Lượng giác - Một số Chuyên đề và ứng dụng

 LƯỢNG 
GIÁC 
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG 
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG 
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH 
 VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH 
LƯỢNG GIÁC 
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG 
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG 
TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7 – 2011 
 LỜI NÓI ĐẦU 
Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên 
soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc 
quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Ở cuốn sách này, 
ngoài việc đưa ra những khái niệm và dạng bài tập cơ bản, chúng tôi sẽ thêm vào đó lịch 
sử và ứng dụng của môn học này để các bạn hiểu rõ hơn “Nó xuất phát từ đâu và tại sao 
chúng ta lại phải học nó?”. 
Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần : 
- Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết 
cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình 
làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn 
đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót. 
- Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào 
phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng 
giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này. 
- Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm 
tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm. 
Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng 
rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần 
hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh 
nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc 
gần xa. 
Chi tiết liên hệ tại : anhkhoavo1210@gmail.com 
 minh.9a1.dt@gmail.com 
 CÁC TÁC GIẢ 
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH. 
 LỜI CẢM ƠN 
Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham 
khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều 
kiện hoàn thành cuốn sách này : 
- Tô Nguyễn Nhật Minh (ĐH Quốc Tế Tp.HCM) 
- Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) 
- Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) 
- Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) 
- Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) 
- Nguyễn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bội Châu Tp.Vinh) 
- Phan Đức Minh (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) 
và một số thành viên diễn đàn MathScope. 
 MỤC LỤC 
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG 
CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ ....................................... 1 
CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC ........................................................ 4 
 2.1 CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC ................................... 7 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 15 
 2.2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ............................................................... 21 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 33 
 2.3 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC SUY TỪ ĐẲNG THỨC 
 LƯỢNG GIÁC KHÁC CHO TRƯỚC .......................................................... 36 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 45 
 2.4 CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO 
 BIẾN SỐ ....................................................................................................... 46 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 51 
CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ....................................... 52 
 3.1 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC ......... 55 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 77 
 3.2 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
 TRONG TAM GIÁC ..................................................................................... 81 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................. 133 
 3.3 NHẬN DẠNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC..... 143 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................. 191 
 ĐỌC THÊM : 
 TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC 
 CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC .................................................. 199 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 205 
Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử 
1 
CHƯƠNG 1 
SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 
I. KHÁI NIỆM 
Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các 
hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất 
tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài 
hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối 
các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Sâu xa hơn, ở khía cạnh hiện đại hơn, định nghĩa 
hàm lượng giác là chuỗi vô hạn hoặc là nghiệm của phương trình vi phân, điều này cho 
phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kỳ. 
( Dạng đồ thị hàm sin ) 
II. LỊCH SỬ 
Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác 
được cho là thực hiện đầu tiên bởi Hipparchus(1) (180-125 TCN), người đã lập bảng tính 
độ dài các cung tròn và chiều dài của dây cung tương ứng. Sau đó, Ptomely(2) tiếp tục 
phát triển công trình, tìm ra công thức cộng và trừ cho và , 
Ptomely cũng đã suy diễn ra được công thức hạ bậc, cho phép ông lập bảng tính với bất 
kỳ độ chính xác cần thiết nào. Tuy nhiên, những bảng tính trên đều đã bị thất truyền. 
Các phát triển tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, công trình của Surya Siddhanta(3) (thế kỷ 
4-5) định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Đến thế kỷ 10, người Ả Rập đã 
dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân. 
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác cơ bản đều được phát triển 
nhằm phục vụ trong các công trình thiên văn học, cụ thể là dùng để tính toán các đồng hồ 
mặt trời. 
Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử 
2 
Ngày nay, chúng được dùng để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, giữa các mốc 
giới hạn hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Rộng hơn nữa, chúng được áp dụng vào 
nhiều lĩnh vực khác : quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác 
suất, thống kê, sinh học, dược khoa, hóa học, lý thuyết số, địa chấn học, khí tượng học, 
hải dương học 
Ta lấy ví dụ từ một bài toán sau trích từ Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight, 
Darkness and Time : 
Việc mô hình hóa về số giờ chiếu sáng của mặt trời là hàm thời gian trong năm tại 
nhiều vĩ độ khác nhau. Cho biết Philadelphia nằm ở vĩ độ Bắc, tìm hàm biểu thị số 
giờ chiếu sáng của mặt trời tại Philadelphia. 
Chú ý rằng mỗi đường cong tương tự với một hàm số sin mà bị di chuyển và kéo 
căng ra. Tại độ cao của Philadelphia, thời gian chiếu sáng kéo dài 14,8 giờ vào ngày 21 
tháng 6 và 9,2 giờ vào ngày 21 tháng 12, vậy nên biên độ của đường cong (hệ số kéo 
căng theo chiều dọc) là : 
Hệ số nào mà chúng ta cần để kéo căng đồ thị hình sin theo chiều ngang nếu 
chúng ta đo thời gian trong ngày? Bởi có 365 ngày/ năm, chu kỳ của mô hình nên là 365. 
Nhưng mà giai đoạn của là , nên hệ số kéo căng theo chiều ngang là : 
Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử 
3 
Chúng ta cũng để ý rằng đường cong bắt đầu một chu trình của nó vào ngày 21 
tháng 3, ngày thứ 80 của năm nên chúng ta phải phải dịch chuyển đường cong về bên 
phải 80 đơn vị. Ngoài ra, chúng ta phải đưa nó lên trên 12 đơn vị. Do đó chúng ta mô 
hình hóa số giờ chiếu sáng của của mặt trời trong năm ở Philadelphia vào ngày thứ của 
năm bằng hàm số : 
 [
 ] 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
4 
CHƯƠNG 2 
CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC 
BIỆT 
Ta gọi cung có liên quan đặc biệt với 
cung là các cung : 
- Đối với : 
- Bù với : 
- Hiệu với : 
- Hơn kém 
 với : 
cos 
sin 
tan 
cot 
Ngoài ra, có một số hàm lượng giác khác : 
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
1. CÔNG THỨC CƠ BẢN 
 ( 
 ) 
 ( 
 ) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
5 
Từ hình vẽ thực tiễn trên, ta rút ra được một số công thức cơ bản về hàm lượng giác : 
2. CÔNG THỨC CỘNG 
 ( 
 ) 
3. CÔNG THỨC NHÂN 
a. CÔNG THỨC NHÂN 2 
 {
 ( 
 ) 
b. CÔNG THỨC NHÂN 3 
 (
 ) (
 ) 
 (
 ) (
 ) 
 (
 ) (
 ) 
Công thức tổng quát đối với hàm tan : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
6 
c. CÔNG THỨC TÍNH THEO 
 ( 
 ) 
d. CÔNG THỨC HẠ BẬC 
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 
a. TÍCH THÀNH TỔNG 
[ ] 
[ ] 
[ ] 
[ ] 
b. TỔNG THÀNH TÍCH 
 ( 
 ) 
 ( 
 ) 
 ( 
 ) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
7 
c. CÔNG THỨC BỔ SUNG 
 √ ( 
) 
 √ ( 
) 
√ ( 
) ( 
) 
 √ ( 
) ( 
) 
 √ 
Trong đó 
{
√ 
√ 
III. CÁC LOẠI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
1. CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
- Ta thường sử dụng các phương pháp : biến đổi vế phức tạp hoặc nhiều số hạng 
thành vế đơn giản; biến đổi tương đương; xuất phát từ đẳng thức đúng nào đó, biến 
đổi về đẳng thức cần chứng minh. 
- Trong khi biến đổi ta sử dụng các công thức thích hợp hướng đến kết quả phải đạt 
được. 
- Lưu ý một số công thức trên phải chứng minh trước khi sử dụng. 
Giải: 
a. Ta có : 
b. Ta có : 
 (
) 
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau : 
a. 
b. 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
8 
Giải: 
a. Ta có : 
(
 )
b. Ta có điều cần chứng minh tương đương với 
Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. 
c. Ta có : 
d. Ta có : 
 (
 )
Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
9 
Giải: 
a. Ta có : 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
b. Ta có : 
Nên 
√ 
 √ 
 √ 
Vậy ( √ )
 ( √ )
Bài 4: Chứng minh 
Áp dụng tính tổng sau : 
Bài 3: Chứng minh : 
a. 
b. 
Suy ra giá trị : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
10 
Giải: 
Ta có : 
 (
)
Suy ra 
Vì 
Nên 
Giải: 
Ta có : 
 ( ) 
Bài 5: Cho với 
Chứng minh 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
11 
Nên 
 [ ] 
Khi 
- thì 
- thì 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Giải: Đặt 
Ta có : 
 [ 
 ( 
)] [ 
 ( 
)]
 ( 
) 
Do đó 
Bài 7: Chứng minh 
Bài 6: Chứng minh 
(ĐH Đà Nẵng 1998) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
12 
Giải: Ta có điều cần chứng minh tương đương với 
Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. 
Giải: Ta có : 
 (
)
 ( 
)
Do đó, ta có điều phải chứng minh. 
Giải: 
Ta có : 
Bài 9: Chứng minh 
(
)
Bài 8: Chứng minh 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
13 
(
) 
Do đó, ta có điều phải chứng minh. 
Giải: Đặt 
Ta có : 
Áp dụng công thức trên, ta được : 
Nhân lại, ta được : 
 √ 
Vậy 
√ 
√ 
Bài 10: Chứng minh 
(ĐHSP Hải Phòng 2001) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
14 
Giải: 
 Ta có : 
Sử dụng công thức này, ta được : 
.. 
Cộng lại, ta có được điều phải chứng minh. 
 Ta sử dụng công thức 
Ta có : 
[ ] 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
 Ta sử dụng công thức 
Ta có : 
[ ] 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
 ( 
) 
 ( 
) 
Bài 11: Chứng minh rằng 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
15 
- BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
2.1.1. Chứng minh các đẳng thức sau 
a. 
b. 
c. 
2.1.2. Chứng minh 
2.1.3. Chứng minh 
 (
 ) (
 ) 
Áp dụng tính tổng : 
2.1.4. Chứng minh 
 [ ] 
[
] 
2.1.5. Chứng minh , , là nghiệm của phương trình 
Từ đó suy ra giá trị của 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
16 
2.1.6. Cho 3 góc thỏa 
Chứng minh 
2.1.7. Chứng minh 
2.1.8. Chứng minh 
(ĐHQG Hà Nội 1996) 
2.1.9. Chứng minh 
[ 
] 
2.1.10. Chứng minh 
 ừ ứ ớ ọ 
2.1.11. Chứng minh 
2.1.12. Chứng minh 
√ 
(ĐHQG Hà Nội 2001) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
17 
2.1.13. Chứng minh 
(ĐH Phòng Cháy Chữa Cháy 2001) 
2.1.14. Chứng minh 
√ 
(ĐHQG Hà Nội 1995) 
2.1.15. Chứng minh 
2.1.16. Chứng minh 
2.1.17. Chứng minh 
2.1.18. Chứng minh 
2.1.19. Chứng minh 
 (
 ) (
 )
2.1.20. Chứng minh 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
18 
2.1.21. Chứng minh 
2.1.22. Chứng minh 
- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
2.1.1. – Sử dụng công thức hạ bậc. 
2.1.3. Đặt 
Khi đó 
 (
√ 
 √ 
)
 (
√ 
 √ 
)
Áp dụng tính tổng, viết lại thành 
Rồi sử dụng công thức đã chứng minh ở trên. 
2.1.4. 
a) Để ý 
b) Để ý 
[ ]
c) Ta có : 
d) Ta có điều cần chứng minh tương đương với : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
19 
2.1.5. Sử dụng công thức 
Cho , ta có : 
 √ 
Suy ra 
2.1.6. Áp dụng công thức : 
2.1.9. Cần chứng minh 
[ 
] 
2.1.10. Để ý 
2.1.12. Ta có : 
2.1.13. Nhân 2 vế cho . 
2.1.14. Áp dụng công thức 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
20 
Viết lại thành 
2.1.15. 
a) Để ý 
b) Sử dụng công thức 
Ta có điều phải chứng minh tương đương với 
[ 
] 
2.1.16. 
a. Cần chứng minh 
Suy ra 
b. Ta có điều cần chứng minh tương đương với 
2.1.17. 
Để ý rằng 
2.1.18. Áp dụng công thức 
2.1.19. Ta chỉ cần chứng minh 
 (
 ) (
 ) (
 ) (
 ) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
21 
2.1.21. Sử dụng công thức sau : 
2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 
- Ở loại bài tập này, ngoài các công thức biến đổi cơ bản, ta cần chú ý thêm các 
công thức sau : 
 (
 ) (
 ) (
 ) 
- Nhờ cung liên kết ta có thể đưa các cung lớn hơn hay cung âm về cung trong 
khoảng . 
- Khi cần rút gọn biểu thức 
Ta dùng công thức 
- Khi cần rút gọn biểu thức 
Ta viết 
Và dùng công thức biến đổi tích thành tổng để rút gọn. 
- Ngoài ra, để tính giá trị một biểu thức ta chứng tỏ các số hạng trong biểu thức là 
nghiệm của một phương trình, từ đó ta dùng công thức Viète(4) để tính tổng hoặc 
tích của lượng phải tìm. 
- Cần nhớ lại công thức Viète bậc 3 sau: 
Gọi là 3 nghiệm của phương trình 
 thì 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
22 
{
Từ đó có thể suy ra 
Giải: Ta có : 
( 
 )
[ 
] 
 (
 ) 
Bài 2: Rút gọn biểu thức 
Tính giá trị của nếu 
Bài 1: Tính 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
23 
Giải: 
Ta có : 
Mặt khác 
√ 
√ 
Giải: Ta có : 
( 
 ) 
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
24 
 ( 
)
( 
)
 ( 
) 
 ( 
) ( 
)
Giải: Ta có : 
√ 
√ 
√ 
√ 
√
| |
 {
 ( 
)
 (
)
√ 
√ 
√ 
√ 
Bài 4: Rút gọn biểu thức sau với 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
25 
Giải: Ta có : 
Nên 
Suy ra 
Đặt ; là nghiệm của phương trình 
Hay 
Vì nên 
 √ 
Vì nên 
 √ 
Giả sử là số hữu tỷ, suy ra cũng là số hữu tỷ. 
Như vậy lần lượt ta có ; ; 
 cũng là những số hữu tỷ. 
Do đó, cũng là số hữu tỷ. 
Mà 
 √ 
Nên √ là số hữu tỷ. (vô lý) 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Bài 5: Tính . Từ đó chứng minh là số vô tỷ. 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
26 
Giải: Ta xét 2 trường hợp sau 
* Nếu thì . 
* Nếu thì 
 [ ]
[ ] 
Mà 
Vậy 
 (
)
 [ (
)
 ] 
Giải: Nếu ta có 
{
Bài 7: Tìm 1 phương trình bậc 3 có các nghiệm là 
Từ đó, tính tổng 
Bài 6: Cho phương trình có 2 nghiệm . Hãy 
tính biểu thức sau đây theo . 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
27 
Thì là 3 nghiệm của phương trình bậc 3 
Ta có : 
( 
) 
( 
)
( 
 ) 
(
 ) 
Vậy phương trình cần tìm là 
Suy ra . 
Giải: 
 ể ằ 
 ệ ủ ươ 
√ 
 √ 
 √ 
 √
 √ 
Bài 8: Chứng minh rằng 
(Đề nghị Olympic 30-4, 2006) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
28 
Hay 
Từ ta có (loại vì không thỏa 3 nghiệm trên) 
Như vậy 
 ệ ủ ươ 
 ịnh lý Viète, ta có 
{
Đặt 
{
 √ 
 √ 
 √ 
 √ 
 √ 
 √ 
Khi đó 
{
 √ 
 √ 
Suy ra 
Do đó √ 
Nên √ √ 
Vậy 
√ 
 √ 
 √ 
√ 
√
 √ 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
29 
Giải: Từ hệ ta có : 
{
Suy ra 
Do đó 
{
 {
Giải: Từ giả thuyết, ta có : 
Vì nên 
{
Bài 9: Tính tổng 
Với . 
Bài 10: Cho 
Hãy tìm 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
30 
 ( 
) 
Giải: Ta có : 
 √ 
 √ 
 √ 
 √ 
 √ √ 
Giải: Ta có : 
 (
 ) 
 à 
 í (
 ) 
Bài 12: 
(ĐH Huế 1996) 
 √ 
 √ 
Bài 11: Rút gọn biểu thức sau 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
31 
Mặt khác : 
Do nên 
Suy ra 
 (
 ) 
Giải: Ta sẽ áp dụng vào bài toán trên bằng hằng đẳng thức 
Dễ thấy 
 (
) (
) (
) 
 ệ ủ ươ 
 (
)
Như vậy : 
 ệ ủ ươ 
 ịnh lý Viète, ta có : 
{
Suy ra 
Bài 13: Tính giá trị của biểu thức 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
32 
Giải: Ở bài toán này, ta thấy . 
Do đó, theo định lý Viète, ta có : 
{
Mặt khác : 
(
)
(
)
Áp dụng bất đẳng thức : 
Ta được : 
Cần chứng minh bất đẳng thức : 
Thật vậy, với , ta có : 
 (√ √ √ √ √ √ )
Bài 14: Cho là 3 nghiệm của phương trình : 
Chứng minh rằng 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
33 
Do đó, 
Vậy ta có được điều phải chứng minh. 
- BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
2.2.1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
2.2.2. Tìm 1 phương trình bậc 3 có các nghiệm là 
Từ đó, tính tổng 
2.2.3. Cho 
Tính . 
2.2.4. Tính , biết 
 ( 
) 
2.2.5. Rút gọn các biểu thức sau : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
34 
 ( 
) ( 
)
 (
 ) (
 ) 
 ( 
) (
 ) (
 )
 ( 
) (
 )
√ 
 √ √ √ √ √ 
⏟ 
 ấ 
 ( ( 
)) 
2.2.6. Tính 
2.2.7. Tính biết 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
35 
2.2.8. Tính theo biết 
2.2.9. Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau 
2.2.10. Cho . Tính 
2.2.11. Cho . Tính 
2.2.12. Cho và . Tính . 
- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
2.2.3. Đặt 
{ 
 [ ] 
Ta có hệ phương trình 
{ 
2.2.4. Để ý 
2.2.6. Để ý 
[ ]
2.2.7. Để ý 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
36 
2.2.8. Từ hệ thức 
Ta biến đổi theo . 
2.2.9. Để ý bậc của tử bằng bậc của mẫu, do có giá trị thực nên , từ đó ta 
lần lượt chia tử và mẫu cho đối với và cho cho . 
2.2.10. Để ý 
2.2.11. Để ý 
3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC SUY TỪ ĐẲNG THỨC 
LƯỢNG GIÁC KHÁC CHO TRƯỚC 
- Đây là loại bài tập chứng minh đẳng thức lượng giác có điều kiện và từ điều kiện 
kết hợp với các công thức lượng giác phù hợp để suy ra điều cần phải chứng minh. 
Giải: Ta có : 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Bài 2: Chứng minh rằng nếu và 
Thì 
Bài 1: Cho {
. Chứng minh rằng : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
37 
Giải: Ta có : 
 (
) 
 ( 
 ) 
Suy ra 
Giải: Ta có : 
Khi đó : 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Bài 3: Cho 
Chứng minh rằng 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
38 
Giải: Ta có : 
[ ] 
 ặ 
 {
Và 
Ta có 2 trường hợp sau : 
 ế 
- Nếu có vô số nghiệm thuộc 
- Nếu thì 
 ( 
) ệ ộ 
 ế 
( 
 ) 
 (
) 
Ở đây, ta sẽ sử dụng định lý : Nếu hàm số liên tục trên đoạn [ ] và 
thì tồn tại ít nhất 1 điểm sao cho . 
Như vậy, ta thấy 
Bài 4: Cho và thỏa 
Chứng minh rằng : có nghiệm 
(Đề nghị Olympic 30-4, 2006) 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
39 
{
 ụ ụ [ 
]
 (
) 
Do đó, có nghiệm thuộc . 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Giải: Ta cần chứng minh 
Thật vậy, ta có 
Mà 
{
Suy ra 
Mà là 2 góc nhọn nên ta có điều phải chứng minh. 
{
Bài 6: Chứng minh rằng nếu 
Thì 
(ĐH Thương Mại Hà Nội 1998) 
 ứ 
Bài 5: Cho là 2 góc nhọn thỏa hệ {
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
40 
Giải: 
 ề ệ ượ ị 
Ta có : [ ] 
Giải: Ta có : 
 (
)
 ( 
)
[ ]
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Bài 7: Cho 
Chứng minh rằng 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
41 
Giải: Lấy suy ra : 
 [ ]
Vậy √ 
 √ 
Lấy suy ra : 
 [ ]
Vậy √ 
 √ 
Do đó, ta được : 
 [ ] √ 
 √ 
Giải: Ở bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức 
Bài 9: Chứng minh rằng nếu , với thỏa các điều kiện xác 
định cần thiết thì 
{
Bài 8: Cho 
Chứng minh rằng : √ 
 √ 
 √ 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
42 
Giải: Đặt 
{
Ta cần chứng minh: 
Hay 
Thật vậy, ta có : 
 [ ] 
 [ ] 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Giải: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức, ta có : 
Do đó, 
Bài 11: Cho 3 số đôi một khác nhau và 4 góc được liên hệ với nhau bởi 
hệ thức : 
Chứng minh rằng 
Bài 10: Cho . 
Chứng minh rằng : 
Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 
43 
[ ] 
Tương tự, ta được : 
[ ] 
[ ] 
Cộng các đẳng thức