Lý thuyết môn Toán luyện thi đại học

LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 
Trang 1 
KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Vấn đề 1: ƠN TẬP – CƠNG THỨC 
I. Tam thức bậc hai: 
   x  , 2ax bx c 0    
a b 0
c 0
a 0
0
  


 

 
   x  , 2ax bx c 0    
a b 0
c 0
a 0
0
  


 

 
 Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 
Giả sử phương trình cĩ 2 nghiệm 1 2x ;x thì: 
1 2
b
S x x ;
a
    1 2
c
P x .x
a
  
 Pt cĩ 2 nghiệm phân biệt 
a 0
0

 
 
 Pt cĩ nghiệm kép 
a 0
0

 
 
 Pt vơ nghiệm 
a 0
a 0
b 0
0
c 0


   
  
 Pt cĩ 2 nghiệm trái dấu P 0  
 Pt cĩ 2 nghiệm cùng dấu 
0
P 0
 
 

 Pt cĩ 2 nghiệm phân biệt cùng dương 
0
P 0
S 0
 

 
 
 Pt cĩ 2 nghiệm phân biệt cùng âm 
0
P 0
S 0
 

 
 
II. Đa thức bậc ba: 
 Cho phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 
Giả sử phương trình cĩ 3 nghiệm 1 2 3x ;x ;x thì: 
1 2 3
b
S x x x ;
a
     1 2 2 3 3 1
c
x .x x .x x .x ;
a
    
1 2 3
d
P x .x .x
a
  
III. Đạo hàm: 
BẢNG ĐẠO HÀM 
(kx) ' k (ku) ' k.u ' 
1(x ) ' .x   1(u ) ' .u '.u .
   
1
( x ) '
2 x
 
u '
( u ) '
2 u
 
'
2
1 1
x x
 
  
 
'
2
1 u '
u u
 
  
 
(sin x) ' cos x (sin u) ' u '.cosu 
(cos x) ' sin x  (cosu) ' u '.sin u  
2
1
(tan x) '
cos x
 
2
u '
(tan u) '
cos u
 
2
1
(cot x) '
sin x

 
2
u '
(cot u) '
sin u

 
x x(e ) ' e u u(e ) ' u '.e 
1
(ln x) '
x
 
u '
(ln u) '
u
 
 a
1
log x '
x ln a
  a
u '
log u '
u ln a
 
x x(a ) ' a .ln a u u(a ) ' u '.a .ln a 
Quy tắc tính đạo hàm 
(u  v) = u  v (uv) = uv + vu 
2
u u v v u
v v
    
 
 
 (v  0) x u xy y .u    
Đạo hàm của một số hàm thơng dụng 
1. 
 
2
ax b ad bc
y y '
cx d cx d
 
  
 
2. 
 
2 2
2
ax bx c adx 2aex be cd
y y '
dx e dx e
    
  
 
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 
Trang 2 
Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT 
HÀM SỐ. 
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 
của hàm số 
  Tìm tập xác định của hàm số. 
  Xét sự biến thiên của hàm số: 
o Tính y. 
o Tìm các điểm tại đĩ đạo hàm y bằng 0 
hoặc khơng xác định. 
o Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn 
vơ cực và tìm tiệm cận (nếu cĩ). 
o Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo 
hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số. 
  Vẽ đồ thị của hàm số: 
o Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm 
số bậc ba và hàm số trùng phương). 
 – Tính y. 
 – Tìm các điểm tại đĩ y = 0 và xét dấu y. 
o Vẽ các đường tiệm cận (nếu cĩ) của đồ 
thị. 
o Xác định một số điểm đặc biệt của đồ 
thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ 
(trong trường hợp đồ thị khơng cắt các trục toạ độ 
hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì cĩ thể 
bỏ qua). Cĩ thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ 
thị để cĩ thể vẽ chính xác hơn. 
o Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối 
xứng, tâm đối xứng (nếu cĩ) của đồ thị. 
2. Hàm số bậc ba 
3 2y ax bx cx d (a 0)     : 
  Tập xác định D = R. 
  Đồ thị luơn cĩ một điểm uốn và nhận điểm uốn 
làm tâm đối xứng. 
  Các dạng đồ thị: 
y‟ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt 
 D‟ = b2 – 3ac > 0 
a > 0 a < 0 
y‟ = 0 cĩ nghiệm kép  D‟ = b2 – 3ac = 0 
a > 0 a < 0 
y‟ = 0 vơ nghiệm  D‟ = b2 – 3ac < 0 
a > 0 a < 0 
3. Hàm số trùng phƣơng 
4 2y ax bx c (a 0)    : 
  Tập xác định D = R. 
  Đồ thị luơn nhận trục tung làm trục đối xứng. 
  Các dạng đồ thị: 
y‟ = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt  ab < 0 
a > 0 a < 0 
y‟ = 0 cĩ 1 nghiệm phân biệt  ab > 0 
a > 0 a < 0 
4. Hàm số nhất biến 
ax b
y (c 0,ad bc 0)
cx d

   

: 
  Tập xác định D =  dR \
c
 . 
y 
x 0 
I 
y 
x 0 
I 
y 
x 0 
I 
y 
x 0 
I 
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 
Trang 55 
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba 
điểm A, B, C. 
2. Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 
2x 2y z 3 0    sao cho MA=MB=MC. 
Câu IV: 
1. Tính tích phân 
4
0
sin x dx
4
I
s in2x+2(1+sinx+cosx)
  
 
   
2. Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn 
hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 
2
2
2(x 6xy)
P
1 2xy 2y


 
Câu V (A): (Chƣơng trình khơng phân ban) 
1. Chứng minh rằng: 
k k 1 k
n 1 n 1 n
n 1 1 1 1
n 2 C C C 
 
  
  
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy 
xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết 
rằng hình chiếu vuơng gĩc của C trên đường 
thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác 
trong của gĩc A cĩ phương trình x y 2 0   và 
đường cao kẻ từ B cĩ phương trình 
4x 3y 1 0   . 
Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban) 
1. Giải bất phương trình: 
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
 
 
 
2. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là 
hình vuơng cạnh 2a, SA=a, SB = a 3 và mặt 
phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi 
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. 
Tính theo a thể tích của khối chĩp S.BMDN và 
tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng SM, DN. 
KHỐI D – 2008 
Câu I: 
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (1) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của 
hàm số (1). 
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua 
điểm I (1;2) với hệ số gĩc k (k 3)  đều cắt đồ 
thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B 
đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
Câu II: 
1. Giải phương trình: 
 2sin x 1 cos2x sin 2x 1 2cos x    
2. Giải hệ phương trình: 
2 2xy x y x 2y
(x, y )
x 2y y x 1 2x 2y
    

   
 
Câu III: 
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 
bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) 
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn 
điểm A, B, C, D. 
2. Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam 
giác ABC. 
Câu IV: 
1. Tính tích phân 
2
3
1
ln x
I dx
x
  
2. Cho x, y là hai số thực khơng âm thay đổi. 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: 
2 2
(x y)(1 xy)
P
(1 x) (1 y)
 

 
Câu V (A): (Chƣơng trình khơng phân ban) 
1. Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức 
1 3 2n 1 k
2n 2n 2n nC C ... C 2048 (C
    là số tổ hợp 
chập k của n phần tử) 
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 
parabol (P) : y
2
 = 16x và điểm A(1; 4). Hai điểm 
phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) 
sao cho gĩc BAC = 900. Chứng minh rằng đường 
thẳng BC luơn đi qua một điểm cố định. 
Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban) 
1. Giải bất phương trình: 
2
1
2
x 3x 2
log 0
x
 
 
2. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cĩ đáy 
ABC là tam giác vuơng, AB = BC = a, cạnh bên 
AA' a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. 
Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' 
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. 
----------------------Hết----------------------- 
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 
Trang 54 
2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 
đường thẳng : 
x 2 y 2 z
1 1 1
 
 

 và mặt phẳng 
(P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường 
thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuơng gĩc 
với đường thẳng . 
Câu VII (B): 
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng 
y 2x m   cắt đồ thị hàm số 
2x x 1
y
x
 
 tại 
hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của 
đoạn thẳng AB thuộc trục tung. 
KHỐI A – 2008 
Câu I: 
Cho hàm số 
 
 
2 2mx + 3m - 2 x - 2
y = 1
x + 3m
, với 
m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
(1) khi m =1. 
2. Tìm các giá trị của m để gĩc giữa hai 
đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45o. 
Câu II: 
1. Giải phương trình: 
1 1 7
4sin x
3sin x 4
sin x
2
 
       
 
2. Giải hệ phương trình: 
 
2 3 2
4 2
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy 1 2x
4

     

     

Câu III: 
Trong khơng gian với toạ độ Oxyz, cho điểm 
A(2;5;3) và đường thẳng 
x 1 y z 2
d :
2 1 2
 
  
1. Tìm toạ độ hình chiếu vuơng gĩc của 
điểm A trên đường thẳng d. 
2. Viết phương trình mặt phẳng () chứa d 
sao cho khoảng cách từ A đến () lớn nhất. 
Câu IV: 
1. Tính tích phân
46
0
tan x
I dx
cos2x

  
2. Tim các giá trị của tham số m để phương 
trình sau cĩ đúng hai nghiệm thực phân biệt: 
4 42x 2x 2 6 x 2 6 x m (m )       
Câu V (A). (Chƣơng trình khơng phân ban) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy 
viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng 
(E) cĩ tâm sai bằng 
5
3
và hình chữ nhật cơ sở 
của (E) cĩ chu vi bằng 20. 
2. Cho khai triển 
 
n n
0 1 n1 2x a a x . . . a x    
Trong đĩ nN* và các hệ số 0 1 na , a , . . . , a thỏa 
mãn hệ thức 1 n0 n
a a
a . . . 4096
2 2
    . Tìm số 
lớn nhất trong các số 0 1 na , a , . . . , a . 
Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban) 
1. Giải phương trình 
2 2
2x 1 x 1log (2x x 1) log (2x 1) 4      
2. Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ cĩ độ dài cạnh 
bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A, 
AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuơng gĩc của 
đỉnh A‟ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của 
cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chĩp A‟.ABC 
và tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AA‟, 
B‟C‟. 
KHỐI B – 2008 
Câu I: 
Cho hàm số y = 4x3 - 6x2 + 1 (1) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
(1). 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đĩ đi qua điểm 
M(-1;-9). 
Câu II: 
1. Giải phương trình: 
3 3 2 2sin x 3cos x sin xcos x 3sin xcos x   
2. Giải hệ phương trình: 
4 3 2 2
2
x 2x y x y 2x 9
(x, y )
x 2xy 6x 6
    

  
 
Câu III: 
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba 
điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) 
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 
Trang 3 
  Đồ thị cĩ một tiệm cận đứng là 
d
x
c
  và một 
tiệm cận ngang là 
a
y
c
 . Giao điểm của hai tiệm 
cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. 
  Các dạng đồ thị: 
ad – bc > 0 ad – bc < 0 
5. Hàm số hữu tỷ 
2ax bx c
y
a 'x b '
 


( a.a ' 0, tử khơng chia hết cho mẫu) 
  Tập xác định D =  b 'R \
a '
 . 
  Đồ thị cĩ một tiệm cận đứng là 
b '
x
a '
  và một 
tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm 
đối xứng của đồ thị hàm số. 
  Các dạng đồ thị: 
y = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt 
a 0 a 0 
y = 0 vơ nghiệm 
a 0 a 0 
CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN 
KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI 
ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA 
ĐƢỜNG CONG 
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của 
hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số gĩc của tiếp 
tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm 
 0 0 0M x ;f (x ) . Khi đĩ phương trình tiếp tuyến 
của (C) tại điểm  0 0 0M x ;f (x ) là: 
y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) 
Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của 
đƣờng cong (C): y = f(x) 
Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của 
(C): y =f(x) tại điểm  0 0 0M x ; y 
  Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). 
 Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương 
trình f(x) = y0. 
  Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0). 
  Phương trình tiếp tuyến  là: 
y – y0 = f (x0).(x – x0) 
Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của 
(C): y =f(x), biết  cĩ hệ số gĩc k cho trước. 
 Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. 
  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0). 
   cĩ hệ số gĩc k  f (x0) = k (1) 
  Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 
= f(x0). Từ đĩ viết phương trình của . 
 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. 
  Phương trình đường thẳng  cĩ dạng: 
y = kx + m. 
   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương 
trình sau cĩ nghiệm: 
f (x) kx m
f '(x) k
 


(*) 
  Giải hệ (*), tìm được m. Từ đĩ viết phương 
trình của . 
0 x 
y 
0 x 
y 
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 
Trang 4 
 Chú ý: Hệ số gĩc k của tiếp tuyến  cĩ thể 
được cho gián tiếp như sau: 
  tạo với chiều dương trục hồnh gĩc  thì 
k = tan 
  song song với đường thẳng 
d: y = ax + b thì k = a 
  vuơng gĩc với đường thẳng 
d: y = ax + b (a  0) thì k = 
1
a
 
  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một 
gĩc  thì 
k a
tan
1 ka

 

Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của 
(C): y = f(x), biết  đi qua điểm A AA(x ; y ) . 
 Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. 
  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đĩ: 
y0 = f(x0), y0 = f (x0). 
  Phương trình tiếp tuyến  tại M: 
y – y0 = f (x0).(x – x0) 
   đi qua A AA(x ; y )nên: 
yA – y0 = f (x0).(xA – x0) (1) 
  Giải phương trình (1), tìm được x0. Từ đĩ 
viết phương trình của . 
 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. 
  Phương trình đường thẳng  đi qua 
A AA(x ; y )và cĩ hệ số gĩc k: y – yA = k(x – xA) 
   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương 
trình sau cĩ nghiệm: 
A Af (x) k(x x ) y
f '(x) k
  


 (*) 
  Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đĩ viết 
phương trình tiếp tuyến . 
Dạng 2: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc 
Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) 
và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương 
trình sau cĩ nghiệm: 
f (x) g(x)
f '(x) g '(x)



(*) 
Nghiệm của hệ (*) là hồnh độ của tiếp điểm 
của hai đường đĩ. 
Dạng 3: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d 
mà từ đĩ cĩ thể vẽ đƣợc 1, 2, 3,  tiếp 
tuyến với đồ thị (C): y = f(x) 
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d. 
  Phương trình đường thẳng  qua M cĩ hệ số 
gĩc k: y = k(x – xM) + yM 
   tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm: 
M Mf (x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)
  


  Thế k từ (2) vào (1) ta được: 
f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3) 
  Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm 
x của (3) 
Dạng 4: Tìm những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ 
đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) 
và 2 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau 
Gọi M(xM; yM). 
  Phương trình đường thẳng  qua M cĩ hệ số 
gĩc k: y = k(x – xM) + yM 
   tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm: 
M Mf (x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)
  


  Thế k từ (2) vào (1) ta được: 
f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3) 
  Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) 
cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2. 
  Hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau 
 f (x1).f (x2) = –1 
 Từ đĩ tìm được M. 
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao 
cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hồnh 
thì 


 1 2
(3)có2nghiệm phân biệt
f(x ).f(x ) < 0
Vấn đề 2. SỰ TƢƠNG GIAO CỦA 
CÁC ĐỒ THỊ 
1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). 
 Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1) và (C2) 
ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là 
phương trình hồnh độ giao điểm). 
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao 
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 
Trang 53 
Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn 
 
3
x y 4xy 2   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: 
A = 3(x
4
 + y
4
 + x
2
y
2
) – 2(x2 + y2) + 1 
Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 
đường trịn (C) : 2 2
4
(x 2) y
5
   và hai đường 
thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = 0. Xác định toạ 
độ tâm K và tính bán kính của đường trịn (C1); 
biết đường trịn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 
1, 2 và tâm K thuộc đường trịn (C) 
2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 
tứ diện ABCD cĩ các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), 
C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt 
phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C 
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) 
Câu VII (A): 
Tìm số phức z thoả mãn : 
z (2 i) 10 và z.z 25    
Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 
tam giác ABC cân tại A cĩ đỉnh A(-1;4) và các 
đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0. 
Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích 
tam giác ABC bằng 18. 
2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 
mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm 
A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi 
qua A và song song với (P), hãy viết phương trình 
đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường 
thẳng đĩ là nhỏ nhất. 
Câu VII (B): 
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng 
y x m   cắt đồ thị hàm số 
2x 1
y
x

 tại 2 
điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4. 
KHỐI D – 2009 
Câu I: 
Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m cĩ đồ 
thị là (Cm), m là tham số. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của 
hàm số đã cho khi m = 0. 
2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị 
(Cm) tại 4 điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ 
hơn 2. 
Câu II: 
1. Giải phương trình: 
3cos5x 2sin3xcos2x sin x 0   
2. Giải hệ phương trình: 
2
2
x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x
   


   
 (x, y  R) 
Câu III: 
Tính tích phân 
3
x
1
dx
I
e 1


Câu IV: 
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ cĩ đáy 
ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, AA‟ = 2a, 
A‟C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng 
A‟C‟, I là giao điểm của AM và A‟C. Tính theo a 
thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ 
điểm A đến mặt phẳng (IBC). 
Câu V: 
Cho các số thực khơng âm x, y thay đổi và 
thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 
25xy. 
Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 
tam giác ABC cĩ M (2; 0) là trung điểm của cạnh 
AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A 
lần lượt cĩ phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x 
– y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC. 
2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 
các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt 
phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ 
điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường 
thẳng CD song song với mặt phẳng (P). 
Câu VII (A): 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp 
điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 
z – (3 – 4i)= 2. 
Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 
đường trịn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1. Gọi I là tâm 
của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao 
cho IMO = 300. 
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 
Trang 52 
2. Giải phương trình: 
 32 3x 2 3 6 5x 8 0 x R      
Câu III: 
Tính tích phân  
2
3 2
0
I cos x 1 cos x.dx

  
Câu IV: 
 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là 
hình thang vuơng tại A và D; AB = AD = 2a, CD 
= a; gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 
bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết 
hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuơng gĩc với 
mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chĩp 
S.ABCD theo a. 
Câu V: 
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, 
z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta cĩ: 
       
 
3 3
3
x y x z 3 x y x z y z
5 y z
      
 
. 
Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 
hình chữ nhật ABCD cĩ điểm I(6; 2) là giao điểm 
của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) 
thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh 
CD thuộc đường thẳng :x y 5 0    . Viết 
phương trình đường thẳng AB. 
2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 
mặt phẳng  P : 2x 2y z 4 0    và mặt cầu 
  2 2 2S : x y z 2x 4y 6z 11 0       . Chứng 
minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo một 
đường trịn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính 
của đường trịn đĩ. 
Câu VII (A): 
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương 
trình z
2
 + 2z + 10 = 0. tính giá trị của biểu thức 
A = |z1|
3
 + |z2|
3
. 
Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 
đường trịn   2 2C : x y 4x 4y 6 0     và 
đường thẳng : x my 2m 3 0     , với m là 
tham số thực. Gọi I là tâm của đường trịn (C). 
Tìm m để  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B 
sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 
2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 
mặt phẳng  P : x 2y 2z 1 0    và hai đường 
thẳng 1
x 1 y z 9
: ;
1 1 6
 
  
2
x 1 y 3 z 1
:
2 1 2
  
  

. Xác định toạ độ điểm M 
thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M 
đến đường thẳng 2 và khoăng cách từ M đến 
mặt phẳng (P) bằng nhau. 
Câu VII (B): 
Giải hệ phương trình: 
   
 
2 2
2 2
2 2
x xy y
log x y 1 log xy
x, y R
3 81 
   


KHỐI B – 2009 
Câu I: 
Cho hàm s