Một số bài toán về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
I./ ĐẶT VẤN ĐỀ
 Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy c¸c bµi to¸n dïng kiÕn thøc vÒ tØ lÖ thøc, d·y tØ sè b»ng nhau ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n lµ mét trong nh÷ng néi dung kiÕn thøc träng t©m cña ch­¬ng tr×nh to¸n líp 7, trong ®ã viÖc ph©n lo¹i bµi tËp vµ ph­¬ng ph¸p suy luËn t×m tßi lêi gi¶i ®èi víi tõng d¹ng lµ mét viÖc lµm cÇn thiÕt ®Ó båi d­ìng vµ n©ng cao cho häc sinh ®Æc biÖt lµ ®èi víi ®èi t­îng häc sinh kh¸ trë lªn. V× vËy tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i xin ®­a ra mét sè bµi to¸n ®Ó cïng trao ®æi víi ®ång nghiÖp hy väng gãp mét phÇn nhá vµo kinh nghiÖm chung trong viÖc n©ng cao chÊt l­îng d¹y häc.
 C¸c bµi to¸n vÒ tØ lÖ thøc lµ mét m¶ng to¸n rÊt réng nªn t«i kh«ng cã ý ®Þnh ®Ò cËp tíi tÊt c¶ c¸c d¹ng ë c¸c khèi líp mµ chØ h¹n chÕ møc ®é to¸n 7 ®Ó sö dông trong gi¶ng d¹y vµ båi d­ìng häc sinh kh¸, giái líp 7. RÊt mong ®­îc sù gãp ý cña ®ång nghiÖp.
II./ NỘI DUNG 
1. Lý thuyết Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số
	* Tính chất của tỷ lệ thức: 
	Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức suy ra a.d = b.c
	Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỷ lệ thức:
, , , 
	Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức: , , 
	* Tính chất của dãy tỷ lệ thức bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức sau: , (b ≠ ± d)
Tính chất 2: suy ra các tỷ lệ thức sau: 
	, (b, d, j ≠ 0)
Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta có: 
III./ CÁC DẠNG BÀI TẬP 
 Tôi xin chia 5 dạng cụ thể sau:
Toán chứng minh đẳng thức
Toán tìm x, y, z, ...
Toán đố
Toán về lập tỷ lệ thức
Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức
A. Loại toán chứng minh đẳng thức
Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu thì với a, b, c, d ≠ 0
	Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì?
	Giải: Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: 
	 (1)
	 (2)
	Từ (1) và (2) => (ĐPCM)
Bài 2: Nếu thì:
	a, 
	b, 
Giải: 	- Nhận xét điều phải chứng minh?
Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Bài 1 gợi ý gì cho giải bài 2?
Từ (đpcm)
(đpcm)
Bài 3: CMR: Nếu thì điều đảo lại có đúng hay không?
	Giải: 	+ Ta có: 
	+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
	Ta có: 
Bài 4: Cho CMR 
	Giải: (đpcm)
Bài 5: CMR: Nếu thì 
	Giải:
	Ta có: 
Từ 
Từ (1) và (2) (đpcm)
Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì 
	Giải:
	Ta có: 
	Từ (3) và (2) 
 (đpcm)
Bài 7: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: 
	và 
	CM: 
	Giải: + Ta có 
	+ Ta có 
	+ Từ (1) và (2) ta có 
	Mặt khác: 
	Từ (3) và (4) 
Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1)
	Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì:
	Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các các số của (1) cho abc ta có:
	? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac
	? Ta sẽ biến đổi như thế nào?
	Từ (2) 
	(đpcm)
Bài 9: Cho 
	CMR: 
	Giải: Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c
	Từ (1) ta có:
	Từ (2) và (3) (đpcm)
Bài 10. Biết và 
	CMR: abc + a’b’c’ = 0
	Giải: Từ 
	Nhân cả hai vế của (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3)
	Ta có: 
	Nhân cả hai vế của (2) với a’ ta có:
	a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4)
	Cộng cả hai vế của (3) và (4) ta có:
	abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c
	=> abc + a’b’c = 0 (đpcm)
B. Toán tìm x, y, z 
Bài 11. Tìm x, y, z biết: và 
	Giải: Giả thiết cho 
	Làm như thế nào để sử dụng hiệu quả giả thiết trên?
	Từ 
x = 3.15 = 45
y= 3.20 = 60
z = 3.28 = 84
Bài 12. Tìm x, y, z cho: và và 
	Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau?
	Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào? Đưa tử số có cùng số chia
	Ta có: (chia cả hai vế cho 5)
	(chia cả hai vế cho 4)
	Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168
Bài 13. Tìm x, y, z biết và và x + y + z = 98
	Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?)
	Học sinh nên tự giải (tương tự bài nào em gặp)
	ĐS: x = 20; y = 30; z = 42
Bài 14. Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*)
Cách 1: Từ 	2x = 3y 
	3y = 5z 
	Đưa về cách giải giống ba bài trên: cách này dài dòng
Cách 2: 	+ Nếu có tỷ lệ của x, y, z tương ứng ta sẽ giải được (*)
	+ Làm thế nào để (1) cho ta (*)
	+ chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2;3;5) = 30
	2x = 3y = 5z 
	=> x = 75, y = 50, z = 30
Bài 15. Tìm x, y, z biết:
	 và x – y = 15
	Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự bài 11)
	BCNN(1 ;2 ;3) = 6
	Chia các vế của (1) cho 6 ta có
	=> x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40
Bài 16. Tìm x, y, z biết:
	a. và 2x + 3y –z = 50
	b. và x + y +z = 49
	Giải:
a. Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự bài nào? (bài 11)
Từ (1) ta có: 
b. ? Nêu cách giải phần b? (tương tự bài 15)
	Chia các vế cho BCNN (2;3;4) = 12
	=> x = 18; y = 16; z = 15
Bài 17. Tìm x; y; z biết rằng:
	a. và xy = 54 (2)
	b. và (x, y > 0)
	Giải: ? Làm như thế nào để xuất hiện xy mà sử dụng giả thiết.
	a. 
	Thay vào (2) ta có: 
	b. 
Bài 18. Tìm các số a1, a2, a9 biết:
	 và 
	Giải : 
	Từ đó dễ dàng suy ra a1; a2; 
Bài 19. Tìm x; y; z biết:
	a. 
	Giải: Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có từ (1)
Nếu a + y + z ≠ 0 : 
b. Tương tự các em tự giải phần b
	Tìm x, y, z biết:
	Nếu x + y + z ≠ 0 => x + y + z = 0,5
	ĐS : 
	Nếu x + y + z = 0 => x = y = z = 0
Bài 20. Tìm x biết rằng: 
	Giải: 
Bài 21. Tìm x, y,z biết rằng:
	và xyz = 810
	Giải: 
	mà 
Bài 22. Tìm các số x1, x2, xn-1, xn biết rằng:
	và 
	()
	Giải:
	trong đó: i = 1, 2,, n
Bài 23. Tìm các số x; y; z ЄQ biết rằng: 
	Giải: Ta có:
Từ (1) 
Bài 24. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số thứ 2 là ; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là . Tìm 3 số đó?
	Giải: 
	Ta có: 
Bài 25. Tìm x, y biết :
C./ LẬP TỈ LỆ THỨC
Bài 26. Cho tìm 
Bài 27. Cho và e - 3d + 2f 
 Tìm 
D./ TOÁN ĐỐ 
	(ngoài những dạng đơn giản trong sgk giáo viên soạn bổ sung thêm)
Bài 28. Có 3 đội A; B; C có tất cả 130 người đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi người đội A; B; C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây. Biết số cây mỗi đội trồng được như nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người đi trồng cây?
	Giải:
	+ Gọi số người đi trồng cây của đội A; B; C lần lượt là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN*
	+ Theo bài ra ta có:
	x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130
	BCNN (2;3;4) = 12
	Trả lời: Đội A; B; C có số người đi trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30
	ĐS: 60; 40; 30
Bài 29. Trường có 3 lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A bằng số học sinh 7B và bằng số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp? 
	Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0
	Theo bài ra ta có: 
	và x + y + z = 57
	Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12
	=> x = 54; y = 18; z =45
	Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là: 54; 18; 45
	ĐS: 54; 18; 45
Bài 30. Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số số thứ nhất với số thứ 2 là , của số thứ nhất với số thứ ba là .
	Giải: Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z
	Theo bài ra ta có: BCNN (x;y;z) = 3150
	BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7
k = 5
x=50; y = 90; z = 35
	Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ và với b> 0; d >0.
	CM: 
	Giải: 
	+ Có 
	+ Có: 
Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ 
	(Bài 5/33 GK Đ7)
	Giải:
	+ thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:
	+ Thêm vào hai vế của (1) dc ta có:
	+ Từ (2) và (3) ta có: 
	Từ (đpcm)
Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên
a, Nếu thì 
b, Nếu thì 
Bài 31. Cho a; b; c; d > 0.
	CMR: 
	Giải:
	+ Từ theo tính chất (3) ta có:
	(do d>0)
	Mặt khác: 
	+ Từ (1) và (2) ta có: 
	Tương tự ta có: 
	Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:
	(đpcm)
Bài 32. Cho và CMR: 
	Giải:
	Ta có và nên 
	Theo tính chất (2) ta có: (đpcm)