Kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp trường năm học 2014 - 2015 - môn thi: Toán học 9

PHÒNG GD&ĐT CHÂU THÀNH	 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH	 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TRƯỜNG 
ĐỀ CHÍNH THỨC 	NĂM HỌC 2014-2015
	- Môn thi:	 TOÁN 9
	- Ngày thi:	
	- Thời gian:	150 phút (không kể phát đề)
Câu 1: ( 3 điểm )
 Cho biểu thức: 
 a. Rút gọn P
 b. Tìm x để P < 1
 c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Câu 2: ( 3 điểm )
 Cho hai số a, b thoả mãn hệ thức 5a2 + b2 = 6ab .
 Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 3: ( 4 điểm )
 Hai máy bơm cùng làm việc thì sau 12 giờ bơm nước đầy bể. Nếu máy bơm I làm 3 giờ và máy bơm II làm 18 giờ thì hai máy cũng bơm nước đầy bể. Hỏi mỗi máy làm một mình thì bơm nước đầy bể trong bao lâu?
Câu 4: ( 4 điểm )
 Giải phương trình: 
Câu 5: ( 3 điểm )
 Cho đoạn thẳng AB = 6cm. M là điểm di động trên đoạn thẳng AB. Dựng hai hình vuông có cạnh lần lượt là MA, MB. Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai hình vuông này đạt giá trị nhỏ nhất 
Câu 6: ( 3 điểm )
 Qua đỉnh A của hình bình hành ABCD ta kẻ một đường thẳng bất kì cắt BD, BC và đường thẳng DC lần lượt tại E, F, G.
 a. Chứng minh tam giác DAE đồng dạng với tam giác BFE, tam giác DGE đồng dạng với tam giác BAE
 b. Chứng minh hệ thức: AE2 = EF . EG
 c. Chứng minh tích: BF . DG không thay đổi.
- Hết -
Đáp án và biểu điểm
Nội dung
Câu 1
3 điểm 
a
1
b
x < 1 và x 0, x -1
0,5 – 0,5
c
Pmin = 4 x = 2 
0,5 – 0,5
Câu 2
3 điểm
Ta có 5a2 + b2 = 6ab 5a2 – 5ab + b2 – ab = 0 (a – b)(5a – b) = 0
0,5 – 0,5
Vì a 0 , b 0, a b nên ta có: 5a – b = 0 b = 5a
0,5 – 0,5
Do đó: 
0,5 – 0,5
Câu 3
4 điểm
Gọi lượng nước máy I bơm trong một giờ là x ( dung tích bể )
Trong một giờ, hai máy bơm được bể nên trong một giờ máy II bơm được : - x ( bể )
0,5 – 0,5
Phương trình: 
1
Giải phương trình được: 
1
Thời gian máy I làm một mình bơm đầy bể : 30 giờ.
Thời gian máy II làm một mình bơm đầy bể : 20 giờ.
0,5 – 0,5
Câu 4
4 điểm
ĐKXĐ: x -1, x -3, x -5, x -7
0,5 
 0,5
0,5 
 0,5
 x2 + 8x - 20 = 0 (x – 2)(x + 10) = 0 
0,5 – 0,5
x = 2 (nhận) , x = -10 (nhận) 
Vậy: 
0,5 
 0,5
Câu 5
3 điểm
Đặt AM = x
Ta có: MB = 6 – x
0,5 
 0,5
SADCM + SMFEB = x2 + (6 – x)2 = 
 = 2x2 – 12x + 36 = 2(x – 3)2 + 18 18
0,5 
 0,5
Dấu “=” xảy ra khi x = 3 AM = MB 
Vậy M là trung điểm của AB.
0,5 
 0,5
Câu 6
3 điểm
a
Tam giác DAE đồng dạng với tam giác BFE (g.g) (1)
Tam giác DGE đồng dạng với tam giác BAE(g.g) (2)
0,5 
 0,5
b
Từ (1) ta có: (*)
Từ (2) ta có: (**)
Từ (*) và (**) ta có: 
0,25 
0,25
0,25 – 0,25
c
Cũng từ (1) và (2) ta được: 
 BF.DG = AB.AD = không đổi.
0,5 – 0,5