Một số bài toán tính nhanh (Phân số, chữ số tận cùng, tìm x, dấu hiệu chia hết)

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH NHANH
(PHÂN SỐ, CHỮ SỐ TẬN CÙNG, TÌM X, DẤU HIỆU CHIA HẾT)
Đề bài
Đáp án
Bµi 1: TÝnh biÓu thøc sau mét c¸ch hîp lÝ nhÊt:
a) 
b) A = + + + ......+ + 
 a) Ph©n tÝch mÉu sè ta cã:
1997 1996 – 1995 1996 = 1996(1997 -1995) = 1996 2.
Ph©n tÝch tö sè ta cã:
1998 1996 + 1997 11 + 1985 = 1998 1996 + (1996 + 1) 11 + 1985
= 1998 1996 + 1996 11 + 11 +1985 = 1998 1996 + 1996 11 +1996
= 1996 (1998 + 11 + 1 ) = 1996 2010.
VËy gi¸ trÞ ph©n sè trªn lµ: = 1005.
b) A = + + + ......+ + 
Ta cã: 2 x A = 1 + + + + ......+ 
A = 2 x A – A = 1 + + + + .....+ - + + + ......+ + ; A = 1 - A = 
Bài 2 : Tính nhanh tổng sau : 
Đặt tổng trên bằng A ta có :
Bµi 3:
a) Kh«ng lµm tÝnh h·y so s¸nh:
A = 1991 x 1999 vµ B = 1995 x 1995
b) TÝnh nhanh biÓu thøc sau:
C¸ch 1: 
= 
= 
a) So s¸nh A vµ B: B = 1995 x 1995
A = 1991 x 1999 = 1995 x (1991+4)
 = 1991 x (1995 + 4) = 1995 x 1991 + 1995 x 4
 = 1991 x 1995 + 1991 x 4
V× 1991 x 1995 = 1995 x 1991 vµ 1991 x 4 < 1995 x 4
nªn 1991 x 1999 < 1995 x 1995
C¸ch 2: NhËn xÐt ; ; 	; ; 	
C = = 
 = 
C¸ch 3: NhËn xÐt:
	Do ®ã	
	Do ®ã: 
Cø theo quy luËt nµy ta cã:
C = = = 
Bµi 4 : Cho S = 
H·y so s¸nh S vµ .
XÐt c¸c sè h¹ng cña tæng ta thÊy : 
. Ta cã : 
>x10
 >
 Nªn S > .
Bài 5 :Tính nhanh:
( 1+3+5+7++2003+2005) x (125 125 x 127 – 127 127 x 125)
a) Ta có:
125 125x127 – 127 127x125 = 1001x125x127 – 1001x127x125 = 0 . nên : (1+3+5+...+2005)(125 125x127 – 127 127x125) = 0 
Bµi 6: Kh«ng quy ®ång tö sè vµ mÉu sè. H·y so s¸nh:
a/ ; b/ 
a/ Ta cã: ; 
Mµ v× hai ph©n sè cã cïng tö sè, ph©n sè nµo cã mÉu sè bÐ h¬n lµ ph©n sè lín h¬n. Suy ra: 
b/ suy ra 
Bài 7 : Cho 7 phân số : 
Thăng chọn được hai phân số mà tổng có giá trị lớn nhất. Long chọn hai phân số mà tổng có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 4 phân số mà Thăng và Long đã chọn. 
Vậy ta sắp xếp được như sau :
Tổng hai phân số có giá trị lớn nhất là : 
 Tổng hai phân số có giá trị nhỏ nhất là : 
Do đó tổng bốn phân số mà Thăng và Long đã chọn là : 
Bài 8 : Cho tổng : 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50.
Liệu có thể liên tục thay hai số bất kì bằng hiệu của chúng cho tới khi được kết quả là 0 hay không ? 
Bài giải : Ta đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 có 50 số, trong đó số các số lẻ bằng số các số chẵn nên có 50 : 2 = 25 (số lẻ). Vậy A là một số lẻ. Gọi a và b là hai số bất kì của A, khi thay tổng a + b bằng hiệu a - b thì A giảm đi : (a + b) - (a - b) = 2 x b tức là giảm đi một số chẵn. Hiệu của một số lẻ và một số chẵn luôn là một số lẻ nên sau mỗi lần thay, tổng mới vẫn là một số lẻ. Vì vậy không bao giờ nhận được kết quả là 0. 
Bài 9 : Viết liên tiếp các số từ trái sang phải theo cách sau : Số đầu tiên là 1, số thứ hai là 2, số thứ ba là chữ số tận cùng của tổng số thứ nhất và số thứ hai, số thứ tư là chữ số tận cùng của tổng số thứ hai và số thứ ba. Cứ tiếp tục như thế ta được dãy các số như sau : 1235831459437...... Trong dãy trên có xuất hiện số 2005 hay không ? 
Giả sử trong số tạo bởi cách viết như trên có xuất hiện nhóm chữ 2005 thì ta có : 2 + 0 là số có chữ số tận cùng là 0 (vô lí). 
Vậy trong dãy trên không thể xuất hiện số 2005.
Bµi 10: T×m x sao cho:
1,2 x ( - 0,05 ) = 1,44
 1,2 x ( - 0,05 ) = 1,44
( - 0,05) = 1,44 : 1,2
 - 0,05 = 1,2 nên = 1,2 + 0,05 
 = 1,25 do đó 2,4 x X – 0,23 = 1,25 x X
2,4 x X –1,25 x X = 0,23 nên X x (2,4 -1,25 ) = 0,23
 X = 0,23 : 1,15 Vậy X= 0,2
Bài 11: a) Tìm số tự nhiên bé nhất để thay vào x thì được: 
 3,15 x X > 15,5 3,15
b) Tìm số tự nhiên x biết rằng: 
c) 75% X + X + X = 30	
a) Tìm số tự nhiên bé nhất để thay vào x thì được: (0, 75 đ)
 X > 15,5 3,15
Hai tích có thừa số (*) giống nhau thì tích nào lớn hơn sẽ có thừa số còn lại lớn hơn.
Vậy; X > 15,5 mà vì X là số tự nhiên bé nhất nên X = 16
	b) Tìm số tự nhiên x biết rằng: ( 0, 75đ)
 ; ; 1< x< 3 ; Vậy x = 2
c) 0,75 X + 0,75 X + 1 X = 30	 
(0,75 + 0,75 + 1) X = 30 ; 2,5 X = 30	 X = 30 : 2,5 	 ; X= 12	
Bài 12 : Tìm các chữ số a và b thỏa mãn : 
Vì 1/3 là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3. Giả sử a chia hết cho 3, vì 1/a 3 mà a < 10 do đó a = 6 ; 9. 
Vậy a = b = 6.
Bài 13 : Tích sau đây có tận cùng bằng chữ số nào ?
Tích của bốn thừa số 2 là 2 x 2 x 2 x 2 = 16 và 2003 : 4 = 500 (dư 3) nên ta có thể viết tích của 2003 thừa số 2 dưới dạng tích của 500 nhóm (mỗi nhóm là tích của bốn thừa số 2) và tích của ba thừa số 2 còn lại. Vì tích của các thừa số có tận cùng là 6 cũng là số có tận cùng bằng 6 nên tích của 500 nhóm trên có tận cùng là 6. Do 2 x 2 x 2 = 8 nên khi nhân số có tận cùng bằng 6 với 8 thì ta được số có tận cùng bằng 8 (vì 6 x 8 = 48). Vậy tích của 2003 thừa số 2 sẽ là số có tận cùng bằng 8.
Bài 14 : Cho A = 2004 x 2004 x ... x 2004 (A gồm 2003 thừa số) và B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (B gồm 2004 thừa số). Hãy cho biết A + B có chia hết cho 5 hay không ? Vì sao ? 
A = (2004 x 2004 x ... x 2004) x 2004 = C x 2004 (C có 2002 thừa số 2004). C có tận cùng là 6 nhân với 2004 nên A có tận cùng là 4 (vì 6 x 4 = 24). B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (gồm 2004 thừa số) = (2003 x 2003 x 2003 x 2003) x ... x (2003 x 2003 x 2003 x 2003). Vì 2004 : 4 = 501 (nhòm) nên B có 501 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thừa số 2003. Tận cùng của mỗi nhóm là 1 (vì 3 x 3 = 9 ; 9 x 3 = 27 ; 27 x 3 = 81). Vậy tận cùng của A + B là 4 + 1 = 5. Do đó A + B chia hết cho 5.
Bµi 15: Cho tÝch sau:
0,9 x 1,9 x 2,9 x 3,9x  x 18,9
a, Kh«ng viÕt c¶ d·y, cho biÕt tÝch nµy cã bao nhiªu thõa sè ?
b, TÝch nµy tËn cïng b»ng ch÷ sè nµo?
c, TÝch nµy cã bao nhiªu ch÷ sè phÇn thËp ph©n?
a, Ta nhËn thÊy kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè liÒn nhau ®Ìu lµ 1 ®¬n vÞ nªu sè ®Çu lµ 0,9 -> thõa sè cuèi lµ 18,9 .VËy tÝch nµy cã 19 thõa sè .
b, V× tÝch nµy cã 19 thõa sè, mµ c¸c ch÷ sè cuèi cïng ®Òu lµ 9 nªn ch÷ sè cuèi cïng cña tÝch lµ ch÷ sè 9.
c,V× c¸c thõa sè ®Òu cã mét ch÷ sè phÇn thËp ph©n nªn tÝch nµy cã 19 ch÷ sè ë phÇn thËp ph©n.
Bài 16 : A là số tự nhiên có 2004 chữ số. A là số chia hết cho 9 ; B là tổng các chữ số của A ; C là tổng các chữ số của B ; D là tổng các chữ số của C. Tìm D. 
Vì A là số chia hết cho 9 mà B là tổng các chữ số của A nên B chia hết cho 9. Tương tự ta có C, D cũng chia hết cho 9 và đương nhiên khác 0. Vì A gồm 2004 chữ số mà mỗi chữ số không vượt quá 9 nên B không vượt quá 9 x 2004 = 18036. Do đó B có không quá 5 chữ số và C < 9 x 5 = 45. Nhưng C là số chia hết cho 9 và khác 0 nên C chỉ có thể là 9 ; 18 ; 27 ; 36. Dù trường hợp nào xảy ra thì ta cũng có D = 9. 
Bài 17 : Biết rằng số A chỉ viết bởi các chữ số 9. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà cộng số này với A ta được số chia hết cho 45. 
* Cách 1 : A chỉ viết bởi các chữ số 9 nên: 
Vậy A chia cho 45 dư 9. Một số nhỏ nhất mà cộng với A để được số chia hết cho 45 thì số đó cộng với 9 phải bằng 45. Vậy số đó là : 45 - 9 = 36. *Cách 2 : Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cộng vào A là m. Ta có A + m là số chia hết cho 45 hay chia hết cho 5 và 9 (vì 5 x 9 = 45 ; 5 và 9 không cùng chia hết cho một số số nào đó khác 1). Vì A viết bởi các chữ số 9 nên A chia hết cho 9, do đó m chia hết cho 9. A + m chia hết cho 5 khi A + m có tận cùng là 0 hoặc 5 mà A có tận cùng là 9 nên m có tận cùng là 1 hoặc 6. Số nhỏ nhất có tận cùng là 1 hoặc 6 mà chia hết cho 9 là 36. Vậy m = 36. 
Bài 18 : Người ta lấy tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 30 để chia cho 1000000. Bạn hãy cho biết : 
1) Phép chia có dư không ? 
2) Thương là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là bao nhiêu ? 
Xét tích A = 1 x 2 x 3 x ... x 29 x 30, trong đó các thừa số chia hết cho 5 là 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = 5 x 5 do đó có thể coi là có 7 thừa số chia hết cho 5. Mỗi thừa số này nhân với một số chẵn cho ta một số có tận cùng là số 0. Trong tích A có các thừa số là số chẵn và không chia hết cho 5 là : 2, 4, 6, 8, 12, . . . , 26, 28 (có 12 số). Như vật trong tích A có ít nhất 7 cặp số có tích tận cùng là 0, do đó tích A có tận cùng là 7 chữ số 0. Số 1 000 000 có tận cùng là 6 chữ số 0 nên A chia hết cho 1 000 000 và thương là số tự nhiên có tận cùng là chữ số 0. 
C©u 19: Khi chia 1095 cho mét sè tù nhiªn ta ®­îc th­¬ng lµ 7 vµ sè d­ lµ sè lín nhÊt cã thÓ. T×m sè chia.
Theo ®Ò bµi, phÐp chia 1096 cho mét sè tù nhiªn cã sè d­ lín nhÊt nªn khi sè bÞ chia céng thªm 1 th× ®­îc sè míi sÏ chia hÕt cho sè chia cò. Khi ®ã th­¬ng sÏ t¨ng thªm 1 ®¬n vÞ.
	VËy sè chia cÇn t×m lµ: (1905 + 1 ) : (7 + 1 ) = 137
Bài 20: ( 3 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 2 chữ số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 lại vừa chia hết cho 5?
Đặt điều kiện một số tự nhiên có 2 chữ số vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 5 là số có tận cùng là 0, vậy số đó là số tròn chục. 
Để các số tròn chục chia hết cho 3 thì chữ số hàng chục phải chia hết cho 3(1đ) Vậy các số đó là: 30; 60 ; 90. 
Bài 20 : Hai số tự nhiên A và B, biết A < B và hai số có chung những đặc điểm sau : - Là số có 2 chữ số. 
- Hai chữ số trong mỗi số giống nhau. 
- Không chia hết cho 2 ; 3 và 5. 
a) Tìm 2 số đó. 
b) Tổng của 2 số đó chia hết cho số tự nhiên nào ? 
Vì A và B đều không chia hết cho 2 và 5 nên A và B chỉ có thể có tận cùng là 1 ; 3 ; 7 ; 9. Vì 3 + 3 = 6 và 9 + 9 = 18 là 2 số chia hết cho 3 nên loại trừ số 33 và 99. A < B nên A = 11 và B = 77. 
b) Tổng của hai số đó là : 11 + 77 = 88.
Ta có : 88 = 1 x 88 = 2 x 44 = 4 x 22 = 8 x 11. 
Vậy tổng 2 số chia hết cho các số : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; 44 ; 88.
Bài 21 Tìm số có ba chữ số, biết số đó chia cho 2 dư 1, chia cho 5 dư 3 và chia hết cho 3, biết chữ số hàng trăm là 8.
Theo đề bài ta có: số đó có dạng , 0, a 0 
Để chia 2 dư 1 thì b = 1;3;5;7;9 ( 1)	
Để chia 5 dư 3 thì b = 3 hoặc 8 ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra b = 3 
Số đó có dạng 
Để chia hết cho 3 thì (8 +a + 3) chia hết cho 3 hay (11 + a) chia hết cho 3 
Suy ra a = 1; 4; 7	
Vậy các số cần tìm là: 813; 843; 873