Một số bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
1 
1 
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA 
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG 
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 
VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 
PHẦN MỤC LỤC Trang 
I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 
II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC 
III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 
IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI 
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. 
Các diễn đàn : 
www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, 
www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn , 
2. Đề thi HSG Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30 -4 
3. Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) 
4. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ 
5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI  ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) 
6. Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Phan Huy Khải ) 
7. Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) 
8. Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) 
9. Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 
10. Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 
11. Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 
12. 340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin ) 
13. Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) 
14.  và một số tài liệu tham khảo khác . 
15. Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website. 
MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
2 
2 
PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 
1. = − + + − +2y 2x 2 m 4xx 5Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : có cực đại . ĐS : m < -2 
2. 
 + − =/= 
=
3 21 xsin 1, xf(x)
0 , x 0
x 0Cho hàm số : . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x =0 . 
3. ( )= = −y f(x) | x | x 3Tìm cực trị của hàm số : . ĐS : x =0 ; x=1 
4. Xác định các giá trị của tham số m để các phương trình sau có nghiệm thực : 
( ) ( )+ + − − −− + =x 3 3m 4 1 x3 m4 1m 0 a) . ĐS : ≤ ≤79 9m 7 
+ − =4 2x 1 x mb) . ĐS : ≤<0 m 1 
( )+ − − + = − + + − −2 2 4 2 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 xc) 
5. 



+ =
=
2 3
3 2
y 2
xlog y 1
x
log
Xác định số nghiệm của hệ phương trình : ĐS : 2 
6. 
− =


+
+
+ + = + + +
2 2 2y x 2
3 2
x 1y 1
(x 2y 6) 2log (x y 2) 1
e
3log
Giải hệ phương trình : . ĐS : (x,y)=(7;7) 
7. 
−
−
− + = + +

+ − + = +
2 y 1
2 x 1x 2x 2 3 1y 2y 2 3 1xyGiải hệ phương trình : 
8. 
( )
( )
− − + − + + = +

+ + + + =
2x y y 2x 1 2x y 1
3 21 4 .5 2 1y 4x ln y 2x 1 0Giải hệ phương trình : 
9. ( ) − + −− = +  3 5(x 5) logx 3 log (x ) x3 2Giải phương trình : 
10. ≤ − + − ++ − +− + 4 (x 6)(2x(x 2) 1)(2x 1) 3 6 3 xx 2Giải bất phương trình : . ĐS : ≤ ≤12 x 7 
11. − + − ≤
−
53 2x 2x 62x 13Giải bất phương trình : 
12. ( ) ( )( )+ + + + =+ + +2 23x 2 4x 29x 3 1 x x 1 0Giải phương trình : 
13. − − + = + −33 2 24x 5x 6 7x 9x 4xGiải phương trình : 
14. 
 − + + =

− + − =
2 xy y x y 55 x 1 y mTìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : . ĐS :  ∈ m 1; 5 
15. ( ) ( ) + − + + − = 
− 
41x x 1 m x x x 1 1x 1Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : . 
16. 
 + + + =

+ + + + + + + =
x 1 y 1 3x y 1 y x 1 x 1 y 1 mTìm m để hệ có nghiệm: 
17. 1 2x ;xGiả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại tại . CMR:  < ∀ ≠ 
 
2 1 2f '''(x) 1 f ''(x) , x x ,xf '(x) 2 f '(x) 
18. = + + − +2 3f(x) cos 2x 2(sinx cosx) 3sin2x mCho hàm số : . Tìm m sao cho ≤ ∀2(x) 36,f m 
19. ( )+ + ≥2 2x ylog x y 1Trong các nghiệm(x;y) của BPT : . Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN 
20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trình : ( )x 22009 x +1 - x =1 . ĐS : x=0 
21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Tìm m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt : 
( ) ( )
+ =
 + + = +
2x y my 1 x xy m x 1 ĐS : ≥ 3 3m 2 
MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
3 
3 
22. Giải hệ PT : ( ) ( ) − = − = − − − 4 43 3 2 2x y 240x 2y 3 x 4y 4 x 8y 
23. Giải hệ phương trình : ( ) + + = + + − = 4 3 3 2 23 3x x y 9y y x y x 9xx y x 7 . ĐS : (x,y)=(1;2) 
24. Giải hệ phương trình : ( ) ( ) + + − − =
 + + − =
2
2 24x 1 x y 3 5 2y 04x y 2 3 4x 7 
25. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :  − + + =
− + − =
2 xy y x y 55 x 1 y m . ĐS :  ∈ m 1; 5 
26. Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : ( ) ( ) + − + + − = 
− 
41x x 1 m x x x 1 1x 1 . 
27. Tìm m để hệ phương trình : ( ) + + − =
+ =
23 x 1 y m 0x xy 1 có ba cặp nghiệm phân biệt . 
28. Giải hệ PT : −
−
 + − + = +

+ − + = +
2 y 1
2 x 1x x 2x 2 3 1y y 2y 2 3 1 
29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Giải hệ phương trình : −

=
 − = + −
 Π  ∈   
x y sinxe
siny
sin2x cos2y sinx cosy 1
x,y 0; 4
30. Giải phương trình : − + − =3 2 316x 24x 12x 3 x 
31. Giải hệ phương trình : ( )
( )
− − + − + + = +

+ + + + =
2x y y 2x 1 2x y 1
3 21 4 .5 2 1y 4x ln y 2x 1 0 
32. Giải phương trình : ( )= + + +x 33 1 x log 1 2x 
33. Giải phương trình : − + − + = −33 2 2 32x 10x 17x 8 2x 5x x ĐS 
34. Giải hệ phương trình :  + = +
+ + + =
5 4 10 6
2x xy y y4x 5 y 8 6 
35. Giải hệ phương trình :  + + − = + +
+ + − = + +
2 2
2 2x 2x 22 y y 2y 1y 2y 22 x x 2x 1 
36. Giải hệ phương trình :  + =
    + = +      
y x
1x y 21 1x yy x 
37. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) . Giải phương trình : =
− −
− −−2 21 1x5x 7( x 6) x5 1 Lời giải : ĐK : > 7x 5 
Cách 1 : PT −⇔ − − + = ⇔ =
 − − − + − 
4x 6 36(4x 6)(x 1) 0 x 2(x 1)(5x 7). x 1 5x 7 
Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng : ( ) −− =
− −
−
−
2 21 15x 6 x(5x 6) 1 x 1 Và xét hàm số : = >
−
−2 1 5f(t) t , t 7t 1 
MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
4 
4 
38. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để BPT sau có nghiệm : 
+ − ≤ − −3 2 33x 1 m( x x 1)x 
HD : Nhân liên hợp đưa về dạng : ( )+ − + − ≤3 3 2x x 1 (x 3x 1) m 
39. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) . Giải phương trình : 
 + + + = + +3 2x 3x 4x 2 (3 2) 3xx 1 
HD : PT ( )⇔ + + ++ = + +33(x 1) (x 1) 3x 1 3x 1 . Xét hàm số : = + >3 tf t) t , t( 0 
40. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Giải phương trình : 
− = − + −3 23 2x 1 27x 27x 13x2 2 
 HD : PT − = − + − ⇒ −− + − =⇔ 33 32x 1 (3x 1) 2(2x 1) 2 (3x 1) f( 2x 1) f(3x 1) 
41. ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình :  + + − − =
+ + − =
2
2 2(4x 1)x (y 3) 5 2y 04x y 2 3 4x 7 
HD : Từ pt (1) cho ta : ( ) +  + = − − ⇒ = −22 1].2x 5 2y 5 2y f([(2x 2x) f(1 5) 2y ) 
Hàm số : + ⇒ == + > ⇒2 21).t f '(t) 3tf(t) (t 1 0 −= − ⇒ = − ⇒ =2 25 4x2x 5 2y 4x 5 2y y 2 
Thế vào (2) ta có : 
 −
+ + − = 
 
222 5 4x4x 2 3 4x 72 , với ≤ ≤0 3x 4 ( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có 
nghiệm duy nhất : =x 12 . 
42. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho hệ:  + =
+ + + ≤
x y 4
x 7 y 7 a
(a là tham số). 
Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện ≥x 9. HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của biến khi muốn quy về 1 biến để khảo sát : 
⇒− = ≥ ≤x y 0 x4 16 . Đặt ∈= x , t [t 3;4] và khảo sát tìm Min . ĐS : ≥ +a 4 2 2 
43. Giải hệ phương trình : − + − + =
+ = +
4 xy 2x 4
x 3 3 yy 4x 2 52 x y 2 
44. Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x : ( )  − ≤+ − − − −2sinx sinx sinxe 1 (e 1)sinx2e e 1e 1 
45. ( Đề thi HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) . Giải PT : 
+ +
− − = − −2 22 5 2 2 5log (x 2x 11) log (x 2x 12) 
46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: ( ) ( )− + + − − + − =4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0 
47. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) . Giải hệ phương trình sau: − += +
 + + = + + +
2 2 2y x 2
3 2
x 1e y 1
3log (x 2y 6) 2log (x y 2) 1
48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm : 
 Cho − +
≤
>
= 
− − +
x2(x 1)e , x 0f(x) x ax 1, x 0 . Tìm a để tồn tại f’(0) . 
 Cho += 
+ + <
≤acosx bsinx, xF(x)
ax b 1, x 0
0 . Tìm a,b để tồn tại f’(0) . 
 

− >= 
 =
2 2x x
lnx , x 0F(x) 2 4
0, , x 0
 và >= 
=
xlnx, x 0f(x)
0, x 0
 . CMR : =F'(x) f(x) 
 Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀ >a 0 bất đẳng thức sau luôn đúng ∀ ∈x R : + − − < 2| f(x a) f(x) a | a 
. Chứng minh f(x) là hàm hằng . 
MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
5 
5 
 Tính giới hạn : 
→
π
−
=
−x
31 24
tan
N lim
2sin
x 1x 1 Tính giới hạn : → − − += +2 32x 22 2x 0 e 1N lim ln(1 x x) 
 Tính giới hạn : 
→
+ + −
=
+ 33 x 0
3 32x x 1
N
1m xli x Tính giới hạn : → −= sin2x4 sx nx0 ie eN lim sinx 
 Tính giới hạn : 
→
+
=
−0
35 x x 8 2siN lim n10x Tính giới hạn : → − − += +2 32x 26 2x 0 e 1N lim ln(1 x x) 
 Tính giới hạn : 
→
−
=
sin2x sin37 x
3x
0 eN lim esin4x Tính giới hạn : → −= −x 43x 0 38 4 xN xim 2l 
 Tính giới hạn : 
→
−
=
+ − −
9 x 0
3x 2x.3 cos4x
1 sinx 1
2
N lim
sinx
 Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt 
1 2 3 nx x x; ; ...x . Chứng minh các đẳng thức sau : 
a) + + + =2 n
2 n
11
P''(x ) P''(x ) P''(x )
... 0
P'(x P'( P'(x) )x) b) + + + =
2 n1 ) )1 1 1... 0P'(x P'(x P'(x ) 
 Tính các tổng sau : 
a) = + + +nT osx 2cos2x ... nc(x) c osnx b) = + + +n 2 2 n n1 x 1 x 1 x(x) tan tan ... tan2 2 2 2 2 2T c) −+ + + − = −2 3 n n 2n n nCMR : 2.1.C 3.2.C ... n(n 1)C n(n 1).2 
d) + + + += 2nS inx 4sin2x 9sin3x ...(x) s sn innx e) + + + −= + + +
+ + + + − +  
n 2 2 2 2 2 22x 1 2x 3 2x (2n 1)(x) ...x (x 1) (x 1) (x 2) x (n 1) (x n)S 
49. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số : 
a) Cho α∈ + ≥R: a b 0 . Chứng minh rằng : α  + +≤
 
n na b a b2 2 
b) Chứng minh rằng với ≥>a 3,n 2 ( ∈n N,n chẵn ) thì phương trình sau vô nghiệm : 
+ + ++ − + + =n 2 n 1 n 2(n 1)x 3(n 2)x a 0 
c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị :   
+ +

= + − +   
   
22 22 2y (m 1) 3x x1 x 1 xm 4m 
d) Cho ≥ ∈n 3,n N ( n lẻ ) . CMR : ∀ =/x 0 , ta có :    + + + + − + − − <   
   
2 n 2 nx x x x
1 x ... 1 x ... 1
2! n! 2! n!
e) Tìm cực trị của hàm số : += + + − +2 2x x 1 x xy 1 
f) Tìm a để hàm số : = + += − 2y f(x) 2 xx a 1 có cực tiểu . g) Tìm m để hàm số : − −= msinx cosx 1y
mcosx
 đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng   

π

9
0; 4 
50. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm : 
a) Cho các số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng nếu phương trình : ( )2ax b c x d e 0+ + + + = có nghiệm thực thuộc 
nửa khoảng [1; )+∞ thì phương trình : 4 3 2bx cx dxax e 0+ + + + = có nghiệm. 
b) Cho phương trình : 5 4 3 25x 15x xP( ) xx x 3 7 0− + − + − == . Chứng minh rằng, phương trình có một nghiệm thực 
duy nhất. 
MATHVN.COM
Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
6 
6 
PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC 
1. Tìm hàm số : →f : R R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : 
a) 
→
=x 0 f(x)lim 1x 
b) ( ) ( ) ( )+ = + + + + ∀ ∈2 2f x y f x f y 2x 3xy 2y , x,y R 
2. Tìm hàm số : →f : R R thoả mãn điều kiện sau : ( ) ( ) ( )− = + + + + ∀ ∈2008 2008f x f(y) f x y f f(y) y 1, x,y R 
3. Tìm hàm số : →f : R R thoả mãn điều kiện sau : ( ) ( ) ( )( )+ = + ∀ ∈f x cos(2009y) f x 2009cos f y , x,y R 
4. Tìm hàm số : →f : R R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : 
c) ( ) ≥ 2009xf x e 
d) ( ) ( ) ( )+ ≥ ∀ ∈f x y f x .f y , x,y R 
5. Tìm hàm số : →f : R R thoả mãn điều kiện sau : ( ) ( )−+ = ∀ ∈f y 1f x y f(x).e , x,y R 
6. Tìm hàm số : →f : R R thoả mãn điều kiện sau : ( )( ) ( )+ = + 2f x.f x y f(y.f x ) x 
7. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Tìm hàm → f : thỏa mãn : 
( )+ + = + ∀ ∈2(x) 2yf(x) f(y) f y f(x) , ,x,yf R 
MATHVN.COM
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
7 
7 
PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 
1. Cho ∈ + + =2 2 2a,b,c R: a b c 3 . Chứng minh rằng : + + ≤2 2 2a b b c c a 3 
2. Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − + − ≥ − − −2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2a b a b b c b c c a c a a b b c c a 
3. Cho các số thực a,b,c . Chứng minh rằng : 
( )
( )+ + + ≥ + +
+
∑
2 2 2 2 2a b c 81 a b 13 a b cb c a 4 42a b 
4. Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn : + + + =a b c 36abc 2 . Tìm Max của : = 7 8 9P a b c 
5. Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z . CMR : + + ≤
+ + +
a b c 3
a b b c c a 2 
6. Cho a,b,c >0 . Tìm GTNN của : ( )+ +=
6
2 3a b cP ab c 
7. Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn : + + =2 2 2yx z 1 
CMR : − − − − − −+ +2 2 22x (y z) 2y (z x) 2z (x y)
yz zx xy
8. Cho các số thực dương a,b,c . CMR : + ++ + ≤
+ + + + + +
bc ca ab a b c
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6
9. Cho các số thực dương a,b,c . CMR : + + ≤
+ + + + + +3 3 3 3 3 31 1 1 1abca b abc b c abc c a abc 
10. Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : + + =
+ + +2 2 21 1 1 1a 2 b 2 c 2 . CMR : + + ≤ab bc ca 3 
11. Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện : + + =2 2 2ba c 3 . CMR : 
+ + ≥
− − −
1 1 1 3
2 a 2 b 2 c
12. Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý . CMR : + + ≤
+ + +
x y z 3 2
x y y z z x 2
13. Cho các số thực dương a,b,c . CMR : −+ + ≥ + + +
+ +
2 2 2 2a b c 4(a b)
a b c
b c a a b c
14. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 . CMR : + + ≥
+ + +3 3 31 1 1 32a (b c) b (c a) c (a b) 
15. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 v à ( )( )( )− − =− /x 1 y 1 z 1 0 . CMR : 
   
+ + ≥
 
   − − −  

 
22 2
x y z 1
x 1 y 1 z 1
16. Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ . CMR : − + − + − ++ + ≥
+ + + + + +
2 2 22 2 2 2 2 2(3a b c) (3b c a) (3c a b) 922a (b c) 2b (c a) 2c (a b) 
17. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : + + =2 2 2ba c 1 . CMR : 
+ + ≤
− − −
1 1 1 9
1 ab 1 bc 1 ca 2
18. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : + + =2 2 2ba c 9 . CMR : ++ ≤+2(a b c) 10 abc 
19. Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 . CMR : + + ≥
− − −
3 3 32 2 2a b c 14(1 a) (1 b) (1 c) 
20. (Chọn ĐTHSG QG Nghệ An năm 2010 ) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : 
+ + − + + + =4 4 4 2 2 2b c ) 25(9(a a b c ) 48 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
+ +=
+ + +
2 2 2a b c
b 2c c 2a a
F 2b 
MATHVN.COM
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
8 
8 
 Lời giải : 
 Từ giả thiết : 
+ + − + + + = ⇒ + +
⇒ −
= + + + ≥ + + +
+ + + + + ≤ ⇒ ≤ ≤+ +
4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c ) 25(a b c ) 48 0 25(a b c ) 48 9(a b c ) 48 3(a b c )
3(a b c ) b c ) 48 0
9 3 b c(a 1625(a a 3 
Ta lại có : + ++ + = + + ≥
+ + + + + + + + + + +
=
4 4 42 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2a b c a b c (a b c )b 2c c 2a a 2b a (b 2c) b (c 2a) c (a 2b) (a b b c c a) 2(a c b a cF b) 
Lại có : + ++ + = + + ≤ + + + + ≤ + + 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a b c )b b c c a a(ab) b(bc) c(ca) (a b c ) b c ca [a b a ] a b c 3 
Tương tự : 
+ +
+ + ≤ + +
2 2 22 2 2 2 2 2 a b cc b a c b) a b c .(a 3 Từ đó ta có : + +≥ ≥2 2 2F a b c 13 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1. 
ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có + ++ ≥ =
+ +
2 2 2 2 2a (b 2c)a a (b 2c)a 2a2b 2c 9 b 2c 9 3 . Tương tự + ++ ≥ + ≥
+ +
2 2 2 2 2 2b (c 2a)b 2b c (a 2b)c 2c
,
c 2a 9 3 a 2b 9 3
. 
Suy ra: = + +
+ + +
2 2 2a b cF
b 2c c 2a a 2b
 ( )  ≥ + + − + + + + + 2 2 2 2 2 22 1a b c a (b 2c) b (c 2a) c (a 2b) (*)3 9 . 
Lại áp dụng AM – GM, ta có + + + + + ++ + ≤ + + = + +3 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 3 3 3a a c b b a c c ba c b a c b a b c (**)3 3 3 . Từ (*) và (**) suy ra: ( ) ( )≥ + + − + + + +2 2 2 2 2 22 1F a b c a b c (a b c )3 9 ( ) ( ) ( )≥ + + − + + + +2 2 2 2 2 2 2 2 22 1a b c a b c 3 a b c3 9 . 
Đặt ( )= + +2 2 2t 3 a b c , từ giả thiết ta có: ( ) ( ) ( )+ + − = + + ≥ + + 22 2 2 4 4 4 2 2 225 a b c 48 9 a b c 3 a b c ( ) ( )⇒ + + − + + + ≤ ⇒ ≤ + + ≤22 2 2 2 2 2 2 2 2 163 a b c 25 a b c 48 0 3 a b c 3 . 
Do đó ≥ − =2 32 1F t t f(t)9 27 với ∈  t 3; 4 (* * *). 
Mà 
∈  
= =
t 3;4
min f(t) f(3) 1 (* * **). Từ (***) và (****) suy ra ≥F 1. Vậy =minF 1 xảy ra khi = = =a b c 1 . 
21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng : 
+ + ≥
+ + +2 2 2 2 2 21 1 1 36x y z 9 x y y z z x 
 Lời giải : 
 BĐT đã cho tương đương với : ( ) + + + + + ≥ 
 
2 2 2 2 2 2 1 1 19 x y y z z x 36
x y z
 Ta có : ( ) + + = ≤  
 
32 xy yz zx
xyz (xy)(yz)(zx) 3 
MATHVN.COM
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
9 
9 
Do đó : 
( )+ +   + +
+ + = ≥ =    + ++ +   
22 2
327 xy yz zx1 1 1 xy yz zx 27x y z xyz xy yz zx(xy yz zx) 
Lại có : ( )+ + + + + + ≥ + + ++ =   + +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2y y z z x y 1 z 1) (z x 1) 29 x 6 x (y 3 (xy yz zx) 
Nên : 
( )  ≥ + + + = + + + + ≥     + + + + 
22 27 9
VT 4 3 (xy yz zx) . 108 6 (xy yz zx)
xy yz zx xy yz zx
 
+ + + = ⇒ ≥  + +
≥
 
9
108 6 2 (xy yz zx) 1296 VT 36
xy yz zx
ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN : 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương (xy + yz + zx)(9 + x2y2 + z2y2 +x2z2) ≥ 36xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xy + yz + zx ≥ 3 2 2 23 x y z (1) Và 9+ x2y2 + z2y2 +x2z2 4 4 412 x y z ≥ 12 hay 9 + x2y2 + z2y2 +x2z2 3 xyz ≥ 12 (2) 
Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra: (xy + yz + zx)(9 + x2y2 + z2y2 +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1 
22. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : + + =x y 1 3xy . Tìm giá trị lớn nhất của : = + − −
+ + 2 23x 3y 1M y(x 1) x y 1) x 1y( 
Lời giải : Ta có : = + + ≥ + ⇒ ≥ ⇒ ≥3xy x y 1 2 xy 1 xy 1 xy 1 (*) 
Ta có : 
( ) ++
= + − −
− − − + +
− − −+ − +
= + = =
− −  
222 2 2 2 2 2 2 2 22 3xy 3xy 1 (1 3xy)1 1 1 3xy(x y) (x y)y y (3 2xy3x 3y 1 2xyM y (3x 1) x (3y 1) x 9xy 3x 1) x (x y(3y 1) x y 4x) y1 
23. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c . CMR : 
 + ≥ + ++
3 33 333 c a b cb c aaa bb c 
 HD : 
≥
≤

+ +



+ +

3 33 3
3 3 33 3 3
a a 1b b
a b c3
b c a
a3 b 
24. ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn : + + =2 2 2yx z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : = + − +P 6(y z x) 27xyz 
 HD : + −   ≤ + − + = − − +      
2 2 22 2 2y z 1 x6 2(y z ) x 27x. 6 2(1 x ) x 27x2P 2 ( )=MaxP 10 
25. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Cho ≥ + + =2 2 20: a bb,c ca, 1 . Chứng minh rằng : 
 + + ≥3 3 3 62b 3ca 7 
HD : Có thể dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ 
26. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : =xyz 1 . Chứng minh rằng : + ++ + + ≥
+ + +
4 4 3 4 4 3 4 4 36 6 6 6 6 6(x (y (zx yy ) z ) x ) 12y xzz 
MATHVN.COM
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
10 
10 
Lời giải : Đặt ⇒= = = =2 2 2a;y b;z cx abc 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành : 
+ +
+ + +
≥
+ + +
3 3 33 32 2 2 2 23 3 323(a (b (ca bb ) c ) a ) 12b acc 
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có : 
( ) ( ) ( )= + + + ++ + + ++ ≥ 42 2 3 6 4 2 4 2 4 2 6 2 4 2 4 2 4 6 6 3 3(a ab ) b a b a b b b b a b ab a a a 4 ba 
27. (Đề thi HSG Tỉnh Đồng Nai năm 2010