Luyện thi đại học môn Toán – Chuyên đề Số phức

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC 
Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = –1. 
Trong đó: 
i là đơn vị ảo. 
a được gọi là phần thực của số phức 
b được gọi là phần ảo của số phức 
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức kí hiệu là C. 

 Chú ý: 
♦ Số phức z là số thực nếu b = 0, khi đó z = a. 
♦ Số phức z là số ảo (hay số thuần ảo) nếu a = 0, khi đó z = bi. 
♦ Hai số phức z = a + bi và ' ' 'z a b i= + nếu 
'
'
a a
b b
=

=
♦ Với i là đơn vị ảo ta có: ( )22 3 2 4 2 5 41; . ; 1; . ...i i i i i i i i i i i= − = = − = = = = 
Từ đó suy ra 4 4 1 4 2 4 3 0+ + ++ + + =n n n ni i i i 
Ví dụ: Tính tổng 2 3 20121 ... .= + + + + +S i i i i 
Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau 
a) z = 2 + 3i b) z = 4i c) z = –1 
d) z 2 2i= − e) z = (1 + i)2 – (1 – i)2 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 
Hướng dẫn giải: 
Theo định nghĩa số phức ta có 
a) z = 2 + 3i ⇒ a = 2; b = 3 
b) z = 4i ⇒ a = 0; b = 4 
c) z = –1 ⇒ a = –1; b = 0 
d) 2 2 2; 2z i a b= − ⇒ = = − 
e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức đã cho về dạng rút gọn. 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 2 1 2 2 2 4 0; 4i i i i i i i i i a b+ − − = + + − − + = − − = ⇒ = = , (do i2 = –1 ) 
f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = 9 – 2i ⇒ a = 9; b = –2. 
Ví dụ 2. Tìm các số thực x và y, biết: 
a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i 
b) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 2 1x y i x y x i− + + = + − + 
Hướng dẫn giải: 
Ta biết rằng hai số phức z = a + bi và ' ' 'z a b i= + nếu 
'
'
a a
b b
=

=
a) Ta có 2 1 2 1
3 2 4 2
x x x
y y y
+ = + = 
⇒ 
− = + = 
b) Ta có ( )
31 3 4 1
21 2 1 2 2 5
x x y x y x
y x x y y

− = + + = = 
⇔ ⇒  
+ = − + + = −   = −
Ví dụ 3. Cho ( ) ( )= + + −3 2 4z a b i . Tìm các số a, b để: 
a) z là số thực 
b) z là số thuần ảo 
Hướng dẫn giải: 
a) z là số thực khi b – 4 = 0, hay b = 4. 
b) z là số thuẩn ảo khi 3a + 2 = 0, hay a = –2/3 
Tài liệu bài giảng: 
01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức: 
1. z 3 5i= − + 2. z 2i= − 
3. z = 12 4. z = 0 
5. z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i). 6. z = (1 + i)2 – (1 – i)2 
7. z = (2 + i)3 – (3 – i)3. 8. z = (3 – 5i) + (2 + 4i) 
9. z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10. z = (2 + i) – (1 + 4i) 
Bài 2. Cho ( ) ( )z 2a 1 3b 5 i= − + + với a,b R∈ . Tìm các số a, b để: 
1. z là số thực 2. z là số thuần ảo 
Bài 3. Tìm các số thực x và y, biết: 
1. ( ) ( )2x 1 5i 4 3y 2 i+ + = − + − 
2. ( ) ( )x 2 4i 3 y 1 i− − = − + 
2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 
Cho số phức z = a + bi ( ), ∈a b R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) (hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (hay còn 
gọi là mặt phẳng phức) 
Trong đó: 
- Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a. 
- Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b. 
Ví dụ. Cho các số phức 2 + 3i; 3; –i; –1 + 2i có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C, D 
a) Chứng minh rằng ABCD là một hình bình hành 
b) Tâm I của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào? 
3. MODULE CỦA SỐ PHỨC 
Khái niệm: 
Cho số phức z = a + bi, module của số phức z kí hiệu là |z| và được tính theo biểu thức: 2 2= +z a b 
Ví dụ: Tính module của các số phức sau 
1. z = 1 + 3i 
2. z = 2i 
3. z 3 i= − 
4. ( ) ( )2 2z 2 i 1 2i= + + + 
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng công thức 2 2z a b= + ta có 
1. z 1 3i z 1 9 10= + ⇒ = + = 
2. z 2i z 4 2= ⇒ = = 
3. z 3 i z 3 1 2= − ⇒ = + = 
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2z 2 i 1 2i 4 2i i 1 4i 4i 3 2i 4i 3 6i z 6= + + + = + + + + + = + + − = ⇒ = 
4. SỐ PHỨC LIÊN HỢP 
Khái niệm: 
Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của số phức z kí hiệu là z và được tính theo biểu thức: = −z a bi 

Chú ý: 
+ Các điểm M(a ; b) và M’(a ; –b) biểu diễn các số phức z và z đối xứng nhau qua trục Ox. 
+ Các số phức z và z có module bằng nhau: 2 2= = +z z a b 
Ví dụ: Viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau và tính module của chúng 
1. z = 2 – 5i 
2. z = 7i 
3. z = 6 + i 
4. z 3 2i= − 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng z a bi= − , ta được : 
1. z 2 5i z 2 5i z 4 25 29= − ⇒ = + ⇒ = + = 
2. z 7i z 7i z 49 7= ⇒ = − ⇒ = = 
3. z 6 i z 6 i z 36 1 37= + ⇒ = − ⇒ = + = 
4. z 3 2i z 3 2i z 3 4 7= − ⇒ = + ⇒ = + = 
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP 
Bài 1. Tính z z ', z z ', z.z '+ − với 
1) z 5 2i , z ' 4 3i= + = + 2) z 2 3i , z ' 6 4i= − = + 
3) z 4 7i , z ' 2 5i= − − = − 4) z 1 i 3 , z ' 3 2i= + = − + 
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau : 
1) ( )21 i− 2) ( )22 3i+ 
3) ( )31 i 3i+ + 4) ( )20101 i+ 
Bài 3. Viết các số phức sau dạng đại số: 
1) ( )( )
1
z
1 i 4 3i
=
+ −
 2) 5 6iz
4 3i
− +
=
+
3) 7 2iz
8 6i
 
−
=  
− 
 4) 3 4iz
4 i
−
=
−
5) 1z
2 3i
=
−
 6) 1z
1 3 i
2 2
=
−
7) 3 2iz
i
−
= 8) 2 iz
5i
+
= 
9) 4iz
1 i
=
−
 10) 1 2i 12iz
12i 1 2i
+
= +
+
11) (2 i)(12i) (2i)(1 2i)z
2i 2 i
+ +
= +
+
Bài 4. Cho 1 3z i
2 2
= − + . Hãy tính: ( )32 21 , z , z , z , 1 z z
z
+ + . 
Bài 5. Tính modun, tìm số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 
1) 1z
2 3i
=
+
 2) 4 5iz
i
+
= 
3) 4 3iz
2 i
−
=
−
 4) 1 2iz
2 i
−
=
+
5) z (2 i)( 3 2i)(5 4i)= − − + − 6) ( )( )
1
z
1 2i 3 i
=
+ −
7) ( )( )
2 3i
z
4 i 2 2i
+
=
+ −
 8) 5 5i 20z
3 4i 4 3i
+
= +
− +
9) 3 7i 5 8iz
2 3i 2 3i
+ −
= +
+ −
 10) 3 2i (2 i)(4 3i)z
2 i
+ + − −
=
+
11) (3 2i)(4 3i)z 5 4i
1 2i
− +
= + −
−
 12) ( ) ( )
23 2i 1 i
z
1 i
− −
=
+
13) ( )( ) ( )3 2i 1 3iz 2 i
1 3i
+ −
= + −
+
 14) ( ) ( )( ) ( )
2 3
3 2
1 2i 1 i
z
3 2i 2 i
+ − −
=
+ − +
15) 7 7
1 1
z i
2i i
 
= − 
 
 16) ( ) ( )( )
33
101 i 1
z 1 i 2 3i 2 3i
1 i i
+ 
= + − + + − + 
− 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
17) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 20z 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i= + + + + + + + + + 18) 
8 81 i 1 i
z
1 i 1 i
+ −   
= +   
− +   
Bài 6. Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức 
đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 
1) 1 2 3z z z z= + + 2) 1 2 2 3 3 1z z z z z z z= + + 
3) 1 2 3z z z z= 4) 2 2 21 2 3z z z z= + + 
5) 31 2
2 3 1
zz z
z
z z z
= + + 6) 
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z
z z
+
=
+
Bài 7. Tính 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z , z z , z .z , z 2z , 2z z+ − − + , biết: 
1) 1 2z 5 6i, z 1 2i= − + = − 
2) 1 2z 3 2i, z 4 3i= + = − 
3) 1 2
1 1 1
z i, z i
2 3 2
= − + = − + 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC 
5.1 Phép cộng, trừ hai số phức 
♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i 
Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i 
♦ Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i 

Chú ý: 
Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất như phép cộng hai số thực là tính giao hoán, kết hợp. 
♦ Tính chất kết hợp : ( ) ( )' " ' " ' "z z z z z z z,z ,z+ + = + + ∀ ∈
 
♦ Tính chất giao hoán : ' ' 'z z z z z,z+ = + ∀ ∈
 
♦ Cộng với 0 : z 0 0 z z z+ = + = ∀ ∈
 
♦ Với mỗi số phức z a bi (a,b )= + ∈ , nếu kí hiệu số phức a bi− − là –z thì ta có 
z ( z) ( z) z 0+ − = − + = 
Số –z được gọi là số đối của số phức z 
Ví dụ. Thực hiện phép cộng, trừ các số phức sau 
1. z = 2+ 3i ; z’ = 5 – 2i 
2. z = –5 + 2i ; z’ = 3i 
3. z = 2 – 3i ; z’ = 2 – i 
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng công thức ' ' 'z z (a a ) (b b )i+ = + + + ; ' ' 'z z (a a ) (b b )i− = − + − , ta có 
1. 'z z (2 5) (3 2)i 7 i+ = + + − = + ; 'z z (2 5) (3 2)i 3 5i− = − + + = − + 
2. 'z z 5 (3 2)i 5 5i+ = − + + = − + ; 'z z 5 (2 3)i 5 i− = − + − = − − 
3. 'z z (2 2) (3 1)i 4 4i+ = + − + = − ; 'z z (2 2) ( 3 1)i 2i− = − + − + = − 
5.2 Phép nhân hai số phức 
♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i 
Khi đó số phức w = z.z’ được tính bằng công thức : w = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i 

 Nhận xét : 
Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b )∈ , ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi 
0z = 0 với mọi số phức z 

 Chú ý: Phép nhân các số phức có đầy đủ tính chất như phép nhân các số thực 
♦ Tính chất giao hoán : ' ' 'z.z z .z, z, z= ∀ ∈
 
♦ Tính chất kết hợp : ' " ' " ' "(zz )z z(z z ), z, z , z= ∀ ∈
 
♦ Nhân với 1 : 1.z z.1 z, z= = ∀ ∈
 
♦ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng 
( )' " ' " ' "z z z zz zz , z, z , z+ = + ∀ ∈
 
Ví dụ. Phân tích ra thừa số số phức các biểu thức sau 
1. a2 + 1 2. 2a2 + 3 
3. 4a2 + 9b2 4. 3a2 + 5b2 
Hướng dẫn giải: 
Sử dụng i2 = –1 ta được 
1. 2 2 2a 1 a i (a i)(a i)+ = − = − + 
2. 2 2 2 2 24a 9b 4a 9b i (2a 3bi)(2a 3bi)+ = − = − + 
3. ( ) ( )2 2 22a 3 2a 3i a 2 3i a 2 3i+ = − = − + 
4. ( )( )2 2 2 2 23a 5b 3a 5b i 3a 5bi 3a 5bi+ = − = + − 
Tài liệu bài giảng: 
01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
5.3 Phép chia cho số phức khác 0 
♦ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1 2
1
z z
z
−
= 
♦ Thương 
'z
z
 của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là 
'
' 1z z z
z
−
= 
Vậy
( )( )
( )
' '
' '
2 2 2
a bi a b iz z z
z a bz
− +
= =
+
với z 0≠ 

 Nhận xét : 
• Với z ≠ 0, ta có 1 11 1.z z
z
− −
= = 
• Thương 
'
z
z
 là số phức w sao cho zw = z’. Có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép 
nhân 
• Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số. 
Ví dụ. Thực hiện phép chia các số phức sau 
1. ( )( )
1
z
1 i 4 3i
=
+ −
 2. 5 6iz
4 3i
− +
=
+
3. 7 2iz
8 6i
 
−
=  
− 
 4. 3 4iz
4 i
−
=
−
Hướng dẫn giải: 
1. ( )( ) 2 2
1 1 7 7 7 1
1 4 3 7 (7 )(7 ) 7 50 50
i i
z i
i i i i i i
− −
= = = = = −
+ − + + − −
2. 2 2
5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 39 2 39
4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25
i i i i
z i
i i i
− + − + − − + −
= = = = +
+ + − +
3. Tính 2 2
7 2 (7 2 )(8 6 ) 68 26 17 13
8 6 (8 6 )(8 6 ) 8 6 25 50
i i i i
z i
i i i
− − + +
′ = = = = +
− − + +
Vậy 7 2 17 13 17 13
8 6 25 50 25 50
i
z z i i
i
 
−
′= = = + = − 
− 

 Nhận xét : 
Ta cũng có thể giải câu này theo cách khác như sau (sử dụng tính chất của số phức): 
2 2
7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13
8 6 8 6 8 6 25 508 6
i i i i i
z i
i ii
 
− − + + −
= = = = = − 
− + +− 
4. 2
3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 16 13
4 (4 )(4 ) 4 1 17 17
i i i i
z i
i i i
− − + −
= = = = −
− − + +
6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC 
♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau của số phức được xếp vào 1 nhóm: 
Tính chất 1: Số phức z là số thực z z⇔ = 
Chứng minh: 
 Ta có : z z x yi x yi y 0 z x= ⇔ + = − ⇔ = ⇒ = . Vậy z là số thực. 
Tính chất 2: Số phức z là số ảo z z⇔ = − 
Chứng minh: 
Ta có : x yi 0z z x yi x z yi= − ⇔ + = − + ⇔ = ⇒ = . Vậy z là số ảo. 
Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp z và module là |z|. Khi đó: 2zz z= 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Chứng minh: ( )
2 2 2 2 2
2
22 2 2 2 2
( )( )zz x yi x yi x y i x y
zz z
z x y x y
 = + − = − = +

→ =
= + = +

♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm liên hợp: 
Tính chất 4: 1 2 1 2z z z z+ = + 
Chứng minh: 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
z z x x y y i x x y y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y i
 + = + + + = + − +
→ + = +
+ = − + − = + − +
Tính chất 5: 1 2 1 2z z z .z= 
Chứng minh: 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
. ( )( ) ( ) ( )
z z x y i x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y x y x y i
 = + + = − + + = − − +
→ =
= − − = − − +
Tính chất 6: 1 1
2 2
z z
z z
 
= 
 
Chứng minh: 
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
( ) ( )
( )( )
( )( )
z x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i
z x y i x y x y x y z
zz x y i x y i x y i x x y y x y x y i
x y i x y i x y i x y x yz
     + + − − + −
 = = = +     
+ + + +     
→
− − + + −
= = = +
− − + + +
1
2 2
z
z
 
= 
 

 Nhận xét : 
Ngoài cách chứng minh cổ điển trên thì ta có thể sử dụng ngay một “thành quả” đã chứng minh được là tính chất số 5. 
Thật vậy, đặt 1 1 2
2
.
z
z z z z
z
= ⇒ = 
Theo tính chất 5 ta có: 11 2 2
2
. .
z
z z z z z z
z
= = ⇒ = , hay 1 1
2 2
z z
z z
 
= 
 
. 
♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm module: 
Tính chất 7: 1 2 1 2z z z z= 
Chứng minh: 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (1)
z z x y i x y i x x y y x y x y i
z z x x y y x y x y x x x y x y y y
= + + = − + +
⇒ = − + + = + + +
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2. ( ) ( ) ( ) ( ) , (2)z z x y x y x x x y x y y y= + + = + + + 
Từ (1) và (2) ta có (đpcm) 
Tính chất 8: 11
2 2
zz
z z
= 
Chứng minh: 
( )
( )( )
( )
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2
1 1 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1
22 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2 2
( )( ) ( ) ( )
( )( )
(1)
z x y i x y i x y i x x y y x y x y i
z x y i x y i x y i x y
x y x yz x x y y x y x y x y
z x y x yx y x y
+ + − + + −
= = =
+ + − +
  + + + − +
 ⇒ = + = =   + ++  + 

 Nhận xét : 
Tương tự như nhận xét đã nêu ở tính chất 6, ta đặt 1 1 2
2
.
z
z z z z
z
= ⇒ = 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Theo tính chất 7 ta có: 11 2 2
2
. .
z
z z z z z z
z
= = ⇒ = , hay 11
2 2
zz
z z
= . 
Tính chất 9: 1 2 1 2z z z z+ ≤ + 
Chứng minh: 
( )
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
2
1 2 2 1
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
z z z z x x y y x y x y
x x y y x x x y x y x y
x x y y x x x y x y y y
x y x y
+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + + +
⇔ + + + ≤ + + + + + +
⇔ + ≤ + + +
⇔ − ≥
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau : 
1. 7 2
8 6
i
z
i
 
−
=  
− 
 2. (1 )(3 2 )z i i= + − 3. (2 3 ) (1 )z i i= + + − 
4. 1
1
i
z
i
+
=
−
 5. (5 )(2 3 )z i i= + − 
Hướng dẫn giải: 
1. 2 2
7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13
8 6 8 6 8 6 25 508 6
i i i i i
z i
i ii
 
− − + + −
= = = = = − 
− + +− 
2. 2 2 2 2(1 )(3 2 ) 1 3 2 1 1 . 3 2 26z i i i i= + − = + − = + + = 
3. (2 3 ) (1 ) 2 3 1 2 3 1 3 2z i i i i i i i= + + − = + + − = − + + = − 
4. 
11 1 1 1
1 1 1 1
ii
z
i i
++ +
= = = =
− − +
3. (5 )(2 3 ) 5 .2 3 (5 )(2 3 ) 13 13z i i i i i i i= + − = + − = − + = + 
Ví dụ 2. Tính module của các số phức sau 
1. z(1 2i) 1 3i+ = − + 2. z 3 2i
1 3i
= +
− +
3. ( )z 1 2i 5 6i
2 3i
− + = −
+
 4. 2 i 1 3iz
1 i 2 i
+ − +
=
− +
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng các lớp tính chất liên quan đến module ta có: 
1. 10z(1 2i) 1 3i z(1 2i) 1 3i z . 1 2i 10 z 2
5
+ = − + ⇒ + = − + ⇔ + = ⇒ = = 
2. 
zz z3 2i 3 2i 13 z 13. 10 130
1 3i 1 3i 1 3i
= + ⇒ = + ⇔ = ⇒ = =
− + − + − +
3. ( ) zz z z1 2i 5 6i 6 4i 6 4i 52 2 13 z 26
2 3i 2 3i 2 3i 2 3i
− + = − ⇔ = − ⇒ = − ⇔ = = ⇒ =
+ + + +
4. 
1 3i2 i 1 3i 2 i 1 3i 2 i 5 10 2 5
z z . z . z z
1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 2 i 52 5
− ++ − + + − + +
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
− + − + − +
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau : 
1. z (2 5i)(3 i)= − + 2. ( )1 i z 3 2i 4z+ + = − 
3. 1z (3i 4)(2 i)= + − 4. 
3i 7
z
10 i
−
=
+
5. z(2 3i) 4 5i+ = + 6. (1 2i)z ( 1 3i)(2 i)+ = − + + 
7. ( ) ( )1 3i z 4 3i 7 5i− + + = − 8. 3 7i 5 8iz
2 3i 2 3i
+ −
= +
+ −
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
9. z (1 2i)(2 4i)= + − 10. 3 4iz
2 i
−
=
−
11. 7 iz
2 i
+
=
−
 12. z (2 i)( 3 2i)(5 4i)= − − + − 
13. 5 5i 20z
3 4i 4 3i
+
= +
− +
 14. (3 2i)(4 3i)z 5 4i
1 2i
− +
= + −
−
15. ( ) ( )
2 3i
z
4 i 2 2i
+
=
+ −
Bài 2. Tìm số phức z biết 
a) 
3( 2 )
1 2
i
z
i
−
=
+
 b) . 3( ) 1 4z z z z i+ − = − c) 1 1 2z i− = − 
Bài 3. Tính mô-đun của số phức z biết 
a) 2
1 (2 3 ) 2i i z i
z z
− −
= + − 
b) Cho số phức 
3
3
1 2
1 2 (1 )4 3 (1 ) ; .
1
i i
z i i z
i
+ − −
= − + − =
+
 Tính mô-đun của số phức 1 2.z z z= 
c) Cho số phức ( )
3
1 3
.
1
i
z
i
−
=
−
 Tín mô-đun của số phức .z iz+ 
Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức 2012 2012( 1 3 ) (1 3 )z i i= − + + + 
Bài 5: Cho số phức 2013 20121 .z i i+ = + Tìm 'z biết 'z z iz= + 
Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau: 
a) 2 2z z= b) 22 1 0z z− + = 
c) 2 0z z+ = d) 
2( )
1
z i i
z
+
=
+
e) ( ) 4 6
1 2 2
z z i z z i
i i
+ −
− = +
+ −
 f) ( )(1 ) ( )(2 3 ) 4z z i z z i i+ + + − + = − 
g) 2 2 0z z+ = h) 2 0z i z+ = i) 2 1 0iz z+ + = 
Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau: 
a) 
2
2 8zz z
z
−
+ = b) 3 1z i i z− = − và 9z
z
− là số thuần ảo. 
c) 2 1( 1)(1 )
1
z
z z i
i
−
= + + +
−
 d) 1 3z z− = + và 2 2 2z z+ = 
e) 
2
2 2
z
z iz
 =

+ =
 f) 2 2 0z zz+ − = 
g) 4 (1 3 ) 25 21z i z i+ + = + h) 2 352 4 5
8
z z z+ − = 
i) 4 22 ( 5)z z z= − j) 
3 3 10
2 3 109
z z
z i
 + + − =

+ =
Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 )i z− là số thực và 2 5 1z i− + = . 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
I. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN 
a) Đường thẳng 
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường thẳng nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn 
phương trình đường thẳng : Ax + By + C = 0. 
b) Đường tròn 
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường tròn nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương 
trình đường tròn (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2, trong đó I(a ; b) là tâm đường tròn và R là bán kính đường 
tròn. 
c) Đường Elip 
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường elip nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương 
trình đường elip 
2 2
2 2( ) : 1
x yE
a b
+ = , trong đó a, b tương ứng là các bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip. 

Chú ý : 
 Điểm M thuộc Elip nhận A, B làm các tiêu điểm thì theo định nghĩa elip ta có MA + MB = 2a, và đồng 
thời AB = 2c, là độ dài tiêu cự của elip. 
 Mối quan hệ giữa các đại lượng a, b, c của elip là a2 = b2 + c2 
II. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH 
Ví dụ 1. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. 
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] 
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]. 
d) |z| ≤ 2 
e) 2 ≤ |z| ≤ 3 
f) |z –1 + 2i| ≤ 2 
g) 2 2 2 1i z z− = − 
Hướng dẫn giải : 
Gọi z = x + yi và M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z. 
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của z, tức là x = 2y, hay x – 2y = 0. 
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d : x – 2y = 0. 
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1], tức là –2 ≤ x ≤ 1. 
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = –2 và x = 1 
c) Phần thực của z thuộc đoạn