Một số bài toán về tính song song, tỉ lệ và tam giác đồng dạng

1 
Một số bài toán về tính song song, tỉ lệ & 
Tam giác đồng dạng 
Câu 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC kéo dài về phía C, lấy một điểm M. Một 
đường thẳng  cắt các cạnh CA, CB tại N và P. Chứng minh hiệu 
BM CM
BP CN
 
không đổi khi M và  thay đổi. 
Câu 2. Cho tam giác ABC. Biết rằng tồn tại các điểm M và N lần lượt trên các cạnh AB, 
BC sao cho 2.
BM BN
AM CN
 và BNM ANC . Chứng minh rằng tam giác ABC 
vuông. 
Câu 3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  ;O r ; M là trung điểm BC. Giao điểm 
của OM và đường cao AH là E. Chứng minh rằng AE r . 
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH. Đường tròn  ;I r nội tiếp tam giác 
ABC tiếp xúc AC, AB lần lượt tại P, Q. Giao điểm của CH và PQ là N. Gọi K là 
trung điểm BC, KI cắt AC tại M. Chứng minh rằng CM CN . 
Câu 5. Cho AB, CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn  O . Đường 
thẳng  vuông góc với CD và cắt tia đối của DC. Một tiếp tuyến m thay đổi của 
 O cắt AB tại K, cắt  tại M. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của CK, DK với 
.Chứng minh rằng .MEMF không đổi khi tiếp tuyến m không đổi. 
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CH và trung tuyến AD. Đường tròn 
 O đi qua D và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A, cắt BC tại 
điểm thử hai là E. Chứng minh rằng AE đi qua trung điểm của CH. 
Câu 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O . Hạ 1 1, DA BC DB AC  . Gọi P, Q 
lần lượt là trung điểm AB, 1 1A B . Chứng minh rằng tam giác PDQ có dạng không đổi 
(luôn đồng dạng với chính nó) khi B, C, D cố định còn A thay đổi trên đường tròn. 
Câu 8. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm của AB, CD. Các tam giác OAD, OBC có trực tâm lần lượt là H, K. Chứng 
minh rằng HK vuông góc với MN. 
Câu 9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O và có hai đường chéo cắt nhau tại I. Hạ 
IP vuông góc AD, IQ vuông góc BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. 
Chứng minh rằng PQ vuông góc MN. 
2 
Câu 10. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN tới đường 
tròn đường kính BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, N thẳng hàng. 
Câu 11. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. 
Gọi Q là hình chiếu vuông góc của M xuống NP. Chứng minh rằng QM là phân giác 
của góc BQC. 
Câu 12. Cho hình thoi ABCD có góc 060B  . Một đường thẳng đi qua D không cắt hình 
thoi nhưng cắt các đường thẳng AB, BC lần lượt tại E, F. Gọi M là giao điểm của 
AF, CE. Chứng minh rằng AD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF. 
Câu 13. Cho tam giác ABC. Lấy D, E trên cạnh AB, AC sao cho DE cắt đường thẳng BC tại 
F. Chứng minh rằng . . 1
DA FB EC
DB FC EA
 . 
Câu 14. Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt thuộc cạnh BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF 
đồng quy. Chứng minh rằng . . 1
DB EC FA
DC EA FB
 . 
Câu 15. Cho tam giác ABC có trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp là H, G và 
O. Chứng minh 3 điểm H, G, O thẳng hàng và 2.GH GO . 
Câu 16. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp là  ;O R và đường tròn nội tiếp là 
 ;I r . Chứng minh rằng 2 2 2OI R Rr  . 
Câu 17. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng 
. . .AC BD ABCD ADBC  .