Một số bài toán giải bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

TRƯỜNG THPT TRẦN BÌNH TRỌNG
 TỔ TOÁN
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
(Tham gia vào bộ chuyên đề Toán giúp HS thi HSG bảng B và ĐH của Sở)
I. Mở đầu
 Chúng ta biết rằng, nói chung, mỗi vấn đề của Hình học đều có thể thể hiện theo cách thức của Hình học giải tích. Do đó, có thể giải một bài toán Hình học nói chung, hình học phẳng nói riêng bằng cách tọa độ hóa để chuyển thành bài toán Hình học giải tích. Sau đây chúng ta bàn đến việc chuyển đổi một bài toán hình học phẳng sang bài toán Hình học giải tích như thế nào. Việc chuyển đổi này gồm các bước sau:
Bước 1 : Chọn hệ trục tọa độ.
 Bước này sẽ dễ dàng thực hiện nếu trong bài toán Hình học phẳng đang xét có sẵn tam giác vuông hoặc tam giác cân hoặc tam giác đều hay có quan hệ vuông góc của hai đường thẳng. Tuy nhiên không ít trường hợp phải phát hiện, kẻ thêm các đường phụ để tạo nên đường thẳng vuông góc.
Một trong các nguyên tắc không thể bỏ qua là chọn hệ trục tọa độ vuông góc sao cho việc tính toán tọa độ các điểm, viết phương trình các đường được dễ dàng, thuận lợi.
Bước 2 : Tính tọa độ các điểm cho trong đề bài theo hệ tọa độ vừa chọn.
 Thực ra chỉ cần tính tọa độ của những điểm liên quan đến giả thiết và kết luận của bài toán.
Với những bài toán đã có sẵn số liệu thì việc tính toán tọa độ ta dựa vào hình vẽ. Đối với bài toán mà chưa cho số liệu thì ta cần đưa số liệu vào và sau đó dựa vào hình vẽ dể tính tọa độ các điểm theo số liệu đó. Một thủ thuật nhằm giúp cho việc tính toán đơn giản đi là hay chọn đơn vị của trục bằng độ dài một cạnh, một đoạn thẳng nào đó có trong giả thiết.
Bước 3 : Thực hiện các sự kiện của giả thiết đã cho 
 Trong giả thiết của bài toán thường cho các quan hệ song song, quan hệ vuông góc, góc của hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai đói tượng hình học hoặc các sự kiện hình học khác. Bằng các phép toán của Hình học giải tích, ta thực hiện biến đổi, đưa ra các hệ thức điều kiện, hệ thức ràng buộc.
Bước 4 : Đưa ra các kết luận mà bài toán cần giải quyết .
 Từ các hệ thức thu được ở bước 3, ta “phiên dịch” từ ngôn ngữ của hình học giải tích sang ngôn ngữ của hình học phẳng.
Ta cũng nhận thấy, mặc dù các sự kiện của hình học nói chung và của hình học phẳng nói riêng đều có thể trình chuyển đổi sang ngôn ngữ của Hình học giải tích, tuy vậy có mức độ khó, dễ khác nhau. Điều đó dẫn tới việc có rất nhiều bài toán hình học gặp nhiều khó khăn khi chuyển đổi sang ngôn ngữ Hình học giải tích.
 Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học phẳng để dùng công cụ Hình học giải tích giải bài toán khá hữu hiệu tuy vậy ta không nên tuyệt đối hóa nó. 
II. Một số bài toán minh họa
Bài 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác góc . Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P, Q theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh OQ vuông BC.
Gợi ý.
Chọn hệ trục tọa độ Nxy sao cho A, N nằm trên trục hoành.
Vì AB không song song với các trục tọa độ nên phương trình của nó có dạng:
 y = ax + b (a 0). Khi đó : , .
AC đi qua A và đối xứng với AB qua trục hoành nên có phương trình : 
y = -ax – b.
PO đi qua P, vuông góc với AB nên có phương trình : .
O là giao điểm của PO và trục hoành nên .
BC đi qua gốc tọa độ nên:
+) Nếu BC không nằm trên trục tung thì phương trình BC có dạng y = cx với c 0,
c a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song với AB và AC).
 B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ :
 .
 C là giao điểm của BC và AC nên tọa độ C là nghiệm của hệ : 
 .
 Do đó : , suy ra : .
 Từ đó ta có phương trình của AM là : .
 Q là giao điểm của AM với trục tung nên 
  .
 Do đó là một vectơ pháp tuyến của BC nên QO vuông góc BC.
+) Nếu BC nằm trên trục tung thì tam giác ABC cân tại A nên M N, do đó O thuộc AN nên QO vuông góc BC.
Bài 2.
a) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
b) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): và điểm . Đường thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Gợi ý.
a) . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại B. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB()
Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đường thẳng AB:
Vì AB qua M nên
Diện tích tam giác vuông OAB( vuông ở O)là S. Vậy S nhỏ nhất bằng 8 khi d qua A(2;0), B(0;8)
b) (C): ;. qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
 (C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3. Có A nằm trong đường tròn(C) vì 
Kẻ IH vuông góc với MN tại H ta có 
Mà
Vậy MN nhỏ nhất bằng khi H trùng A hay MN vuông góc với IA tại A.
Bài 3: Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b . Tìm tập hợp những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ đó tới a và b luôn luôn bằng số 1 không đổi .
Gợi ý: 
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là giao điểm của a và b , Ox là đường thẳng a sao cho đường thẳng b có phương trình y = kx (k > 0) 
 Giả sử M(x ; y) là điểm nào đó , kẻ MAa , MBb . 
 Khi đó , ta có thể tính được các khoảng cách MA và MB : 
 Vậy , với điều kiện bài toán là (1) . Ta chia các trường hợp sau :
 a) và . Dễ thấy rằng khi đó M nằm trong góc xOz .
 Như vậy , tập hợp M là phần đường thẳng (2) nằm trong góc xOz , tức là đoạn PQ (hình vẽ) . 
 b) và . Khi đó M nằm trong góc zOx’ và :
Như vậy tập hợp M là phần đường thẳng (3) nằm trong zOx’, tức là đoạn 
thẳng PR (hình vẽ) . Dễ thấy rằng tích vô hương của hai vectơ pháp tuyến : 
 bằng 0 , tức là PQPR Tương tự như trường hợp a) và b) , ta xét các trường hợp : 
c) và 
d) và , Ta đi đến kết luận :Tập hợp các điểm M là một hình chữ nhật QPRS có tâm là O và hai đường chéonằm trên a và b. 
Bài 4. Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E. Chứng minh rằng nếu AD = AE thì (trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Gợi ý
Chọn hệ trục như hình vẽ
Theo giả thiết tam giác ADE vuông cân tại A.
Khi đó OA = OE = OD nên 
Theo tính chất đường phân giác 
Ta có 
Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có 
Suy ra 
Từ đó suy ra .
Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn. (D) là một đường thẳng thay đổi. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C lên (D). Biết rằng . Xác định vị trí của đường thẳng (D) để AD lớn nhất.
Gợi ý:
Chọn hệ trục như hình vẽ (b , c >0)
Ta có 
	,	
Giả sử phương trình (d) : 
Theo giả thiết 
Điều này chứng tỏ (d) đi qua là trực tâm tam giác ABC.
Vậy AD max = AH, khi (d) đi qua H và song song với BC.
Bài 6. 
a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình: . Đường cao kẻ từ B có phương trình: , điểm thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
 b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó không cùng nằm trên một đường thẳng.
 Chứng minh rằng: 
Gợi ý
a) Toạ độ B là nghiệm của hệ 
Suy ra 
Gọi d là đường thẳng qua M song song với BC
Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B. Toạ độ N là nghiệm của hệ 
 Suy ra 
Gọi I là trung điểm MN .
 Gọi E là trung điểm BC. Do tam giác ABC cân nên IE là đường trung trực BC, IE đi qua I vuông góc với BC .
 Toạ độ E là nghiệm của hệ. 
CA đi qua C vuông góc với BN suy ra 
Toạ đô A là nghiệm của hệ 
b)Trong mặt phẳng cho bốn điệm phân biệt A,B,C,D và không cùng nằm trên đường thẳng. Chứng minh rằng: 
Chọn hệ trục sao cho , .
Giả sử trong hệ trục đó ta có: 
 (*)
Do 
Vậy từ (*) suy ra m = 0 , hay D nằm trên trục tung.
Vậy (*).
Bài 7. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tr?n (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0 và điểm M( 1; - 8).Viết phương trình đường thẳng d qua M sao cho d cắt (C) tại hai điểm A,B phân biệt mà diện tích tam giác ABI đạt giá trị lớn nhất. Với I là tâm của đường tròn (C).
Gợi ý
Đường tròn (C) có tâm I(- 2; 3) & bán kính R = 2.
Giả sử phương trình đường thẳng (d) : Ax + By - A + 8B = 0 với A2 + B2 > 0
Luôn có DBIA cân tại I với IA = IB = 2 ; SDBIA = IA.IB.sinAIB = 2sinAIB 
 Dấu = khi DAIB vuông cân tại I hay 
Vậy có hai đường thẳng d thoả mãn: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0.
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp và hai điểm . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Gợi ý. 
Ta có PT đường thẳng AB: 2x+3y=0
Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta cóvà diện tích tam giác ABC là 
Dấu bằng xảy ra khi . Vậy 
Bài 9. Cho và , với .
1. Xác định giao điểm M, N của d1 với (E) và giao điểm P, Q của d2 với (E).
2. Tính theo diện tích tứ giác MNPQ.
3. Tìm điều kiện đối với để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Gợi ý
1. Phương trình tham số của d1, d2 là: 
Tọa độ của M, N là nghiệm của phương tình tương giao giữa (d1) và (E).
 , .
Tọa độ của P, Q là nghiệm của phương tình tương giao giữa (d2) và (E).
 , .
2. Ta có: tại trung điểm O của mỗi đường nên tứ giác MNPQ là hình thoi. Diện tích hình thoi MNPQ là: 
3. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
 đạt được khi và chỉ khi .
Bài 10 : Cho tam giác ABC cân tại A. H là trung điểm BC, D là hình chiếu của H trên AB, I là trung điểm HD. Chứng minh rằng AI ^CD.
Gợi ý 
Ta chọn hệ tọa độ Hxy sao cho hai điểm B, C trên Hx và A trên Hy để tiện cho việc tính toán ta đặt HB = HC = 1 và AH = b. Khi đó A(0 ; b), B(1;0) và C(-1;0) đường thẳng AB có phương trình: do HD^ AB và đi qua gốc tọa độ H nên HD: 
Tọa độ D là nghiệm hệ : 
Suy ra điểm I trung điểm của HD có tọa độ nên
 ; và do đó ta có:
 đpcm.
Bài 11
 Cho tam giác ABC cân tại A. Xét D trên cạnh AB và điểm E trên BC sao cho hình chiếu của DE trên BC có độ dài bằng . Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với DE tại E luôn đi qua một điểm cố định. 
Gợi ý
Gọi O là trung điểm BC, chọn hệ tọa độ sao cho 
Khi đó các đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình 
Gọi H là hình chiếu của D trên BC. Do 
nên .Vậy điểm có tọa độ E (x0; 0).Gọi là đường thẳng qua E vuông góc với DE. Suy ra nhận làm một vectơ pháp tuyến, vì vậy 
Suy ra luôn đi qua điểm cố định.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E, F lần lượt trên cạnh AB, BC, CA sao cho : . 
Chứng minh rằng :.
Gợi ý: Ta chọn hệ tọa độ Axy sao cho, AB và AC trên Ax, Ay 
Không giảm tổng quát ta chọn : 
 thế thì A(0;0), B(1;0) và C(0;1) 
 Đặt 	
theo tính chất của tỉ lệ thức ta suy ra : 
Vậy: 
Nên : 
Suy ra : 
Chứng tỏ : (điều phải chứng minh)
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các Cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho . 
Chứng minh rằng và CP = MN
Gợi ý
Chọn hệ trục Oxy sao cho , tia Ox CA và tia Oy CB
Ta có toạ độ các điểm C(0; 0) , A(1; 0) , B(0; 1).
Từ giả thiết ta đặt 
Do đó 
Từ đó 
Bài 14. Hình bình hành thay đổi trong đó và cố định thoả: . Tìm tập hợp điểm và .
Gợi ý.	
Trong mặt phẳng , chọn ; với (không đổi)
Theo giả thiết hình bình hành thay đổi nên lấy và bất kỳ với điều kiện .
Khi đó: 
 (*)
((*) là phương trình bậc hai với ẩn )
Tính 
Vậy tập hợp điểm là đường tròn có tâm , bán kính , bỏ hai điểm và 
Do tứ giác là hình bình hành, ta có . Vậy tập hợp điểm là đường tròn là ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến theo . Đường tròn có tâm , bán kính , bỏ hai điểm và .
Bài 15. Cho hình vuông cố định. Tìm tập hợp những điểm M trong hình vuông đó và thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh của hình vuông cùng xuất phát từ một đỉnh bằng bình phương khoảng cách từ điểm M đến đường chéo của hình vuông không đi qua đỉnh đó.
Gợi ý. 
Không giảm tính tổng quát, xét hình vuông có cạnh .
Đặt hình vuông ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy sao cho Gọi M(x;y) là điểm ở trong hình vuông ABCD, hạ MN,MP, MQ lần lượt vuông góc với BD, DA, AB tại N, P, Q.
Do đó: MP.MQ = MN2 (1) ( xét 2 cạnh hình vuông phát xuất từ đỉnh A)
AB: x – y + 1 = 0, AD: x + y – 1 = 0.
(1) 
M(x;y) ở trong hình vuông nên x – y + 1 > 0, và x + y – 1 < 0.
Do đó: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < 0 nên (1) 
Û x2 – (y– 1)2 =- 2y2 Û x2 + (y+1)2 = 2
Vậy tập hợp các điểm M là cung BD, cung ¼ đường tròn C, bán kính R = .
Từ kết quả trên ta kết luận: Tập hợp các điểm M là 4 cung ¼ đường tròn tâm là các đỉnh của hình vuông và có bán kính bằng cạnh của hình vuông.
Bottom of Form
. 
.