Lý thuyết Số chính phương

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
DẠNG 1: Chứng minh một số là số Chính phương 
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
HD: Phân tích : A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
 A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 nên A là SCP
Bài 1.1 Cho A = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + (yz)2; chứng minh A là SCP với x, y, z là STN
Ta có: A = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + (yz)2
= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + (yz)2 (đặt a = x2 + xy + xz)
= 4a(a + yz) + (yz)2 
= 4a2 + 4a.yz + (yz)2
= (2a + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 
vì z, y, x là số tự nhiên nên 
2x2 + 2xy + 2xz + yz tự nhiên  A là số chính phương
Bài 2. Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
HD: Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). 
Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 
 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 
 = (n2 + 3n + 1)2
Bài 3. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương
HD: Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ).
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.(n2 + 2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thẻ chia hết cho 5
 5.(n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
Bài 4. a) Cho x là tổng của 2 số chính phương, chứng minh 2x cũng là tổng của 2 số chính phương?
HD: x = a2 + b2 ó 2x = 2a2 + 2b2   = (a + b)2 + (a – b)2 => Đpcm
b) Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. a2.(a + 1)2 + 2a2 + 1= a4 + 2a3 + a2 + 2a2 + 1 = a4 + 2a3 + 3a2 + 2a + 1
Bài 5. Chứng minh rằng số có dạng n2 + n + 1 trong đó nN không phải là số chính phương
HD: Ta có: n2 < n2 + n + 1 < n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 
Mà n2 và (n + 1)2 là hai SCP liên tiếp nên n2 + n + 1 khong phải là SCP
Bài 5.1 Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: x(x + 1) = y(y + 2) 
HD: ó x2 + x + 1 = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2
Nhưng x2 < x2 + x + 1 < x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Từ (1) và (2) ta có: x2 Không có x, y thỏa mãn
Bài 5.2 Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: y3 = x3 + 2x + 1
HD: Ta có: x3 < x3 + 2x + 1< x3 + 3x2 + 3x + 1 
 x3 < y3 < (x + 1)3 (không có giá trị x,y nguyên nào thỏa mãn)
Bài 5.3 Chứng minh biểu thức sau không là lập phương của 1 số:10150+5.1050+1
HD: Ta có: 10150<10150+5.1050+1<(1050)3+3(1050)2+3.1050+1
Hay: (1050)3<10150+5.1050+1<(1050+1)3
→10150+5.1050+1 không là lập phương của một số tự nhiên
Bài 6. Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó nN và n>1 không phải là số chính phương
HD: n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)] 
 = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[(n3 + 1) – (n2-1)]
	= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)
Với nN, n >1 thì n2 - 2n + 2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương.
Bài 7. Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.
HD: Gọi 2 số lẻ đó là a, b. Vì a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)
 a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t N)
Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t N) do đó a2 + b2 không thể là số chính phương.
Bài 8. a) cho m, n là các số thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n. 
Chứng minh rằng: (m - n); (4m + 4n + 1) đều là số chính phương
HD: Xét (m − n)(4m + 4n + 1) = 4m2 + m − 4n2 − n 
= 4m2 + m − 3m2 − m  = m2 (do 3m2 + m = 4n2 + n)
(m − n)(4m + 4n + 1) = m2 là số chính phương
Dễ dàng cm được m − n và 4m + 4n + 1 nguyên tố cùng nhau
 m − n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương
b) Cho x, y thỏa mãn: 2x2 + x = 3y2 + y. Chứng minh: x – y; 3x + 3y + 1 đều là SCP
HD:Xét tích (x – y)(2x + 2y + 1) = 2x2 + x – 2y2 – y = (3y2 + y) – 2y2 – y = y2 ..
DẠNG 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
Bài 1. Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) 	c. 13n + 3 
HD: a) Đặt k2 = n2 + 2n + 12 ó k2 – (n + 1)2 = 11 =>  Đs: 
	b) Đặt k2 = n2 + 3n ó 4k2 = 4n2 + 12n ó (2n + 3)2 – (2k)2 = 9 =>
	c) Đặt k2 = 13n + 3 ó k2 – 16 = 13(n - 1) ó (k – 4)(k + 4) = 13(n – 1)
 (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 13 hoặc y – 4 13
 y = 13k 4 (Với k N)
 13(n – 1) = (13k 4 )2 – 16 = 13k.(13k 8)
 n = 13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2 8k + 1 (Với k N) thì 13n + 3 là số chính phương. 
Bài 2. Tìm a để các số sau là những số chính phương:
	a) a2 + a + 43 	b) a2 + 81
HD: a) 2; 42; 13	b) 0; 12; 40
Bài 4. Tìm n N để các số sau là số chính phương: 
n2 + 2012 
(23 – n)(n – 3) (Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
n2 + 4n + 97 
Bài 5. Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương. 
HD: Đặt k2 – n2 = 2010 
=> (k – n)(k + n) = 1.2010 = 2.1005 = 3.670 = 5.402 = 10. 201
Nhưng do (k – n) và (k + n) cùng tính chẵn lẻ nên ko có k, n thỏa mãn
(Hoặc do 2010 chẵn nên k – n và k + n chẵn => (k – n)(k + n) chia hết cho 4
Mà 2010 không chia hết cho 4 nên o có số thỏa mãn)
Bài 7. Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.
HD: Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n + 1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.
Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40
Bài 8. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương.
HD: Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì 
 2n = a2 – 482 = (a + 48)(a - 48)
 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n và p > q
 a +48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 
 a - 48 = 2q 
 q = 5 và p-q = 2 p = 7
 n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
Bài 9 Tìm số có bốn chữ số biết 
HD: Do 
Thay vào ta có c = 8 thỏa mãn 1681 = (5.8 + 1)2 = 412
Bài 10. Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chính phương .
HD: Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương .
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương 
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; ; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! +  + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương .
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.
DẠNG 3: Tìm số chính phương 
Bài 1. Tìm x nguyên thỏa mãn: x² - 4x - 1 là một số chính phương
HD: Đặt k2 = x² - 4x – 1 => (x – 2)2 - k2 = 5
Bài 2. Tìm a là số tự nhiên sao cho a2 + a + 3 là số chính phương
HD: Đặt k2 = a² + a + 3 => 4k2 = 4a² + 4a + 12 => ...
Bài 3. Tìm x là số tự nhiên sao cho x² + x + 13 là số chính phương
HD: Đặt k2 = x² + x + 13 => 4k2 = 4x² + 4x + 52 => ...
Bài 4. Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
HD: Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số 
 B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N và 32 < k < m < 100
 a, b, c, d N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
 Ta có A = abcd = k2
 B = abcd + 1111 = m2 
 m2 – k2 = 1111 (m - k)(m + k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m - k)(m + k) > 0 nên m - k và m + k là 2 số nguyên dương.
Và m - k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m - k)(m + k) = 11.101
Do đó m – k = 11 m = 56 A = 2025
 m + k = 101 n = 45 B = 3136 
Bài 5. Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
HD: Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = 1 và k N, 32 ≤ k < 100 
Suy ra 101cd = k2 – 100 = (k - 10)(k +10) k +10 101 (Vì cd < 100)
Mà (k - 10; 101) = 1 k + 10 101
Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k + 10 < 110 k +10 = 101 k = 91
 abcd = 912 = 8281
Bài 6. Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương .
Bằng phép thử với a = 1; 2; ; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn b = 4
Số cần tìm là 7744
Bài 7. Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
HD: Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N
Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương .
Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương y = 16
 abcd = 4096
Bài 8. Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
HD: Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c,d ≤ 9
abcd chính phương d{ 0,1,4,5,6,9}
d nguyên tố d = 5
Đặt abcd = k2 < 10000 32 ≤ k < 100
k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 k tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương k = 45
 abcd = 2025
Vậy số phải tìm là 2025
Bài 9. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b N, 1 ≤ a,b ≤ 9 )
Số viết theo thứ tự ngược lại ba 
Ta có ab2 - ba2 = (10a + b )2 – (10b + a )2 = 99 (a2 – b2) 11 a2 - b2 11
Hay ( a - b )(a + b ) 11 
Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b 11 a + b = 11
Khi đó ab2 - ba2 = 32 . 112 . (a - b)
Để ab2 - ba2 là số chính phương thì a - b phải là số chính phương 
=> a - b = 1 hoặc a - b = 4
+) Nếu a - b = 1 kết hợp với a + b = 11 a = 6, b = 5; ab = 65
 Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332
+) Nếu a - b = 4 kết hợp với a + b = 11 a = 7,5 ( loại )
Vậy số phải tìm là 65
Bài 11. Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. 
Gọi số phải tìm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9
Theo giả thiết ta có : ab2 = (a + b)3 
 (10a + b)2 = (a + b)3
 ab là một lập phương và a + b là một số chính phương
Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N )
Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 hoặc ab = 64
Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương 
Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại
 Vậy số cần tìm là ab = 27
Bài 12. Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
HD: Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n - 1, 2n + 1, 2n + 3 ( n N)
 Ta có A= (2n - 1)2 + (2n + 1)2 + (2n + 3)2 = 12n2 + 12n + 11
 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và 1 ≤ a ≤ 9
 12n(n + 1 ) = 11(101a – 1 )
 101a – 1 3 2a – 1 3
 Vì 1 ≤ a ≤ 9 nên 1 ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nên 2a – 1 { 3; 9; 15 }
 a { 2; 5; 8 }
 Vì a lẻ a = 5 n = 21. Vậy 3 số cần tìm là 41; 43; 45