Luyện thi vào THPT môn Toán

ĐỀ SỐ 1
Bài 1. (1,5 điểm)
a) Cho biết: A = 9 + 3 và B = 9 - 3. Hãy so sánh A + B và A.B.
b) Tính giá trị của biểu thức:
Bài 2.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm3.Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Bài 3. (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp.
b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH.
d) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF.
Chứng minh rằng: 
Bài 4. (2 điểm)
Một hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2cm2, chu vi là 6cm và AB > AD. Cho hình chữ nhật này quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình gì? Hãy tính thể tích và diện tích xung quanh của hình được tạo thành.
ĐỀ SỐ 2
Bài 1. (2 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Bài 2. (2 điểm) Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.
Bài 3. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC.
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài 4. (2 điểm) Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm3. Sau đó người ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước còn lại trong ly.
ĐỀ SỐ 3
Bài 1. Cho hàm số:
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Chứng minh f(a) = f(- a) với 
c) Chứng minh .
Bài 2. (2 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho phương trình: x2 - 2mx + (m - 1)3 = 0 với x là ẩn số, m là tham số (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = - 1.
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại.
Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, A = 450. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh: HD = DC.
c) Tính tỉ số: .
d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE.
ĐỀ SỐ 4
Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P = - 1.
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có 
Bài 2. (2 điểm)
a) Giải phương trình: x4 + 24x2 - 25 = 0
b) Giải hệ phương trình: 
Bài 3.
Cho hình bình hành ABCD có đỉnh nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn.
b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì không đổi.
c) DB.DC = DN.AC.
Bài 4.
Cho hình thoi ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Nối SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SBD).
c) Tính SO, biết AB = 8 cm; .
Bài 5.
Chứng minh rằng: Nếu x, y là các số dương thì: 
Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi nào?
ĐỀ SỐ 5
Bài 1. Cho .
a) Tìm x để A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Bài 2.
a) Giải hệ phương trình 
b) Giải phương trình 
Bài 3.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE.
a) Chứng minh BC // DE.
b) Chứng minh các tứ giác CODE; APQC nội tiếp được.
c) Tứ giác BCQP là hình gì ?
Bài 4.
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng 24 cm và đường cao bằng 20 cm.
a) Tính thể tích của hình chóp.
b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Bài 5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ĐỀ SỐ 6
Bài 1: Cho đường thẳng (D) có phương trình: y = - 3x + m.
Xác định (D) trong mỗi trường hợp sau:
a) (D) đi qua điểm A(-1; 2).
b) (D) cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng .
Bài 2: Cho biểu thức A = 
a) Tìm tập xác định của A.
b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh:
a) Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng.
b) .
C) Tứ giác APBQ nội tiếp.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại B. Vẽ nửa đường thẳng AS vuông góc với mặt phẳng (ABC). Kẻ AM vuông góc với SB.
a) Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b) Tính thể tích hình chóp SABC, biết AC = 2a; SA = h và .
Bài 5:
Chứng minh rằng: Nếu x, y, z > 0 thỏa mãn thì 
.
ĐỀ SỐ 7
Bài 1: Tìm x biết .
Bài 2:
Cho phương trình bậc hai 3x2 + mx + 12 = 0. (1)
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại.
Bài 3:
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ.
Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.
Bài 4:
Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC, và cát tuyến AKD sao cho BD song song với AC. Nối BK cắt AC ở I.
a) Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC.
b) Chứng minh : IC2 = IK.IB
c) Cho góc . Chứng minh cát tuyến AKD đi qua O.
Bài 5
Biết rằng a, b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a.b = 1. Chứng minh:
.
HƯỚNG DẪN & ĐÁP SỐ
ĐỀ 1
Bài 1.
a) Ta có A + B = 18 và A.B = nên A = B.
b) 
Bài 2.
Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác đã cho là x và y (x > 0; y > 0, tính bằng dm). Theo bài ra ta có hệ phương trình:
 (thỏa mãn điều kiện).
Trả lời: Chiều cao của tam giác là 11 dm và cạnh đáy của tam giác là .
Bài 3. 
a) Tứ giác AEMO có:
A
B
O
F
E
M
P
Q
x
y
 (AE là tiếp tuyến) 
 (EM là tiếp tuyến) 
AEMO là tứ giác nội tiếp 
b) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
 (EM và EA là 2 tiếp tuyến) 
 Tương tự, 	 Tứ giác MPQO là hình chữ nhật
A
B
O
F
E
M
H
x
y
K
c) Ta có ∆EMK ∆EFB (g.g) 	 (0,25đ)
Vì MF = FB (MF và FB là hai tiếp tuyến) nên:
Mặt khác, ∆EAB ∆KHB (g.g) 
 Nhưng 	 
Vì EM = EA (EM và EA là 2 tiếp tuyến) suy ra MK = KH
d) ∆EOF vuông (). OM là đường cao và OM = R.
Gọi độ dài 3 cạnh của ∆EOF là a, b, c. Ta có:
Nhưng b + c > a 	
Mặt khác b < a, c < a 
Tóm lại: 	
Bài 4. (2 điểm).	
Hình được tạo thành là hình trụ. Số đo độ dài của AB và AD là các nghiệm của phương trình 
x2 - 3x + 2 = 0
Từ đó AB = 2cm và AD = 1cm.
Thể tích hình trụ là V = πAD2.AB = 2π (cm3) và diện tích xung quanh của hình trụ là 
Sxq = 2πAD.AB = 4π(cm2).
ĐỀ 2
Bài 1. (2 điểm)
a) (1 điểm)
Điều kiện a > 0 và a ≠ 1 (0,25đ)
	(0,25đ)
	(0,25đ)
	(0,25đ)
b) (0,5 điểm) a = 3 + 2 = (1 + )2 	(0,25đ)
 	(0,25đ)
c) (0,5 điểm) 	(0,25đ)
 	(0,25đ)
Bài 2. (2điểm)
a) (1 điểm) Khi m = 1 ta có hệ phương trình:
b)
Hệ phương trình vô nghiệm (*) vô nghiệm 	 
Bài 3.
a)
* Hình vẽ đúng
* (giả thiết) 
A
B
M
E
C
I
O1
N
* (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
* Kết luận: Tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp 
b) (1 điểm) Ta có:
* sđ = sđ 
* 
*GócAchung,suyra∆AME ∆ACM. 
* Do đó: AM2 = AE.AC 
c) 
* MI là đường cao của tam giác vuông MAB nên MI2 = AI.IB
* Trừ từng vế của hệ thức ở câu b) với hệ thức trên
* Ta có: AE.AC - AI.IB = AM2 - MI2 = AI2.
d)
* Từ câu b) suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME. Do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nằm trên BM. Ta thấy khoảng cách NO1 nhỏ nhất khi và chỉ khi NO1BM.)
* Dựng hình chiếu vuông góc của N trên BM ta được O1. Điểm C là giao của đường tròn đã cho với đường tròn tâm O1, bán kính O1M.
Bài 4. (2 điểm)
Phần nước còn lại tạo thành hình nón có chiều cao bằng một nửa chiều cao của hình nón do 8cm3 nước ban đầu tạo thành. Do đó phần nước còn lại có thể tích bằng thể tích nước ban đầu. Vậy trong ly còn lại 1cm3 nước.
ĐỀ 3
Bài 1. a) Điều kiện để biểu thức có nghĩa là:
 (hoặc | x | ≤ 2)
Tập xác định là [-2; 2].
b) .
Từ đó suy ra f(a) = f(- a)
c) 
 (vì 2≥ 0).
Đẳng thức xảy ra . Giá trị nhỏ nhất của y là 2.
Bài 2.
* Gọi x,y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (điều kiện x,y ).
* Theo giả thiết ta có phương trình x + y = 600
* Số sản phẩm tăng của tổ I là: (sp)
* Số sản phẩm tăng của tổ II là: (sp)
* Từ đó ta có phương trình thứ hai: 
* Do đó x và y thỏa mãn hệ phương trình:
* Giải ra được x = 200 , y = 400
* So sánh điều kiện và kết luận.	
Bài 3.
a) Khi m = - 1, phương trình đã cho có dạng 
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆’ = m2 - (m - 1)3 > 0 (*)
Giả sử phương trình có hai nghiệm là u; u2 thì theo định lí Vi-ét ta có:
Từ (2) ta có u = m - 1, thay vào (1) ta được: (m - 1) + (m - 1)2 = 2m m2 - 3m = 0 m = 0 hoặc m = 3. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*), tương ứng với u = - 1 và u = 2.
Bài 4.
A
B
C
D
E
H
O
x
a) Ta có , suy ra tứ giác AEHD nội tiếp được trong một đường tròn.
b) ∆AEC vuông có nên , từ đó ∆HDC vuông cân tại D. Vậy DH = DC.
c) Do D, E nằm trên đường tròn đường kính BC nên , suy ra ∆AED ∆ACB, do đó:
d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), ta có , mà (cùng bù với ) do đó DE // Ax.
Mặt khác, , vậy (đpcm).
ĐỀ 4
Bài 1.
a) 
Điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4 và x ≠ 9
b) P = - 1 khi và chỉ khi 
c) Bất phương trình đưa về dạng 4mx > x + 1 (4m - 1)x > 1
* Nếu 4m-1 ≤ 0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9; Nếu 4m-1 > 0 thì nghiệm bất phương trình là . Do đó bất phương trình thỏa mãn với mọi x > 9 và 4m - 1 > 0. Ta có .
Bài 2.
a) Đặt t = x2, t ≥ 0, phương trình đã cho trở thành: t2 - 24t - 25 = 0, chú ý t ≥ 0 ta được t = 25.
Từ đó phương trình có hai nghiệm x = - 5 và x = 5.
b) Thế y = 2x - 2 vào phương trình 9x + 8y = 34 ta được: 25x = 50 x = 2. Từ đó ta có y = 2.
Bài 3.
A
B
C
D
O
M
N
a) Do AB là đường kính đường tròn (O) mà (so le trong) (1)
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn đường kính CD.
b) Khi điểm D di động trên đường tròn (O) thì tứ giác CBMD luôn là tứ giác nội tiép.
Suy ra (đpcm).
c) Do (giả thiết) 
 	(3)
mặt khác (cùng chắn )	(4)
Từ (3) và (4) suy ra ∆ACD ∆BDN 
Bài 4. 
a) SOmp(ABCD) (1)
ABCD là hình thoi (giả thiết) (2)
Từ (1) và (2) .
b) mà SO nằm trong mp(SAC) .
c) Trong tam giác vuông AOB có:
A
B
C
D
O
S
.
Trong tam giác cân ASC có SO là đường cao nên cũng là phân giác, suy ra .
Trong tam giác vuông ASO có SO = AO.cotg300 = 4.cotg300.
Vậy 
Bài 5.
Ta có 
Vì x, y là các số dương nên x + y > 0. Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho x + y ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Chú ý: Có thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x, y và cho hai số dương , sau dó lí luận để nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều ta cũng có điều phải chứng minh.
ĐỀ SỐ 5
Bài 1.
a) A có nghĩa 
b) 
Bài 2.
a) 
b) Ta có a + b + c = 
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = .
Bài 3. 
A
B
C
D
Q
E
P
O
a) Ta có .
Do DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
, mà (giả thiết)
DE // BC
b) (vì DE là tiếp tuyến), (vì CE là tiếp tuyến)
Suy ra . Do đó CODE là tứ giác nội tiếp.
Mặt khác mà (giả thuyết) suy ra . Vậy APQC là tứ giác nội tiếp.
c) Do APQC là tứ giác nội tiếp, suy ra (cùng chắn ) và (cùng chắn )
Do PQ // BC
Vậy BCQP là hình thang.
Bài 4.
D
A
B
C
O
S
H
d
a) Trong tam giác vuông AOS có: OA2 = SA2 - SO2 = 242 - 202 = 176
Do SABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông, do đó ∆AOB vuông cân ở O, ta có:
AB2 = 2.AO2 = 176.2 = 352
Do đó: SABCD = AB2 = 352(cm2)
Vì vậy: 
b) Ta có: 
.
Suy ra trong tam giác vuông SOH có:
Do đó: Stp = Sxq + Sđ 
Bài 5.
Vậy P ≥ 1, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
(x + 2009)(x - 2008) ≥ 0 .
Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất là 1.
ĐỀ SỐ 6
Bài 1:
a) Đường thẳng (D) đi qua điểm A(-1; 2) suy ra m - 3(-1) = 2m = - 1.
b) Đường thẳng (D) cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng .
Bài 2:
a) Ta có x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 ≥ 2 với mọi x .
Do đó x2 + 2x + 3 ≠ 0 với mọi x .
Suy ra tập xác định của A là .
b) Ta có x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 ≥ 2.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = -1.
Áp dụng quy tắc so sánh: Nếu m, a, b > 0 thì .
Ta có A = 
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là 1 khi x = -1.
Bài 3.
a) Ta có sđ = sđ sđ, ( thuộc đường tròn (O)).
A
B
C
D
O
O’
P
Q
n
n’
Do đó =. Tương tự 
suy ra .
b) Vì suy ra ,mà , cùng với suy ra .
c) mà suy ra tứ giác APBQ là tứ giác nội tiếp.
Bài 4:
A
B
C
S
M
300
a) Ta có SA mp(ABC) (giả thiết) mà BC thuộc mp (ABC), suy ra BC AB, do đó BC mp(SAB).
Vì AM thuộc mp (SAB), suy ra AM BC, mặt khác AM mp(SBC).
b) Trong tam giác vuông ABC có:
AB = AC.sin= 2a. sin 30o = 2a. = a; 
BC = AC.cos= 2a. cos 30o = .
Do đó SABC = 
Vậy V = 
Bài 5: 
Sử dụng kết quả bài 5, đề số 4 cho các số dương x + y và x + z ta có:
 	(1)
Cũng theo kết quả bài đã nêu thì 
Do đó 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 	(3)
Tương tự ta có: 	(4)
 	(5)
Cộng từng vế của (3), (4), (5) ta có điều phải chứng minh.
ĐỀ SỐ 7
Bài 1.
Bài 2. 3x2 + mx + 12 = 0 (1)
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệtΔ > 0m2 - 4.3.12 > 0
(m - 12)(m + 12) > 0m > 12 hoặc m < -12
Vậy m > 12 hoặc m < -12 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình (1) có một nghiệm là 1a + b + c = 03 + m + 12 = 0 
m = -15
Ta có x1.x2 = mà x1 = 1 . Vậy x2 = 4
Bài 3.
Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y, với x > 0, y > 0; x tính bằng giờ, y tính bằng km/giờ.
* Quãng đường AB dài là: x.y
* Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì thời gian đi sẽ tăng lên 1 giờ nên ta có:
(x + 1)(y - 4) = x.y-4x + y = 4
* Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì thời gian đi sẽ bớt đi 2 giờ nên ta có:
(x - 2)(y + 14) = x.y14x - 2y = 28
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
Cộng từng vế của hai phương trình ta có: 6x = 36 x = 6
Thay x = 6 vào (1) ta có y = 28
Đáp số: Thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28km/giờ.
Bài 4.
a) Vẽ dây BD // AC; nối DA cắt đường tròn (O) tại K. Ta có cát tuyến AKD thỏa mãn BD // AC.
b) Xét hai tam giác BCI và KCI, ta có:
A
B
C
I
D
K
O
+ (chung)
+ sđ(góc giữa tiếp tuyến và dây cung CK)
sđ(góc nội tiếp chắn ), suy ra 
Vậy ΔBCI ΔCKI 
c) Ta có ΔCAB cân (AB = AC) và 	(1)
Do BD // AC (so le trong) 	(2)
Mặt khác, sđ(góc nội tiếp); sđ = 600 (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) 	(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra hai tam giác BCD và BCA là các tam giác đềuABDC là hình thoi (tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)BCAD và D là điểm chính giữa DA đi qua O (đpcm)
Bài 5. 
Vì ab = 1 nên 
Do a > b nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có: