Một số bài tập môn Hình học 9 (phần nâng cao)

MỘT TRĂM BÀI TẬP 
HÌNH HỌC LỚP 9. 
Phần 2: 50 bài tập cơ bản. 
 Bài 51:Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tt AB và AC 
với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. 
1. C/m ABOC nội tiếp. 
2. Chứng tỏ AB2=AE.AD. 
3. C/m góc 
 
AOC ACB= và ∆BDC cân. 
4. CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB. 
1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m) 
2/C/m: AB2=AE.AD. Chứng minh ∆ADB ∽ ∆ABE , vì có E chung. 
Sđ 
ABE =
2
1 sđ cung BE (góc giữa tt và 1 dây) 
Sđ 
BDE =
2
1 sđ BE (góc nt chắn BE ) 
3/C/m 
 
AOC ACB= 
* Do ABOC nt⇒ 
 
AOC ABC= (cùng chắn cung AC); vì AC = AB (t/c 2 tt cắt 
nhau) ⇒ ∆ABC cân ở A⇒
 
 
 
ABC ACB AOC ACB= ⇒ = 
* sđ 
ACB=
2
1 sđ BEC (góc giữa tt và 1 dây); sđ 
BDC =
2
1 sđ BEC (góc nt) 
⇒ 
BDC=
ACB mà 
ABC=
BDC (do CD//AB) ⇒ 
 
BDC BCD= ⇒ ∆BDC cân ở 
B. 
4/ Ta có Iɵ chung; 
 
IBE ECB= (góc giữa tt và 1 dây; góc nt chắn cung BE)⇒ 
∆IBE∽∆ICB⇒
IC
IB
IB
IE
= ⇒ IB2=IE.IC
 
Xét 2 ∆IAE và ICA có Iɵ chung; sđ 
IAE =
2
1 sđ ( DB BE− ) mà ∆BDC cân ở B⇒ 
 DB BC= ⇒sđ 
IAE=    
1sđ (BC-BE) = sđ CE= sđ ECA
2
 ⇒ ∆IAE∽∆ICA⇒
IA
IE
IC
IA
= ⇒IA2=IE.IC Từ 
và⇒IA2=IB2⇒ IA=IB 
Hình 51 
I
E
D
C
B
O A
Bài 52: 
 Cho ∆ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp 
trong (O) đường kính AA’. 
1. Tính bán kính của (O). 
2. Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì? 
3. Kẻ AK⊥CC’. C/m AKHC là hình thang cân. 
4. Quay ∆ABC một vòng quanh trục AH. Tính diện tích xung quanh của 
hình được tạo ra. 
Hình bình hành. Vì AA’=CC’(đường kính của đường tròn)⇒AC’A’C là hình chữ 
nhật. 
3/ C/m: AKHC là thang cân: 
 ta có AKC=AHC=1v⇒AKHC nội tiếp.⇒HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà 
∆OAC cân ở O⇒OAC=OCA⇒HKC=HCA⇒HK//AC⇒AKHC là hình thang. 
 Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH)⇒ KAO+OAC=KCH+OCA⇒Hình 
thang AKHC có hai góc ở đáy bằng nhau.Vậy AKHC là thang cân. 
4/ Khi Quay ∆ ABC quanh trục AH thì hình được sinh ra là hình nón. Trong đó 
BH là bán kính đáy; AB là đường sinh; AH là đường cao hình nón. 
Sxq=
2
1 p.d=
2
1 .2pi.BH.AB=15pi 
V=
3
1 B.h=
3
1
piBH2.AH=12pi 
Bài 53:Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. 
Qua I vẽ dây MQ⊥OA (M∈ cung AC ; Q∈ AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M 
cắt (O) tại P. 
1. C/m: a/ PMIO là thang vuông. 
1/Tính OA:ta có BC=6; 
đường cao AH=4 ⇒ 
AB=5; ∆ABA’ vuông ở 
B⇒BH2=AH.A’H 
⇒A’H=
AH
BH 2 =
4
9 
⇒AA’=AH+HA’=
4
25 
⇒AO=
8
25 
2/ACA’C’ là hình gì? 
Do O là trung điểm AA’ 
và CC’⇒ACA’C’ là 
Hình 52 
H
K
C'
C
A'
A
O
B
 b/ P; Q; O thẳng hàng. 
2. Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. Tính Góc CSP. 
3. Gọi H là giao điểm của AP với MQ. Cmr: 
 a/ MH.MQ= MP2. 
 b/ MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆QHP. 
và CM=QD ⇒ CP=QD ⇒ sđ CSP=
2
1 sđ(AQ+CP)= sđ CSP=
2
1 sđ(AQ+QD) 
=
2
1 sđAD=45o.
Vậy CSP=45o. 
3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ và MHP có : Vì ∆ AOM cân ở O; I là trung 
điểm AO; MI⊥AO⇒∆MAO là tam giác cân ở M⇒ ∆AMO là tam giác đều ⇒ 
cung AM=60o và MC = CP =30o ⇒ cung MP = 60o. ⇒ cung AM=MP ⇒ góc 
MPH= MQP (góc nt chắn hai cung bằng nhau.)⇒ ∆MHP∽∆MQP⇒ đpcm. 
 b/ C/m MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ QHP. 
Gọi J là tâm đtròn ngoại tiếp ∆QHP.Do cung AQ=MP=60o⇒ ∆HQP cân ở H và 
QHP=120o⇒J nằm trên đường thẳng HO⇒ ∆HPJ là tam giác đều mà 
HPM=30o⇒MPH+HPJ=MPJ=90o hay JP⊥MP tại P nằm trên đường tròn ngoại 
tiếp ∆HPQ ⇒đpcm. 
Bài 54: 
 Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O.Từ một điểm M trên d và ở 
ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) tại 
điểm thứ hai là C.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng 
vuông góc với BC tại O cắt AM tại D. 
1. C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn. 
1/ a/ C/m MPOI là thang 
vuông. 
Vì OI⊥MI; CO⊥IO(gt) 
⇒CO//MI mà MP⊥CO 
⇒MP⊥MI⇒MP//OI⇒MPOI 
là thang vuông. 
b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: 
Do MPOI là thang vuông 
⇒IMP=1v hay QMP=1v⇒ 
QP là đường kính của (O)⇒ 
Q; O; P thẳng hàng. 
2/ Tính góc CSP: 
Ta có 
sđ CSP=
2
1 sđ(AQ+CP) (góc 
có đỉnh nằm trong đường 
tròn) mà cung CP = CM Hình 53 
S
J
H
M P
Q
I
D
C
O
A B
 2. C/m AC//MO và MD=OD. 
3. Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME.MF 
4. Xác định vị trí của điểm M trên d để ∆MAB là tam giác đều.Tính diện 
tích phần tạo bởi hai tt với đường tròn trong trường hợp này. 
C/mMD=OD. Do OD//MB (cùng ⊥CB)⇒DOM=OMB(so le) mà 
OMB=OMD(cmt)⇒DOM=DMO⇒∆DOM cân ở D⇒đpcm. 
3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM và MAF có góc M chung. 
Sđ EAM=
2
1 sd cungAE(góc giữa tt và 1 dây) 
Sđ AFM=
2
1 sđcungAE(góc nt chắn cungAE) ⇒EAM=A FM 
⇒∆MAE∽∆MFA⇒đpcm. 
4/Vì AMB là tam giác đều⇒góc OMA=30o⇒OM=2OA=2OB=2R 
Gọi diện tích cần tính là S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB 
Ta có AB=AM= 22 OAOM − =R 3 ⇒S AMBO=
2
1 BA.OM=
 2
1 .2R. R 3 = 
R2 3 ⇒ Squạt= 360
120.2Rpi =
3
2Rpi
⇒S= R2 3 -
3
2Rpi = ( )
3
33 2Rpi− 
 

 
Bài 55: 
 Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường 
tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường 
thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C. 
1. C/m AMN=BMC. 
2. C/m∆ANM=∆BMC. 
3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F.C/m FE⊥Ax. 
Hình 54 
1/Chứng minh 
OBM=OAM=OHM=1v 
2/ C/m AC//OM: Do MA 
và MB là hai tt cắt nhau 
⇒BOM=OMB và MA=MB 
⇒MO là đường trung trực 
của AB⇒MO⊥AB. 
Mà BAC=1v (góc nt chắn 
nửa đtròn ⇒CA⊥AB. Vậy 
AC//MO. 
d
HC
E FO
B
A
D
 4. Chứng tỏ M cũng là trung điểm DC. 
1/C/m AMN=BMA. 
 Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) và do NM⊥DC⇒NMC=1v vậy: 
AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v⇒ AMN=BMA. 
2/C/m ∆ANM=∆BCM: 
Do cung AM=MB=90o.⇒dây AM=MB và MAN=MBA=45o.(∆AMB vuông cân 
ở M)⇒MAN=MBC=45o. 
Theo c/mt thì CMB=AMN⇒ ∆ANM=∆BCM(gcg) 
3/C/m EF⊥Ax. 
 Do ADMN nt⇒AMN=AND(cùng chắn cung AN) 
 Do MNBC nt⇒BMC=CNB(cùng chắn cung CB) 
Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1) 
Ta lại có AND+DNA=1v⇒CNB+DNA=1v ⇒ENC=1v mà EMF=1v ⇒EMFN 
nội tiếp ⇒EMN= EFN(cùng chắn cung NE)⇒ EFN=FNB 
⇒ EF//AB mà AB⊥Ax ⇒ EF⊥Ax. 
4/C/m M cũng là trung điểm DC: 
Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN). 
⇒∆NMC vuông cân ở M⇒ MN=NC. Và ∆NDC vuông cân ở N⇒NDM=45o. 
⇒∆MND vuông cân ở M⇒ MD=MN⇒ MC= DM ⇒đpcm. 
 

 
Bài 56: 
 Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. 
Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CD⊥AB; CE⊥MA; CF⊥MB. Gọi I và K là 
giao điểm của AC với DE và của BC với DF. 
1. C/m AECD nt. 
⇒ AND=CNB 
Hình 55 
x
y
E
F
D
C
M
O
A B
N
 2. C/m:CD2=CE.CF 
3. Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE. 
4. C/m IK//AB. 
1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 
2/C/m: CD2=CE.CF. 
Xét hai tam giác CDF và CDE có: 
-Do AECD nt⇒CED=CAD(cùng chắn cung CD) 
-Do BFCD nt⇒CDF=CBF(cùng chắn cung CF) 
Mà sđ CAD=
2
1 sđ cung BC(góc nt chắn cung BC) 
 Và sđ CBF=
2
1 sđ cung BC(góc giữa tt và 1 dây)⇒FDC=DEC
 
Do AECD nt và BFCD nt ⇒DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt 
cắt nhau)⇒DCF=DCE.Từ 
và ⇒∆CDF∽∆CED⇒đpcm. 
3/Gọi tia đối của tia CD là Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD và 
xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD⇒ xCF= xCE.⇒đpcm. 
4/C/m: IK//AB. 
Ta có CBF=FDC=DAC(cmt) 
Do ADCE nt⇒CDE=CAE(cùng chắn cung CE) 
ABC+CAE(góc nt và góc giữa tt cùng chắn 1 cung)⇒CBA=CDI.trong ∆CBA có 
BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2v⇒DKCI nội tiếp⇒ KDC=KIC (cùng 
chắn cung CK)⇒KIC=BAC⇒KI//AB. 
Bài 57: 
 Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho 
P>R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn. 
1. C/m BM/ / OP. 
2. Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hình bình 
hành. 
Hình 56 
x
K
I
D
F
E
M
O
B
A
C
 3. AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m 
I; J; K thẳng hàng. 
1/ C/m:BM//OP: 
Ta có MB⊥AM (góc nt chắn nửa đtròn) và OP⊥AM (t/c hai tt cắt nhau) 
⇒ MB//OP. 
2/ C/m: OBNP là hình bình hành: 
 Xét hai ∆ APO và OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) và do NB//AP ⇒ 
POA=NBO (đồng vị)⇒∆APO=∆ONB⇒ PO=BN. Mà OP//NB (Cmt) ⇒ OBNP là 
hình bình hành. 
3/ C/m:I; J; K thẳng hàng: 
Ta có: PM⊥OJ và PN//OB(do OBNP là hbhành) mà ON⊥AB⇒ON⊥OJ⇒I là trực 
tâm của ∆OPJ⇒IJ⊥OP. 
-Vì PNOA là hình chữ nhật ⇒P; N; O; A; M cùng nằm trên đường tròn tâm K, 
mà MN//OP⇒ MNOP là thang cân⇒NPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng 
chắn cung NM) ⇒

IPO=IOP ⇒∆IPO cân ở I. Và KP=KO⇒IK⊥PO. Vậy K; I; J 
thẳng hàng. 
 
Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với 
AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp 
tuyến Bt tại I. 
1. C/m ∆ABI vuông cân 
Hình 57 
QJ
K
N
I
P
O
A B
M
 2. Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m 
AC.AI=AD.AJ. 
3. C/m JDCI nội tiếp. 
4. Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DH⊥AB. Cmr: 
AK đi qua trung điểm của DH. 
∆ABC vuông cân ở C. Mà Bt⊥AB có góc CAB=45 o ⇒ ∆ABI vuông cân ở B. 
2/C/m: AC.AI=AD.AJ. 
Xét hai ∆ACD và AIJ có góc A chung sđ góc CDA=
2
1 sđ cung AC =45o. 
Mà ∆ ABI vuông cân ở B⇒AIB=45 o.⇒CDA=AIB⇒ ∆ADC∽∆AIJ⇒đpcm 
3/ Do CDA=CIJ (cmt) và CDA+CDJ=2v⇒ CDJ+CIJ=2v⇒CDJI nội tiếp. 
4/Gọi giao điểm của AK và DH là N Ta phải C/m:NH=ND 
-Ta có:ADB=1v và DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) ⇒KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v 
và KDB+KDJ=1v⇒KJD=JDK⇒∆KDJ cân ở K ⇒KJ=KD ⇒KB=KJ. 
-Do DH⊥ và JB⊥AB(gt)⇒DH//JB. Aùp dụng hệ quả Ta lét trong các tam giác 
AKJ và AKB ta có: 
AK
AN
JK
DN
= ;
AK
AN
KB
NH
= ⇒
KB
NH
JK
DN
= mà JK=KB⇒DN=NH. 
 

 
Bài 59: 
 Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; 
đường thẳng AN cắt đường tròn ở M. 
1. Chứng minh: NMBO nội tiếp. 
1/C/m ∆ABI vuông cân(Có 
nhiều cách-sau đây chỉ C/m 
1 cách): 
-Ta có ACB=1v(góc nt chắn 
nửa đtròn)⇒∆ABC vuông ở 
C.Vì OC⊥AB tại trung điểm 
O⇒AOC=COB=1v 
⇒ cung AC=CB=90o. 
⇒CAB=45 o. (góc nt bằng 
nửa số đo cung bị chắn) 
Hình 58 
N
H
J
K
I
C
O
A B
D
 2. CD và đường thẳng MB cắt nhau ở E. Chứng minh CM và MD là phân 
giác của góc trong và góc ngoài góc AMB 
3. C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM 
4. Nếu ON=NM. Chứng minh MOB là tam giác đều. 
sđ DMB=
2
1 sđcung DB=45o.⇒AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o 
⇒EMC=CMA=45o.Vậy CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc 
AMB. 
3/C/m: AM.DN=AC.DM. 
Xét hai tam giác ACM và NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) 
Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)⇒∆AMC∽∆DMN⇒đpcm. 
4/Khi ON=NM ta c/m ∆MOB là tam giác đều. 
Do MN=ON⇒∆NMO vcân ở N⇒NMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v và 
NOM+MOB=1v⇒OMB=MOB.Mà OMB=OBM ⇒OMB=MOB=OBM⇒∆MOB 
là tam giác đều. 
 

 
Bài 60: 
 Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi D; E theo 
thứ tự là hình chiếu của A và B lên đường thẳng d. 
1. C/m: CD=CE. 
Hình 59 
1/C/m NMBO nội tiếp:Sử 
dụng tổng hai góc đối) 
2/C/m CM và MD là phân 
giác của góc trong và góc 
ngoài góc AMB: 
-Do AB⊥CD tại trung điểm 
O của AB và CD.⇒Cung 
AD=DB=CB=AC=90 o. 
⇒sđ 
AMD=
2
1 sđcungAD=45o. 
E
M
D
C
O
A B
N
 2. Cmr: AD+BE=AB. 
3. Vẽ đường cao CH của ∆ABC.Chứng minh AH=AD và BH=BE. 
4. Chứng tỏ:CH2=AD.BE. 
5. Chứng minh:DH//CB. 
của hình thang ta có:OC=
2
ADBE +
⇒BE+AD=2.OC=AB. 
3/C/m BH=BE.Ta có: 
sđ BCE=
2
1 sdcung CB(góc giữa tt và một dây) 
sđ CAB=
2
1 sđ cung CB(góc nt)⇒ECB=CAB;∆ACB cuông ở C⇒HCB=HCA 
⇒HCB=BCE⇒ ∆HCB=∆ECB(hai tam giác vuông có 1 cạnh huyền và 1 góc 
nhọn bằng nhau) ⇒HB=BE. 
-C/m tương tự có AH=AD. 
4/C/m: CH2=AD.BE. 
∆ACB có C=1v và CH là đường cao ⇒CH2=AH.HB. Mà AH=AD;BH=BE 
⇒ CH2=AD.BE. 
5/C/m DH//CB. 
Do ADCH nội tiếp ⇒ CDH=CAH (cùng chắn cung CH) mà CAH=ECB (cmt) ⇒ 
CDH=ECB ⇒DH//CB. 
 

 
Bài 61: 
 Cho ∆ABC có: A=1v.D là một điểm nằm trên cạnh AB.Đường tròn đường kính 
BD cắt BC tại E.các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ 
hai F và G. 
Hình 60 
1/C/m: CD=CE: 
 Do 
AD⊥d;OC⊥d;BE⊥d
⇒AD//OC//BE.Mà 
OH=OB⇒OC là 
đường trung bình 
của hình thang 
ABED⇒ CD=CE. 
2/C/m AD+BE=AB. 
Theo tính chất 
đường trung bình 
d
H
E
D
O
A B
C
 1. C/m CAFB nội tiếp. 
2. C/m AB.ED=AC.EB 
3. Chứng tỏ AC//FG. 
4. Chứng minh rằng AC;DE;BF đồng quy. 
1/C/m CAFB nội tiếp(Sử dụng Hai điểm A; Fcùng làm với hai đầu đoạn thẳng 
BC) 
2/C/m ∆ABC và ∆EBD đồng dạng. 
3/C/m AC//FG: 
Do ADEC nội tiếp ⇒ACD=AED(cùng chắn cung AD). 
Mà DFG=DEG(cùng chắn cung GD)⇒ACF=CFG⇒AC//FG. 
4/C/m AC; ED; FB đồng quy: 
AC và FB kéo dài cắt nhau tại K.Ta phải c/m K; D; E thẳng hàng. 
BA⊥CK và CF⊥KB; AB∩CF=D⇒D là trực tâm của ∆KBC⇒KD⊥CB. Mà 
DE⊥CB(góc nt chắn nửa đường tròn)⇒Qua điểm D có hai đường thẳng cùng 
vuông góc với BC⇒Ba điểm K;D;E thẳng hàng.⇒đpcm. 
 

 
Hình 61 
 Bài 62: 
 Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O).M là điểm di động trên 
d.Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn..Hạ OH⊥d tại H và dây cung PQ 
cắt OH tại I;cắt OM tại K. 
1. C/m: MHIK nội tiếp. 
2. 2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2. 
3. CMr khi M di động trên d thì vị trí của I luôn cố định. 
1/C/m MHIK nội tiếp. (Sử dụng tổng hai góc đối) 
2/C/m: OJ.OH=OK.OM=R2. 
-Xét hai tam giác OIM và OHK có O chung. 
Do HIKM nội tiếp⇒IHK=IMK(cùng chắn cung IK) ⇒∆OHK∽∆OMI 
⇒
OI
OK
OM
OH
= ⇒OH.OI=OK.OM 
 
OPM vuông ở P có đường cao PK.áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 
có:OP2=OK.OM.Từ 
và ⇒đpcm. 
4/Theo cm câu2 ta có OI=
OH
R 2 mà R là bán kính nên không đổi.d cố định nên OH 
không đổi ⇒OI không đổi.Mà O cố định ⇒I cố định. 
 

 
Hình 62 
d
K
I
H
M
O
Q
P
 Bài 63: 
 Cho ∆ vuông ABC(A=1v) và AB<AC.Kẻ đường cao AH.Trên tia đối của tia HB lấy 
HD=HB rồi từ C vẽ đường thẳng CE⊥AD tại E. 
1. C/m AHEC nội tiếp. 
2. Chứng tỏ CB là phân giác của góc ACE và ∆AHE cân. 
3. C/m HE2=HD.HC. 
4. Gọi I là trung điểm AC.HI cắt AE tại J.Chứng minh: DC.HJ=2IJ.BH. 
5. EC kéo dài cắt AH ở K.Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hình thoi. 
-C/m ∆HAE cân: Do HAD=ACH(cmt) và AEH=ACH(cùng chắn cung AH) 
⇒HAE=AEH⇒∆AHE cân ở H. 
3/C/m: HE2=HD.HC.Xét 2 ∆HED và HEC có H chung.Do AHEC nt ⇒DEH=ACH( cùng 
chắn cung AH) mà ACH=HCE(cmt) ⇒DEH=HCE ⇒∆HED∽∆HCE⇒đpcm. 
4/C/m DC.HJ=2IJ.BH: 
Do HI là trung tuyến của tam giác vuông AHC⇒HI=IC⇒∆IHC cân ở I 
⇒IHC=ICH.Mà ICH=HCE(cmt)⇒IHC=HCE⇒HI//EC.Mà I là trung điểm của AC⇒JI 
là đường trung bình của ∆AEC⇒JI=
2
1 EC. 
Xét hai ∆HJD và EDC có: -Do HJ//Ecvà EC⊥AE⇒HJ⊥JD ⇒HJD=DEC=1v và 
HDJ=EDC(đđ)⇒∆JDH~∆EDC⇒
DC
HD
EC
JH
= 
⇒JH.DC=EC.HD mà HD=HB và EC=2JI⇒đpcm 
5/Do AE⊥KC và CH⊥AK AE và CH cắt nhau tại D⇒D là trực tâm của 
∆ACK⇒KD⊥AC mà AB⊥AC(gt)⇒KD//AB 
-Do CH⊥AK và CH là phân giác của ∆CAK(cmt)⇒∆ACK cân ở C và AH=KH;Ta lại có 
BH=HD(gt),mà H là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác ABKD⇒ ABKD là hình bình 
hành.Nhưng DB⊥AK⇒ ABKD là hình thoi.
Hình 63 
1/C/m AHEC nt (sử dụng 
hai điểm E và H) 
2/C/m CB là phân giác của 
ACE 
Do AH⊥DB và BH=HD 
⇒∆ABD là tam giác cân ở 
A ⇒BAH=HAD mà 
BAH=HCA (cùng phụ với 
góc B). 
Do AHEC nt ⇒HAD=HCE 
(cùng chắn cung HE) 
⇒ACB=BCE 
⇒đpcm 
J
I
K
E
DH
B C
A
 Bài 64: 
 Cho tam giác ABC vuông cân ở A.Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC tại D,kẻ CE 
⊥Bx tại E.Hai đường thẳng AB và CE cắt nhau ở F. 
1. C/m FD⊥BC,tính góc BFD 
2. C/m ADEF nội tiếp. 
3. Chứng tỏ EA là phân giác của góc DEF 
4. Nếu Bx quay xung quanh điểm B thì E di động trên đường nào? 
1/ C/m: FD⊥BC: Do BEC=1v;BAC=1v(góc nt chắn nửa đtròn).Hay BE⊥FC; và 
CA⊥FB.Ta lại có BE cắt CA tại D⇒D là trực tâm của ∆FBC⇒FD⊥BC. 
Tính góc BFD:Vì FD⊥BC và BE⊥FC nên BFD=ECB(Góc có cạnh tương ứng 
vuông góc).Mà ECB=ACB(cùng chắn cung AB) mà ACB=45o⇒BFD=45o 
2/C/m:ADEF nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối. 
3/C/m EA là phân giác của góc DEF. 
Ta có AEB=ACB(cùng chắn cung AB).Mà ACB=45o(∆ABC vuông cân ở A) 
⇒AEB=45o.Mà DEF=90o⇒FEA=AED=45o⇒EA là phân giác 
4/Nêùu Bx quay xung quanh B : 
-Ta có BEC=1v;BC cố định. 
-Khi Bx quay xung quanh B Thì E di động trên đường tròn đường kính BC. 
-Giới hạn:Khi Bx≡ BC Thì E≡C;Khi Bx≡AB thì E≡A. Vậy E chạy trên cung phần 
tư AC của đường tròn đường kính BC. 
 

 
Hình 64 
 D
E
A
O
CB
 Bài 65: 
 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên 
AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường 
tròn. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C 
và vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao 
điểm của CQ với BM. 
 1/cm: ACMP nội tiếp. 
 2/Chứng tỏ AB//DE 
 3/C/m: M; P; Q thẳng hàng. 
 Q 
 M 
 P 
 D E 
 A C O B 
1/Chứng minh:ACMP nội tiếp(dùng tổng hai góc đối) 
2/C/m AB//DE: 
Do ACMP nội tiếp ⇒PAM=CPM(cùng chắn cung PM) 
Chứng minh tương tự,tứ giác MDEC nội tiếp⇒MCD=DEM(cùng chắn cung 
MD).Ta lại có: 
Sđ PAM=
2
1 sđ cung AM(góc giữa tt và 1 dây) 
Sđ ABM=
2
1 sđ cung AM(góc nội tiếp) 
⇒ABM=MED⇒DE//AB 
3/C/m M;P;Q thẳng hàng: 
Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn của tam giác vuông PMC) và 
PCM+MCQ=1v ⇒MPC=MCQ. 
Ta lại có ∆PCQ vuông ở C⇒MPC+PQC=1v⇒MCQ+CQP=1v hay 
CMQ=1v⇒PMC+CMQ=2v⇒P;M;Q thẳng hàng. 
 

 
Hình 65 
 Bài 66: 
 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa 
đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưởng tròn, người ta kẻ tiếp 
tuyến Ax.Tia BM cắt tia Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; 
cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K. 
1. C/m: IA2=IM.IB . 
2. C/m: ∆BAF cân. 
3. C/m AKFH là hình thoi. 
4. Xác định vị trí của M để AKFI nội tiếp được. 
 I 
 F 
 M 
 H 
 E K 
 A B 
1/C/m: IA2=IM.IB: (chứng minh hai tam giác IAB và IAM đồng dạng) 
2/C/m ∆BAF cân: 
Ta có sđ EAB=
2
1 sđ cung BE(góc nt chắn cung BE) 
Sđ AFB =
2
1 sđ (AB -EM)(góc có đỉnh ở ngoài đtròn) 
Do AF là phân giác của góc IAM nên IAM=FAM⇒cung AE=EM 
⇒ sđ AFB=
2
1 sđ(AB-AE)= 
2
1 sđ cung BE⇒FAB=AFB⇒đpcm. 
3/C/m: AKFH là hình thoi: 
Do cung AE=EM(cmt)⇒MBE=EBA⇒BE là phân giác của ∆cân ABF 
⇒ BH⊥FA và AE=FA⇒E là trung điểm ⇒HK là đường trung trực của FA 
⇒AK=KF và AH=HF. 
Do AM⇒BF và BH⊥FA⇒K là trực tâm của ∆FAB⇒FK⊥AB mà AH⊥AB 
⇒AH//FK ⇒Hình bình hành AKFH là hình thoi. 
5/ Do FK//AI⇒AKFI là hình thang.Để hình thang AKFI nội tiếp thì AKFI phải là 
thang cân⇒góc I=IAM⇒∆AMI là tam giác vuông cân ⇒∆AMB vuông cân ở 
M⇒M là điểm chính giữa cung AB. 
 

 
Hình 66 
 Bài 67: 
 Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng 
AB lấy điểm M(Khác A; O; B). Đường thẳng CM cắt (O) tại N. Đường vuông góc 
với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh: 
1. COMNP nội tiếp. 
2.