y = .
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: B = 
Giải:
Cách 1: Nhận thấy mẫu là bình phương của nhị thức bậc nhất x + 1.
 Đặt y = 
 B = 
 = 
 = 1 – y + y2
 = 
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTNN của B bằng khi x = 1.
Cách 2: 
B = 
Vậy GTNN của B bằng khi x = 1.
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức: C = 
Giải:
Cách 1: Nhận thấy mẫu là bình phương của nhị thức bậc nhất x – 1.
 Đặt y = 
 C = 
 = 
 = 3 – 2y + y2
 = (y – 1)2 + 2 2
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTNN của C bằng 2 khi x = 2.
Cách 2: 
C = 
 Vậy GTNN của C bằng 2 khi x = 2.
Cách 3: ĐK: 
C = 
Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (*).
C = 3: (*) 
C 3: Phương trình (*) có nghiệm 
Đẳng thức xảy ra khi – x2 + 4x – 4 = 0 x = 2
Tóm lại GTNN của C bằng 2 khi x = 2.
Ví dụ 4: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: D = 
Giải:
Cách 1: 
D = 
Do đó GTNN của D bằng – 1 khi x =2
D = 
Do đó GTLN của D bằng 4 khi x =
Cách 2: 
Ta có: D = 
D = 0: (*) (1)
D 0: (*) có nghiệm 
Kết hợp (1) và (2), ta được : 
GTNN của D bằng – 1 khi – x2 + 4x – 4 = 0 x = 2
GTLN của D bằng 4 khi 4x2 + 4x + 1 = 0 x = 
Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức: E = 
Giải:
Ta có: 
E = 
 Vậy GTNN của E bằng 0 khi x = – 2.
6. Dạng 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức bằng cách sử dụng miền giá trị.
Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: A = 
Giải:
x2 + x + 1 = , với mọi x.
A = 
(A – 1)x2 + (A + 1)x + A – 1 = 0 (*)
A = 1: (*) x = 0
A 0 : Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi: 
(A + 1)2 GTNN của D bằng – 1 khi – x2 + 4x – 4 = 0 x = 2
– 4(A – 1)2 
(3A – 1)(A – 3) 
 ( A 1)
 Kết hợp cả hai trường hợp ta được 
GTLN của A bằng 3 khi 2x2 + 4x + 2 = 0 x = – 1
GTNN của A bằng khi x2 + x = 0 x = 1
7. Dạng 7: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x, ta được:
x + 
Đẳng thức xảy ra x = 
 x2 = 
 x = (vì x > 0)
Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 
B = 
Vì x > 2 nên x – 2 > 0 và > 0 .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x – 2 , ta được:
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTNN của B bằng 4 khi x = 3
Ví dụ 2: Tìm GTNN của các biểu thức: 
C = x2 + 2x + 
D = 2x + , với x > 1.
Giải:
C = 
x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 +11 > 0, với mọi x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x2 + 2x + 2 , ta được:
 4 
 2
 Đẳng thức xảy ra 
 (vì x2 +2x + 2 > 0)
 Vậy GTNN của C bằng 2 khi x = 0 hoặc x = - 2.
D = 
 Vì x > 1 nên x – 1 > 0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương x – 1, x – 1 và ta được:
Đẳng thức xảy ra 
 Vậy GTNN của D bằng 5 khi x = 2.
Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số dương sao cho abc = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
 E = (1 + a)(1 + b)(1 + c)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
1 + a 
1 + b 
1 + c 
Suy ra: (1 + a)(1 + b)(1 + c) 
 (1 + a)(1 + b)(1 + c) 8 (vì abc = 1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy GTNN của E bằng 8 khi a = b = c = 1.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 số dương. Tìm GTNN của biểu thức: 
F = 
Giải:
F = 
 = 
 = 
Vì a, b, c > 0 nên a + b, b + c, c + a đều dương.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Suy ra:
 F
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy GTNN của F bằng khi a = b = c > 0.
Ví dụ 5: Cho a, b, c là 3 số dương sao cho a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
G = abc(a + b)(b + c)(c + a)
Giải:
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
a + b + c (1)
(a +b) + (b + c) + (c + a) 
 Từ (1) và (2) , suy ra: 
abc(a + b)(b + c)(c + a) 
 G 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy GTLN của G bằng khi a = b = c = .
Ví dụ 6: Tìm GTLN của các biểu thức:
H = (x + 1)(5 – x), với 
I = (2x – 1)(3 – x), với 
K = (2 – x)(x+ 1)2, với 
Giải:
Vì nên 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm x +1 và 5 – x ta được:
(x + 1) + ( 5 – x) 
Đẳng thức xảy ra 
 x = 2 (thoả)
 Vậy GTLN của H bằng 9 khi x = 2.
Cách khác: (Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Côsi)
 Hai số không âm x + 1 và 5 – x có tổng không đổi (bằng 6) nên tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau, tức là: x + 1 = 5 – x 
 x = 2 (thoả)
Thay x = 2 vào biểu thức H ta được H = 9
Vậy GTLN của H bằng 9 khi x = 2.
Vì nên 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm 2x – 1 và 6 – 2x ta được:
(2x – 1) + ( 6 – 2x) 
Đẳng thức xảy ra 
 x = (thoả)
 Vậy GTLN của I bằng khi x = .
Vì nên 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm 2 – x, , ta được:
3 
1 
Đẳng thức xảy ra 
 x = 1 (thoả)
 Vậy GTLN của K bằng 4 khi x = 1.
8.Dạng 8 : Tìm  GTLN và GTNN của biểu thức bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Ví dụ 1: Cho x, y thoả mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
A = x + 2y
Giải:
x + 2y = x . 1 + 2y . 1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số x , 2y , 1, 1 ta được:
(x . 1 + 2y . 1)2 (x2 +4y2)(12 + 12)
GTNN của A bằng khi và chỉ khi: 
GTLN của A bằng khi và chỉ khi: 
Ví dụ 2: Cho a, b thoả mãn 2a + 3b = 5. Tìm GTNN của biểu thức: B = 2a2 + 3b2
Giải:
2a + 3b = a. + b. 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số a , b , , ta được:
(a. + b. )2 
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTNN của B bằng 5 khi a = b = 1.
 Cách khác:
Ta có: 2a + 3b = 5 , khi đó: 
B = 2a2 + 3. = 
Vậy GTNN của B bằng 5 khi a = b = 1.
Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: C = , với .
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số , , 1, 1 ta được:
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTLN của C bằng 2 khi x = 3.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 số dương sao cho a + b + c = 3. Tìm GTLN của biểu thức: 
 D = 
Giải:
= 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số , , , 1, 1, 1 ta được:
 ( vì a + b +c = 3)
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTLN của D bằng 3 khi a = b = c = 1.